第一篇：§2函數極限的性質

《數學分析》上冊教案第三章函數極限武漢科技學院理學院

§2 函數極限的性質

教學章節：第三章函數極限——§2 函數極限的性質

教學目標：使學生掌握函數極限的基本性質.教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等.教學重點：函數極限的性質及其計算.教學難點：函數極限性質證明及其應用.教學方法：講練結合.教學過程：

引言

在§1中我們引進了下述六種類型的函數極限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以limf(x)為代表來敘述并證明這些性質.至

x?x0

于其它類型極限的性質及其證明，只要作相應的修改即可.一、函數極限的性質

性質1（唯一性）如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在，則必定唯一.證法一設?A，x?alimf(x)?B,則

???0,??1?0,當0?|x?a|??1時，|f(x)?A|??,(1)

??2?0,當0?|x?a|??2時，|f(x)?B|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有，則當0?x?a??時（1）和（2）同時成立.A?B?(f(x)?A)?(f(x)?B)?f(x)?A?f(x)?B?2?,(3)

由?的任意性，（3）式只有當

A?B?0

時，即A?B時才成立.A?B

2證法二反證,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?A，x?a

limf(x)?B

且A?B，取

?0?，則???0，使當

時，f(x)?A??0,f(x)?B??0,即

A?B2

?A??0?f(x)?B??0?

A?B2

矛盾.性質2（局部有界性）若limf(x)存在，則f在x0的某空心鄰域內有界.x?x0

limf(x)?A

??1x?x0證明取, 由 , ???0, 當0?x?x0??時, 有f(x)?A?1,即

f(x)?A?f(x)?A?A?

1，A?1

說明f(x)在U0(x0;?)上有界，就是一個界.limf(x)?b

x?a

性質3（保序性）設，x?a

limg(x)?c

.0?x?a??0???0

1）若b?c，則0，當時有f(x)?g(x)；

0?x?a??0

2）若

??0?0，當

時有f(x)?g(x)，則b?c.（保不等式性）

證明1）取

?0?

b?c2

即得.2）反證，由1）即得.注若在2）的條件中, 改“f(x)?g(x)”為“f(x)?g(x)”,未必就有

A?B.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

舉例說明.推論（局部保號性）如果x?a

號.limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0，則0使當時f(x)與b同

性質4（迫斂性）設limf(x)?limh(x)?A，且在某U0(x0;??)內有f(x)?g(x)?h(x)，x?x0

x?x0

則limh(x)?A.x?x0

證明???0, 由x?x

limh(x)?A

limf(x)?A，??1?0，使得當0?x?x0??1時，有f(x)?A??，即 A???f(x)?A??.又由

x?x0，??2?0，使得當0?x?x0??2時，有h(x)?A??，即A???h(x)?A??.令??min(?1,?2)，則當0?x?x0??時，有A???f(x)?g(x)?h(x)?A??

limg(x)?A

即g(x)?A??，故 x?x.性質6（四則運算法則）若limf(x)和limg(x)都存在，則函數f?g,fg當x?x0時極限

x?x0

x?x0

也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0，則

x?x0

fg

當x?x0時極限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.3）的證明 只要證有

x?x0

lim

1g(x)

B2

?

1B，令

?0?

B2

?0，由

x?x0

limg(x)?B

B2

0?x?x0??1，??1?0使得當時，B2

g(x)?B?，即

g(x)?B?g(x)?B?B??

.g(x)?B?

B2

???0,仍然由

x?x0

limg(x)?B

??2?0, 使得當0?x?x0??2時，有

?

.0?x?x0??

取??min(?1,?2)，則當時，有

1g(x)

?1B?

g(x)?Bg(x)B

?

2B

g(x)?B?

2B

?

B2

???

即

x?x0

lim

1g(x)

?

1B.二、利用函數極限的性質計算某些函數的極限

利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數極限”出發，計算較復雜函數的極限.已證明過以下幾個極限：

limC?C,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.（注意前四個極限中極限就是函數值）

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質, 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限.例1 求limx??.x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).x?

例3 求lim（1x??1

x?1

?

3x3

?1).例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.x??

注關于x的有理分式當x??時的極限.參閱[4]P37.7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.x??

例9lim

?x?1.x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?A參閱[4]P69.x?3

x?3

?B.求 A和B.作業教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

補充題已知lim

x?Ax?B7.求A和B.(A??

16x?2

x2?4

?B?3,B?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b.?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?，?x?x

2x? 由x??且原式極限存在，??

2?x2x?x

?a?b

x?0，即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???.?x?x2x??x????1?x??

第二篇：2函數極限的性質解讀

§2 函數極限的性質

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質。

至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限 證

設與、都是

當

存在，則此極限是唯一的。

時的極限，則對任給的，分別存在正數，使得當

時有

（1）

當 時有

（2）

取，則當時，（1）式與(2)式同時成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若極限 內有界。

存在，則在某空心鄰域證

設。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數

（或證 設有，這就證得結論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設 內有，則

與都存在，且在某鄰域。

（3）

證 設，使得當，時，則對任給的，分別存在正數與

（4）

當

時有

（5）

令，則當

時，不等式

與（4）,（5）式同時成立，于是 有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設==，且在某內有

（6）

則。

證 按假設，對任給的時

（7），分別存在正數

與，使得當當時有

（8）

令，則當

時，不等式（6）、（7）、（8）式同時成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四則運算法則）若極限數，當

與

都存在，則函 時極限也存在，且

1）=

2）=

又若，則當時極限也存在，且有

3）

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給讀者作為練習。利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發計算較復雜的函數極限。

例1求。

解 由第一章§3習題13，當 時有，而，故由迫斂性得

。另一方面，當時有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四則運算法則有

=

例3 求

解 當 時有。故所求極限等于。

例4

證明

證

任給（不妨設），為使

（9）

即，利用對數函數

（當

時）的嚴格增性，只要

于是，令成立，從而證得結論。，則當時，就有（9）式

第三篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2 函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)

當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界．

x?x0

證

設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內有界．

§3.2 函數極限的性質

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應用局部保號性時，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當 0?x?x0??1時有，§3.2 函數極限的性質

????f?x?

(7)

當0?x?x0??2時有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數

x?x0x?x0f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當x?0時有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數極限的性質

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當a?1時）的嚴格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界． x?x0

證設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應用局部保號性時，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0

得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當0?x?x0??1時有，2????f?x?(7)當0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數 x?x0x?x0

f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當x?0時有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當a?1時）的嚴格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第五篇：2 函數極限的性質（小編推薦）

§2 函數極限的性質

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質。

至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限

證設與、都是當 存在，則此極限是唯一的。時的極限，則對任給的，分別存在正數，使得當

時有

（1）

當

時有

（2）取，則當時，（1）式與(2)式同時成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。

定理3.3（局部有界性）若極限

內有界。存在，則在某空心鄰域

證設

。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數

（或

證 設

有，這就證得結論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設

內有，則

與

都存在，且在某鄰域

。（3）

證 設，使得當，時，則對任給的，分別存在正數與

（4）

當

時有

（5）

令，則當

時，不等式

與（4）,（5）式同時成立，于是

有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）

定理3.6（迫斂性）設==，且在某內有

（6）

則。

證 按假設，對任給的，分別存在正數

與，使得當

時

（7）

當

時有

（8）

令

式同時成立，故有，則當

時，不等式（6）、（7）、（8），由此得，所以。

定理3.7（四則運算法則）若極限，當

與

都存在，則函數

時極限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，則當時極限也存在，且有）

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給讀者作為練習。利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發計算較復雜的函數極限。

例1求。

解 由第一章§3習題13，當 時有，而，故由迫斂性得。

另一方面，當時有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解由

及§1例4所得的并按四則運算法則有

=

例3 求

解 當 時有。

故所求極限等于。

例4證明證任給

（不妨設），為使

（9）

即，利用對數函數

（當

時）的嚴格增性，只要

于是，令

成立，從而證得結論。，則當時，就有（9）式