第一篇：用定義證明函數極限方法總結

144163369.doc

用定義證明函數極限方法總結:

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法與用定義證明數列極限式類似，只是細節x?a

不同。

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?a?h(?)，從而得??h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?a?h(?)，從而得????

??h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定0?x?a??1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?a?h(?)，取??min??1,h(?)?。

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法： x??

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?h(?)，從而得A?h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?h(?)，從而得????

A?h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定x?A1，得f(x)?c??x?a，解????x?a???，得：x?h(?)，取A?max?A1,h(?)?。

平行地，可以寫出證明其它四種形式的極限的方法。

例1 證明：lim(2x?3)?7。x?2

證明：???0，要使：

(2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2?

取???2，?

2，即可。

x2?12?。例2 證明：lim2x?12x?x?13

x?1x2?12x?12分析：因為，放大時，只有限制????22x?x?132x?1332x?1

0?x??1，即0?x?2，才容易放大。

證明：???0，限制0?x??1，即0?x?2，要使；

x?1x?1x?1x?1x2?12x?12

??，只要????????

32x2?x?132x?1332x?132x?13

即0?x??3?，取??min(1,3?)，即可。

例3

證明：?（a?1）。

x?a

證明：???0，限制0?x?a?

1?a1?a

?1，要使：，所以x?

22?

?

?

??，只要

?1?a?,?，即可。?，取??min???，即0?x?a?

??22

??

?x3,x?1

例4 設f(x)??，證明:limf(x)?1。

x?1

?2,x?1

證明：當x?1時，f(x)?1?x?1?x?1x?x?1

限制0?x??1，則x?x?1?1?2，?x?x?1?7。???0，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?7x?1??，只要7x???，即x?1?

?

7，取

???

??min??，當0?x?1??時，有：

?7?

f(x)???，?limf(x)?1

x?1

說明：這里限制自變量x的變化范圍0?x??1，必須按自變量x的變化趨勢來設計，x?a時，只能限制x在a點的某鄰域內，不能隨便限制！

錯解：設x?1，則x?x?1?3，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?3x?1??，只要0?x?1?

?，取??min?1,?，????3?

當0?x?1??時，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。

x?1

例5 證明:lim

?1。

x?12x?1

2x?11

證明：考察，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?1 ?1?

2x?12x?1

限制0?x?1?

111，則2x?1?1?2x?1?1??。???0，要使： 422

2x??1

???4x?1??，只要4x???，即x?1?，42x?12x?1

?1??

?44?

?1??，2x?1

取??min?,?，當0?x???時，有：?lim

x?1

?1。

2x?1

1，則4

說明：在以上放大f(x)?A（即縮小2x?1）的過程中，先限制0?x?1?得：2x?1?

11。其實任取一個小于的正數?1，先限制0?x?1??1，則22

0?x?1?或0?x??1，則不2x??1?x1?1??12m?（如果是限制?0

例6 證明:lim

能達到以上目的）。

x

?2。

x?24x?7

證明：考察

7x?271x，?僅在x?的鄰域內無界，所以，限制?2?

44x?74x?74x?7

171

0?x?2?（此鄰域不包含x?點），則4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。

842

???0，要使：

7x?27x?2?x

只要14x?2??，即x?2?，?2???14x?2??，144x?74x?71?4x?2

取??min?,x?1??，當時，有：?2??，0?x?2???

4x?7?814?

x

?2。

x?24x?7

x?0

?lim

x

例7 用定義證明極限式：lima?1，（a?1）

證明：???0（不妨??1），要使：

ax?1???1???ax?1???loga?1????x?loga?1???（由對數函數

。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0，f(x)?logax是單調增函數）

xx

當0?x?0??時，有：a?1??。故lima?1。證畢

x?0

例8 設f(x)?0，limf(x)?

A，證明：lim

x?x0

x?x0

?

n?2為正整數。

證明：（用定義證明）因為，f(x)?0，由極限保不等式性知，A?0；當A?0時，???0，由limf(x)?A，知：???0，當0?x?x0??時，有：f(x)?A?

?

x?x0

?

??

f(x)?A

n?1

?

??

?n?2

n?2

?

n?1

?

f(x)?A

n?1

?

?

n?1，故：lim

x?x0

?

im(f)x0?當A?0時：???0，由l

x?x，知：

???0，當0?x?x0??時，有：

f(x)??

? ?0?lim

x?x0

?0。證畢

第二篇：函數極限的定義證明

習題1?3

1.根據函數極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.x??2x?12

1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據函數極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?, 當|x|?X時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?X?

?2, 當x?X時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.?0??, 所以lim

x???

?0.3.當x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當|x?2|

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數f(x)?|x| 當x?0時極限為零.x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.x?0

7.證明: 若x???及x???時, 函數f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.x??

證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,x???

x???

?X1?0, 使當x??X1時, 有|f(x)?A|??;?X2?0, 使當x?X2時, 有|f(x)?A|??.取X?max{X1, X2}, 則當|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.x??

8.根據極限的定義證明: 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0<|x?x0|

|f(x)?A|

|f(x)?A|0,??1>0, 使當x0??10, 使當x0

| f(x)?A|

證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?

第三篇：利用函數極限定義證明11

習題2-2

1.利用函數極限定義證明:

(3).limxsinx?01x?0;

x|?1，則當 0?|x|?? 時, 有 證明: 對于任意給定的正數 ??0, 取 ???, 因為 |sin

x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明：

（1）lim1?x

4x????；

1?x

4證明：對于任意給定的正數 G?0, 取 M?4G?1, 則當 |x|?M 時, 有 |

所以 lim1?x

4??.|?G，x??

5．證明：若limf(x)?A，則lim|f(x)|?|A|.x?x0x?x0證明：對于任意給定的正數 ??0, 由于limf(x)?A，存在??0，使得當

x?x0

0?|x?x0|??時, 都有|f(x)?A|??，而

????|f(x)?A|?|f|?|A|?|f?A|??，即||f(x)|?|A||??，所以lim|f(x)|?|A|.x?x0

第四篇：用極限定義證明極限

例

1、用數列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7

n?2時n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2上面的系列式子要想成立，需要第一個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是2

n4，即n>2；不等號（4）成立的條件是n?[]，故取N=max{7, 2?

44[]}。這樣當n>N時，有n>7，n?[]。??因為n>7,所以等號第一個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為n?[]，所以不等號（3）成立的條件是1??

|不等式（4）能成立，因此當n>N時，上述系列不等式均成立，亦即當n>N時，在這個例題中，大量使用了把一個數字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對于具體的數，．．．．．．．

2可把它放大為（k為大于零的常數）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?

1n?4n?4n?4時n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等號（1）成立的條件是n?[],故取N=max{4, []},則當n>N時，上面的不等式都成??例

2、用數列極限定義證明：lim

立。

注：對于一個由若干項組成的代數式，可放大或縮小為這個代數式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n

2n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?

1(?1)n

例

3、已知an?，證明數列an的極限是零。2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

證明：???0(設0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整n?1?

1數n都是成立的，因此取N?[?1]，則當n>N時，不等號（2）成立，進而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以當n>N時，|an?0|??。

在上面的證明中，設定0???1，而數列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設定？這樣設定是否符合數列極限的定義？

在數列極限定義中，N是一個正整數，此題如若不設定0???1，則N?[?1]就有1

?

可能不是正整數，例如若?＝2，則此時N＝－1，故為了符合數列極限的定義，先設定0???1，這樣就能保證N是正整數了。

那么對于大于1的?，是否能找到對應的N？能找到。按照上面已經證明的結論，當?＝0.5時，有對應的N1，當n>N1時，|an?0|＜0.5成立。因此，當n＞N1時，對于任意的大于1的?，下列式子成立：

|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對于所有大于1的?，我們都能找到與它相對應的N=N1。因此，在數列極限證明中，?可限小。只要對于較小的?能找到對應的N，則對于較大的?．．．

就自然能找到對應的N。

第五篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)