第一篇：《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例

《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例

一、教學(xué)目標(biāo):

(1)知識與技能：理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，初步掌握判斷 函數(shù)單調(diào)性的方法;

(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養(yǎng)學(xué)生 從圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，并用數(shù)學(xué)語言加以刻畫的能力，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

(3)情感態(tài)度與價值觀：在學(xué)習(xí)中，體驗數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和應(yīng)

用價值，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

二、教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性并形成概念;

教學(xué)難點：將函數(shù)單調(diào)性的圖形語言或直觀語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 語言，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

三、《函數(shù)單調(diào)性》 教學(xué)過程：

在下一頁用圖表說明。

《函數(shù)單調(diào)性》 教學(xué)過程

第二篇：《函數(shù)單調(diào)性》教學(xué)案例

《函數(shù)單調(diào)性》教學(xué)案例

1.【案例背景】

“函數(shù)的單調(diào)性”是新課標(biāo)人教版《數(shù)學(xué)·1》第一章第三節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。“課標(biāo)”規(guī)定兩個課時，所選案例為第一課時。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條基本性質(zhì)，從知識結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生研究函數(shù)整體性質(zhì)的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內(nèi)容承前啟后，解決有關(guān)的函數(shù)問題，這一節(jié)學(xué)好了，學(xué)生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產(chǎn)生正遷移作用。

2.【教學(xué)內(nèi)容分析】

首先，從單調(diào)性知識本身來講.學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個階段，第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識；第二階段是在高一進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，又為高三的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

其次，從函數(shù)角度來講.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學(xué)生對于這些概念的認(rèn)識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).3.【學(xué)情分析】

高一的學(xué)生正處于經(jīng)驗邏輯思維發(fā)展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學(xué)生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應(yīng)”卻需要很大的努力的。函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是利用定量的方法來研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，如何將圖形特征用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一．另一難點是學(xué)生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達(dá)．

因此首先要重視學(xué)生的親身體驗：將新知識與學(xué)生的已有知識建立了聯(lián)系．如：學(xué)生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)識。運(yùn)用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程．充分展現(xiàn)學(xué)生將函數(shù)圖象（形）的特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過程． 最后重視學(xué)生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學(xué)生動手去實踐運(yùn)用定義．

4.【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題1：請同學(xué)們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學(xué)生獨立思考）

【設(shè)計意圖】通過生活實例，讓學(xué)生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認(rèn)識，讓學(xué)生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相關(guān)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心。

生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二．借助圖象，直觀感知

問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數(shù)圖象，回答下面兩個問題：

⑴分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的，在哪個區(qū)間是下降的？

【設(shè)計意圖】順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（小組合作探求）

生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，二次函數(shù)y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準(zhǔn)確嗎？

生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語言把這兩個函數(shù)圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

【設(shè)計意圖】有感性上升到理性。（給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間）

這時學(xué)生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運(yùn)動情況，讓學(xué)生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數(shù)隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。師（面向全體學(xué)生）：大家同意生4的回答嗎？

生4：老師，我有補(bǔ)充，應(yīng)該說：該函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。師：生5補(bǔ)充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對應(yīng)區(qū)間上的變化情況，那么函數(shù)y?x2呢？ 生5：函數(shù)y?x2在區(qū)間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的減??；在區(qū)間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。

師：在數(shù)學(xué)上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。

五、鞏固概念，適當(dāng)延展

練習(xí)2：證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù)． 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2.課后探究：

研究函數(shù)y?x?1(x?0)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖． x 在整個教學(xué)過程當(dāng)中收獲了以下幾點心得：

1、概念教學(xué)就是對知識發(fā)生過程的了解，數(shù)學(xué)概念是一系列常識不斷精細(xì)化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學(xué)生意識到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)認(rèn)知上的不平衡，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力。

2、概念形成困難的原因在于新舊知識結(jié)構(gòu)上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學(xué)生認(rèn)知水平、抽象水平與新內(nèi)容的要求落差大等），所以解決的策略應(yīng)是要培植知識的生長點，搭建恰當(dāng)?shù)哪_手架。為此，我循序漸進(jìn)、螺旋式地設(shè)計了問題組和運(yùn)用了信息技術(shù)，是學(xué)生從“形”到“數(shù)”有了清新的認(rèn)識。

第三篇：函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案例

函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案例

【教材分析】

《函數(shù)單調(diào)性》是高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章第三節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個基礎(chǔ)知識點，是研究和討論初等函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。掌握本節(jié)內(nèi)容不僅為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)打下理論基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。【教學(xué)目標(biāo)】

知識與技能：

1．通過生活中的例子幫助學(xué)生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。2．學(xué)會應(yīng)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義。過程與方法：

1．通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學(xué)生明白考慮問題要細(xì)致，說理要明確。情感與態(tài)度：

1．通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象。

2．通過生活實例感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力和數(shù)形語言轉(zhuǎn)化的能力?！局攸c難點】

重點：函數(shù)單調(diào)性概念的理解及應(yīng)用。難點：函數(shù)單調(diào)性的判定及證明。關(guān)鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?！窘谭ǚ治觥?/p>

為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教法上我采取了：

1．通過學(xué)生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語句，通過學(xué)生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學(xué)生主體參與的同時，不可忽視教師的主導(dǎo)作用，要教會學(xué)生清晰的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚㈨樌赝瓿蓵姹磉_(dá)。【學(xué)法分析】

在教學(xué)過程中，教師設(shè)置問題情景讓學(xué)生想辦法解決；通過教師的啟發(fā)點撥，學(xué)生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結(jié)到判斷函數(shù)的單調(diào)性。然后通過對函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)理解，最終把問題解決。整個過程學(xué)生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中；同時讓學(xué)生體驗到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度研究問題的習(xí)慣?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】

（一）問題情境

1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”?！鞍嗽率顺?，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態(tài)奇觀，當(dāng)江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數(shù)人的心。

如何用函數(shù)形式來表示，起和落？

2．教師和學(xué)生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。

如何用學(xué)過的函數(shù)圖象來描繪這些成語？

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學(xué)生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解，并請學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，這樣做可使教學(xué)過程富有情趣，可激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教學(xué)起點的設(shè)定也比較恰當(dāng)，學(xué)生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問題1：觀察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖象（實際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。

2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x時，我們知道，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢?數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數(shù)值y隨x的增大而減小。

函數(shù)這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。

設(shè)計意圖：學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性這一概念的學(xué)習(xí)上有三個認(rèn)知基礎(chǔ)：一是生活體驗，二是函數(shù)圖象，三是初中對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識。對照繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的描述的定義，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的符號化建構(gòu)，與學(xué)生的認(rèn)知起點銜接緊密，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）建構(gòu)概念

問題3：如何用符號化的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？

對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

單調(diào)增函數(shù)的定義：

問題4：如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？ 2可以通過類比的方法由學(xué)生給出。

設(shè)計意圖：通過師生雙邊活動及學(xué)生討論，可以讓學(xué)生充分參與用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)單調(diào)性的全過程，讓他們親身體驗數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴(yán)密。讓他們充分感悟數(shù)學(xué)概念符號化的建構(gòu)原則。問題4則要求學(xué)生結(jié)合圖象化單調(diào)增函數(shù)的定義，通過類比的方法，由學(xué)生自己得到單調(diào)減函數(shù)的概念，在這個過程中，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對“單調(diào)”兩字加深理解

漢語大詞典對“單調(diào)”的解釋是：簡單、重復(fù)而沒有變化。2．呼應(yīng)引入，解決問題情境中的問題

如：y?2x?1的單調(diào)增區(qū)間是(??,??)；y?3．單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì) 如：函數(shù)y?上減函數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結(jié)論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數(shù)。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數(shù)，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx

1）。

2設(shè)計意圖：學(xué)生對一個概念的認(rèn)識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延。在學(xué)習(xí)如何證明一個函數(shù)的單調(diào)性之前，先與學(xué)生一起探討怎樣才能否定一個函數(shù)的單調(diào)性對幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念尤為重要，可以加深學(xué)生對“任意”兩字的理解。

（五）運(yùn)用概念

通過兩例，教師要向?qū)W生說明：

1．判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：①觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察；②定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行驗證；③分解法：對函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡單函數(shù)的組合。

2．概括出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習(xí)：作出函數(shù)y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調(diào)區(qū)間。

設(shè)計意圖：單調(diào)性證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證問題，通過本例，要讓學(xué)生理解判斷函數(shù)單調(diào)性與證明函數(shù)單調(diào)性的差別，掌握證明函數(shù)單調(diào)性的程序，并深入理解什么是代數(shù)證明，代數(shù)證明要做什么事。

（六）回顧總結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，單調(diào)區(qū)間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數(shù)的單調(diào)性，從中體會了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。

第四篇：函數(shù)單調(diào)性教學(xué)案例分析

“函數(shù)的單調(diào)性”案例分析 連江一中數(shù)學(xué)組 李鋒

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程的體驗，讓學(xué)生進(jìn)行深入的思考和全方位的探索。對于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力將是十分有利的?，F(xiàn)以《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)實例來進(jìn)行分析：

一、案例

課題：函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）

二、實施過程（注：課堂實錄已經(jīng)簡化）

1．問題引入

師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內(nèi)，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設(shè)其函數(shù)解析式：y=f(x);x?[0,24]

師： “在哪些時間段內(nèi)，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內(nèi)，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）

師：在某一時間段內(nèi)水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，3]上，是單調(diào)遞增函數(shù)。同理，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[3,9]上是單調(diào)遞減函數(shù)。這就是我們要研究的函數(shù)的又一特性——函數(shù)的單調(diào)性。2．定義探究

師：在某個區(qū)間上：①函數(shù)值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。②函數(shù)值Y隨X的增大而減?。▓D象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

提出問題1：請同學(xué)仔細(xì)閱讀課本中函數(shù)單調(diào)性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達(dá)了該意思？

生：我認(rèn)為是一致的．定義中的“當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關(guān)系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)．這就是數(shù)學(xué)的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關(guān)系，就刻劃出了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的性質(zhì)特征，把文字語言表達(dá)為數(shù)學(xué)語言，簡單明了。

師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關(guān)鍵的詞語或句子至關(guān)重要？能不能把它找出來。（有的同學(xué)回答不準(zhǔn)確）

生1：我們認(rèn)為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？

生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關(guān)鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關(guān)鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？

生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上?。?師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

師：能不能構(gòu)造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？

（讓學(xué)生思考，但有些學(xué)生仍有困難，我設(shè)計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：

①函數(shù)y=x2 在(-∞,0)上是減函數(shù)，在[0，+∞]上是增函數(shù)，所以函數(shù) y=x2 在定義域R上是增函數(shù)或是減函數(shù)。

②已知函數(shù)f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1f(x2)，所以函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上是減函數(shù)。

③若函數(shù)y=1/x在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）也單調(diào)遞減，則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。

（三個問題的提出，引起很大凡響，學(xué)生發(fā)言踴躍，互相討論、補(bǔ)充，把本節(jié)課推向高潮）師：因此，要判定一個函數(shù)的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關(guān)鍵，在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應(yīng)用

提出問題4：判斷函數(shù)f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明。解：略

師：易知函數(shù)f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調(diào)遞減函數(shù)，請同學(xué)歸納一下要證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)性的方法和步驟？ 第八組：①設(shè)量；②作差；③判斷；④定論。

4．課堂小結(jié)（由學(xué)生回答）（略）

5．布置作業(yè)

（略）

三、案例分析

（一）本節(jié)課的設(shè)計思路 1．知識目標(biāo)設(shè)計：

（1）在探究中，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。

（2）熟練運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的概念證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。2．能力目標(biāo)設(shè)計：

（1）通過對單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展的分析過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、邏輯思維能力;（2）通過本節(jié)課的教學(xué)探究，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言代替文字語言的表達(dá)能力。提高對數(shù)學(xué)美的鑒賞能力;（3）對學(xué)生進(jìn)行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學(xué)過程設(shè)計：

針對本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)過程分為三個階段：

（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學(xué)生的興趣，鍛煉學(xué)生的觀察能力，又直逼主題，學(xué)生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學(xué)生函數(shù)單調(diào)性的感性認(rèn)識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導(dǎo)入主題。

（2）定義探究階段：本節(jié)課的中心內(nèi)容，圍繞三個問題的提出，對定義進(jìn)行探究，層層深入，發(fā)動學(xué)生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，及時掌握學(xué)生的動向，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。

（3）概念應(yīng)用階段：函數(shù)的單調(diào)性定義應(yīng)用只設(shè)計了問題4，這一過程由學(xué)生來完成，使學(xué)生自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨立探究問題，在解決問題的過程中進(jìn)行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗進(jìn)行反思，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。

（二）本案例課堂教學(xué)的特點

1、抓住課堂教學(xué)的基本原則

(1)主體性原則：尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，教師創(chuàng)造性地教，學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)，使教、學(xué)的主體共同參與整個教學(xué)過程。在本案例課堂教學(xué)活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學(xué)生，學(xué)生主動參與。特別是問題2、3的提出，學(xué)生產(chǎn)生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學(xué)生開展了互相交流和討論，適時介入，和學(xué)生一起相互啟發(fā)和梳理，并洞察課堂中發(fā)生地各種問題，準(zhǔn)確地判斷發(fā)生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現(xiàn)師生相互平等，教學(xué)相長的良好課堂氛圍。

(2)探索性原則：教師努力使教學(xué)活動富有探索性，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)進(jìn)行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，大膽聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過親身體驗獲取新知，把教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生自覺進(jìn)行探索新知的過程，使學(xué)生積極主動地在學(xué)習(xí)中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學(xué)生對單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解，探索到函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成了概念。同時培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)語言代替文字語言的表達(dá)能力，提高對數(shù)學(xué)美的鑒賞力。這一教學(xué)過程使學(xué)生認(rèn)識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結(jié)，把包含在概念中的復(fù)雜和隱蔽的內(nèi)涵，層層剝離，進(jìn)行多層面的展開，從而使教學(xué)由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質(zhì)。因為學(xué)生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節(jié)課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質(zhì)。把函數(shù)單調(diào)性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學(xué)生的思維素質(zhì)得以提升，促使學(xué)生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學(xué)會學(xué)習(xí)和思考，增長經(jīng)驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。

(3)實踐性原則：在教學(xué)中要重視理論聯(lián)系實際，要結(jié)合實例進(jìn)行教學(xué)，鼓勵學(xué)生動口、動腦、動手，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)概念的形成過程；要組織有效的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)到的知識去解決實際問題，使學(xué)生獲得運(yùn)用知識的能力。函數(shù)的單調(diào)性定義應(yīng)用只設(shè)計了問題5，典型的反比例函數(shù)，這一過程由學(xué)生來完成，但學(xué)生的證明過程也存在一定問題，老師再次強(qiáng)調(diào)定義，對照解答的層次性，再讓學(xué)生自主訂正，使學(xué)生自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨立探究問題，在解決問題的過程中進(jìn)行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗進(jìn)行反思、質(zhì)疑，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。問題5的提出起到前后呼應(yīng)，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節(jié)課的反饋，又是引發(fā)對本節(jié)課的思考。由于時間的關(guān)系，課上討論的并不透徹和完美，但給學(xué)生課后進(jìn)一步的思考、探究留下了空間。

(4)激勵性原則：要幫助學(xué)生實現(xiàn)成功，讓學(xué)生在學(xué)和做中能經(jīng)常感受到成功的喜悅和愉悅，認(rèn)識到自身的價值，以此來激勵學(xué)生的求知欲和成就感，從而培養(yǎng)學(xué)生的自尊心和自信心，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造動機(jī)和創(chuàng)造熱情，使學(xué)生能不斷地追求新知，積極進(jìn)取，勇于創(chuàng)新。

2、體現(xiàn)能力培養(yǎng)的指導(dǎo)思想

概念教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力；有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神；有利于培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。概念教學(xué)的基本目標(biāo)是幫助學(xué)生形成概念，而學(xué)生形成概念的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律。發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)造的一種重要形式，創(chuàng)造需要一種實踐活動的過程。現(xiàn)代著名心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發(fā)現(xiàn)包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式?！庇纱丝梢钥闯?，學(xué)生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發(fā)現(xiàn)。在過程中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會，給學(xué)生充分的思考空間，讓學(xué)生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展過程，進(jìn)行數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。

(三)本案例課堂教學(xué)引發(fā)的反思

1、概念教學(xué)的方法應(yīng)靈活多樣 中學(xué)數(shù)學(xué)教材展現(xiàn)在學(xué)生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數(shù)學(xué)概念和思想方法的形成，發(fā)展過程，從而也掩蓋了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)應(yīng)用所經(jīng)歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學(xué)生造成厭惡的感覺。所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)不應(yīng)簡單地給出定義，而應(yīng)加強(qiáng)概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學(xué)時應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，方法靈活多樣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動中來，親身體驗、主動建構(gòu)，使學(xué)生了解知識的發(fā)生與發(fā)展的背景和過程，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)感到樂趣。為此，從引進(jìn)新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學(xué)環(huán)境，揭示概念的本質(zhì)屬性，并用簡單的文字加以表達(dá)，在對概念進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和概念的應(yīng)用，形成一個生動的概念發(fā)生的過程，這一過程需分層次遞進(jìn)，低層次的理解是高層次理解的基礎(chǔ)，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。

2、正確認(rèn)識和處理探究過程與時間限定的矛盾

探究活動比較費(fèi)時間，教師都很重視課堂效率，而且對調(diào)控教學(xué)節(jié)奏，頗有一些辦法，是不是一發(fā)現(xiàn)學(xué)生得到了正確的結(jié)論，就讓其回答，并結(jié)束這個探究過程？由于教學(xué)時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅(qū)使下，往往追求進(jìn)度，多講幾個例題，忽略學(xué)生的經(jīng)歷。而新課程標(biāo)準(zhǔn)則強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知”、“觀察發(fā)現(xiàn)”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學(xué)生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數(shù)學(xué)概念的構(gòu)作，數(shù)學(xué)思維的建立，數(shù)學(xué)意識的形成，所以，教師應(yīng)設(shè)計好每節(jié)課的內(nèi)容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。

落實新課程改革精神，并不是

一、兩節(jié)課的事，應(yīng)該體現(xiàn)在課堂教學(xué)的每個環(huán)節(jié)和過程，教師要更新觀念，轉(zhuǎn)換角色，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。使課堂教學(xué)由知識型向能力型和實踐型轉(zhuǎn)化，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。能力增強(qiáng)了，學(xué)習(xí)成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。

第五篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。

關(guān)鍵點1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運(yùn)動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學(xué)階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強(qiáng)。其實，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因為只有達(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個整體來看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動態(tài)的數(shù)學(xué)對象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識.對于問題2，學(xué)生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴(kuò)大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強(qiáng)調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．

【教學(xué)重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計算機(jī)、投影儀． 【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識． 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性．讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過程的設(shè)計

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．