第一篇：函數極限的性質證明

函數極限的性質證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數列下標可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當0

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數列n*a^n，其極限為0

用數列極限的定義證明

3.根據數列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以后會學的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2 函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)

當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界．

x?x0

證

設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內有界．

§3.2 函數極限的性質

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應用局部保號性時，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當 0?x?x0??1時有，§3.2 函數極限的性質

????f?x?

(7)

當0?x?x0??2時有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數

x?x0x?x0f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當x?0時有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數極限的性質

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當a?1時）的嚴格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界． x?x0

證設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應用局部保號性時，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0

得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當0?x?x0??1時有，2????f?x?(7)當0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數 x?x0x?x0

f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當x?0時有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當a?1時）的嚴格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第五篇：函數極限的證明

函數極限的證明

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關于的有理分式當時的極限.例4

例5例6例7