第一篇：函數單調性定義證明

用函數單調性定義證明

例

1、用函數單調性定義證明:

(1)為常數)在 上是增函數.(2)在 上是減函數.分析：雖然兩個函數均為含有字母系數的函數，但字母對于函數的單調性并沒有影響，故無須討論.證明:(1)設

則 是 上的任意兩個實數，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)設在 是 上是增函數.上的任意兩個實數，且，則

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是減函數.小結：由(1)中所得結論可知二次函數的單調區間只與對稱軸的位置和開口方向有關，與常數 無關.若函數解析式是分式，通常變形時需要通分，將分子、分母都化成乘積的形式便于判斷符號.根據單調性確定參數

例

1、函數

在上是減函數，求的取值集合.分析：首先需要對 前面的系數進行分類討論，確定函數的類型，再做進一步研究.解：當

具備增減性.當，解得

.故所求的取值集合為

.時，函數此時為，是常數函數，在上不時，為一次函數，若在上是減函數，則有

小結：此題雖比較簡單，但滲透了對分類討論的認識與使用.

第二篇：專題：函數單調性的證明

函數單調性的證明

函數的單調性需抓住單調性定義來證明，這是目前高一階段唯一的方法。

一、證明方法步驟為：

① 在給定區間上任取兩個自變量x1、x2且x1＜x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商（分母不為零）

③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結論，確定函數的單調性。

在做差比較時，我們常將差化為積討論，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（無理式）、配方等手段。

二、常見的類型有兩種：

（一）已知函數的解析式：

1例1：證明：函數f?x?=在x∈（1，+∞）單調遞減

x-

1例2：證明：函數f?x?=x+x+1在x∈R時單調遞增

3[1，+?）時單調遞增 例3：證明：函數f?x?=x-1在x∈2

例4：討論函數f?x?=x+

1在（1，+?）的單調性，并求最小值 x-1

例5：求函數f?x?= x+2的單調區間 x-1+?）單調遞增 練習：

1、證明函數f?x?=x+（a＞0）在（a，2、討論函數f?x?=1+x-x的單調性

2ax

（二）f?x?抽象函數的單調性：

抽象函數的單調性關鍵是抽象函數關系式的運用，同時，要注意選擇作差還是作商，這一點可觀察題意中與0比較，應作差；與1比較，應作商。如下三例：

例1：已知函數滿足x、y∈R時，f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞0時，＞0.證明：f(x)在R上單調遞增.例2：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.例3：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，1.若f(x)?0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.練習：

1、已知函數

f?x?對于任意的x、y∈R，f?x?+f?y?=f?x+y?，且當x＞0時，f?x?＜0；f?1?=-23.f(x)＞f(x)＞總有（1）求證：f?x?在R上是減函數

（2）求f?x?在[-3，3]上的最大值與最小值

2、已知函數f?x?的定義域為R，且m、n∈R，恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1，且f?-＞-?1??=0，當x?2?1時，f?x?＞0.2（1）求證：f?x?是單調遞增函數（2）求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數f?x?恒為正，且滿足f?x+y?=f?x?f?y?，當x＞0時，f?x?＞1.（1）證明：f?x?在R上單調遞增.2（2）若函數f?x?的定義域為[-1,1]時，解不等式fx-1＞f?2x?

??

4、函數f?x?的定義域為R，對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1，且x＞0時，f?x?＞1（1）求證：f?x?是R上的增函數

2（2）若f?4?=5，解不等式f3m-m-2＜3

??3

第三篇：函數的單調性證明

函數的單調性證明

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數．

2．求證：函數f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=

在定義域為[0，+∞）內是增函數．

4．應用函數單調性定義證明：函數f（x）=x+在區間（0，2）上是減函數．

第1頁（共23頁）

5．證明函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數．

6．證明：函數f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調性．

7．證明：函數y=

在（﹣1，+∞）上是單調增函數．

8．求證：f（x）=

在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

9．用函數單調性的定義證明函數y=

在區間（0，+∞）上為減函數．

第2頁（共23頁）

10．已知函數f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）若

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數a的取值范圍．

11．證明：函數f（x）=

在x∈（1，+∞）單調遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數，在[1，+∞]上是增函數．

13．判斷并證明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的單調性．

14．判斷并證明函數f（x）=x+在區間（0，2）上的單調性．

第3頁（共23頁）

15．求函數f（x）=的單調增區間．

16．求證：函數f（x）=﹣

﹣1在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

17．求函數的定義域．

18．求函數的定義域．

19．根據下列條件分別求出函數f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4頁（共23頁）

21．求下列函數的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數f（x）為一次函數，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函數y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5頁（共23頁）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函數f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函數f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6頁（共23頁）

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函數的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函數滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函數f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數f（x）的解析式．

第7頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函數f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函數f（）=+1，求函數f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8頁（共23頁）

第9頁（共23頁）

函數的單調性證明

參考答案與試題解析

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數． 【解答】證明：設x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數．

2．求證：函數f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數f（x）在（0，）上遞減，設≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數f（x）在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=在定義域為[0，+∞）內是增函數．

【解答】證明：設x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數．

4．應用函數單調性定義證明：函數f（x）=x+在區間（0，2）上是減函數． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=

；

；

因為0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數．

5．證明函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數． 【解答】解：設x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11頁（共23頁）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數．

6．證明：函數f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因為0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函數在[0，+∞）是單調遞增函數．

7．證明：函數y=

在（﹣1，+∞）上是單調增函數．

=1﹣

在在區間（﹣1，+∞），【解答】解：∵函數f（x）=可以設﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區間（﹣∞，0）上為增函數；

8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

第12頁（共23頁）

【解答】證明：設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，則x1x2＞0，此時f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時函數單調遞增．

若0＜x1＜x2，則x1x2＞0，此時f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時函數單調遞增． 即f（x）=

9．用函數單調性的定義證明函數y=【解答】解：∵函數y=可以設0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在區間（﹣∞，0）上為減函數；

10．已知函數f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）若＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數a的取值范圍．

﹣

=

＞0，在區間（0，+∞）上為減函數． 在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

在區間（0，+∞），【解答】（Ⅰ）證明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）解：∵＞0對任意x∈[4，5]恒成立，第13頁（共23頁）

∴x﹣a＞0對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．證明：函數f（x）=

在x∈（1，+∞）單調遞減．

【解答】證明：設x1＞x2＞1，則：

；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）單調遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數，在[1，+∞]上是增函數． 【解答】證明：①在（0，1）內任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣

；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是減函數． ②在[1，+∞）內任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14頁（共23頁）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函數．

13．判斷并證明f（x）=【解答】解：f（x）=證明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的單調性． 在（﹣1，+∞）上的單調遞減．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判斷并證明函數f（x）=x+在區間（0，2）上的單調性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15頁（共23頁）

在（﹣1，+∞）上的單調遞減．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是單調減函數．

15．求函數f（x）=的單調增區間．

=1﹣的單調遞增區間為【解答】解：根據反比例函數的性質可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案為：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求證：函數f（x）=﹣

﹣1在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

【解答】證明：設x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

17．求函數的定義域．

【解答】解：根據題意，得，解可得，故函數的定義域為2≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函數的定義域．

第16頁（共23頁）

【解答】解：由故函數定義域為{x|x＜}

．

19．根據下列條件分別求出函數f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函數的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數f（x）為一次函數，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17頁（共23頁）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函數f（x）為一次函數，設f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函數y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，則2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等號兩邊同時以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函數f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函數f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數f（x）．

第18頁（共23頁）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0時，x+≥2且函數f（x+）=x2+（）2=設t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函數f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，聯立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19頁（共23頁），．

28．已知函數f（【解答】解：令t=則由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，則4b=8，解得b=2，此時f（x）=3x+2，若a=﹣3，則﹣2b=8，解得b=﹣4，此時f（x）=3x﹣4．

31．求下列函數的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20頁（共23頁）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），則x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函數滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=則f（t）=4（）2﹣6?

；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，則x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函數f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數f（x）的解析式． 【解答】解：設f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，設x+2=t，則x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函數f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，則x=t+2，代入原函數得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 則函數f（x）的解析式為f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：設∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，則t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函數f（【解答】解：令）=

+1，求函數f（x）的解析式．

=t（t≠1），則=t﹣1，第22頁（共23頁）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）變形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式為f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化為（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化簡可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23頁（共23頁）

3，

第四篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第五篇：復合函數的單調性的證明

復合函數的單調性的證明

例

1、已知函數y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R，值域分別是?0,???與???,0?，在R上f(x)是增函數而g(x)是減函數，求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數.分析：證明的依據應是減函數的定義.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1?x2，則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)

?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?

?f(x)是R上的增函數，g(x)是R上的減函數，且x1?x2.?f(x1)?f(x2)，g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0，g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域為?0,???，g(x)的值域為???,0?，?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)

?F(x)在R上為減函數.小結：此題涉及抽象函數的有關證明，要求較高，此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項的技巧，它也應是源于單調性只能比較同一個函數的某兩個函數值，必須構造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.