第一篇：函數極限題型與解題方法

函數極限題型與解題方法2011/11/3

畢原野 整理

一．極限的證明

1.趨近于無窮 P19 例8（1）

2.趨近于正無窮 P19 例8（2）

3.趨近于負無窮 P19 例8（3）（4）

4.趨近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

極限的證明說白了就是找兩個值，對于趨近于無窮的極限來說是ε和X，而對于趨近于某一定值的極限來說就是ε和δ。因此，證明過程中，無論哪種先得出ε，然后把x用ε表示出來（如果是趨近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出來），這樣，就明確了X（δ），之后直接套格式就好了。

關鍵就在于表示過程，這需要一定的計算和技巧，比如放縮、變形等。由于ε的無限小，可以為其設定任何范圍，以簡化計算，但是要使原試有意義。

二．求極限

1.趨近于無窮（包括正負無窮）

（1）上下同除高次項 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）換元 P25 例13（2）

（4）應用 無窮小×有界=無窮小 P25 例13（3）（4）

2.趨近于某一定值

（1）應用法則直接帶入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等價無窮小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）變形后應用重要極限

換元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他變形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函數

應用1.、2.的方法得出左右極限即可。

書寫過程注意格式，寫明左右極限。P21 例10 P35 29.函數的極限求法可以類比數列的求法，只是要注意其方向和保證原式的有意義。

三．證明極限存在與否

首先確定是否能求出左右極限。不能，則無極限；能，則進一步看是否相等。不等，則無極限；等，則有極限。P35 30.（2）（3）

四．求參數

應用定理lim f（x）/g（x）=c（c≠0），分子分母中任意一個為0，則另一個也為0。P35 35.通分整理，提出相消的項，令參數與同次項系數互為相反數即可。P35 34.為此稿做過貢獻的同學在此依次注明信息吧！~

第二篇：函數極限理論的歸納與解題方法的總結

目錄

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念與基本理論 ············································································ 2(一)函數極限 ··························································································· 2(二)重要極限 ··························································································· 9(三)函數的上極限與下極限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推廣定理 ···································································· 11

二、習題類型與其解題方法歸納 ······························································ 11(一)根據定義證明函數正常極限與非正常極限的方法。················· 12(二)根據定義與極限性質證題的方法 ·················································· 14(三)求函數極限方法 ············································································· 15(四)判斷函數極限存在與不存在的方法 ·············································· 20 參考文獻： ································································································· 24

函數極限理論的歸納與解題方法的總結

薛昌濤

(渤海大學數學系 遼寧 錦州 121000 中國)摘要：宇宙中的任何事物都是不斷運動變化、相互聯系、相互制約的。“函數”的產生正是為了滿足刻劃這種關系的需要，函數極限理論可謂函數理論重中之重。極限定義24個，性質60個，習題更是千變萬化，看上去似乎很繁雜，但經過深入淺出的分析就會很明了。本文旨在化繁為簡、總結規律，啟示方法。關鍵詞：函數、極限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函數”一詞是微積分的創始人之一萊布尼茲(Leibniz)最先使用的，并且把x的函數記為f(x),?(x)等，但是，直到19世紀初，人們還是把函數理解為“變量和常數組成的解析表達式”。直到1834年，狄里克萊(Dirichlet)指出，函數y與變量x的關系不但不必用統一的法則在全區間上給出，而且不必用解析式給出。至此，函數才被賦予了單值對應的意義。在整個宇宙中，我們找不出不在運動變化的事物，但各個事物的變化，又絕非彼此孤立隔絕，而是相互聯的，相互制約的。“函數”無論在理論研究還是現實的科學探索，都發揮著舉足輕重的作用，而極限問題可謂函數問題之重點，所以搞清函數極限的相關問題是尤為重要的。

一、基本概念與基本理論

（一）函數極限

1．函數正常極限與非正常極限定義共4?6?24個，它們的形式是：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???lim?A(A為有限數)?????可見函數正常極數定義共6個，非正常極數定義共18個，比數列正常極限定義1個、非正常極限定義3個(兩者總共4個)多了20個定義，而此24個定義是整部數學分析的基礎。對它們的理解與記憶按下述程序進行：先理解與記憶4個基本定義，再推及其它而總觀24個定義。

(1)四個基本定義

定義1(??M定義)設f是定義在[a,??)上的函數，A是一個確定的數，若???0，?M?0，當x?M時，有f(x)?A??，則稱函數f當x???時以A為極限，記作limf(x)?A，或f(x)?A(x???)，或

x???f(??)?A。

此時也稱A為f在正無窮遠處的極限。

注1 此??M定義，是數列極限limxn?a之??N定義的推廣，只

n??需將??N定義中之n換為x，N換為M即可，這是由于，數列是以自然數集為定義域的函數，故n,N均為自然數集的成員，而函數f(x)的定義 域為實數集，因而改為R中之x，m來描述。

注2 定義1是在正無窮遠點處函數的極限，現將正無窮遠點改為有限點x0處，其函數極限即為下述定義2，即只要將正無窮遠鄰域的描述x?M改為x0的空心鄰域的描述0?x?x0??即可，因變量刻劃相同。

定義2(雙側極限???定義)設函數f在點x0的某個空心鄰域U0(x0,??)內有定義，A是一個確定的數。若???0,???0,(????)，當0?x?x0??時，有f(x)?A??，則稱f當x趨于x0時以A為極限，記作limf(x)?A，或f(x)?A(x?x0)。

x?x0問題1 在limf(x)?A的定義中，為什么限定x?x0?0(即x?x0)？x?x0如果把此條件去掉，寫作“當x?x0??時，有f(x)?A??”是否可以？［3］

答：不可以，極限limf(x)?A的意義是：當自變量x趨于x0時，對

x?x0應的函數值f(x)無限接近常數A。f(x)在x0的情況，包括f(x)在x0是否有定義，有定義時，f(x0)等于什么都不影響x?x0時，f(x)的變化趨勢，故應把x?x0這一點排除在外。如果把此條件去掉，把limf(x)?A的定義

x?x0寫作“???0，???0，當x?x0??時，有f(x)?A??”，則當x?x0時，也有f(x)?A??，由?的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)?A，這個條件顯然與x?x0時，f(x)的變化趨勢是不相干的。

定義3(單側極限???定義)設函數f在?x0,x0????［或?x0???,x0?］內有定義，A是一個確定的數，若???0,???0(????)，使當0?x?x0??(或0?x0?x??)時，有f(x)?A??，則稱f在x趨于x0?(x0?)時以A為右(左)極限，記作limf(x)?A，或f(x0?0)?A(limf(x)?A或

x?x0?x?x0? 3 f(x0?0)?A)。

注3 定義3中右極限(左極限)，則x?x0?x?x0；f定義在x0的右側，對于左極限，f定義在x0的左側，則x?x0?x0?x，于是定義2是關鍵，只要考慮到“單側”這一特點。

定義4(無窮大量G??定義)函數f定義在x0的某個空心臨域U0(x0,??)內，若?G?0，使當0?x?x0??時，有f(x)?G，???0(????)，則稱f當x趨于x0時有非正常極限?，或稱f當x趨于x0時為無窮大量(或發散到無窮大)，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)。

x?x0(2)由自變量變化趨勢刻劃六種與因變量變化趨勢刻劃四種搭配成正常極限與非正常極限共24個定義的方法。

自變量變化趨勢及其刻劃六種 ：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???0?x?x0?????0?x?x0???(???0)?0?x0?x???? x?M??x?M?(?M?0)x??M??因變量變化趨勢及其刻劃四種：

f(x)?Af(x)??f(x)???f(x)???f(x)?A??(???0)f(x)?G? ?f(x)?G?(?G?0)f(x)??G??將自變量與因變量的變化趨勢刻劃互相搭配，而構成24種，每一種均按前述四個基本定義的標準敘述法敘述，即得24個定義。

2、正常極限性質(共48個或60個)按華東師大教材，每一種類型極限有8個性質來計算，六種類型極限總共有48個性質。再加上重要的“絕對值性”與“單調有界定理”，則共計60個性質。

前面是按照極限類型而言；若按照性質類型而言，對照數列極限性質，函數極限性質總共8種(或10種)：存在性、唯一性、局部保號性、局部有界性等等，每一種，按六類極限形式又有六類形式，總計仍是48個或60個性質。無論是48個還是60個性質，看似很多，實際上只要扣住前述自變量變化趨勢刻劃六種，再將數列極限相應性質移過來，這些性質均不難掌握了。

教材中是就極限類型limf(x)?A而給出8個性質，這里，再就極限

x?x0x???limf(x)?A而給出。

極限limf(x)?A的性質：

x???(1)存在性——三個存在定理

I兩邊夾定理 設?x??a,???，均有y(x)?f(x)?z(x)，且x???limz(x)?limy(x)?A，則limf(x)?A

x???x???II柯西準則

設函數f在[a,??)內有定義，則limf(x)存在x???????0,?M?0，當x?,x???M時，有f(x?)?f(x??)??。

III單調有界函數定理

設函數f在[a,??)內單調且有界，則limf(x)x???存在。

注4 單調有界函數定理在有限點x0處為：若函數f(x)在包含x0的某一區間單調有界，則f(x)在x0的左、右極限必存在。

這里是左、右極限存在，但在x0的極限不一定存在，這是與數列單 調有界必收斂定理之區別。

(2)唯一性

若limf(x)存在，則它只有一個極限。

x???(3)局部有界性

若limf(x)存在，則?M?0，在?M,???內，f有界。

x???(4)局部保號性 若limf(x)?A?0(?0)，則對任何

x???當x?M時，有f(x)?A??0［或f(x)?A??0］。A?A??0(A?A??0),?M?0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且?M?0，當x?M時，x???x???有f(x)?g(x)，則limf(x)?limg(x)。

x???x???(6)四則運算法則

若limf(x),limg(x)均存在，則f?g,f?g,x???x???f［僅g除法還要求limg(x)?0］在x???時極限也存在，且有

x???x???x???lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x),x???x???limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x),x???x???

f(x)f(x)xlim???lim?x???g(x)limg(x)x???(7)歸結原則

設函數f在[a,??)上有定義，則limf(x)?A?對任何

x???xn?[a,??),xn???，都有limf(xn)?A，其中A為有限數。

n??推論 設f在[a,??)上有定義，則limf(x)存在?對任何xn?[a,??)，x???xn???，limf(xn)均存在。

n??注5 歸結原則與數列情形之“數列極限與其子列極限關系定理”類似，均是在揭示整體與部分的關系這一意義上而言的。

(8)絕對值性

若limf(x)?A，則limf(x)?A，且

x???x???x???limf(x)?0?limf(x)?0

x???

3、無窮小量與無窮大量

6(1)無窮小量

若limf(x)?0，則稱當x?x0時f為無窮小量。

x?x0無窮小量的四則運算性質：

(i)兩個無窮小量之和、差、積仍為無窮小量。(ii)無窮小量與有界變量之積為無窮小量。

(iii)兩個無窮小量之商的極限為下述四種情形之一：有限實數a?0,0,?,不存在，此即無窮小量的階的比較。

無窮小的階的比較，是考察它們收斂于零的速度的快慢。設x?x0時，f,g均為無窮小量，則

?a?0,稱f與g為同階無窮小（當x?x0時)?f(x)?0,稱f為比g的高階無窮小（當x?x0時)lim??x?x0g(x)??,稱f為比g的低階無窮小（當x?x0時)?不存在?其中，當a?1時，又稱f與g為等價無窮小(當x?x0時)，記作f(x)~g(x)(x?x0)。

若limx?x0f(x)?l?0，l為有限數，n?0，則稱 f為關于基本無窮小gng(x)的n階無窮小，n通常為正有理數。

注6 在應用極限運算的四則運算法則時，初學者會寫出“????0,??1”等式子。這是不對的。出現這類“錯誤”的主要原因?是將符號“?”誤認為一個常數，對它施行了數的運算法則。事實上，“?”不是一個常數，而是表示絕對值無限增大的變量，記號“???”表示兩個絕對值無限增大的變量之差，仍是一個變量。同樣地，記號“示兩個絕對值無限增大的變量之商，仍是一個變量。

?”表?問題2 下面的極限運算對嗎？［3］

limx2sinx?011?limx2?limsin?0

x?0xx?0x1x答：結果正確，表達錯誤，這是因為limsin不存在，不能利用積的x?0極限運算法則，則可以這樣表達：因為limx2?0，sinx?01?1，所以x1limx2sin?0。x?0x問題3 如果數列?an?收斂，數列?bn?發散，那么數列?anbn?是否一定收斂？如果數列?an?和?bn?都發散，那么數列?anbn?的收斂性又怎樣？［3］

答：在兩種題設情形下，數列?anbn?的收斂性都不能肯定，現分析如下：

情形

1、數列?an?收斂，數列?bn?發散。

若liman?0，則數列?anbn?必定發散，這是因為若數?anbn?收斂，且n??liman?0，則由等式bn?x??anbn及商的極限運算法則立即可知數列?bn?收an斂，與假設矛盾。

若liman?0，則數列?anbn?可能收斂，也可能發散。例如，x??(1)an?,bn?n(n?N?),anbn?1(n?N?)，于是數列?anbn?收斂。

(2)an?,bn?(?1)nn(n?N?),anbn?(?1)n(n?N?)，于是數列?anbn?發散。

情形2 數列?an?和?bn?都發散。1n1n若數列?an?和?bn?中至少有一個是無窮大，則數列?anbn?必定發散。這是因為若數列?anbn?收斂，而數列?an?為無窮大，從等式bn?得limbn?limanbnlimn??n??anbn便推an1?0，與假設矛盾。n??an若數列?an?和?bn?都不是無窮大，則數列?anbn?可能收斂，例如，(3)an?bn?(?1)n(n?N?),anbn?1(n?N?)，于是數列?anbn?收斂。

(4)an?(?1)n,bn?1?(?1)n,(n?N?),anbn?(?1)n?1(n?N?)，于是數列?anbn?發散。

4、幾個關系

(1)函數極限與數列極限的關系——歸結原則(2)單側極限與極限的關系

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)與lim?f(x)均存在相等，均為A。

x?x0x?x0(3)無窮大量與無窮小量的關系(倒數)(二)重要極限

1sinx?1?lim?1,lim?1???e,lim?1?x?x?e。x?0x??x?0x?x?x前者為型的未定式的極限，后兩式為1?型的未定式的極限。問題4 討論函數極限時，在什么情況下要考慮左、右極限？［3］ 答：一般說來，討論函數f(x)在x0點的極限，都應先看一看單側極限的情形。如果當x?x0時，f(x)在x0兩側的變化趨勢一致，那么就不必分開研究；如果f(x)在x0兩側的變化趨勢可能有差別就應分別討論記左、右極限。例如，求分段函數在分段點處的極限時，必須研究左、右00 9 極限；有些三角函數在特殊點的左、右極限不一樣。例如，tanx在x??2的左右極限不一樣；有些反三角函數、指數函數也有類似情形，例如，1arctan,ex在x?0處的左、右極限都不一樣。

x1(三)函數的上極限與下極限

1、概念

設函數f在x0的某個空心臨域U0(x0,?)內有定義，則定義x?x0limf(x)?lim?sup?f(x)??M，limf(x)?lim?inf?f(x)??m

??0x?U0(x0,?)x?x0??0x?U0(x0,?)其中M,m為有限數或??或??，特別當f在U0(x0,?)內有界時，［1］ M,m均為有限數。

2、性質(1)上極限性質

設limf(x)?M,M為有限數，則(I)???0,???0,當0?x?x0??時，x?x0有f(x)?M??；(II)???0，在x0的每一個空心臨域內，必有x?，使得f(x?)?M??

(2)下極限性質

設limf(x)?m,m為有限數，則(I)???0,???0，使當0?x?x0??時，x?x0有f(x)?m??；(II)???0，在x0的每一空心臨域內，必有x?，使得f(x?)?m??。

3、函數上(下)極限與函數值數列上(下)極限的關系。

?xn?為此鄰域內的任意定理

設函數f在x0的某空心臨域內有定義，點列，xn?x0(n??)，則對應于一切這種點列?xn?，limf(xn)??所成數

n??集???必有最大值(包括??或??)，limf(xn)??所成數集???必有最小值

n?? 10(包括??或??)，f在x0的上(下)極限即為這最大(小)值。

4、上(下)極限與極限的關系。

x?x0limf(x)?l?limf(x)?limf(x)?l，l為有限數或??或??。

x?x0x?x0(四)Stolz定理的推廣定理

定理

設(i)函數f，g定義于[a,??)，且均在[a,??)的任意子區間有界。

(ii)對一切x?[a,??),g(x?T)?g(x)，其中T為一正常數，(iii)limg(x)???，x???(iv)limx???f(x?T)?f(x)f(x)?l(有限數或??或??)，則lim?l。［5］

x???g(x?T)?g(x)g(x)可見，(ii)、(iii)兩條是stolz第二定理之“bn???”的推廣，(iv)是“liman?an?1?l”之推廣。

n??b?bnn?1而此stolz定理的推廣定理與羅比達法則不同點是：后者為lim?型及?x??f?(x)存在，而在這里，f只要定義于[a,??)，且在[a,??)上的任意子g?(x)f(x?T)?f(x)?l即可。

g(x?T)?g(x)區間上有界，g(x)???(x???)，及limx???

二、習題類型與其解題方法歸納

關于函數極限的習題類型大致有：

(一)根據定義證明函數正常極限與非正常極限。(二)根據極限定義與極限性質證題。(三)求函數極限。

(四)判斷函數極限存在與不存在。此外，還有諸如無窮小(無窮大)的階的比較等，本文將不涉及。關于上述四種類型習題的解題方法在下文給出。(一)根據定義證明函數正常極限與非正常極限的方法。

這里是指根據24個定義證明函數的正常極限與非正常極限的方法，屬根據定義證題術——扣住定義而證，解題思路均是：???0(或?G?0)，找??0(或M?0)，使當滿足自變量的變化趨勢刻劃時，有因變量變化趨勢之刻劃，解題關鍵是找?或M，找法如下。

1、當f以具體形式給出時，扣住 因變量變化趨勢之刻劃f(x)?Gf(x)?Gf(x)f(x)f(x)?A??,?f(x)?G，分析并對f(x)?A,?f(x)進行恒等變形或加強不等式，使之變成f(x)?A?y(x)，f(x)?z(x)?f(x)?z?x?，其中y為正無窮小量，z為正無窮大量，令y(x)??，f(x)?z?x?0?x?x0??,x?M或z(x)?G；再扣住 自變量變化趨勢之刻劃。0?x?x0??,?x?M對不

0?x0?x??,x?Mx?x0??(?)等式g(x)??或不等式z(x)?G，關于x?x0解之，解得x?x0??(?)，取

x0?x??(?)xx??(G)???(?)或關于?x，解之，解得?x??(G)，取M??(G)。

xx??(G)2．抽象論證找?或找M法

f(x)當f是以抽象形式給出時，與1類似，對f(x)?A,?f(x)進行恒等變

f(x)

f(x)?z(x)形或加強不等式，使之變成f(x)?A?y(x)，?f(x)?z(x)，其中y為已知

f(x)?z(x)正無窮小量，z為已知正無窮大量，利用此y或z確定抽象的?或M。確定?或M的具體方法與技巧是：(I)根據已知極限或無窮大量確定?或M。(II)根據已知極限的性質或無窮大量確定?或M。(III)三角不等式及其它。

可見，與數列的此部分方法完全類似，只是比之更復雜些，下面舉一些例子。

例

1、設f在任一有限區間上Riemann可積，且limf(x)?A，證明

x???1xlimf(t)dt?A，(上海交大1987)。x???x?0?x分析

要證：???0,?M?0，當x?M時，有I??f(t)dt?A??，x01x1x1x1x而I??f(t)dt??Adt??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt；由f(x)?A不x0x0x0x0難聯想到已知limf(t)?A，于是??1?0,?M0?0當t?M0時，有t???f(t)?A??1，而，由于I1?0(x???)，則??2?0,?M1?M0，當x?M1時，1x?有I1??2；又由于I1???1dt??1，再考慮要證I??，則取?1??2?及

2x0取M?M1。

證明：???0，因limf(t)?A，則?M0?0，當t?M0時，有

t???f(t)?A??2。

M0因f 任一有限區間上Riemann可積，則

?0f(t)?Adt為定數，于是1limx???x M0?0f(t)?Adt?0，因而?M?M0，當x?M時有 1I1?xI1?M0?0xf(t)?Adt??2,x11??x?M0?f(t)?Adt?dt?????xM0xM022x2

由此有：當x?M時，1x1x1xf(t)dt?A??f(t)dt??Adt?x0x0x01x1x??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt x0x0?I1?I2??2??2??1x即lim?f(t)dt?A x???x0——抽象法證找M法(利用已知極限分段處理)。(二)根據定義與極限性質證題的方法

這里是指根據24個定義和48個性質等證題，其方法為：遇到正常極限與非正常極限符號，就用???,G??等語言表達出來；深入分析題目，聯想相關性質；再將之有機結合起來而找到證題方法。

例2 設f在?0,???內滿足f(x)?f(x2)，且有x?0?limf(x)?limf(x)?f(1)。

x???證明：f(x)?f(1),0?x???。

分析

證明恒等問題，首選反證法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)?f(x2)，不難得到：當x?1是，x2???(n???)，當0?x?1時，x2?0(n??)而找矛盾。nn證明

反正法

假設f(x)?f(1)，則至少存在一點x0?0,???，使f(x0)?f(1)，則 f(x0)?f(1)或f(x0)?f(1)，且顯然x0?1，下面只證f(x0)?f(1)的情形，f(x)?f(1)的情形同理可證。

(I)當x0?1時，因lim?f(x)?f(1)，則對??f(1)?f(x0)?0,?1???0，x?0當0?x??時，有f(x0)?f(1)???f(x)?f(1)??

(1)，因

ln???2nx?0(n??)，則對??0，?N?log2lnx0，當n?N時，有0?x0??；????2n022??，于是由(1)知不妨取n0?N?1及取x?x0，則顯然0?x?x0n0n0f(x0)?f(x)?f(x2n00)?f(x0)矛盾。

x???(II)當x0?1時，因limf(x)?f(1)，則對??f(1)?f(x0),?M?1?0，當x?M時，有f(x0)?f(x)?f(1)??

(2)因xlnM?M?0，?N??log2lnx0?2n0???(n??)，則對

?，當2n0n?N時，有x?x0?M，不妨取n0?N?1及??取x?x盾。2n002n02?M，于是由(2)知f(x0)?f(x)?f(x0)?f(x0)，矛，則x?x0n0綜上即得證f(x)?f(1),0?x???。(三)求函數極限方法

1、根據定義證明函數以A為極限，即已求得了函數的極限。

2、用函數極限的四則運算法則、不等式性、絕對值性及無窮大量的四則運算等性質，根據已知極限求極。

3、根據公式與不等式求極限。

4、用兩邊夾定理求極限。

5、用stolz定理的推廣定理求極限。

6、用羅比達法則求極限。

7、用羅比達法則與微積分學基本定理、含參量積分求極限，用牛頓——萊布尼茲公式求極限。

8、用函數的連續性求極限。

9、用泰勒公式、導數定義等求極限。

10、用函數的上、下極限求極限。

11、用左極限與右極限求極限。

12、用歸結原則求極限。

13、用函數項級數理論，如函數項級數收斂的必要條件或函數項級數的和函數求極限。

14、其它，諸如反證法、變量代換等等。

下面在羅比達法則和泰勒公式的選用上，微積分學基本定理與羅比達法則的運用上，兩邊夾定理，stolz定理的推廣定理的運用上重點舉幾例。

f(x0?h4)?f(x0)例3 設f在x0可導，求I?lim。2h?01?coshf(x0?h4)?f(x0)h4?解 I?lim 42h?0h1?cosh4h3?f?(x0)limh?0sinh2?2h

?2f?(x0)——用導數定義、羅比達法則、已知極限、極限四則運算法則求極限。

例4 求I?lim?x?????a?a???an?x1x2xn??,(ai?0,i?1,2,?n)。??1x 16 分析 本題為?0型未定式，用羅比達法則試解之。不難發現，用羅比達法則兩次之后，所得函數表達式已變得更為復雜，因而用羅比達法則解決不了，需改用它法。考慮到a1,?,an為有限個正數，因而必有最大值與最小值，于是聯想到用與不等式有關的兩邊夾定理。

解 令k?max?a1,a2,?,an?，則

?k??1?nnx?kx?a?a???a??????n??1x1x???xlim1xx1x2xn??nk?????n???k，????1xx1x由于limn?nx????n0?1。

因而limkn1xx????k，1xx?a1x???an由兩邊夾定理知：I?lim?x????n????k?max?a1,?,an? ??例5 設f在?A,B?上連續，A?a?b?B。

b證明：I?lim?h?0abf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)

hf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)，只要求出極限值為

h分析 要證lim?h?0af(b)?f(a)，即已證得，于是歸結到求極限問題。顯然積分號下不能取極

bb限；而已知f連續，則顯然?f(x)dx與?f(x?h)dx均可由其原函數在兩端

aa點a,b處的函數值所給出，于是極限問題不難解決。

解 因為f在?a,b?上連續，則f在?a,b?上有原函數F,F?(x)?f(x)，由牛頓——萊布尼茲公式知：

bI?lim?h?0af(x?h)?f(x)dx

hb?1?b??lim?f(x?h)dx?f(x)dx??h?0h??a?a?1b?F(x?h)|ba?F(x)|a?h?0h?lim[F(b?h)?F(a?h)?F(b)?F(a)]?limh?0

F(b?h)?F(b)F(a?h)?F(a)?limh?0h?0hh?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a)?lim——用原函數存在定理、牛頓——萊布尼茲公式、導數定義等求極限。

1?例6 求I?lime?x?1???(中國科技大學)x??x2?x?1?分析 令f(x)?e?x??1??，分析f(x)之結構，?x?x2易知當x???時，e?x?0,?1?????,f(x)為0??型未定式；

1?當x???時，e?x???,?1????0,f(x)為??0型未定式，按通常方

?x??1??1??0?x法，將其化為型或型去解決，于是有f(x)??x?0?ex2x2??1?x?x2，其為

?型。(當?0x??1???1?，x???時)或型(當x???時)分子之導數為?1???2xln?1????0?x???x?1?x?比?1??復雜得多，且求導不易，因而此法不可取；另想別法，只得將?1??1??按冪指函數法處理如下。?x?x2??1?x?x2 18 f(x)?e?1?x2ln?1???x?x?，只求出limx2ln?1???x即可，易見

x????1?x?0????L?x2ln?1???x為???型未定式，需化為型或型，于是可用羅比達

0??x?法則解之，當然將ln?1??展成泰勒公式，也可解之。

解法一 由羅比達法則知

???1???1??lim?x2ln?1???x??limx?xln?1???1?x???x??x????x????1?xln?1???1?x??limx??x?1 1?1?ln?1???x?1?x?lim?x??(?1)x?2x?1?1?2?1?xx1(1?x)2?lim??x??22x?3??1?x?則I?e??1??lim?x2ln?1???x?x????x???e

?12——用冪指數函數處理法與羅比達法則求極限。

y21解法二 令y?，由泰勒公式知ln(1?y)?y??(y2)，2x則111112ln(1?y)?????0(y)??(y?0)，22y2y2y??1??lim?x2ln?1???x?x????x??因而I?e?e

?12——用冪指數函數處理法與泰勒公式求極限。例6解題方法小結：

1°某些問題，看似用羅比達法則解之，但較麻煩；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°冪指數函數處理法：形如f(x)g(x)的函數稱為冪指數函數，其中f(x)?0。遇見這類問題，一般是將其恒等變形如下形式來處理：f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，這就是冪指數函數處理法。本例的每種解法中，均用到此法。

(四)判斷函數極限存在與不存在的方法

1、判斷函數極限存在的方法

(1)求出函數極限，即已斷定函數極限存在，因而(三)中各法適用。(2)用函數極限柯西準則。(3)用單調有界函數定理。(4)用歸結原則的推論。

(5)證明函數的上極限與下極限相等。(6)反證法、變量代換及它法。

2、判定函數極限不存在的方法

(1)由極限定義而來——極限定義的否命題

對任何實數A，limf(x)?A；即對任何實數A，存在某一?0?0，對

x?x0任何??0，?x??U0(x0,?)，使得f(x?)?A??0，則limf(x)不存在。

x?x0(2)由柯西準則而來——柯西準則的否命題。

x?x0limf(x)不存在?存在某一?0?0，對任何??0，?x?,x???U0(x0,?)，使得f(x?)?f(x??)??0。

(3)左、右極限關系定理的否命題

左極限與右極限均存在且不等；或左極限與右極限中至少有一個不 20 存在，則極限不存在。

(4)歸結原則的否命題

?,xn?a,xn??a,xn?a(n??)，xn??a(n??)，存在兩個點列xn,xn?)；或存在一個點列xn,xn?a,xn?a(n??)，但但limf(xn)?limf(xnn??n??n??limf(xn)不存在，則limf(x)不存在。

x?a(5)上極限與下極限關系的充要定理的否命題。上極限與下極限不等，則極限不存在。

(6)運算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，則lim[f(x)?g(x)]不存在。

x?x0x?x0x?x0(7)反證法，變理代換法及其它。

?111?例8 1)設f于[1,??)連續可微，且f?(x)?2?ln(1?)? ?x?f(x)?1?x求證：limf(x)存在。(吉林大學)x?x0分析

要證limf(x)存在，則f的表達式在題設中沒有給出，但題設x???中給出了f?表達式。

由此表達式，立知f?(x)?0，則f為遞增的，因而聯想到單調有界定理去試之，這樣只要探究出f的上有界性即可。為此，必須將f與已知的f?聯系上，由于已知f?連續，則由牛頓——萊布尼茲公式知xxf(x)??f?(t)dt?f(1)，于是只要證出?f(t)dt有上界即可，這就需要對11f?(t)加強不等式。

1?1?x?1?1?ln?1???，1?x?x1?x1x證明

因x?1，則 21

?111???于是f?(x)?2?ln?1????0，?f(x)?1??x???x?則f在[1,??)上單調增加，又因

f?(x)??11111?1??ln?1??????xxx?1xx?1?x?x?1?x11??x?x?1x?x?1x?x?1111???3x2x2x2f?連續，由牛頓——萊布尼茲公式知

xx

f(x)?f(1)??f?(t)dt??1112t32dt?1?1?1 x則f(x)?1?f(1),?x?[1,??)。

因而f在[1,??)上單調且有上界，由單調有界定理知limf(x)存在。

x???例9 證明limsin不存在。

x?01x解法一 ?點到xn?12n???2??,xn1,n?1,2,3,?，且xn?0，n??)，由歸結原是知limsin??0(n??)，但limf(xn)?1?0?limf(xnxnn??n??x?01不存x在。

——用歸結原則的否命題證明函數極限不存在。

解法二

分析 用柯西準則的否命題試解之。此時，要證存在某一?0?0，對任何??0,?x?,x??,0?x???,0?x????，但f(x?)?f(x“)??0。需要找?0,x?,x??由于f(x)?sin為三角函數，不妨取特殊的函數值，例如，1xf(x?)?1,f(x??)?0則f(x?)?f(x??)?1?11，取?0?。由于f(x?)?1,f(x??)?0，22解得x??12n???2,x???11，則,n?1,2,3?，為簡便起見，取x???2n?n???1?0?x??x??，令x”??，解得n?1?1，則x?,x??均以找到。，取n0?? ?2???2????1??1，因而 解法二 ??0?，對任何??0，取n0???2??2???0?x??12n0???2?11??，??，及0?x???2n0?2n0?但f(x?)?f(x??)?sin1limsin不存在。x?0x111?sin?1???0，由柯西準則的否命題知x?x??2證明函數極限存在或不存在的方法總結：

何種情況下選用何種方法？一般規1?證明函數極限存在的方法很多，律是：當函數以抽象形式給出時，多用柯西準則，有時也用歸結原則推論。當函數以具體形式給出時，多用單調有界定理或兩邊夾定理，有時也用柯西準則及其它方法，特別當函數為具體的分段函數時，用左、右有極限解之。當題設中函數關系是以不等式給出時，則用極限不等式性、兩邊夾定理、上極限與下極限相等諸法中之一試解之。

2?證明函數極限不存在的方法也很多，當函數以抽象形式給出時，多用柯西準則的否命題；當函數以具體形式給出時，多用歸結原則的否命題，上極限與下極限不等或者運算法則，固然也用柯西準則；特別當函數為具體的分段函數時，宜用左、右極限試解之。參考文獻：

［1］黃玉民，李成章，數學分析。北京：科學出版社，1999。

54—76 ［2］數學分析，華東師范大學。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等數學附冊學習輔導與習題選解。同濟大學應用數學系編，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］數學分析習題集題解，吉米多維奇、費定暉編，濟南：山東科學技術出版社，1999.9。

27—50 ［5］劉廣云，數學分析選講，哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000。

119—128

第三篇：第一章函數與極限

《函數與極限》重難點

電信1003班 ? 函數

1.定義域與定義區間的關系。

2.映射的種類及存在條件。

3.求函數定義域的基本原則（7條）。

4.幾種特殊的函數類型(絕對值函數、符號函數、取整函數)。

5.基本初等函數、初等函數、簡單函數的對比。分段函數不一定

是初等函數哦。

6.復合函數的分解及原則。

7.雙曲函數、反雙曲函數的函數式、圖像、及性質。

? 函數的極限

1.兩種極限的定義、比較以及符號語言。

2.極限的性質：唯一性、有界性、局部保號性，函數極限與數列

極限的關系以及對它們的證明。

3.函數極限的證明方法及語言的表述，左右極限的求法及意義。

4.無窮小及無窮大的定義，兩個定理及證明。

5.無窮小的比較：高階、低階、同階、K階無窮小，常見等價無

窮小及應用。

6.極限的運算法則:6個定理4個推論。

7.函數的連續性與間斷點。連續的定義及符號語言，連續的條件，單側連續的求法，證明判斷某點連續的方法，間斷點的定義、種類及判斷分類原則。

8.閉區間上函數的性質：有界性、最值定理、零點定理、介值定

理及推論。

9.有關復合函數的性質及運算。

10.函數的三種漸近線及求法。（P76）

11.函數符號和極限符號的對換。

? 數列的極限

1.定義及理解（8個字）

2.性質：唯一性、有界性、保號性。

3.數列發散與收斂的判斷及證明。

4.數列極限與函數極限的關系，以及數列極限的證明（幾個定

理）。

? 極限存在準則及兩個重要極限

1.夾逼準則（適當的放縮）。

2.單調有界準則：判斷極限存在與否。

3.兩個重要極限的證明、特征、變形及應用。

? 課后習題推薦

P22-13P31-4,5P38-7,8P42-6,7P49-4,5P56-4P60-4P65-4,5,6P70-4.6,5P74-1,2,3,4,5,6P75-9.5,9.6P76-14

李金勝2010-11-6

第四篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

三． 等價無窮小：

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第五篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x