第一篇：《函數單調性》教學案例
《函數單調性》教學案例
1.【案例背景】
“函數的單調性”是新課標人教版《數學·1》第一章第三節的教學內容?！罢n標”規定兩個課時，所選案例為第一課時。
函數的單調性是函數的一條基本性質，從知識結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究基本初等函數、三角函數等內容的基礎。在這之前，學生已經學過函數的定義，函數的表示，學習過一次函數，二次函數，反比例函數等，函數單調性是學生研究函數整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節內容承前啟后，解決有關的函數問題，這一節學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節的知識產生正遷移作用。
2.【教學內容分析】
首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎．
其次，從函數角度來講.函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.3.【學情分析】
高一的學生正處于經驗邏輯思維發展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數單調性的本質是利用定量的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達．
因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯系．如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發現的過程．充分展現學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程。充分展現在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．
4.【教學過程】
一、創設情境，引入課題 課前布置任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）
【設計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數的單調性和我們的生活密切相關，進而激發學生的興趣，引發學生進一步學習的好奇心。
生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．
歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二．借助圖象，直觀感知
問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數圖象，回答下面兩個問題：
⑴分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的？
【設計意圖】順應學生的認知規律。
（小組合作探求）
生1：一次函數y=x其定義域上是上升的，二次函數y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？
生2：一次函數y=x在區間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數y=x2在區間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。
⑵同學們能用數學語言把這兩個函數圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？
【設計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當的思考時間）
這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？
生4：老師，我有補充，應該說：該函數在區間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數變量在對應區間上的變化情況，那么函數y?x2呢？ 生5：函數y?x2在區間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減??；在區間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。
師：在數學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數。
五、鞏固概念，適當延展
練習2：證明函數f(x)?x在[0,??)上是增函數． 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．
六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．
(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2.課后探究：
研究函數y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：
1、概念教學就是對知識發生過程的了解，數學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發認知上的不平衡，產生學習的動力。
2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當的腳手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術，是學生從“形”到“數”有了清新的認識。
第二篇：函數的單調性教學案例
函數的單調性教學案例
【教材分析】
《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力?！窘虒W目標】
知識與技能：
1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。過程與方法：
1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態度：
1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。
2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力?！局攸c難點】
重點：函數單調性概念的理解及應用。難點：函數單調性的判定及證明。關鍵：增函數與減函數的概念的理解。【教法分析】
為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：
1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。
2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達?！緦W法分析】
在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣?！窘虒W過程設計】
（一）問題情境
1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。“八月十八潮，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數人的心。
如何用函數形式來表示，起和落？
2．教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。
如何用學過的函數圖象來描繪這些成語？
設計意圖：創設海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發 學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。
（二）溫故知新
1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。
觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。
2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。
回憶初中對函數單調性的解釋：
圖象呈逐漸上升趨勢?數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數值y隨x的增大而減小。
函數這種性質稱為函數的單調性。
設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。
（三）建構概念
問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？
對于區間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。
單調增函數的定義：
問題4：如何定義單調減函數呢？ 2可以通過類比的方法由學生給出。
設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。
（四）理解概念
1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解
漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題
如：y?2x?1的單調增區間是(??,??)；y?3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數y?上減函數？
引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?
1在(0,??)上是減函數。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx
1）。
2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。
（五）運用概念
通過兩例，教師要向學生說明：
1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。
2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數y?|x?1|?
1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區間。
設計意圖：單調性證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，掌握證明函數單調性的程序，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事。
（六）回顧總結
本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。
第三篇：《函數單調性》的教學案例
《函數單調性》的教學案例
一、教學目標:
(1)知識與技能：理解增函數、減函數的概念，初步掌握判斷 函數單調性的方法;
(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養學生 從圖象中發現函數的單調性，并用數學語言加以刻畫的能力，領會數形結合的數學思想方法。
(3)情感態度與價值觀：在學習中，體驗數學的科學價值和應
用價值，培養善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。
二、教學重點、難點
教學重點：在圖象中發現函數的單調性并形成概念;
教學難點：將函數單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數學 語言，用定義證明函數的單調性。
三、《函數單調性》 教學過程：
在下一頁用圖表說明。
《函數單調性》 教學過程
第四篇：函數單調性教學案例分析
“函數的單調性”案例分析 連江一中數學組 李鋒
數學概念的教學是培養學生創新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數學概念的發生、發展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數學的興趣，培養學生創新精神和實踐能力將是十分有利的?，F以《函數的單調性》教學實例來進行分析：
一、案例
課題：函數的單調性（第一課時）
二、實施過程（注：課堂實錄已經簡化）
1．問題引入
師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數解析式：y=f(x);x?[0,24]
師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）
師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數y=f(x)在區間[0，3]上，是單調遞增函數。同理，函數y=f(x)在區間[3,9]上是單調遞減函數。這就是我們要研究的函數的又一特性——函數的單調性。2．定義探究
師：在某個區間上：①函數值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數在這個區間上是增函數。②函數值Y隨X的增大而減?。▓D象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數在這個區間上是減函數。
提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數單調性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？
生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關系，就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征，把文字語言表達為數學語言，簡單明了。
師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）
生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？
生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？
生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上?。?師：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
師：能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？
（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：
①函數y=x2 在(-∞,0)上是減函數，在[0，+∞]上是增函數，所以函數 y=x2 在定義域R上是增函數或是減函數。
②已知函數f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1
③若函數y=1/x在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）也單調遞減，則該函數在定義域內單調遞減。
（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發言踴躍，互相討論、補充，把本節課推向高潮）師：因此，要判定一個函數的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關鍵，在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用
提出問題4：判斷函數f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明。解：略
師：易知函數f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調遞減函數，請同學歸納一下要證明一個函數在某個區間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。
4．課堂小結（由學生回答）（略）
5．布置作業
（略）
三、案例分析
（一）本節課的設計思路 1．知識目標設計：
（1）在探究中，尋求函數單調性規律并形成概念。
（2）熟練運用函數單調性的概念證明函數在某個區間上的單調性。2．能力目標設計：
（1）通過對單調性概念的發生、發展的分析過程，培養學生的數學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節課的教學探究，培養學生用數學語言代替文字語言的表達能力。提高對數學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設計：
針對本節課教學目標，教學過程分為三個階段：
（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。
（2）定義探究階段：本節課的中心內容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數單調性規律并形成概念。
（3）概念應用階段：函數的單調性定義應用只設計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思，總結出解題的步驟和規律。
（二）本案例課堂教學的特點
1、抓住課堂教學的基本原則
(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發揮教師的主導作用，教師創造性地教，學生創造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發和梳理，并洞察課堂中發生地各種問題，準確地判斷發生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。
(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創設進行觀察、探索、發現的學習環境，鼓勵學生質疑問難，大膽聯想，激發學生的學習興趣和創造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調性概念的發生、發展有了較深刻的理解，探索到函數單調性規律并形成了概念。同時培養了學生用數學語言代替文字語言的表達能力，提高對數學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質。把函數單調性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。
(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯系實際，要結合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數的單調性定義應用只設計了問題5，典型的反比例函數，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思、質疑，總結出解題的步驟和規律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節課的反饋，又是引發對本節課的思考。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。
(4)激勵性原則：要幫助學生實現成功，讓學生在學和做中能經常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養學生的自尊心和自信心，增強學生的創造動機和創造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創新。
2、體現能力培養的指導思想
概念教學有利于培養學生的發現能力；有利于培養學生的創新精神；有利于培養學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關鍵是發現事物的本質屬性或規律。發現是創造的一種重要形式，創造需要一種實踐活動的過程。現代著名心理學家布魯納認為：“發現不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發現包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式?！庇纱丝梢钥闯?，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發現。在過程中發現，在發現中創新。因此，在數學教學中，教師要努力創造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數學概念的形成和發展過程，進行數學的再發現、再創造，培養學生的發現能力和創新能力。
(三)本案例課堂教學引發的反思
1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數學教材展現在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數學概念和思想方法的形成，發展過程，從而也掩蓋了數學發現、數學創造、數學應用所經歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創設情境，方法靈活多樣，激發學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構，使學生了解知識的發生與發展的背景和過程，使學生對數學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創造啟發式的教學環境，揭示概念的本質屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結構分析和概念的應用，形成一個生動的概念發生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾
探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調控教學節奏，頗有一些辦法，是不是一發現學生得到了正確的結論，就讓其回答，并結束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節課的教學內容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經歷。而新課程標準則強調讓學生經歷“直觀感知”、“觀察發現”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數學概念的構作，數學思維的建立，數學意識的形成，所以，教師應設計好每節課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數學意識、思維品質的培養，使學生懂得數學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。
落實新課程改革精神，并不是
一、兩節課的事，應該體現在課堂教學的每個環節和過程，教師要更新觀念，轉換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化，全面提高學生數學素養。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。
第五篇：函數單調性
函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計
北京教育學院宣武分院 彭 林
函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。
關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？
在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。
就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。
第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。
第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。
基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。
讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．
在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數
在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．
關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？
對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。
所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：
右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減
對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？
從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？
一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：
（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。
用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。
在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！
因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明
在上為增函數？
這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：
①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以
在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。
對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明
就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。
教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：
判斷題：
①②若函數③若函數滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規備課 【教學目標】 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創設情境，引入課題 課前布置任務： (1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知 問題1： 分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函 預案：(1)函數 在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數 在整個定義域內 y隨x的增大而減小． (2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p> (3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識 問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明 在為增函數？ 22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以 在,因為 為增函數． 在為增函數． 在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量． 【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數 ③若函數 在區間 和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)上為增函 ． ④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展 例 證明函數 在上是增函數． 1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取 ，設元 求差 變形，斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數 2．歸納解題步驟 在上是增函數． 定論 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數 問題：要證明函數 在區間 上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對 在上是增函數． 任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業 書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數 在區間 上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且 有． (2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成． 三、教學過程的設計 為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．
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