第一篇：函數的單調性教學設計

函數的單調性教學設計

江蘇省蘇州第十中學

吳鍔

【教材分析】

《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。【教學目標】

知識與技能：

1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。過程與方法：

1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態度：

1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。

2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力。【重點難點】

重點：函數單調性概念的理解及應用。難點：函數單調性的判定及證明。關鍵：增函數與減函數的概念的理解。【教法分析】

為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：

1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達?！緦W法分析】

在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。【教學過程設計】

（一）問題情境

1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。“八月十八潮，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數人的心。

如何用函數形式來表示，起和落？

2．教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。

如何用學過的函數圖象來描繪這些成語？

設計意圖：創設海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們 對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。

2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x2時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數單調性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢?數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數值y隨x的增大而減小。

函數這種性質稱為函數的單調性。

設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。

（三）建構概念

問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

對于區間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

單調增函數的定義：問題4：如何定義單調減函數呢？ 可以通過類比的方法由學生給出。

設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解

漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題

如：y?2x?1的單調增區間是(??,??)；y?3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數y?上減函數？

引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx

1）。

2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。

（五）運用概念

通過兩例，教師要向學生說明：

1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。

2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區間。

設計意圖：單調性證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，掌握證明函數單調性的程序，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事。

（六）回顧總結

本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題?！窘虒W反思】

1．給出生活實例和函數單調性的圖形語言，調動學生的參與意識，通過直觀圖形得出結論，滲透數形結合的數學思想。問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始。這里，通過問題，引發學生的進一步學習的好奇心。

2．給出函數單調性的數學語言。通過教師指圖說明，分析定義，提問等辦法，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的理解，滲透數形結合分析問題的數學思想方法。

3．有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究。

4．通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成。

5．讓學生體驗數學知識的發生發展過程應該成為這節課的一個重要教學目標。函數的單調性的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有價值的數學教育載體。

6．教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”，而不是“為教學設計學習”。通過對“函數單調性”教學設計，我對“為學習設計教學”有了更深的理解。如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；目標導向這是要教師分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務，是教學設計的關鍵；知識定位則好比是教師要預先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進的方法和策略；問題設計則好比是設計行程，恰當安排可以指引師生高效地向著目的地前行。本節課就是通過這樣的設計思想來安排教學設計的。

第二篇：函數單調性教學設計

函數單調性教學設計

關于函數的單調性習題課教學設計，本人在聽了專家的講解后感到受益匪淺，結合平時的教學，有些教學方面的心得如下，希望專家和同行批評指正。

本節課是高中數學新課程標準必修1的第2章函數里的函數基本性質中介紹的第一個性質。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數各類函數的單調性的基礎，而且函數單調性在解決函數變化趨勢、值域、最值、不等式等許多問題中有著廣泛的應用。對整個高中數學教學起著重要的奠基作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。下面我就這部分內容的習題教學提出一些不成熟的做法。

教學目標：

（1）在知識方面，通過習題訓練，使學生能加深對函數單調性概念的理解，進一步掌握判斷并證明函數的單調性方法、學會應用函數的單調性解決相關問題。

（2）在能力方面，培養學生歸納、抽象以及推理的能力，提高學生創新的意識，并滲透數形結合的思想。

（3）在價值觀和情感教育方面，讓學生在解題的過程中體驗數學美，培養學生樂于求索的精神，提高學生的數學修養，使其養成科學、嚴謹的研究態度。教學重點和難點：

本節課的教學重點是函數單調性的判定、證明及應用。其中的教學難點是函數單調性的應用和復合函數單調性的理解。教法和學法：

在教法上采用傳統的講練結合。在具體實施上，將采用計算機輔助教學的手段，為了貼切地服務于教學目標，課件的制作是為了能更好的講練習題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。而學生在學習過程中不僅要訓練知識技能，還要達到思維的訓練，因此這節課要以學生為主體，給學生充足的活動空間。作為教師，我要做好啟發和規范地指導，引領學生大膽地探索，并培養其嚴謹的數學品質。

教學過程設計：

大概分為復習回顧、例題講解、規律小結、鞏固練習四個版塊，最后布置作業。下面為每部分的具體構思。

1、復習分為概念回顧和基礎練習兩部分，預計費時7到8分鐘左右，其中概念為（1）函數單調性和單調區間的定義以及用定義證明函數單調性的步驟，（2）怎么判斷函數單調性及單調區間——可以用定義法，也可以從圖象上觀察。形式主要由學生口答。基礎練習部分選擇了5道小題目，課件形式給出，請學生口答，內容涉及單調性的理解，一次函數、二次函數的單調性，最后一題讓學生們畫出圖象，觀察圖象的“升降”寫出單調區間，滲透數形結合的思想，都是小題目，難度小，用時少，但緊扣概念，也讓學生迅速熱身，無形中抓住了學生的課堂注意力。

2、例題選擇方面：

關于例

1、試判斷函數f(x)?變式：討論函數f(x)?x(?1?x?1)的單調性并證明； x2?1ax(?1?x?1)的單調性。x2?1選擇這個題目是為了讓學生更好地掌握定義法證明函數單調性的方法和基本步驟，變式的選擇是為培養學生分情況討論的意識和能力，講解過程中要注意證明的規范性，進一步培養學生嚴謹、規范的科學態度和品質。

關于例

2、求函數y?x?2?1的值域。x?2函數單調性的一個很重要的應用是求函數的值域或最值，選擇這道題，教會學生利用單調性來求函數值域的方法。讓學生體會利用單調性求值域時的簡捷有效。豐富學生的知識體系。

關于例

3、已知函數f(x)是定義在(0,??)上的增函數，且f()?f(x)?f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)?1,解不等式f(x?5)?2

這是一道抽象函數的題目，對于求出f(1)、f(9)分別是0和2用的是賦值法，這是抽象函數中常用的方法，不等式變為f(x?5)?f(9)，應用函數單調性，將抽象函數函數值的大小關系，轉化為自變量之間的大小關系，即??x?5?9，提醒學生注意函數定義域！

?x?5?0選擇這個抽象函數的例子，目的就是讓學生體會并掌握怎么樣利用單調性轉化函數和自變量的大小關系。

關于例

4、已知f(x)是R上的減函數，g(x)??x2?4x，求函數h(x)?f(g(x))的單調增區間。

最終的那個函數明顯是個復合函數，函數g(x)圖象的對稱軸是x?2，開口向下，在[2,??)上遞減，又f(x)也遞減，所以[2,??)是個增區間。

本題小結：兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。

3、關于這部分的課堂小結：

我們可以應用函數的單調性求函數值域、解不等式，以及證明一些代數命題。

4、關于鞏固練習題目方面的選擇：

這部分選兩題，類型在例題中已出現，其中第一個要先證明函數的單調性，再求值域。而第二題則先要判斷單調性，再進行證明，確定了單調性之后再應用到三角形的問題中，使學生在解題的過程中體會在一些代數不等式證明中如何應用函數單調性的。

這部分讓學生自己做，用投影儀和板書結合，規范其書寫和論證。

5、關于作業布置方面：

結合本節課的講解內容，為進一步鞏固教學成果，在作業題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內容。一共有三大題，第一題是求單調區間，其中要用圖形，數形結合；第二題要利用例4的小結“兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。”；第三題是抽象函數題，與課上的例3類型一樣，讓學生課后練習鞏固。

以上是我對這部分習題教學方面的一些思考，希望得到專家的指正！

第三篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第四篇：函數的單調性教學設計

《函數的單調性》教學設計

設計理念

新課程背景下的數學教學既要注重邏輯推理，又要關注直覺思維的啟迪，不僅要讓學生學會，更要讓學生會學，要讓學生學習的過程成為其心靈愉悅的主動認知的過程．基于以上設計理念，對于本節課，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學媒體設計、教學過程設計及教學評價等六個方面進行簡單說明。

一、教材分析

函數的單調性是在研究函數的概念之后的第一個函數的性質，既是函數概念的延續和拓展，又為后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容奠定了基礎，同時為初高中知識的銜接起著承上啟下的作用。函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，對于進一步探索、研究函數的其他性質有很強的啟發與示范作用。根據函數單調性在教材中的地位和作用及課程標準的要求，本節課教學目標如下： 知識與技能

使學生理解函數單調性的概念，初步掌握判定函數單調性的方法； 過程與方法 通過探究活動滲透“ 數形結合”思想，使學生明白考慮問題要細致縝密，說理要嚴密明確。

情感態度與價值觀 感受數形結合的數學之美，使學生認識到事物在一定條件下可以相互轉化的辨證觀點

根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成．

雖然高一學生對函數單調性有一定的感性認識，但抽象思維能力還有待加強．因此，本節課的學習難點是函數單調性的概念形成與應用．

二、教法學法

1．在教法上采取了：通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性，從而正確形成概念 ． 2．在學法上重視了：讓學生利用圖形直觀啟迪思維，通過正、反例的構造，來完成從感性認識到理性思維的質的飛躍；讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題和分析解決問題的能力．

3．教學手段：借助信息技術輔助教學，提供直觀感性材料，他不僅可以激發學生的學習興趣，提高課堂效率，促進師生交流，提高課堂的交互性。

三、教學過程

下面我們來重點探討本節課的教學設計和整合點分析。

以課前學案的形式，布置個學習小組利用幾何畫板作出下列函數的圖象。意在健全學生的基礎認知結構，熟練幾何畫板的操作，同時可以感受函數圖象變化趨勢，為教學做好準備。

教學情境引入，采用天氣預報聲音文件和幻燈片同步播放的方式。在傳統教學模式中，恰當地創設情境往往受很多條件的限制，而幻燈片展示圖片資料方便快捷，天氣預報聲音文件的使用激發學生的學習興趣。

教師趁勢展開定義生成的探究活動。要生成定義就要由描述性語言過渡到數學語言，這是認知過程中一個質的飛躍。也是本節教學的一個難點。我借助幾何畫板的同步直觀演示，幫助學生探究增函數的一大重大特征：因變量隨著自變量的增大而增大。進一步引導學生探究發現，在某些區間因變量隨著自變量的增大而減小。自變量在給定區間變化的重要性。從而生成了增函數的概念。利用信息技術突破了本節課的教學難點。在定義生成的規程中，我們發現有大容量的板書，借助幻燈片展示文本信息，方便快捷。教師可以借助多媒體幫助學生分析圖象，進一步理解函數概念。

組織學生小組探究函數的單調性，并請小組代表展示探究成果。

學生剛接觸定義，運用并判斷函數單調性的能力有待提高.而小組合作可提高學習熱情，畫圖觀察便于學生先根據“形”判斷單調性；實物展示平臺展示繪圖成果便于繪圖經驗的示范與推廣．

在交流與練習中，觀察函數圖象規律是“數形”結合解題的關鍵，但手繪圖象往往耗時較長.學生借助幾何畫板軟件分析函數的單調性，信息技術的介入幫助學生“數形”結合解題，使其體會到手腦并用、成功解決問題的快樂．教師運用數學實驗室無線局域網絡的輔助教學,可將主機切換到各小組的操作界面。不僅實現了小組實驗表現和結論的展示，又實現了實驗資源的共享。解決了在傳統教學模式中，各小組間的交流與比較非常困難.作業布置，引導學生運用所學的知識解決生活中的常見問題“糖水加糖甜更甜”的生活現象。通過數學建模，構造以糖的份量為自變量的xy?濃度函數，通過操作幾何畫板，學生可以輕松地發現隨著糖x?1份量的增加，糖水的濃度也增大，從而運用數學知識解決了化學問題。也讓學生意識到知識來源于生活，更能應用于生活。

教學反思，本節課的教學是以實驗活動為中心，以探索數學規律為出發點，以學生的可持續發展探究能力為培養目標。是將信息技術與課堂教學整合的一次新的嘗試。在教學過程中，大量加工處理并使用了聲音、圖片、動畫、幾何畫板、實物展示平臺等多種信息技術，進而突出重點，突破難點。不僅把信息技術作為教學的輔助手段，也作為促進學生自主學習數學知識的認知工具和情感激勵工具。

教學評價。參與程度、合作意識、思考習慣、發現能力。尤其是在分小組實驗中，基礎薄弱的同學容易產生厭怠的情緒，而且承擔的任務量較小。針對這種現象，采用分層教學。

總之，這節課達到了預設與生成的辯證統一。從課后反饋的效果來看，我的教學是成功的。最后，是我的板書設計。謝謝大家！

（一）創設情境 提出問題

問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始．首先創設情景，通過兩個問題，引發學生學習的好奇心．

（問題情境）（播放中央電視臺天氣預報的音樂）．如圖為某地區2009年元旦這一天24小時內的氣溫變化圖，觀察這張氣溫變化圖：

[教師活動]引導學生觀察圖象，提出問題：

問題1：說出氣溫在哪些時段內是逐步升高的或下降的？

問題2：怎樣用數學語言刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

（二）探究發現 建構概念

[學生活動]對于問題1，學生容易給出答案．問題2對學生來說較為抽象，不易回答．

[教師活動]為了引導學生解決問題2，先讓學生觀察圖象，通過具體情形，例如，“t1=8時，f(t1)=1，t2=10時，f(t2)= 4”這一情形進行描述．引導學生回答：對于自變量8<10，對應的函數值有1<4.舉幾個例子表述一下.然后給出一個鋪墊性的問題：結合圖象，請你用自己的語言，描述“在區間［4，14］上，氣溫隨時間增大而升高”這一特征．

在學生對于單調增函數的特征有一定直觀認識時，進一步提出：

問題3:對于任意的t1、t2∈[4，16]時，當t1< t2時，是否都有f(t1)

[學生活動]通過觀察圖象、進行實驗（計算機）、正反對比，發現數量關系，由具體到抽象，由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調增函數概念的本質屬性，并嘗試用符號語言進行初步的表述。

[教師活動]為了獲得單調增函數概念，對于不同學生的表述進行分析、歸類，引導學生得出關鍵詞“區間內”、“任意”、“當家集體給出單調增函數概念的數學表述．提出：

問題4： 類比單調增函數概念，你能給出單調減函數的概念嗎？

最后完成單調性和單調區間概念的整體表述．

[設計意圖]數學概念的形成來自解決實際問題和數學自身發展的需要．但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學，這就需要讓學生置身于符合自身實際的學習活動中去，從自己的經驗和已有的知識基礎出發，經歷“數學化”、“再創造”的活動過程．剛升入高一的學生已經具備了一定的幾何形象思維能力，但抽象思維能力不強．從日常的描述性語言概念升華到用數學符號語言精確刻畫概念是本節課的難點．

時，都有

”，最后由大

（三）自我嘗試 運用概念

1．為了理解函數單調性的概念，及時地進行運用是十分必要的．

[教師活動]問題5：（1）你能找出氣溫圖中的單調區間嗎？

（2）你能說出你學過的函數的單調區間嗎？請舉例說明．

[學生活動]對于（1），學生容易看出：氣溫圖中分別有兩個單調減區間和一個單調增區間．對于（2），學生容易舉出具體函數如：，，并畫出函數的草圖，根據函數的圖象說出函數的單調區間．

[教師活動]利用實物投影儀，投影出學生畫的草圖和標出的單調區間，并指出學生回答時可能出現的錯誤，如：在敘述函數的單調區間時寫成并集．

[設計意圖]在學生已有認知結構的基礎上提出新問題，使學生明了，過去所研究的函數的相關特征，就是現在所學的函數的單調性，從而加深對函數單調性概念的理解．

2．對于給定圖象的函數，借助于圖象，我們可以直觀地判定函數的單調性，也能找到單調區間．而對于一般的函數，我們怎樣去判定函數的單調性呢？

[教師活動]問題6：證明在區間（0，+ ∞）上是單調減函數．

[學生活動]學生相互討論，嘗試自主進行函數單調性的證明，可能會出現不知如何比較與的大小、不會正確表述、變形不到位或根本不會變形等困難．

[教師活動]教師深入學生中，與學生交流，了解學生思考問題的進展過程，投影學生的證明過程，糾正出現的錯誤，規范書寫的格式．

[學生活動]學生自我歸納證明函數單調性的一般方法和步驟：取值、作差變形、定號、判斷．

[設計意圖]有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究．

（四）回顧反思 深化概念

[教師活動]給出一組題：

1、定義在R上的單調函數函數還是單調減函數？

2、若定義在R上的單調減函數取值范圍嗎？

[學生活動]學生，并通過問題，歸納總結本節課的內容和方法.[設計意圖]通過學生的互相討論，使學生在探求問題的解答和問題的解決過程中，深切體會本節課的主要內容和思想方法，從而實現對函數單調性認識的再次深化.[教師活動]作業布置：

（1）閱讀教材

（2）書面作業：

必做：教材 P43 1、7、11 選做：二次函數一嗎？

在［0，＋∞）是增函數，滿足條件的實數的值唯

滿足，你能確定實數的滿足，那么函數

是R上的單調增探究：函數在定義域內是增函數，函數有兩個單調減區間，由這兩個基本函數構成的函數的單調性如何？請證明你得到的結論．

[設計意圖]通過兩方面的作業，使學生養成先看書，后做作業的習慣．基于函數單調性內容的特點及學生實際，對課后書面作業實施分層設置，安排基本練習題、鞏固理解題和深化探究題三層．學生完成作業的形式為必做、選做和探究三種，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成．

四、教學評價

學生學習的結果評價當然重要，但是更重要的是學生學習的過程評價．教師應當高度重視學生學習過程中的參與度、自信心、團隊精神、合作意識、獨立思考習慣的養成、數學發現的能力，以及學習的興趣和成就感．學生熟悉的問題情境可以激發學生的學習興趣，問題串的設計可以讓更多的學生主動參與，師生對話可以實現師生合作，適度的研討可以促進生生交流以及團隊精神，知識的生成和問題的解決可以讓學生感受到成功的喜悅，縝密的思考可以培養學生獨立思考的習慣．讓學生在教師評價、學生評價以及自我評價的過程中體驗知識的積累、探索能力的長進和思維品質的提高，為學生的可持續發展打下基礎． 我相信赫爾巴特的名言：使教育過程成為一種藝術的事業！

第五篇：函數的單調性教學設計

函數的單調性教學設計

戴氏教育高中數學組

杜劍 【教材分析】

《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。【教學目標】

知識與技能：

1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。過程與方法：

1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態度：

1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。

2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力。【重點難點】

重點：函數單調性概念的理解及應用。難點：函數單調性的判定及證明。關鍵：增函數與減函數的概念的理解?！窘谭ǚ治觥?/p>

為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：

1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達?！緦W法分析】

在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣?！窘虒W過程設計】

（一）問題情境

遵義一天的天氣

設計意圖：用天氣的變化，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。

2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x2時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數單調性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢?數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數值y隨x的增大而減小。

函數這種性質稱為函數的單調性。

設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。

（三）建構概念

問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

對于區間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

單調增函數的定義：

問題4：如何定義單調減函數呢？ 可以通過類比的方法由學生給出。

設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解

漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題

如：y?2x?1的單調增區間是(??,??)；y?3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數y?上減函數？

引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數，能否說y?在定義域(??,0)(0,??)上xx1）。

2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生 一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。

（五）運用概念

通過兩例，教師要向學生說明： 1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。

2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區間。

設計意圖：單調性證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，掌握證明函數單調性的程序，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事。

（六）回顧總結

本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題?！窘虒W反思】

1．給出生活實例和函數單調性的圖形語言，調動學生的參與意識，通過直觀圖形得出結論，滲透數形結合的數學思想。問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始。這里，通過問題，引發學生的進一步學習的好奇心。

2．給出函數單調性的數學語言。通過教師指圖說明，分析定義，提問等辦法，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的理解，滲透數形結合分析問題的數學思想方法。

3．有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究。

4．通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成。

5．讓學生體驗數學知識的發生發展過程應該成為這節課的一個重要教學目標。函數的單調性的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有價值的數學教育載體。

6．教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”，而不是“為教學設計學習”。通過對“函數單調性”教學設計，我對“為學習設計教學”有了更深的理解。如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；目標導向這是要教師分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務，是教學設 計的關鍵；知識定位則好比是教師要預先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進的方法和策略；問題設計則好比是設計行程，恰當安排可以指引師生高效地向著目的地前行。本節課就是通過這樣的設計思想來安排教學設計的。