第一篇：函數單調性教學技巧與分析(圖文).
函數單調性教學技巧與分析(圖文)
論文導讀：函數單調性是函數的重要性質，教學中恰到好處的實例引入，數形的有機結合，重點實際的技巧分析，是學生學好函數單調性這一性質的關鍵。關鍵詞：注重實例，強化數形，突出技巧
函數單調性是函數的一條重要性質，里面的知識點雖不多，但它的重要性及實際應用卻很廣，對今后的學習至關重要，如何有效地教學，是學好函數單調性這一性質的關鍵。
一、恰到好處的實例引入是學好單調性的前提
一堂好的數學課，找準問題的切入點是解決問題的關鍵，可避免走彎路，接近學生的發展區，實效性強，使難點問題迎刃而解，當然這種切入點的引入，要找學生熟悉的知識點，最好是溫故知新的那種。例如，單調性的分析，最好的切入點是引入頂點在原點的拋物線來研究，這個知識點大家熟悉，簡單易分析，效果強。圖形如下(A)
從圖(A)我們看到軸右側自變量的變化區間在的范圍內，隨著自變量的增大，函數值也增大，像這樣的函數我們把它叫增函數，再看軸的左側，自變量的變化區間在的范圍內,隨著自變量的增大,函數值卻減小,這樣的函數我們把它叫做減函數，函數在某個區間上是增函數，我們稱為遞增性，在某個區間上是減函數，我們稱它為遞減性，這種函數在某個區間上遞增或遞減的性質稱為函數的單調性。這樣單調性的特點、定義一下子就明確了，而且學生容易理解不走彎路。
二、數形的結合使單調性的學習變得鮮活生動
數學的學習離不開圖，有人說，數學是數形的結合，看起來形（即圖形）在數學課的教學中至關重要，圖形不僅增強人的空間想象力，還可引發發散思維，可提高學習興趣，形象生動，降低難度，實現一步到位的理論上的跨越，使高深的理論變得簡單、清晰、鮮活，學生記憶深刻。例如，單調性的圖像特點，我們從引入的實例的拋物線圖中看到（見圖A），軸的右側在區間上是增函數，特點是沿著軸正方向圖像上升，軸左側在區間上是減函數，特點是沿著軸正方向圖像下降，這樣我們可總結規律，凡是在某個區間上圖像沿著軸正方向上升的，即為增函數(見圖B)，在某個區間上圖像沿著軸正方向下降的即為減函數（見圖C），由圖像的特點找到自變量變化的區間，即單調區間，顯得輕而易舉，根據這個圖像特點再去分析復雜的圖像，學生很容易找到增函數、減函數、單調區間，這樣增函數、減函數、單調區間的確定變得簡單化了。
三、重點實際的總結歸納使單調性學習富有規律
通過圖像找單調性，確定函數單調區間固然好，但有時不直接給圖像時，學生看到函數不會畫草圖，這樣確定單調性對有的同學來說還有一定的難度。數學是有一定規律可循的學科，就單調性的學習而言，讓學生知道在中專學習中常遇到的幾種函數如一次、二次、反比例函數單調性的判定技巧，使單調性的學習變得簡單而富有規律。
例如，1、一次函數單調性的判定，它的單調性取決于，當>0時一次函數的圖像在上是增函數，當<0時，一次函數的圖像在上是減函數。
2、特殊的二次函數的單調性取決于，在上，當>0時，這個特殊的二次函數是增函數，<0時是減函數。在上正好相反。
3、反比例函數在上，它的單調性取決于，當>0時為減函數，<0時為增函數。
這樣在中職學生層面，給一個函數判定單調性的問題學生不再感覺有難度了，函數的這一條重要性質變得淺顯易懂，化解了書中的難點，增強了學生學習的自信。
總之，這種恰到好處的實例引入，抓住了問題的關鍵，圖形的有機結合，使單調性的學習變得鮮活生動，帶有技巧性的分析，使單獨性的學習變得簡單而富有規律。
第二篇：函數單調性教學案例分析
“函數的單調性”案例分析 連江一中數學組 李鋒
數學概念的教學是培養學生創新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數學概念的發生、發展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數學的興趣，培養學生創新精神和實踐能力將是十分有利的。現以《函數的單調性》教學實例來進行分析：
一、案例
課題：函數的單調性（第一課時）
二、實施過程（注：課堂實錄已經簡化）
1．問題引入
師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數解析式：y=f(x);x?[0,24]
師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）
師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數y=f(x)在區間[0，3]上，是單調遞增函數。同理，函數y=f(x)在區間[3,9]上是單調遞減函數。這就是我們要研究的函數的又一特性——函數的單調性。2．定義探究
師：在某個區間上：①函數值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數在這個區間上是增函數。②函數值Y隨X的增大而減小（圖象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數在這個區間上是減函數。
提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數單調性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？
生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關系，就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征，把文字語言表達為數學語言，簡單明了。
師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）
生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？
生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？
生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
師：能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？
（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：
①函數y=x2 在(-∞,0)上是減函數，在[0，+∞]上是增函數，所以函數 y=x2 在定義域R上是增函數或是減函數。
②已知函數f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1
③若函數y=1/x在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）也單調遞減，則該函數在定義域內單調遞減。
（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發言踴躍，互相討論、補充，把本節課推向高潮）師：因此，要判定一個函數的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關鍵，在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用
提出問題4：判斷函數f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明。解：略
師：易知函數f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調遞減函數，請同學歸納一下要證明一個函數在某個區間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。
4．課堂小結（由學生回答）（略）
5．布置作業
（略）
三、案例分析
（一）本節課的設計思路 1．知識目標設計：
（1）在探究中，尋求函數單調性規律并形成概念。
（2）熟練運用函數單調性的概念證明函數在某個區間上的單調性。2．能力目標設計：
（1）通過對單調性概念的發生、發展的分析過程，培養學生的數學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節課的教學探究，培養學生用數學語言代替文字語言的表達能力。提高對數學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設計：
針對本節課教學目標，教學過程分為三個階段：
（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。
（2）定義探究階段：本節課的中心內容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數單調性規律并形成概念。
（3）概念應用階段：函數的單調性定義應用只設計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思，總結出解題的步驟和規律。
（二）本案例課堂教學的特點
1、抓住課堂教學的基本原則
(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發揮教師的主導作用，教師創造性地教，學生創造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發和梳理，并洞察課堂中發生地各種問題，準確地判斷發生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。
(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創設進行觀察、探索、發現的學習環境，鼓勵學生質疑問難，大膽聯想，激發學生的學習興趣和創造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調性概念的發生、發展有了較深刻的理解，探索到函數單調性規律并形成了概念。同時培養了學生用數學語言代替文字語言的表達能力，提高對數學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質。把函數單調性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。
(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯系實際，要結合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數的單調性定義應用只設計了問題5，典型的反比例函數，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思、質疑，總結出解題的步驟和規律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節課的反饋，又是引發對本節課的思考。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。
(4)激勵性原則：要幫助學生實現成功，讓學生在學和做中能經常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養學生的自尊心和自信心，增強學生的創造動機和創造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創新。
2、體現能力培養的指導思想
概念教學有利于培養學生的發現能力；有利于培養學生的創新精神；有利于培養學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關鍵是發現事物的本質屬性或規律。發現是創造的一種重要形式，創造需要一種實踐活動的過程。現代著名心理學家布魯納認為：“發現不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發現包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式。”由此可以看出，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發現。在過程中發現，在發現中創新。因此，在數學教學中，教師要努力創造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數學概念的形成和發展過程，進行數學的再發現、再創造，培養學生的發現能力和創新能力。
(三)本案例課堂教學引發的反思
1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數學教材展現在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數學概念和思想方法的形成，發展過程，從而也掩蓋了數學發現、數學創造、數學應用所經歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創設情境，方法靈活多樣，激發學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構，使學生了解知識的發生與發展的背景和過程，使學生對數學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創造啟發式的教學環境，揭示概念的本質屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結構分析和概念的應用，形成一個生動的概念發生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾
探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調控教學節奏，頗有一些辦法，是不是一發現學生得到了正確的結論，就讓其回答，并結束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節課的教學內容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經歷。而新課程標準則強調讓學生經歷“直觀感知”、“觀察發現”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數學概念的構作，數學思維的建立，數學意識的形成，所以，教師應設計好每節課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數學意識、思維品質的培養，使學生懂得數學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。
落實新課程改革精神，并不是
一、兩節課的事，應該體現在課堂教學的每個環節和過程，教師要更新觀念，轉換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化，全面提高學生數學素養。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。
第三篇：函數的單調性復習方法與技巧
函數的單調性
一、知識點
1、函數單調性的定義；
2、判斷函數單調性（求單調區間）的方法：
（1）從定義入手
（2）從圖象入手
（3）從熟悉的函數入手
（4）從復合函數的單調性規律入手
（5）從導數入手
注：先求函數的定義域
3、函數單調性的證明：定義法；導數法。
4、一般規律
（1）若f(x),g(x)均為增函數，則f(x)+g(x)仍為增函數；
（2）若f(x)為增函數，則-f(x)為減函數；
（3）互為反函數的兩個函數有相同的單調性；
（4）設y?f?g?x??是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則y?f?g?x??在M上是減函數；若f(x)與g(x)的單調性相同，則y?f?g?x??在M上是增函數。
二、例題選講
例
1、求下列函數的單調區間，并確定每一單調區間上的單調性。
1??1?y?1?x?2?y????1?xx2?x?3??3?y?13x?x2?3x?6 3
練習(變式一)求下列函數的單調區間:
?1?y?x?2x?3?2?y?log12x2?x?12
2例
2、如果二次函數f?x??x?(a?1)x?5在?,1?上是增函數，求f(2)的取值范圍。?1?
?2?
例
3、討論函數f?x??x?a?a?0?的單調性。)x
2ax例
4、是否存在實數a，使函數f?x??log?a?x?在區間?2,4?上是增函數？如果存在，說明a
可取哪些值；如果不存在，請說明理由。
練習：（變式一）函數f?x??log
備例1.設函數f?x??a???x?8??x??9在?1,???上是增函數，求a的取值范圍。x2?1?ax其中a?1，證明f(x)在區間?0,???上是單調函數。
2.（考例4）已知函數f(x)的定義為R，對任意的實數x1,x2都滿足f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2)，當x>0時，f(x)>0，且f(2)=3.（1）試判斷f(x)的奇偶性和單調性；
（2）當???0,?時，f?cos2??3??f?4m?2mcos???0對所有的?均成立，求實數?2?m的取值范圍。???
第四篇：函數單調性
函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計
北京教育學院宣武分院 彭 林
函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。
關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？
在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。
就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。
第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。
第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。
基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。
讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．
在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數
在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．
關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？
對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。
所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：
右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減
對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？
從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？
一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：
（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。
用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。
在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！
因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明
在上為增函數？
這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：
①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以
在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。
對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明
就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。
教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：
判斷題：
①②若函數③若函數滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規備課 【教學目標】 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創設情境，引入課題 課前布置任務： (1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知 問題1： 分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函 預案：(1)函數 在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數 在整個定義域內 y隨x的增大而減小． (2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小． (3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識 問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明 在為增函數？ 22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以 在,因為 為增函數． 在為增函數． 在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量． 【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數 ③若函數 在區間 和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)上為增函 ． ④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展 例 證明函數 在上是增函數． 1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取 ，設元 求差 變形，斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數 2．歸納解題步驟 在上是增函數． 定論 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數 問題：要證明函數 在區間 上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對 在上是增函數． 任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業 書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數 在區間 上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且 有． (2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成． 三、教學過程的設計 為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆． 函數單調性教學與反思 教學內容： （一）引入課題 我國的人口出生率變化曲線（如下圖），請同學們觀察說出人口出生的大致變化情況。我們可以很方便地從圖象觀察出人口出生的變化情況，對今后的工作具有一定的指導意義。 下面我們開始研究函數在這方面的主要性質之一―――函數的單調性。 （二）形成概念 1、觀察引入 演示動畫（1）函數y=2x+1隨自變量x 變化的情況 （2）函數y=-2x+1隨自變量x 變化的情況 （設計意圖：由初中知識過度到今天要學的知識，對初中知識進行深化，激起學生新的認知沖突，從而調動學生積極性） 2、步步深化 演示動畫(3)函數y=x2隨自變量x 變化的情況，設置啟發式問題： (1)在y軸的右側部分圖象具有什么特點？ (2)指出在y軸的右側部分自變量與函數值的變化規律？(3)如果在y軸右側部分取兩個點（x1，y1），（x2，y2），當x1 (4)如何用數學符號語言來描述這個規律？ 教師補充：這時我們就說函數y=f(x)=x2在(0,+ ?)上是增函數.(5)反過來，如果y=f(x)在(0,+ ?)上是增函數，我們能不能得到自變量與函數值的變化規律呢？ 類似地分析圖象在y軸的左側部分。 （設計意圖：通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”?“文字語言”?“符號語言”多方面認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換，另外，我認為學生對“任意性”較難理解，特設計了（3）、（4）問題，步步深入，從而突破難 點，突出重點。） 3、形成概念 注意：（1）變量屬于定義域 （2）注意自變量x1、x2取值的任意性 （3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1) （設計意圖：體現從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創新意識。） （三）深化概念 例1 如圖6是定義在閉區間[-5，5]上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出y=f(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=f(x)是增函數還是減函數.(通過講解例1，讓學生學會通過觀察圖象寫出函數的單調區間。)例2 證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1 11x?x－=21,（注意變形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ ?)，得x1x2>0, 又由x1 （四）即時訓練 課堂練習： 1、書P60 練習1（請同學口答） 2、判斷函數f(x)=在(-?,0)上是增函數還是減函數并證明你 1x的結論.（設計意圖：一個新知識的出現，要達到熟練運用的效果，僅僅了解是不夠的，一定量的“重復”是有效的，也是必要的，所謂“溫故而知新”、“熟才能生巧”。）反思： 函數單調性是函數的一個重要性質，并且學生是頭一次接觸函數的單調性，陌生感強。函數單調性，單調區間的概念掌握起來有一定困難，這樣會增加學生的負擔，不利于學生學習興趣的激發。學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念。進入高中以后，又進一步學習了函數的概念，認識到函數是兩個數集之間的一種對應。學生只學過一次函數、反比例函數、正比例函數、二次函數，所以對函數的單調性研究也只能限于這幾種函數。學生的現有認知結構中能根據函數的圖象觀察出“隨著自變量x的增大函數值y增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數圖象的直觀性、發揮好多媒體教學的優勢通過一組常見的具體函數例子，引導學生借助初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數的圖象，從函數圖像分析入手，使學生對增、減函數有一個直觀的感知。從圖象直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性的第一次認識。 教學中，通過一次函數、二次函數等具體函數的圖象及數值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調增的說法。通過討論、交流，讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區間上，如果對于任則函數在該區間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征。進一步給出函數單調性的定義。然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念。 用函數單調性的定義證明函數的單調性。應該注意證明的四個基本步驟：取值——作差變形——定號——判斷。把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。使用函數單調性定義證明是本節課的一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊。第五篇：函數單調性教學與反思
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