第一篇：“函數的單調性”教學案例分析初稿

“函數的單調性”教學案例分析初稿

江西省新余市第四中學 劉金華

第Ⅰ部分：教學準備

一、教學分析：

（1）中學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高二利用導數為工具研究函數的單調性。高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高二的學習奠定基礎。（2）函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念。函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程。因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據。

（3）函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。

二、重難點分析：

教學重點（1）函數單調性的概念；

（2）運用函數單調性的定義判斷和證明一些函數的單調性。

教學難點 利用函數單調性的定義判斷和證明函數的單調性。

三、學情分析：

本節課是一節概念課。函數單調性的本質是利用解析的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一。另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達。

圍繞以上兩個難點，在本節課的處理上，我著重注意了以下幾個問題： 1、重視學生的親身體驗。具體體現在兩個方面：

① 將新知識與學生的已有知識建立了聯系。如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識，學生對 “y 隨 x 的增大而增大”的理解；

② 運用新知識嘗試解決新問題。如：對 函數 的討論。

在定義域上的單調性2、重視學生 發現的過程。如：充分暴露學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程；充分暴露在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程。、重視學生的動手實踐過程。通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義。、重視課堂問題的設計。通過對問題的設計，引導學生解決問題。

四、文獻檢索：

1.《高中數學優秀教案》 南方出版社 任志鴻著 2.《教材完全解讀》 接力出版社 王后雄著

第Ⅱ部分：教學設計

一、教學方式：

采用啟發式、問題式、探究式相結合的教學法。

二、教學內容及教學過程：

（一）創設情境，引入課題

為了預測共和國 60 年國慶當天的天氣情況，數學興趣小組研究了 2000 年到 2008 年每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年 10 月 1 日一天 24 小時內氣溫隨時間變化的曲線圖。

引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考。問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低。

教師指出：在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的。

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等。

歸納：用函數觀點看，其實這些例子反映的就是 隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小。

〖 設計意圖 〗 由生活情境引入新課，激發興趣。

（二）歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，是函數的重要性質，稱為函數的單調性，同學們在初中對函數的這種性質就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義。1.借助圖象，直觀感知

問題 1 ：分別作出函數

自變量變化時，函數值的變化規律？ 的圖象，并且觀察

預案：(1)函數，在整個定義域內 y 隨 x 的增大而增大； 函數，在整個定義域內 y 隨 x 的增大而減小。(2)函數，在

上 y 隨 x 的增大而增大，在

上 y 隨 x 的增大而減小。

(3)函數 增大而減小。，在 上 y 隨 x 的增大而減小，在 上 y 隨 x 的引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質。

問題 2 ：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數嗎 ? 預案：如果函數 說函數

在某個區間上 隨自變量 x 的增大，y 也越來越大，我們

在某個區間上隨自變量 x 的在該區間上為增函數；如果函數

增大，y 越來越小，我們說函數 在該區間上為減函數。

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀、描述性的認識。

〖 設計意圖 〗 從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識。2.抽象思維，形成概念 問題 1 ： 如圖是函數 區間為增函數和減函數嗎？ 的圖象, 能說出這個函數分別在哪個

學生的困難是難以確定分界點的確切位置。

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究。

〖 設計意圖 〗 使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性。

問題 2 ：如何從解析式的角度說明 在 上為增函數？

預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如 2 和 3，因為 22 <32，所以 在 上為增函數。

(2)仿(1)，取多組數值驗證均滿足，所以 函數。

(3)任取 , 即 , 因為，所以

在

在 為增

上為增函數。

對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析 , 使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量。〖 設計意圖 〗 把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度, 完成對概念的第二次認識。事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊。問題 3 ：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎 ?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義。(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①。

②若函數。

③若函數 在區間 上為增函數。

和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)④因為函數 在區間 上是減函數。

上都是減函數，所以 在

通過判斷題，強調三點：

① 單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性。

② 有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)。③ 函數在定義域內的兩個區間 A , B 上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在 上是增（或減）函數。

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數 ? 〖 設計意圖 〗 讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識。

（三）掌握證法，適當延展

例 1 證明函數 1.分析解決問題

在 上是增函數。

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流。證明：任取 ，設元

作差

變形

，斷號

∴

∴ 即

∴ 函數 在 上是增函數。

定論

2.歸納解題步驟

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。練習：證明函數 在 上是增函數。，且

有 問題：除了用定義外，如果證得對任意的，能斷定函數 在區間 上是增函數嗎 ? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性。讓學生嘗試用這種等價形式證明 函數

在 上是增函數。

〖 設計意圖 〗 初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟。了解等價形式進一步發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆。(四)歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結。1.小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性。(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。(3)數學思想方法：數形結合。2.作業

第二篇：函數單調性教學案例分析

“函數的單調性”案例分析 連江一中數學組 李鋒

數學概念的教學是培養學生創新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數學概念的發生、發展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數學的興趣，培養學生創新精神和實踐能力將是十分有利的。現以《函數的單調性》教學實例來進行分析：

一、案例

課題：函數的單調性（第一課時）

二、實施過程（注：課堂實錄已經簡化）

1．問題引入

師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數解析式：y=f(x);x?[0,24]

師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）

師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數y=f(x)在區間[0，3]上，是單調遞增函數。同理，函數y=f(x)在區間[3,9]上是單調遞減函數。這就是我們要研究的函數的又一特性——函數的單調性。2．定義探究

師：在某個區間上：①函數值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數在這個區間上是增函數。②函數值Y隨X的增大而減小（圖象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數在這個區間上是減函數。

提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數單調性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？

生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關系，就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征，把文字語言表達為數學語言，簡單明了。

師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）

生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？

生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？

生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

師：能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？

（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：

①函數y=x2 在(-∞,0)上是減函數，在[0，+∞]上是增函數，所以函數 y=x2 在定義域R上是增函數或是減函數。

②已知函數f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1f(x2)，所以函數在區間[-2，2]上是減函數。

③若函數y=1/x在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）也單調遞減，則該函數在定義域內單調遞減。

（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發言踴躍，互相討論、補充，把本節課推向高潮）師：因此，要判定一個函數的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關鍵，在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用

提出問題4：判斷函數f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明。解：略

師：易知函數f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調遞減函數，請同學歸納一下要證明一個函數在某個區間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。

4．課堂小結（由學生回答）（略）

5．布置作業

（略）

三、案例分析

（一）本節課的設計思路 1．知識目標設計：

（1）在探究中，尋求函數單調性規律并形成概念。

（2）熟練運用函數單調性的概念證明函數在某個區間上的單調性。2．能力目標設計：

（1）通過對單調性概念的發生、發展的分析過程，培養學生的數學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節課的教學探究，培養學生用數學語言代替文字語言的表達能力。提高對數學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設計：

針對本節課教學目標，教學過程分為三個階段：

（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。

（2）定義探究階段：本節課的中心內容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數單調性規律并形成概念。

（3）概念應用階段：函數的單調性定義應用只設計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思，總結出解題的步驟和規律。

（二）本案例課堂教學的特點

1、抓住課堂教學的基本原則

(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發揮教師的主導作用，教師創造性地教，學生創造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發和梳理，并洞察課堂中發生地各種問題，準確地判斷發生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。

(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創設進行觀察、探索、發現的學習環境，鼓勵學生質疑問難，大膽聯想，激發學生的學習興趣和創造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調性概念的發生、發展有了較深刻的理解，探索到函數單調性規律并形成了概念。同時培養了學生用數學語言代替文字語言的表達能力，提高對數學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質。把函數單調性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。

(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯系實際，要結合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數的單調性定義應用只設計了問題5，典型的反比例函數，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思、質疑，總結出解題的步驟和規律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節課的反饋，又是引發對本節課的思考。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。

(4)激勵性原則：要幫助學生實現成功，讓學生在學和做中能經常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養學生的自尊心和自信心，增強學生的創造動機和創造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創新。

2、體現能力培養的指導思想

概念教學有利于培養學生的發現能力；有利于培養學生的創新精神；有利于培養學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關鍵是發現事物的本質屬性或規律。發現是創造的一種重要形式，創造需要一種實踐活動的過程。現代著名心理學家布魯納認為：“發現不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發現包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式。”由此可以看出，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發現。在過程中發現，在發現中創新。因此，在數學教學中，教師要努力創造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數學概念的形成和發展過程，進行數學的再發現、再創造，培養學生的發現能力和創新能力。

(三)本案例課堂教學引發的反思

1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數學教材展現在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數學概念和思想方法的形成，發展過程，從而也掩蓋了數學發現、數學創造、數學應用所經歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創設情境，方法靈活多樣，激發學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構，使學生了解知識的發生與發展的背景和過程，使學生對數學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創造啟發式的教學環境，揭示概念的本質屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結構分析和概念的應用，形成一個生動的概念發生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。

2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾

探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調控教學節奏，頗有一些辦法，是不是一發現學生得到了正確的結論，就讓其回答，并結束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節課的教學內容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經歷。而新課程標準則強調讓學生經歷“直觀感知”、“觀察發現”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數學概念的構作，數學思維的建立，數學意識的形成，所以，教師應設計好每節課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數學意識、思維品質的培養，使學生懂得數學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。

落實新課程改革精神，并不是

一、兩節課的事，應該體現在課堂教學的每個環節和過程，教師要更新觀念，轉換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化，全面提高學生數學素養。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。

第三篇：《函數單調性》教學案例

《函數單調性》教學案例

1.【案例背景】

“函數的單調性”是新課標人教版《數學·1》第一章第三節的教學內容。“課標”規定兩個課時，所選案例為第一課時。

函數的單調性是函數的一條基本性質，從知識結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究基本初等函數、三角函數等內容的基礎。在這之前，學生已經學過函數的定義，函數的表示，學習過一次函數，二次函數，反比例函數等，函數單調性是學生研究函數整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節內容承前啟后，解決有關的函數問題，這一節學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節的知識產生正遷移作用。

2.【教學內容分析】

首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎．

其次，從函數角度來講.函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.3.【學情分析】

高一的學生正處于經驗邏輯思維發展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數單調性的本質是利用定量的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達．

因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯系．如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發現的過程．充分展現學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程。充分展現在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．

4.【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）

【設計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數的單調性和我們的生活密切相關，進而激發學生的興趣，引發學生進一步學習的好奇心。

生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二．借助圖象，直觀感知

問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數圖象，回答下面兩個問題：

⑴分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的？

【設計意圖】順應學生的認知規律。

（小組合作探求）

生1：一次函數y=x其定義域上是上升的，二次函數y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？

生2：一次函數y=x在區間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數y=x2在區間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同學們能用數學語言把這兩個函數圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

【設計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當的思考時間）

這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？

生4：老師，我有補充，應該說：該函數在區間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數變量在對應區間上的變化情況，那么函數y?x2呢？ 生5：函數y?x2在區間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減小；在區間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。

師：在數學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數。

五、鞏固概念，適當延展

練習2：證明函數f(x)?x在[0,??)上是增函數． 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2.課后探究：

研究函數y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：

1、概念教學就是對知識發生過程的了解，數學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發認知上的不平衡，產生學習的動力。

2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當的腳手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術，是學生從“形”到“數”有了清新的認識。

第四篇：函數的單調性教學案例分析

函數的單調性教學案例分析

一、內容介紹 1.教材內容分析

“函數的單調性”是《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修一》第一章第三節的內容，本節課的實質是對函數運動趨勢的研究，函數的單調性既是函數的基本特征之一，這一知識也為基本初等函數的研究提供了方法。對于函數單調性的研究過程，我們需要經歷從觀察具體圖像入手，然后進行定量分析，最后抽象出形式化的定義，這個過程中體現了數學中數形結合和歸納轉化的重要數學思想方法，反映了從特殊到一般的數學思維方式，這有助于培養學生根據圖認識數學問題、發展學生的思維能力，掌握學生的思想方法有重大意義。2.學生分析

本節課是在學生初中已有粗略的認識的基礎上進行，即主要根據觀察圖像得出結論。本節課中對于函數單調性的定義，是應用數學符號將自然語言的描述提升到了形式化的定義，學生接受起來可能相對有些困難。在得出函數單調性的定義的過程中，始終要結合具體函數的圖像進行，這樣可以增強直觀性，由具體到抽象，再由抽象到具體，方便學生的理解。在定義中要注意對自變量取值的任意性的理解，留給學生更多的思考空間。

二、教學目標 1.知識與技能

理解函數的單調性的定義，了解增函數、減函數以及單調區間等概念的形成過程。2.過程與方法

掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟，掌握利用函數的圖像去判斷函數單調性，經歷從直觀到抽象、從圖形語言到數學語言的過程。

3.情感態度與價值觀

通過自主探究活動，體驗數學概念形成的過程，體會從特殊到一般的過程。

三、教學重難點 1.教學重點

形成增函數和減函數的形式化定義。2.教學難點：

在概念形成的過程中，從圖像的變化趨勢的直觀認識過渡到函數增減的數學符號語言表示；用定義證明函數的單調性。

四、教學基本流程 1.創設情境，引入概念

通過具體有實際意義函數問題，抽象出函數圖像，提問：圖像有什么特點？

師生互動：教師引導學生觀察圖像的升降變化，說出自己的看法。設計意圖：通過學生的直觀認識引入新課，讓學生對函數的單調性產生感性認識，為引出單調性的定義打好基礎，有利于定義的自然生成，也揭示了單調性最本質的東西。2.合作探究，形成概念

觀察兩組圖像(具備增減性的函數圖像)，引導學生嘗試歸納增函數和減函數的定義。

一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域內I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數f(x)是區間D上的單調遞增函數。問題一：兩組函數有什么特征？

問題二：你能用準確的數學符號語言表述增函數的定義嗎？ 學生討論，最后由教師給出增函數的定義。由學生類比得到減函數的定義。

對定義進行適當說明：(1)x1,x2的三大特征：屬于同一個區間，任意性，有大小；(2)函數的單調性是一種局部性質。

啟示：以問題串的方式進行啟發、引導學生自己歸納總結，找出函數在代數上的共同點，得到減函數的定義，主要是為了培養學生對圖像的觀察能力，以及培養學生的歸納概括能力。在總結概念的形式化定義的時候，采用相互討論的方式，目的是可以通過合作學習的方式對基礎較差的學生給予指導，培養學生互相幫助的精神。根據知識的發生發展過程，對學生能力的適當評估；引導學生自己動手得出減函數的定義和圖像特征，這個過程將課堂還給學生，營造一種人人參與的氛圍。

3.定義應用，概念深化

例1：結合函數圖象找到函數的單調區間（注意：單調區間的寫法，能否寫成并集的形式，單調區間是開區間還是閉區間的問題）例2：函數單調性的證明

（總結利用定義證明函數單調性的步驟：取值、作差變形（常用方法：因式分解，有理化，配方等）、定號、下結論）4.歸納總結，提高認識

教師設置問題，引導學生討論、交流、總結，讓學生充分發表意見。（1）通過函數概念的形成過程，你們學習到了什么？

（2）增函數（減函數）的圖像有什么特點？如何根據函數圖像得出函數的單調區間（3）怎樣利用定義證明函數的單調性？ 5.布置作業（必做題與選做題，設置梯度）

五、教學方法

本節課是函數單調性的起始課，主要采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念。其中使用多媒體投影和計算機輔助教學，充分發揮直觀、形象的特點，為學生提供感性的材料，有助于學生的理解和認識。

六、教學反思

新課改強調將課堂還給學生，其實對于教師的要求更加提高。要讓一節課的知識點完全由學生自己總結、歸納是不太現實的，所以這需要教師在課堂中起好啟發、引導作用。在引導的過程中，需要對于不同難度的問題設置不同數量的問題。如果問題較難，跨度較大，我們需要對問題多設置幾個橋梁，減小問題的難度，對于這個度的把握，就需要教師站在一個更高的位置，對知識點和學生的情況有較高的熟悉程度，備課設置問題和相關環節時一定要多考慮學生所有可能出現的情況，在課堂上隨時調整。

我們在課堂上的作用是引導學生，但不是牽著學生走；要嚴格要求學生，但是課堂也不應該過分壓抑。新課程改革中我們一定要將學生放在主體地位，讓學生參與和完成課堂中的活動，教師在整個授課過程中要起好啟發、引導的作用，才可以讓學生學會學習、體會學習的樂趣。

第五篇：《函數單調性》的教學案例

《函數單調性》的教學案例

一、教學目標:

(1)知識與技能：理解增函數、減函數的概念，初步掌握判斷 函數單調性的方法;

(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養學生 從圖象中發現函數的單調性，并用數學語言加以刻畫的能力，領會數形結合的數學思想方法。

(3)情感態度與價值觀：在學習中，體驗數學的科學價值和應

用價值，培養善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。

二、教學重點、難點

教學重點：在圖象中發現函數的單調性并形成概念;

教學難點：將函數單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數學 語言，用定義證明函數的單調性。

三、《函數單調性》 教學過程：

在下一頁用圖表說明。

《函數單調性》 教學過程