第一篇:《函數(shù)單調性》教學案例
《函數(shù)單調性》教學案例
1.【案例背景】
“函數(shù)的單調性”是新課標人教版《數(shù)學·1》第一章第三節(jié)的教學內容?!罢n標”規(guī)定兩個課時,所選案例為第一課時。
函數(shù)的單調性是函數(shù)的一條基本性質,從知識結構上看,函數(shù)的單調性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展,又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內容的基礎。在這之前,學生已經(jīng)學過函數(shù)的定義,函數(shù)的表示,學習過一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù)等,函數(shù)單調性是學生研究函數(shù)整體性質的開始,之后還有奇偶性周期性等,所以本節(jié)內容承前啟后,解決有關的函數(shù)問題,這一節(jié)學好了,學生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產(chǎn)生正遷移作用。
2.【教學內容分析】
首先,從單調性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調性的學習共分為三個階段,第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識;第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調性的嚴格定義,從數(shù)和形兩個方面理解單調性的概念;第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調性.高一單調性的學習,既是初中學習的延續(xù)和深化,又為高三的學習奠定基礎.
其次,從函數(shù)角度來講.函數(shù)的單調性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質,也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣,都是研究自變量變化時,函數(shù)值的變化規(guī)律;學生對于這些概念的認識,都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段,即都從圖象觀察,以函數(shù)解析式為依據(jù),經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言,用定量分析解釋定性結果的過程.因此,函數(shù)單調性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質提供了方法依據(jù).3.【學情分析】
高一的學生正處于經(jīng)驗邏輯思維發(fā)展階段,具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數(shù)單調性的本質是利用定量的方法來研究函數(shù)圖象的性質,如何將圖形特征用嚴謹?shù)臄?shù)學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一.另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明,如何進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達.
因此首先要重視學生的親身體驗:將新知識與學生的已有知識建立了聯(lián)系.如:學生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認識。運用新知識嘗試解決新 問題.其次重視學生發(fā)現(xiàn)的過程.充分展現(xiàn)學生將函數(shù)圖象(形)的特征轉化為函數(shù)值(數(shù))的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中,學生認知結構升華、發(fā)現(xiàn)的過程. 最后重視學生的動手實踐過程.通過對定義的解讀、鞏固,讓學生動手去實踐運用定義.
4.【教學過程】
一、創(chuàng)設情境,引入課題 課前布置任務:
(1)由于某種原因,2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學生思考. 問題1:請同學們觀察圖,指出該天的氣溫在如何變化?(學生獨立思考)
【設計意圖】通過生活實例,讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識,讓學生感受到函數(shù)的單調性和我們的生活密切相關,進而激發(fā)學生的興趣,引發(fā)學生進一步學習的好奇心。
生1(主動回答):0~4時,溫度下降,4~14時溫度上升,14~24時溫度下降。問題2:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預案:水位高低、燃油價格、股票價格等.
歸納:用函數(shù)觀點看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二.借助圖象,直觀感知
問題3:觀畫出y=x和y?x2的函數(shù)圖象,回答下面兩個問題:
⑴分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的,在哪個區(qū)間是下降的?
【設計意圖】順應學生的認知規(guī)律。
(小組合作探求)
生1:一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的,二次函數(shù)y?x2是先下降后上升。師:這樣回答準確嗎?
生2:一次函數(shù)y=x在區(qū)間(-∞,+∞)上是“上升”的;二次函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0)上是“下降”的,(0,-∞)上是“上升”的。
⑵同學們能用數(shù)學語言把這兩個函數(shù)圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎?
【設計意圖】有感性上升到理性。(給學生適當?shù)乃伎紩r間)
這時學生們思維較為混亂,無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況,讓學生觀察x,y值的變化。師(及時提問):同學們能用數(shù)學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎? 生3:該函數(shù)隨著x的值增大,y的值相應的增大。師(面向全體學生):大家同意生4的回答嗎?
生4:老師,我有補充,應該說:該函數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上隨著x的值增大,y的值相應的增大。師:生5補充的很好,明確提出了函數(shù)變量在對應區(qū)間上的變化情況,那么函數(shù)y?x2呢? 生5:函數(shù)y?x2在區(qū)間(-∞,0)上隨著x的值增大,y的值相應的減??;在區(qū)間(0,+∞)上是隨著x的值增大,y的值相應的增大。
師:在數(shù)學上,我們把y隨著x的增大而增大,稱為增函數(shù);把y隨著x的增大而減小,稱為減函數(shù)。
五、鞏固概念,適當延展
練習2:證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù). 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法,為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆.
六、歸納小結,提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲,交流學習過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結. 1.小結
(1)概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟:設元、作差、變形、斷號、定論.
(3)數(shù)學思想方法和思維方法:數(shù)形結合,等價轉化,類比等. 2.課后探究:
研究函數(shù)y?x?1(x?0)的單調性,并結合描點法畫出函數(shù)的草圖. x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得:
1、概念教學就是對知識發(fā)生過程的了解,數(shù)學概念是一系列常識不斷精細化的結果,之所以要進一步形式化,完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越,使學生意識到自己能力上的缺陷,從而引發(fā)認知上的不平衡,產(chǎn)生學習的動力。
2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾(如語言形式上的差異太大,學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等),所以解決的策略應是要培植知識的生長點,搭建恰當?shù)哪_手架。為此,我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術,是學生從“形”到“數(shù)”有了清新的認識。
第二篇:函數(shù)的單調性教學案例
函數(shù)的單調性教學案例
【教材分析】
《函數(shù)單調性》是高中數(shù)學新教材必修一第二章第三節(jié)的內容。在此之前,學生已學習了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內容是高中數(shù)學中相當重要的一個基礎知識點,是研究和討論初等函數(shù)有關性質的基礎。掌握本節(jié)內容不僅為今后的函數(shù)學習打下理論基礎,還有利于培養(yǎng)學生的抽象思維能力,及分析問題和解決問題的能力。【教學目標】
知識與技能:
1.通過生活中的例子幫助學生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。2.學會應用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的單調性及其幾何意義。過程與方法:
1.通過本節(jié)課的教學,滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想,對學生進行辨證唯物主義的教育。2.通過探究與活動,使學生明白考慮問題要細致,說理要明確。情感與態(tài)度:
1.通過本節(jié)課的教學,使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象。
2.通過生活實例感受函數(shù)單調性的意義,培養(yǎng)學生的識圖能力和數(shù)形語言轉化的能力?!局攸c難點】
重點:函數(shù)單調性概念的理解及應用。難點:函數(shù)單調性的判定及證明。關鍵:增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?!窘谭ǚ治觥?/p>
為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標,在教法上我采取了:
1.通過學生熟悉的實際生活問題引入課題,為概念學習創(chuàng)設情境,拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離,激發(fā)學生求知欲,調動學生主體參與的積極性。
2.在形成概念的過程中,緊扣概念中的關鍵語句,通過學生的主體參與,正確地形成概念。3.在鼓勵學生主體參與的同時,不可忽視教師的主導作用,要教會學生清晰的思維、嚴謹?shù)耐评恚㈨樌赝瓿蓵姹磉_。【學法分析】
在教學過程中,教師設置問題情景讓學生想辦法解決;通過教師的啟發(fā)點撥,學生的不斷探索,最終把解決問題的核心歸結到判斷函數(shù)的單調性。然后通過對函數(shù)單調性的概念的學習理解,最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中;同時讓學生體驗到了學習數(shù)學的快樂,培養(yǎng)了學生自主學習的能力和以嚴謹?shù)目茖W態(tài)度研究問題的習慣。【教學過程設計】
(一)問題情境
1.海寧潮,又名錢江潮,自古稱之為“天下奇觀”。“八月十八潮,壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態(tài)奇觀,當江潮從東面來時,似一條銀線,“則玉城雪嶺際天而來,大聲如雷霆,震撼激射,吞天沃日,勢極雄豪”。潮起潮落,牽動了無數(shù)人的心。
如何用函數(shù)形式來表示,起和落?
2.教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語:蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。
如何用學過的函數(shù)圖象來描繪這些成語?
設計意圖:創(chuàng)設海寧潮潮起潮落,成語→圖象的問題情境,讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解,并請學生將文字語言轉化為圖形語言,這樣做可使教學過程富有情趣,可激發(fā) 學生的學習熱情,教學起點的設定也比較恰當,學生的參與度較高。
(二)溫故知新
1.問題1:觀察學生繪制的函數(shù)的圖象(實際教學中可根據(jù)學生回答的情況而定),指出圖象的變化的趨勢。
觀察得到:隨著x值的增大,函數(shù)圖象有的呈上升趨勢,有的呈下降趨勢,有的在一個區(qū)間內呈上升趨勢,在另一區(qū)間內呈下降趨勢。
2.問題2:對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的? 例如:初中研究y?x時,我們知道,當x<0時,函數(shù)值y隨x的增大而減小,當x>0時,函數(shù)值y隨x的增大而增大。
回憶初中對函數(shù)單調性的解釋:
圖象呈逐漸上升趨勢?數(shù)值y隨x的增大而增大;圖象呈逐漸下降趨勢?數(shù)值y隨x的增大而減小。
函數(shù)這種性質稱為函數(shù)的單調性。
設計意圖:學生在函數(shù)單調性這一概念的學習上有三個認知基礎:一是生活體驗,二是函數(shù)圖象,三是初中對函數(shù)單調性的認識。對照繪制的函數(shù)圖象,讓學生回憶初中對函數(shù)單調性的描述的定義,并在此基礎上進行概念的符號化建構,與學生的認知起點銜接緊密,符合學生的認知規(guī)律。
(三)建構概念
問題3:如何用符號化的數(shù)學語言來準確地表述函數(shù)的單調性呢?
對于區(qū)間I內的任意兩個值x1,x2,當x1?x2時,都有f(x1)?f(x2)。
單調增函數(shù)的定義:
問題4:如何定義單調減函數(shù)呢? 2可以通過類比的方法由學生給出。
設計意圖:通過師生雙邊活動及學生討論,可以讓學生充分參與用嚴格的數(shù)學符號語言定義函數(shù)單調性的全過程,讓他們親身體驗數(shù)學概念如何從直觀到抽象,從文字到符號,從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數(shù)學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數(shù)的定義,通過類比的方法,由學生自己得到單調減函數(shù)的概念,在這個過程中,學生可以體會數(shù)學概念是如何擴充完善的。
(四)理解概念
1.顧名思義,對“單調”兩字加深理解
漢語大詞典對“單調”的解釋是:簡單、重復而沒有變化。2.呼應引入,解決問題情境中的問題
如:y?2x?1的單調增區(qū)間是(??,??);y?3.單調性是函數(shù)的“局部”性質 如:函數(shù)y?上減函數(shù)?
引導學生討論,從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論(如取x1??1,x2?
1在(0,??)上是減函數(shù)。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數(shù),能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx
1)。
2設計意圖:學生對一個概念的認識不可能一次完成,教師要善于從多個角度,通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數(shù)的單調性之前,先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數(shù)的單調性對幫助學生理解函數(shù)單調性的概念尤為重要,可以加深學生對“任意”兩字的理解。
(五)運用概念
通過兩例,教師要向學生說明:
1.判斷函數(shù)單調性的主要方法:①觀察法:畫出函數(shù)圖象來觀察;②定義法:嚴格按照定義進行驗證;③分解法:對函數(shù)進行恰當?shù)淖冃?,使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數(shù)的組合。
2.概括出證明函數(shù)單調性的一般步驟:取值→作差→變形→定號。練習:作出函數(shù)y?|x?1|?
1、y?|x2?1|的圖象,寫出他們的單調區(qū)間。
設計意圖:單調性證明是學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證問題,通過本例,要讓學生理解判斷函數(shù)單調性與證明函數(shù)單調性的差別,掌握證明函數(shù)單調性的程序,并深入理解什么是代數(shù)證明,代數(shù)證明要做什么事。
(六)回顧總結
本節(jié)課主要學習了函數(shù)單調性的定義,單調區(qū)間的概念,能利用(1)圖象法;(2)定義法來判定函數(shù)的單調性,從中體會了數(shù)形結合的思想,學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。
第三篇:《函數(shù)單調性》的教學案例
《函數(shù)單調性》的教學案例
一、教學目標:
(1)知識與技能:理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念,初步掌握判斷 函數(shù)單調性的方法;
(2方法與過程:通過觀察、歸納、抽象、概括等,培養(yǎng)學生 從圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性,并用數(shù)學語言加以刻畫的能力,領會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。
(3)情感態(tài)度與價值觀:在學習中,體驗數(shù)學的科學價值和應
用價值,培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
二、教學重點、難點
教學重點:在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性并形成概念;
教學難點:將函數(shù)單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數(shù)學 語言,用定義證明函數(shù)的單調性。
三、《函數(shù)單調性》 教學過程:
在下一頁用圖表說明。
《函數(shù)單調性》 教學過程
第四篇:函數(shù)單調性教學案例分析
“函數(shù)的單調性”案例分析 連江一中數(shù)學組 李鋒
數(shù)學概念的教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的一個很好的切入點,重視數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程的體驗,讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力將是十分有利的?,F(xiàn)以《函數(shù)的單調性》教學實例來進行分析:
一、案例
課題:函數(shù)的單調性(第一課時)
二、實施過程(注:課堂實錄已經(jīng)簡化)
1.問題引入
師:我們觀察某自來水廠在一天24小時內,水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數(shù)解析式:y=f(x);x?[0,24]
師: “在哪些時間段內,水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內,水壓在下降?”(很快得出正確答案。)
師:在某一時間段內水壓在上升,實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大,于是我說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,3]上,是單調遞增函數(shù)。同理,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[3,9]上是單調遞減函數(shù)。這就是我們要研究的函數(shù)的又一特性——函數(shù)的單調性。2.定義探究
師:在某個區(qū)間上:①函數(shù)值Y隨X的增大而增大(圖象從左——右,呈上升趨勢),就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。②函數(shù)值Y隨X的增大而減?。▓D象從左——右,呈下降趨勢),就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。
提出問題1:請同學仔細閱讀課本中函數(shù)單調性的定義,思考課本定義方法和上面定義方法是否一致?如果一致,定義中哪一句表達了該意思?
生:我認為是一致的.定義中的“當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)”描述了y隨x的增大而增大;“當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”描述了y隨x的增大而減少. 師:說得非常正確.定義中用了兩個簡單的不等關系“x1<x2”和“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)”,它刻劃了函數(shù)的單調遞增或單調遞減的性質.這就是數(shù)學的魅力!定義中只用了兩個簡單的不等關系,就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征,把文字語言表達為數(shù)學語言,簡單明了。
師:提出問題2:我們思考這樣一個問題:定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要?能不能把它找出來。(有的同學回答不準確)
生1:我們認為在定義中,有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語.(闡述了理由)。師:很好,我們在學習任何一個概念的時候,都要善于抓住定義中的關鍵詞語.增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的,離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性.還有沒有其他的關鍵詞語?
生2:還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語. 生3:“屬于” 也是關鍵詞。師:能解釋一下為什么嗎?
生3:“屬于”就是說兩個自變量x1,x2必須取自給定的區(qū)間,不能從其他區(qū)間上?。?師:那么“任意”和“都有”又如何理解?
生4:“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性,而“都有”則是說只要x1<x2,f(x1)就必須都小于f(x2),或f(x1)都大于f(x2).
師:能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢?
(讓學生思考,但有些學生仍有困難,我設計了三個判斷題)提出問題3:判斷下列命題的真假:
①函數(shù)y=x2 在(-∞,0)上是減函數(shù),在[0,+∞]上是增函數(shù),所以函數(shù) y=x2 在定義域R上是增函數(shù)或是減函數(shù)。
②已知函數(shù)f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1,則x1
③若函數(shù)y=1/x在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)也單調遞減,則該函數(shù)在定義域內單調遞減。
(三個問題的提出,引起很大凡響,學生發(fā)言踴躍,互相討論、補充,把本節(jié)課推向高潮)師:因此,要判定一個函數(shù)的增減性,主要途徑就是依照定義,抓住關鍵,在給定區(qū)間內任取兩個自變量x1,x2,根據(jù)它們的函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小來判定。3.定義應用
提出問題4:判斷函數(shù)f(x)=1/x在(0,+∞)上的單調性,并用單調性的定義加以證明。解:略
師:易知函數(shù)f(x)=1/x在(-∞,0)上也是單調遞減函數(shù),請同學歸納一下要證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調性的方法和步驟? 第八組:①設量;②作差;③判斷;④定論。
4.課堂小結(由學生回答)(略)
5.布置作業(yè)
(略)
三、案例分析
(一)本節(jié)課的設計思路 1.知識目標設計:
(1)在探究中,尋求函數(shù)單調性規(guī)律并形成概念。
(2)熟練運用函數(shù)單調性的概念證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性。2.能力目標設計:
(1)通過對單調性概念的發(fā)生、發(fā)展的分析過程,培養(yǎng)學生的數(shù)學意識、邏輯思維能力;(2)通過本節(jié)課的教學探究,培養(yǎng)學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力。提高對數(shù)學美的鑒賞能力;(3)對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3.教學過程設計:
針對本節(jié)課教學目標,教學過程分為三個階段:
(1)問題引入階段:問題的提出具有實際意義,引起學生的興趣,鍛煉學生的觀察能力,又直逼主題,學生容易接受。通過圖形的直觀感覺,給學生函數(shù)單調性的感性認識,為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。
(2)定義探究階段:本節(jié)課的中心內容,圍繞三個問題的提出,對定義進行探究,層層深入,發(fā)動學生,分組討論,積極思考,在巡視過程中,啟發(fā)引導學生,及時掌握學生的動向,尋求函數(shù)單調性規(guī)律并形成概念。
(3)概念應用階段:函數(shù)的單調性定義應用只設計了問題4,這一過程由學生來完成,使學生自主進行學習,獨立探究問題,在解決問題的過程中進行自我評判和調控,會對已有的經(jīng)驗進行反思,總結出解題的步驟和規(guī)律。
(二)本案例課堂教學的特點
1、抓住課堂教學的基本原則
(1)主體性原則:尊重學生的主體地位,發(fā)揮教師的主導作用,教師創(chuàng)造性地教,學生創(chuàng)造性地學,使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中,教師圍繞三個階段,以問題的形式提供給學生,學生主動參與。特別是問題2、3的提出,學生產(chǎn)生許多疑惑,矛盾升級,老師便組織學生開展了互相交流和討論,適時介入,和學生一起相互啟發(fā)和梳理,并洞察課堂中發(fā)生地各種問題,準確地判斷發(fā)生問題的原因,能動地、有效地處理這種問題,這一過程體現(xiàn)師生相互平等,教學相長的良好課堂氛圍。
(2)探索性原則:教師努力使教學活動富有探索性,為學生創(chuàng)設進行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的學習環(huán)境,鼓勵學生質疑問難,大膽聯(lián)想,激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)造興趣,引導學生通過親身體驗獲取新知,把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程,使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論,大部分學生對單調性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解,探索到函數(shù)單調性規(guī)律并形成了概念。同時培養(yǎng)了學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力,提高對數(shù)學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲,去研究的東西,通過對問題的分析、總結,把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵,層層剝離,進行多層面的展開,從而使教學由表及里,深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異,老師提出問題4,這是本節(jié)課的亮點,簡單的三個判斷題,再一次揭示了概念的本質。把函數(shù)單調性概念的探究推向高潮,通過反向思維使學生的思維素質得以提升,促使學生能夠在獲得對概念理解的同時,逐步學會學習和思考,增長經(jīng)驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。
(3)實踐性原則:在教學中要重視理論聯(lián)系實際,要結合實例進行教學,鼓勵學生動口、動腦、動手,讓學生參與到數(shù)學概念的形成過程;要組織有效的練習,引導學生運用所學到的知識去解決實際問題,使學生獲得運用知識的能力。函數(shù)的單調性定義應用只設計了問題5,典型的反比例函數(shù),這一過程由學生來完成,但學生的證明過程也存在一定問題,老師再次強調定義,對照解答的層次性,再讓學生自主訂正,使學生自主進行學習,獨立探究問題,在解決問題的過程中進行自我評判和調控,會對已有的經(jīng)驗進行反思、質疑,總結出解題的步驟和規(guī)律。問題5的提出起到前后呼應,加深印象、畫龍點睛的作用,既是對本節(jié)課的反饋,又是引發(fā)對本節(jié)課的思考。由于時間的關系,課上討論的并不透徹和完美,但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。
(4)激勵性原則:要幫助學生實現(xiàn)成功,讓學生在學和做中能經(jīng)常感受到成功的喜悅和愉悅,認識到自身的價值,以此來激勵學生的求知欲和成就感,從而培養(yǎng)學生的自尊心和自信心,增強學生的創(chuàng)造動機和創(chuàng)造熱情,使學生能不斷地追求新知,積極進取,勇于創(chuàng)新。
2、體現(xiàn)能力培養(yǎng)的指導思想
概念教學有利于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力;有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神;有利于培養(yǎng)學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念,而學生形成概念的關鍵是發(fā)現(xiàn)事物的本質屬性或規(guī)律。發(fā)現(xiàn)是創(chuàng)造的一種重要形式,創(chuàng)造需要一種實踐活動的過程?,F(xiàn)代著名心理學家布魯納認為:“發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為,正確地說,發(fā)現(xiàn)包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式?!庇纱丝梢钥闯?,學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發(fā)現(xiàn)。在過程中發(fā)現(xiàn),在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。因此,在數(shù)學教學中,教師要努力創(chuàng)造條件,給學生提供自主探索的機會,給學生充分的思考空間,讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學概念的形成和發(fā)展過程,進行數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造,培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。
(三)本案例課堂教學引發(fā)的反思
1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數(shù)學教材展現(xiàn)在學生面前的往往是由概念到定理,法則再到例題的三步曲,這在一定程度上掩蓋了數(shù)學概念和思想方法的形成,發(fā)展過程,從而也掩蓋了數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)造、數(shù)學應用所經(jīng)歷的思維活動過程,抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數(shù)學概念教學不應簡單地給出定義,而應加強概念的引入和概念屬性的感知,本案例的引入,從實際生活中提煉,通俗易懂,平易近人。教學時應創(chuàng)設情境,方法靈活多樣,激發(fā)學生的學習興趣,讓學生積極參與教學活動中來,親身體驗、主動建構,使學生了解知識的發(fā)生與發(fā)展的背景和過程,使學生對數(shù)學的學習感到樂趣。為此,從引進新概念開始就要創(chuàng)造啟發(fā)式的教學環(huán)境,揭示概念的本質屬性,并用簡單的文字加以表達,在對概念進行結構分析和概念的應用,形成一個生動的概念發(fā)生的過程,這一過程需分層次遞進,低層次的理解是高層次理解的基礎,各層次之間最好不要越級,任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾
探究活動比較費時間,教師都很重視課堂效率,而且對調控教學節(jié)奏,頗有一些辦法,是不是一發(fā)現(xiàn)學生得到了正確的結論,就讓其回答,并結束這個探究過程?由于教學時間的限定,如果探究的不夠完美、透徹,或本節(jié)課的教學內容沒有全部完成,那么總感到一種缺憾,所以在這個矛盾的驅使下,往往追求進度,多講幾個例題,忽略學生的經(jīng)歷。而新課程標準則強調讓學生經(jīng)歷“直觀感知”、“觀察發(fā)現(xiàn)”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心,重視數(shù)學概念的構作,數(shù)學思維的建立,數(shù)學意識的形成,所以,教師應設計好每節(jié)課的內容與容量,本案例延長了概念的探究過程,重視學生的數(shù)學意識、思維品質的培養(yǎng),使學生懂得數(shù)學的意義與價值。雖然只有一個例題,但非常典型,同樣收到很好的效果。
落實新課程改革精神,并不是
一、兩節(jié)課的事,應該體現(xiàn)在課堂教學的每個環(huán)節(jié)和過程,教師要更新觀念,轉換角色,力求通過各種不同形式的自主學習,探究活動,讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化,全面提高學生數(shù)學素養(yǎng)。能力增強了,學習成績自然不會差,以人為本的思想也得到了落實。
第五篇:函數(shù)單調性
函數(shù)單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數(shù)單調性》的教學設計
北京教育學院宣武分院 彭 林
函數(shù)單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義,對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講,有較大的學習難度。一直以來,這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近,在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上,聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學,通過對他們教學案例的研究和思考,筆者認為,在函數(shù)單調性概念的教學中,關鍵是把握住如下三個關鍵點。
關鍵點1。學生 學習函數(shù)單調性的認知基礎是什么?
在這個內容之前,已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù),函數(shù)的變量定義和映射定義,以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關系的數(shù)學概念,也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務是對函數(shù)應該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中,建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質特征,即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言,就是研究它們所描述的運動關系的變化規(guī)律,也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性,即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式,使得當前來討論函數(shù)的一些性質,就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質中,選擇這個時機來討論函數(shù)的單調性而不是其他性質,是因為函數(shù)的單調性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質。
就中小學生與單調性相關的經(jīng)歷而言,學生認識函數(shù)單調性可以分為四個階段: 第一階段,經(jīng)驗感知階段(小學階段),知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境,如“隨著年齡的增長,我的個子越來越高”,“我認識的字越多,我的知識就越多”等。
第二階段,形象描述階段(初中階段),能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢,如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段,抽象概括階段(高中必修1),能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括,并通過具體函數(shù),初步體會單調性在研究函數(shù)變化中的作用。
第四階段,認識提升階段(高中選修系列1、2),要求學生能初步認識導數(shù)與單調性的聯(lián)系。
基于上述認識,函數(shù)單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發(fā),建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎上,即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā),直觀感知函數(shù)的單調性,完成對函數(shù)單調性定義的第一次認識.。
讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函在學生畫圖的基礎上,引導學生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右逐漸上升,y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y隨x的增大而減小.然后讓學生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明,通過討論使學生明確函數(shù)的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的.
在此基礎上,教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義: 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù)
在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù).
關鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調性概念?
對于函數(shù)單調性概念的教學而言,有一個很重要的問題,即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),對函數(shù)的增減性已有初步的認識:隨x增大y增大是增函數(shù),隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的,很形象,他們會覺得這樣的定義很好,為什么還要費神去進行符號化呢?如果教師能通過教學設計,讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性,造成認知沖突,則學生研究的興趣就會大大提高,主動性也會更強。其實,數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結果,之所以要進一步形式化,完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求,因為只有達到這種符號化、形式化的程度,才可以進行準確的計算,進行推理論證。
所以,在教學中提出類似如下的問題是非常必要的:
右圖是函數(shù)函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減
對于這個問題,學生的困難是難以確定分界點的確切位置.通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調性的必要性,從而將函數(shù)的單調性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關鍵點3:如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調性?
從數(shù)學學科這個整體來看,數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學,解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律:在需要和可能的情況下,盡量做到從直觀入手,從具體開始,逐步抽象,即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言,并進行三者之間必要的轉化,可以說,這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調性這一內容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體,教學中應該充分關注到這一點。長此以往,便可使學生在學習知識的同時,學到比知識更重要的東西—學會如何思考?如何進行數(shù)學的思考?
一般說,對函數(shù)單調性的建構有兩個重要過程,一是建構函數(shù)單調性的意義,二是通過思維構造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調性的意義,學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識,因此,前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度,其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調性的定義時,如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點:
(1)“x增大”如何用符號表示;同樣,“f(x)增大”如何用符號表示。(2)“‘隨著’x增大,函數(shù)f(x)‘也’增大”,如何用符號表示。
用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處,在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。
在初中數(shù)學中,除了學習函數(shù)的初級概念,用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時,接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外,絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此,從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象,到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象,在思維能力層次上存在重大差異,對剛剛由初中進入高中學習的學生而言,無疑是一個很大的挑戰(zhàn)!
因此,在教學中可以提出如下問題2: 如何從解析式的角度說明
在上為增函數(shù)?
這個問題是形成函數(shù)單調性概念的關鍵。在教學中,教師可以組織學生先分組探究,然后全班交流,相互補充,并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價,對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論,在辨析中達成共識.對于問題2,學生錯誤的回答主要有兩種:
①在給定區(qū)間內取兩個數(shù),例如1和2,因為函數(shù). ,所以
在上為增②可以用0,1,2,3,4,5驗證: 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。
對于這兩種錯誤,教師要引導學生進一步展開思考。例如,指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結論,而且引入了不等式表示不等關系,但是,只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行,只有當所有的比較結果都是一樣的:自變量大時,函數(shù)值也大,才可以證明它是增函數(shù),那么怎么辦?如果有的學生提出:引入非負實數(shù)a,只要證明
就可以了,這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性,然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎了。也就是,從給定的區(qū)間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù). ,即,所以這種回答既揭示了單調性的本質,也讓學生領悟到兩點:(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此,學生對函數(shù)單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上,引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調性的定義,使學生經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的認知過程。
教學中,教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義,并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題:
判斷題:
①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù).④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù),所以在上是通過對判斷題的討論,強調三點: ①單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性. ②有的函數(shù)在整個定義域內單調(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內的某些區(qū)間單調(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調區(qū)間(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規(guī)備課 【教學目標】 1.使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法. 2.通過對函數(shù)單調性定義的探究,滲透數(shù)形結合數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調性的證明,提高學生的推理論證能力. 3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣,讓學生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過程. 【教學重點】 函數(shù)單調性的概念、判斷及證明. 【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性. 【教學方法】 教師啟發(fā)講授,學生探究學習. 【教學手段】 計算機、投影儀. 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境,引入課題 課前布置任務: (1)由于某種原因,2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學生思考. 問題:觀察圖形,能得到什么信息? 預案:(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;(2)在某時刻的溫度; (3)某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.在生活中,我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對我們的生活是很有幫助的. 問題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預案:水位高低、燃油價格、股票價格等. 歸納:用函數(shù)觀點看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二、歸納探索,形成概念 對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小,初中同學們就有了一定的認識,但是沒有嚴格的定義,今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調性的嚴格定義.1.借助圖象,直觀感知 問題1: 分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函 預案:(1)函數(shù) 在整個定義域內 y隨x的增大而增大;函數(shù) 在整個定義域內 y隨x的增大而減小. (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大,在上y隨x的增大而減?。?/p> (3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小,在上y隨x的增大而減小. 引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù)).同時明確函數(shù)的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質. 問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案:如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調性的直觀,描述性的認識. 【設計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調性,完成對函數(shù)單調性的第一次認識. 2.探究規(guī)律,理性認識 問題1:下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù) 學生的困難是難以確定分界點的確切位置. 通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究. 〖設計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調性的必要性. 問題2:如何從解析式的角度說明 在為增函數(shù)? 22預案:(1)在給定區(qū)間內取兩個數(shù),例如1和2,因為1<2,所以為增函數(shù). (2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以(3)任取,所以 在,因為 為增函數(shù). 在為增函數(shù). 在,即對于學生錯誤的回答,引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量. 【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法,為證明單調性做好鋪墊.3.抽象思維,形成概念 問題:你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴格的定義,然后學生類比得出減函數(shù)的定義.(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題: ①. ②若函數(shù) ③若函數(shù) 在區(qū)間 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) 在區(qū)間(1,3)上為增函 . ④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù),所以在 通過判斷題,強調三點: ①單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性. ②對于某個具體函數(shù)的單調區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調函數(shù)? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學生對定義的理解,完成對概念的第三次認識.三、掌握證法,適當延展 例 證明函數(shù) 在上是增函數(shù). 1.分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題,組織學生討論、交流. 證明:任取 ,設元 求差 變形,斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數(shù) 2.歸納解題步驟 在上是增函數(shù). 定論 引導學生歸納證明函數(shù)單調性的步驟:設元、作差、變形、斷號、定論. 練習:證明函數(shù) 問題:要證明函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),除了用定義來證,如果可以證得對 在上是增函數(shù). 任意的,且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法,為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆. 四、歸納小結,提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲,交流學習過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結. 1.小結 (1)概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟:設元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學思想方法和思維方法:數(shù)形結合,等價轉化,類比等. 2.作業(yè) 書面作業(yè):課本第60頁習題2.3 第4,5,6題. 課后探究:(1)證明:函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù).,且 有. (2)研究函數(shù)的單調性,并結合描點法畫出函數(shù)的草圖. 《函數(shù)的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數(shù)的單調性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質,是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念,為進一步學習函數(shù)其它性質提供了方法依據(jù). 對于函數(shù)單調性,學生的認知困難主要在兩個方面:(1)要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的;(2)單調性的證明是學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證內容,而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點和難點. 二、教學目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,從三個不同的方面確定了教學目標,重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識;強調判斷、證明函數(shù)單調性的方法的落實以及數(shù)形結合思想的滲透;突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成. 三、教學過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,教學上采取了以下的措施:(1)在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程,完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入. (2)在應用概念階段,通過對證明過程的分析,幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟. (3)考慮到我校學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當?shù)难诱?,加深對定義的理解,同時也為用導數(shù)研究單調性埋下伏筆.