第一篇：《函數的單調性》教學目標

教學目標、教學重點、教學難點

《函數的單調性》

教學目標： 1.知識目標 ①理解函數的單調性的概念，掌握判斷或證明函數單調性的方法和步驟； ②會求函數的單調區間.2.能力目標 ①通過對函數單調性的證明及單調區間的求法的復習，培養學生應用化歸轉化和分類討論的數學思想解決問題的能力.②通過本節課的復習，使學生體驗和理解從特殊到一般的歸納推理的能力.③通過課堂的練習，提高學生分析問題和解決問題的能力.3.情感目標 培養學生的邏輯推理能力和創新意識，同時，培養學生對數學美的藝術體驗.教學重點：證明函數的單調性以及求函數的單調區間.教學難點：函數單調區間的求法.《簡單的冪函數》

教學目標：

1．了解指數是整數的冪函數的概念;能通過觀察總結冪函數的變化情況和性質;2．學會利用定義證明簡單函數的奇偶性,了解用函數的奇偶性畫函數圖象和研究函數的方法

3．培養學生從特殊歸納出一般的意識，培養學生利用圖像研究函數奇偶性的能力，引導學生發現數學中的對稱美，讓學生在識圖和畫圖中獲得樂趣。教學重點：冪函數的概念，奇偶函數的概念.教學難點：冪函數圖像性質，研究函數奇偶性。

《正比例函數》

教學目標：知識與技能： ⑴理解正比例函數及正比例的意義；

⑵根據正比例的意義判定兩個變量之間是否成正比例關系； ⑶識別正比例函數，根據已知條件求正比例函數的解析式或比例系數。

過程與方法： ⑴通過現實生活中的具體事例引入正比例關系通過畫圖像的操作 實踐，體驗“描點法”； ⑵經歷利用正比例函數圖像直觀分析正比例函數基本性質的過程，體會數形結合的思想方法和研究函數的方法

情感態度與價值觀： 積極參與數學活動，對其產生好奇心和求知欲．形成合 作交流、獨立思考的學習習慣．

教學重點： 理解正比例和正比例函數的意義

教學難點：

判定兩個變量之間是否存在正比例的關系

《體積和體積單位》

☆【教學目標】

1.讓學生初步建立起空間大小的概念，知道“體積”的含義，發展學生的空間觀念。2.讓學生通過觀察、操作、實驗體會并理解體積的含義，認識常用的體積單位：立方米、立方分米、立方毫米。

3.初步掌握計量物體的體積的方法，能選擇恰當的體積單位估算常見物體的體積。4.培養學生的實驗能力、觀察能力以及合作學習的能力，擴展學生的思維，進一步發展學生的空間觀念。

【教學重點】使學生感知物體的體積，初步建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的體積觀念。【教學難點】幫助學生建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的表象，能正確應用體積單位估算常見物體的體積。

☆ 【教學目標】

1、通過實驗觀察，使學生理解體積的含義，認識常用的體積單位：立方米、立方分米、立方厘米。

2、使學生知道計量物體的體積，就要看它所含體積單位的個數。

3、使學生初步了解體積單位與長度單位、面積單位的區別和聯系。

4、通過學生對體積意義的探索，發展學生的空間觀念，培養學生的推理能力。

【教學重點】使學生感知物體的體積，掌握體積和體積單位的知識。

【教學難點】使學生建立體積是1立方米、1立方分米、1立方厘米的空間觀念，能正確應用體積單位估算常見物體的體積。

《軸對稱與坐標變化》

教學目標 【知識目標】：

1、在同一直角坐標系中，感受圖形上點的坐標變化與圖形的軸對稱變換之間的關系．

2、經歷圖形坐標變化與圖形軸對稱之間關系的探索過程，發展形象思維能力和數形結合意識。【能力目標】： 1．經歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關系和變換的過程，掌握空間與圖形的基礎知識和基本技能，培養學生的探索能力。【情感目標】 1．豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維。2．通過有趣的圖形的研究，激發學生對數學學習的好奇心與求知

欲，能積極參與數學學習活動。3．通過“坐標與軸對稱”，讓學生體驗數學活動充滿著探索與創造。

教學重點： 經歷圖形坐標變化與圖形軸對稱之間關系的探索過程，明確圖形坐標變化與圖形軸對稱之間關系。

教學難點： 由坐標的變化探索新舊圖形之間的變化探索過程，發展形象思維能力和數形結合意識。

《倍的認識》

☆教學目的：

1、初步建立“倍”的概念，理解“幾倍”與“幾個幾”的聯系。

2、培養學生觀察、推理、遷移能力及語言表達能力。

3、培養學生善于動腦的良好學習習慣和對數學的學習興趣。

4、培養他們的創新意識和實踐操作能力。

教學重點：初步建立“倍”的概念。理解和掌握：“一個數是另一個數的幾倍”的含義 ☆教學目標：

1、基本目標

（1）學生緊密聯系生活實際，通過操作，把“倍”的概念與學生已有的認識基礎“份”聯系起來，理解“倍”的含義，建立“倍”的概念。

（2）學會分析一個數是另一個數的幾倍的實際問題的數量關系。（3）學生在學習過程中體會數學知識之間的內在聯系，發展觀察、比較、抽象、概括和合情推理能力。（4）學生在情境中探究解題的過程，體會探究帶來的成功體驗。

2、發展目標

（1）學生充分體驗數學與日常生活的密切關系，培養生活中的數感。（2）培養學生積極探究、大膽嘗試的自主學習能力和同學間協作互助的精神。

（3）學生進一步體會數學與現實生活的聯系，培養學生認真觀察、善于思考的良好學習習慣，增強學習數學的興趣和信心。

教學重點：建立“倍“的概念。

教學難點：理解“一個數是另一數的幾倍”的含義和計算方法。

第二篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第三篇：函數單調性教學設計

函數單調性教學設計

關于函數的單調性習題課教學設計，本人在聽了專家的講解后感到受益匪淺，結合平時的教學，有些教學方面的心得如下，希望專家和同行批評指正。

本節課是高中數學新課程標準必修1的第2章函數里的函數基本性質中介紹的第一個性質。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數各類函數的單調性的基礎，而且函數單調性在解決函數變化趨勢、值域、最值、不等式等許多問題中有著廣泛的應用。對整個高中數學教學起著重要的奠基作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。下面我就這部分內容的習題教學提出一些不成熟的做法。

教學目標：

（1）在知識方面，通過習題訓練，使學生能加深對函數單調性概念的理解，進一步掌握判斷并證明函數的單調性方法、學會應用函數的單調性解決相關問題。

（2）在能力方面，培養學生歸納、抽象以及推理的能力，提高學生創新的意識，并滲透數形結合的思想。

（3）在價值觀和情感教育方面，讓學生在解題的過程中體驗數學美，培養學生樂于求索的精神，提高學生的數學修養，使其養成科學、嚴謹的研究態度。教學重點和難點：

本節課的教學重點是函數單調性的判定、證明及應用。其中的教學難點是函數單調性的應用和復合函數單調性的理解。教法和學法：

在教法上采用傳統的講練結合。在具體實施上，將采用計算機輔助教學的手段，為了貼切地服務于教學目標，課件的制作是為了能更好的講練習題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。而學生在學習過程中不僅要訓練知識技能，還要達到思維的訓練，因此這節課要以學生為主體，給學生充足的活動空間。作為教師，我要做好啟發和規范地指導，引領學生大膽地探索，并培養其嚴謹的數學品質。

教學過程設計：

大概分為復習回顧、例題講解、規律小結、鞏固練習四個版塊，最后布置作業。下面為每部分的具體構思。

1、復習分為概念回顧和基礎練習兩部分，預計費時7到8分鐘左右，其中概念為（1）函數單調性和單調區間的定義以及用定義證明函數單調性的步驟，（2）怎么判斷函數單調性及單調區間——可以用定義法，也可以從圖象上觀察。形式主要由學生口答。基礎練習部分選擇了5道小題目，課件形式給出，請學生口答，內容涉及單調性的理解，一次函數、二次函數的單調性，最后一題讓學生們畫出圖象，觀察圖象的“升降”寫出單調區間，滲透數形結合的思想，都是小題目，難度小，用時少，但緊扣概念，也讓學生迅速熱身，無形中抓住了學生的課堂注意力。

2、例題選擇方面：

關于例

1、試判斷函數f(x)?變式：討論函數f(x)?x(?1?x?1)的單調性并證明； x2?1ax(?1?x?1)的單調性。x2?1選擇這個題目是為了讓學生更好地掌握定義法證明函數單調性的方法和基本步驟，變式的選擇是為培養學生分情況討論的意識和能力，講解過程中要注意證明的規范性，進一步培養學生嚴謹、規范的科學態度和品質。

關于例

2、求函數y?x?2?1的值域。x?2函數單調性的一個很重要的應用是求函數的值域或最值，選擇這道題，教會學生利用單調性來求函數值域的方法。讓學生體會利用單調性求值域時的簡捷有效。豐富學生的知識體系。

關于例

3、已知函數f(x)是定義在(0,??)上的增函數，且f()?f(x)?f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)?1,解不等式f(x?5)?2

這是一道抽象函數的題目，對于求出f(1)、f(9)分別是0和2用的是賦值法，這是抽象函數中常用的方法，不等式變為f(x?5)?f(9)，應用函數單調性，將抽象函數函數值的大小關系，轉化為自變量之間的大小關系，即??x?5?9，提醒學生注意函數定義域！

?x?5?0選擇這個抽象函數的例子，目的就是讓學生體會并掌握怎么樣利用單調性轉化函數和自變量的大小關系。

關于例

4、已知f(x)是R上的減函數，g(x)??x2?4x，求函數h(x)?f(g(x))的單調增區間。

最終的那個函數明顯是個復合函數，函數g(x)圖象的對稱軸是x?2，開口向下，在[2,??)上遞減，又f(x)也遞減，所以[2,??)是個增區間。

本題小結：兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。

3、關于這部分的課堂小結：

我們可以應用函數的單調性求函數值域、解不等式，以及證明一些代數命題。

4、關于鞏固練習題目方面的選擇：

這部分選兩題，類型在例題中已出現，其中第一個要先證明函數的單調性，再求值域。而第二題則先要判斷單調性，再進行證明，確定了單調性之后再應用到三角形的問題中，使學生在解題的過程中體會在一些代數不等式證明中如何應用函數單調性的。

這部分讓學生自己做，用投影儀和板書結合，規范其書寫和論證。

5、關于作業布置方面：

結合本節課的講解內容，為進一步鞏固教學成果，在作業題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內容。一共有三大題，第一題是求單調區間，其中要用圖形，數形結合；第二題要利用例4的小結“兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。”；第三題是抽象函數題，與課上的例3類型一樣，讓學生課后練習鞏固。

以上是我對這部分習題教學方面的一些思考，希望得到專家的指正！

第四篇：《函數單調性》教學案例

《函數單調性》教學案例

1.【案例背景】

“函數的單調性”是新課標人教版《數學·1》第一章第三節的教學內容。“課標”規定兩個課時，所選案例為第一課時。

函數的單調性是函數的一條基本性質，從知識結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究基本初等函數、三角函數等內容的基礎。在這之前，學生已經學過函數的定義，函數的表示，學習過一次函數，二次函數，反比例函數等，函數單調性是學生研究函數整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節內容承前啟后，解決有關的函數問題，這一節學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節的知識產生正遷移作用。

2.【教學內容分析】

首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎．

其次，從函數角度來講.函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.3.【學情分析】

高一的學生正處于經驗邏輯思維發展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數單調性的本質是利用定量的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達．

因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯系．如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發現的過程．充分展現學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程。充分展現在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．

4.【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）

【設計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數的單調性和我們的生活密切相關，進而激發學生的興趣，引發學生進一步學習的好奇心。

生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二．借助圖象，直觀感知

問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數圖象，回答下面兩個問題：

⑴分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的？

【設計意圖】順應學生的認知規律。

（小組合作探求）

生1：一次函數y=x其定義域上是上升的，二次函數y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？

生2：一次函數y=x在區間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數y=x2在區間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同學們能用數學語言把這兩個函數圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

【設計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當的思考時間）

這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？

生4：老師，我有補充，應該說：該函數在區間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數變量在對應區間上的變化情況，那么函數y?x2呢？ 生5：函數y?x2在區間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減小；在區間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。

師：在數學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數。

五、鞏固概念，適當延展

練習2：證明函數f(x)?x在[0,??)上是增函數． 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2.課后探究：

研究函數y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：

1、概念教學就是對知識發生過程的了解，數學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發認知上的不平衡，產生學習的動力。

2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當的腳手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術，是學生從“形”到“數”有了清新的認識。

第五篇：函數單調性的教學目標

函數單調性的教學目標

一、知識與技能：

1、理解增函數、減函數的概念及函數單調性的定義；

2、會根據函數的圖像和單調性定義來判斷函數的單調性；

3、能根據單調性的定義證明函數在某一區間上是增函數還是減函數。

二、方法與過程：

1、通過對函數單調性定義的探究，結合數形結合的數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；

2、通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力。

三、情感態度與價值觀：

1、通過函數單調性定義的探究過程，讓學生養成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣。

2、讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的數學概念形成之美。