第一篇：《函數(shù)單調(diào)性》教學案例
《函數(shù)單調(diào)性》教學案例
1.【案例背景】
“函數(shù)的單調(diào)性”是新課標人教版《數(shù)學·1》第一章第三節(jié)的教學內(nèi)容?！罢n標”規(guī)定兩個課時，所選案例為第一課時。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條基本性質(zhì)，從知識結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在這之前，學生已經(jīng)學過函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學習過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調(diào)性是學生研究函數(shù)整體性質(zhì)的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內(nèi)容承前啟后，解決有關(guān)的函數(shù)問題，這一節(jié)學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產(chǎn)生正遷移作用。
2.【教學內(nèi)容分析】
首先，從單調(diào)性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學習，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高三的學習奠定基礎(chǔ)．
其次，從函數(shù)角度來講.函數(shù)的單調(diào)性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).3.【學情分析】
高一的學生正處于經(jīng)驗邏輯思維發(fā)展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是利用定量的方法來研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，如何將圖形特征用嚴謹?shù)臄?shù)學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達．
因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯(lián)系．如：學生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發(fā)現(xiàn)的過程．充分展現(xiàn)學生將函數(shù)圖象（形）的特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．
4.【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）
【設(shè)計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相關(guān)，進而激發(fā)學生的興趣，引發(fā)學生進一步學習的好奇心。
生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．
歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二．借助圖象，直觀感知
問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數(shù)圖象，回答下面兩個問題：
⑴分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的，在哪個區(qū)間是下降的？
【設(shè)計意圖】順應學生的認知規(guī)律。
（小組合作探求）
生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，二次函數(shù)y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？
生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。
⑵同學們能用數(shù)學語言把這兩個函數(shù)圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？
【設(shè)計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當?shù)乃伎紩r間）
這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數(shù)學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數(shù)隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？
生4：老師，我有補充，應該說：該函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對應區(qū)間上的變化情況，那么函數(shù)y?x2呢？ 生5：函數(shù)y?x2在區(qū)間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減小；在區(qū)間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。
師：在數(shù)學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。
五、鞏固概念，適當延展
練習2：證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù)． 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．
六、歸納小結(jié)，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié)
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．
(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2.課后探究：
研究函數(shù)y?x?1(x?0)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：
1、概念教學就是對知識發(fā)生過程的了解，數(shù)學概念是一系列常識不斷精細化的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發(fā)認知上的不平衡，產(chǎn)生學習的動力。
2、概念形成困難的原因在于新舊知識結(jié)構(gòu)上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內(nèi)容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當?shù)哪_手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設(shè)計了問題組和運用了信息技術(shù)，是學生從“形”到“數(shù)”有了清新的認識。
第二篇：函數(shù)的單調(diào)性教學案例
函數(shù)的單調(diào)性教學案例
【教材分析】
《函數(shù)單調(diào)性》是高中數(shù)學新教材必修一第二章第三節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學生已學習了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學中相當重要的一個基礎(chǔ)知識點，是研究和討論初等函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。掌握本節(jié)內(nèi)容不僅為今后的函數(shù)學習打下理論基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力?！窘虒W目標】
知識與技能：
1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。2．學會應用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義。過程與方法：
1．通過本節(jié)課的教學，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態(tài)度：
1．通過本節(jié)課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象。
2．通過生活實例感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學生的識圖能力和數(shù)形語言轉(zhuǎn)化的能力。【重點難點】
重點：函數(shù)單調(diào)性概念的理解及應用。難點：函數(shù)單調(diào)性的判定及證明。關(guān)鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?！窘谭ǚ治觥?/p>
為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，在教法上我采取了：
1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學生求知欲，調(diào)動學生主體參與的積極性。
2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹?shù)耐评?，并順利地完成書面表達?！緦W法分析】
在教學過程中，教師設(shè)置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發(fā)點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結(jié)到判斷函數(shù)的單調(diào)性。然后通過對函數(shù)單調(diào)性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中；同時讓學生體驗到了學習數(shù)學的快樂，培養(yǎng)了學生自主學習的能力和以嚴謹?shù)目茖W態(tài)度研究問題的習慣。【教學過程設(shè)計】
（一）問題情境
1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。“八月十八潮，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態(tài)奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數(shù)人的心。
如何用函數(shù)形式來表示，起和落？
2．教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。
如何用學過的函數(shù)圖象來描繪這些成語？
設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解，并請學生將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發(fā) 學生的學習熱情，教學起點的設(shè)定也比較恰當，學生的參與度較高。
（二）溫故知新
1．問題1：觀察學生繪制的函數(shù)的圖象（實際教學中可根據(jù)學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。
觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。
2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x時，我們知道，當x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。
回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的解釋：
圖象呈逐漸上升趨勢?數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數(shù)值y隨x的增大而減小。
函數(shù)這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。
設(shè)計意圖：學生在函數(shù)單調(diào)性這一概念的學習上有三個認知基礎(chǔ)：一是生活體驗，二是函數(shù)圖象，三是初中對函數(shù)單調(diào)性的認識。對照繪制的函數(shù)圖象，讓學生回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的描述的定義，并在此基礎(chǔ)上進行概念的符號化建構(gòu)，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規(guī)律。
（三）建構(gòu)概念
問題3：如何用符號化的數(shù)學語言來準確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？
對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。
單調(diào)增函數(shù)的定義：
問題4：如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？ 2可以通過類比的方法由學生給出。
設(shè)計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數(shù)學符號語言定義函數(shù)單調(diào)性的全過程，讓他們親身體驗數(shù)學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數(shù)學概念符號化的建構(gòu)原則。問題4則要求學生結(jié)合圖象化單調(diào)增函數(shù)的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調(diào)減函數(shù)的概念，在這個過程中，學生可以體會數(shù)學概念是如何擴充完善的。
（四）理解概念
1．顧名思義，對“單調(diào)”兩字加深理解
漢語大詞典對“單調(diào)”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題
如：y?2x?1的單調(diào)增區(qū)間是(??,??)；y?3．單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì) 如：函數(shù)y?上減函數(shù)？
引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結(jié)論（如取x1??1,x2?
1在(0,??)上是減函數(shù)。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數(shù)，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx
1）。
2設(shè)計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構(gòu)造反例幫助學生理解概念的內(nèi)涵與外延。在學習如何證明一個函數(shù)的單調(diào)性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數(shù)的單調(diào)性對幫助學生理解函數(shù)單調(diào)性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。
（五）運用概念
通過兩例，教師要向?qū)W生說明：
1．判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：①觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數(shù)進行恰當?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡單函數(shù)的組合。
2．概括出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數(shù)y?|x?1|?
1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調(diào)區(qū)間。
設(shè)計意圖：單調(diào)性證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數(shù)單調(diào)性與證明函數(shù)單調(diào)性的差別，掌握證明函數(shù)單調(diào)性的程序，并深入理解什么是代數(shù)證明，代數(shù)證明要做什么事。
（六）回顧總結(jié)
本節(jié)課主要學習了函數(shù)單調(diào)性的定義，單調(diào)區(qū)間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數(shù)的單調(diào)性，從中體會了數(shù)形結(jié)合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。
第三篇：《函數(shù)單調(diào)性》的教學案例
《函數(shù)單調(diào)性》的教學案例
一、教學目標:
(1)知識與技能：理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，初步掌握判斷 函數(shù)單調(diào)性的方法;
(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養(yǎng)學生 從圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，并用數(shù)學語言加以刻畫的能力，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。
(3)情感態(tài)度與價值觀：在學習中，體驗數(shù)學的科學價值和應
用價值，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
二、教學重點、難點
教學重點：在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性并形成概念;
教學難點：將函數(shù)單調(diào)性的圖形語言或直觀語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學 語言，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
三、《函數(shù)單調(diào)性》 教學過程：
在下一頁用圖表說明。
《函數(shù)單調(diào)性》 教學過程
第四篇：函數(shù)單調(diào)性教學案例分析
“函數(shù)的單調(diào)性”案例分析 連江一中數(shù)學組 李鋒
數(shù)學概念的教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力將是十分有利的?，F(xiàn)以《函數(shù)的單調(diào)性》教學實例來進行分析：
一、案例
課題：函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）
二、實施過程（注：課堂實錄已經(jīng)簡化）
1．問題引入
師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內(nèi)，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設(shè)其函數(shù)解析式：y=f(x);x?[0,24]
師： “在哪些時間段內(nèi)，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內(nèi)，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）
師：在某一時間段內(nèi)水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，3]上，是單調(diào)遞增函數(shù)。同理，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[3,9]上是單調(diào)遞減函數(shù)。這就是我們要研究的函數(shù)的又一特性——函數(shù)的單調(diào)性。2．定義探究
師：在某個區(qū)間上：①函數(shù)值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。②函數(shù)值Y隨X的增大而減?。▓D象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。
提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數(shù)單調(diào)性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？
生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關(guān)系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)．這就是數(shù)學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關(guān)系，就刻劃出了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的性質(zhì)特征，把文字語言表達為數(shù)學語言，簡單明了。
師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關(guān)鍵的詞語或句子至關(guān)重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）
生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？
生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關(guān)鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關(guān)鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？
生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上取． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
師：能不能構(gòu)造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？
（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設(shè)計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：
①函數(shù)y=x2 在(-∞,0)上是減函數(shù)，在[0，+∞]上是增函數(shù)，所以函數(shù) y=x2 在定義域R上是增函數(shù)或是減函數(shù)。
②已知函數(shù)f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1
③若函數(shù)y=1/x在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）也單調(diào)遞減，則該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。
（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發(fā)言踴躍，互相討論、補充，把本節(jié)課推向高潮）師：因此，要判定一個函數(shù)的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關(guān)鍵，在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用
提出問題4：判斷函數(shù)f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明。解：略
師：易知函數(shù)f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調(diào)遞減函數(shù)，請同學歸納一下要證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)性的方法和步驟？ 第八組：①設(shè)量；②作差；③判斷；④定論。
4．課堂小結(jié)（由學生回答）（略）
5．布置作業(yè)
（略）
三、案例分析
（一）本節(jié)課的設(shè)計思路 1．知識目標設(shè)計：
（1）在探究中，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。
（2）熟練運用函數(shù)單調(diào)性的概念證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。2．能力目標設(shè)計：
（1）通過對單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展的分析過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節(jié)課的教學探究，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力。提高對數(shù)學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設(shè)計：
針對本節(jié)課教學目標，教學過程分為三個階段：
（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數(shù)單調(diào)性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。
（2）定義探究階段：本節(jié)課的中心內(nèi)容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發(fā)動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發(fā)引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。
（3）概念應用階段：函數(shù)的單調(diào)性定義應用只設(shè)計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗進行反思，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。
（二）本案例課堂教學的特點
1、抓住課堂教學的基本原則
(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發(fā)揮教師的主導作用，教師創(chuàng)造性地教，學生創(chuàng)造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產(chǎn)生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發(fā)和梳理，并洞察課堂中發(fā)生地各種問題，準確地判斷發(fā)生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現(xiàn)師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。
(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創(chuàng)設(shè)進行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的學習環(huán)境，鼓勵學生質(zhì)疑問難，大膽聯(lián)想，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉(zhuǎn)化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解，探索到函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成了概念。同時培養(yǎng)了學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力，提高對數(shù)學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結(jié)，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內(nèi)涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質(zhì)。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節(jié)課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質(zhì)。把函數(shù)單調(diào)性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質(zhì)得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經(jīng)驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。
(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯(lián)系實際，要結(jié)合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數(shù)學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數(shù)的單調(diào)性定義應用只設(shè)計了問題5，典型的反比例函數(shù)，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調(diào)定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調(diào)控，會對已有的經(jīng)驗進行反思、質(zhì)疑，總結(jié)出解題的步驟和規(guī)律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節(jié)課的反饋，又是引發(fā)對本節(jié)課的思考。由于時間的關(guān)系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。
(4)激勵性原則：要幫助學生實現(xiàn)成功，讓學生在學和做中能經(jīng)常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養(yǎng)學生的自尊心和自信心，增強學生的創(chuàng)造動機和創(chuàng)造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創(chuàng)新。
2、體現(xiàn)能力培養(yǎng)的指導思想
概念教學有利于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力；有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神；有利于培養(yǎng)學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律。發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)造的一種重要形式，創(chuàng)造需要一種實踐活動的過程?，F(xiàn)代著名心理學家布魯納認為：“發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發(fā)現(xiàn)包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式?！庇纱丝梢钥闯?，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發(fā)現(xiàn)。在過程中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。因此，在數(shù)學教學中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學概念的形成和發(fā)展過程，進行數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。
(三)本案例課堂教學引發(fā)的反思
1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數(shù)學教材展現(xiàn)在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數(shù)學概念和思想方法的形成，發(fā)展過程，從而也掩蓋了數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)造、數(shù)學應用所經(jīng)歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數(shù)學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創(chuàng)設(shè)情境，方法靈活多樣，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構(gòu)，使學生了解知識的發(fā)生與發(fā)展的背景和過程，使學生對數(shù)學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學環(huán)境，揭示概念的本質(zhì)屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結(jié)構(gòu)分析和概念的應用，形成一個生動的概念發(fā)生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎(chǔ)，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾
探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調(diào)控教學節(jié)奏，頗有一些辦法，是不是一發(fā)現(xiàn)學生得到了正確的結(jié)論，就讓其回答，并結(jié)束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節(jié)課的教學內(nèi)容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅(qū)使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經(jīng)歷。而新課程標準則強調(diào)讓學生經(jīng)歷“直觀感知”、“觀察發(fā)現(xiàn)”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數(shù)學概念的構(gòu)作，數(shù)學思維的建立，數(shù)學意識的形成，所以，教師應設(shè)計好每節(jié)課的內(nèi)容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數(shù)學意識、思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使學生懂得數(shù)學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。
落實新課程改革精神，并不是
一、兩節(jié)課的事，應該體現(xiàn)在課堂教學的每個環(huán)節(jié)和過程，教師要更新觀念，轉(zhuǎn)換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉(zhuǎn)化，全面提高學生數(shù)學素養(yǎng)。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。
第五篇：函數(shù)單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性概念教學的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學設(shè)計
北京教育學院宣武分院 彭 林
函數(shù)單調(diào)性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。
關(guān)鍵點1。學生 學習函數(shù)單調(diào)性的認知基礎(chǔ)是什么？
在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學概念，也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務是對函數(shù)應該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。
就中小學生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學生認識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。
第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。
第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。
基于上述認識，函數(shù)單調(diào)性教學的引入應該從學生的已有認知出發(fā)，建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.。
讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎(chǔ)上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．
在此基礎(chǔ)上，教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)
在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．
關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？
對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設(shè)計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。
所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：
右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減
對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？
從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關(guān)注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數(shù)學的思考？
一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構(gòu)學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：
（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。
用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。
在初中數(shù)學中，除了學習函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！
因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明
在上為增函數(shù)？
這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：
①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以
在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。
對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數(shù)a，只要證明
就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領(lǐng)悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。
教學中，教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進行強調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題：
判斷題：
①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強調(diào)三點： ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)． 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規(guī)備課 【教學目標】 1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務： (1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知 問題1： 分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函 預案：(1)函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p> (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p> (3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p> 引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)． 問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案：如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù) 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設(shè)計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明 在為增函數(shù)？ 22預案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以 在,因為 為增函數(shù)． 在為增函數(shù)． 在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量． 【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數(shù) ③若函數(shù) 在區(qū)間 和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù) 在區(qū)間(1,3)上為增函 ． ④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在 通過判斷題，強調(diào)三點： ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)． 思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展 例 證明函數(shù) 在上是增函數(shù)． 1．分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取 ，設(shè)元 求差 變形，斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數(shù) 2．歸納解題步驟 在上是增函數(shù)． 定論 引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數(shù) 問題：要證明函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對 在上是增函數(shù)． 任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． 四、歸納小結(jié)，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié) (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且 有． (2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖． 《函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計說明 一、教學內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成． 三、教學過程的設(shè)計 為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數(shù)學基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．
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