第一篇：含參函數單調性

含參數函數單調性 ●基礎知識總結和邏輯關系

一、函數的單調性

求可導函數單調區間的一般步驟和方法: 1)確定函數的f(x)的定義區間；

2)求f'(x)，令f'(x)?0，解此方程，求出它在定義區間內的一切實根；

3)把函數f(x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；

4)確定f'(x)在各個區間內的符號，由f'(x)的符號判定函數f?x?在每個相應小區間內的單調性.二、函數的極值

求函數的極值的三個基本步驟

1)求導數f'(x)；

2)求方程f'(x)?0的所有實數根；

3)檢驗f'(x)在方程f'(x)?0的根左右的符號，如果是左正右負（左負右正），則f(x)在這個根處取得極大（小）值.三、求函數最值

1)求函數f(x)在區間(a,b)上的極值；

2)將極值與區間端點函數值f(a),f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四利用導數證明不等式

1）利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性,然后再用函數單調性達到證明不等式的目的.即把證明不等式轉化為證明函數的單調性.具體有如下幾種形式：

① 直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立.② 把不等式變形后再構造函數,然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的.2）利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式.導數的另一個作用是求函數的最值.因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題.含參函數的單調性，核心是三個步驟，四個流程：

1）第一步：先求定義域，再求導； 2）第二步：準確求出導數身給定的參數范圍】

流程①：最高次項系數如果含參數，分 “?0；?0；?0” 三種情況依次討論該系數。（不含參就直接略過）“?0”時，求出參數的值，代回含參數的【注意題目本f?(x)之后，按以下四個流程依次走：

f?(x)，寫出不f?(x)的最簡潔、直觀的形式；“?0”或“?0”時，把最高次項系數外

f?(x)?0是否有根。如果方程f?(x)?0沒有提，化簡變形（含因式分解）到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來。流程②：接流程①，判斷方程任何實根，說明f?(x)?0或f?(x)?0恒成立，f(x)恒定單增或單減，直接f?(x)?0有實根，全部求出來，寫明“x1?

”，寫結論；如果方程“x2?

”然后進入流程③。

流程③：判斷由②得出的根是否在定義域內。（i）定義域內沒有根，寫出數

f?(x)，肯定有f?(x)?0或f?(x)?0，說明函

（ii）定義域內有且只有一f(x)在定義域內恒定單增或單減，直接寫出結論；

（iii）f(x)單調遞增區間和單調遞減區間；個根，對這個唯一的根進行列表，判斷定義域內有兩根（包含兩等根或兩異根），那么就進入流程④。流程④：在流程③中確定二次函數型

f?(x)?0在定義域內有兩根x1,x2的情況下，討論兩根大小（“?”，“?”，“?”）。然后列表，依據表格寫出結論。

3）第三步：（3）寫綜上所述。對參數的所有可能取值都要寫出，對應結論相同的時候，參數范圍必須合并。

【題】討論函數f(x)?xe(k?0)的單調區間。【難度】**

kxk2【題】討論函數f(x)?ln(1?x)?x?x的單調區間。

2【難度】*** 【點評】求單調區間的步驟（1）確定函數的定義域，（2）求出f?(x)，令f?(x)?0，求出根，求出在定義域內所有的根，（3）把函數的間斷點在橫坐標上從小到大排列起來，把定義域分成若干個小區間，（4）確定f?(x)在每個區間的正負號，求出相應的單調區間。

【題】判斷函數f(x)?x?4x?alnx的單調性。【難度】***

2a32x?1的單調區間。【題】求函數f(x)?x?ax?42【難度】*** 【題】、求函數f(x)?e(x?ax?1)(x??2,a?R)的單調區間。

【難度】*** 【題】求函數f(x)?【難度】*** 【題】討論函數f(x)?kx?2x?ln(2x?1)的單調性。

x212x?alnx(a?R)的單調區間。22

【難度】***

ekx【題】討論函數f(x)?的單調性。

x?1【難度】** 【題】討論函數f(x)?【難度】*** 【題】求函數f(x)?e(x?ax?1)(x??1,a?R)的單調區間。【難度】** 【題】求函數f(x)?e(x?ax?1)(x??3,a?R)的單調區間。【難度】**

x2x22x?a的單調性。2(x?1)3利用導數研究含參變量函數的最值問題

利用導數研究含參變量函數最值的基本思路和大致步驟：

通常是先討論函數的單調性，必要時畫出函數的示意圖，然后進行最值的討論。

【題】已知函數f?x???x?k?ex

?1?求f?x?的單調區間；

?2?求f?x?在區間?0,1?上的最小值.???,k?1?減?k?1,???

??k（2）①k?1,f?x?min【解析】：（1）

②k③1?k?2,f?x?min?(1?k)e

?2，f?x?min??e2k?1

【難度】** f(x)?ax?1(a?0)，g(x)?x?bx2當a?4b時，求函數f(x)?g(x)的單調區間，并求其在區間???,?1?上的最大值.【題】已知函數【難度】*** 【題】已知函數

313f(x)?x?2x2?3x?1，給定區間

3，（a?0），試求f(x)在此區間上的最大值。[a,2a]【難度】***

alnx【題】已知a?0，函數f(x)?：

x（1）討論f(x)的單調性；

（2）求f(x)在區間[a,2a]上的最值.【答案】：

elna2①0?a?時，f(x)?f(2a?)max22f(x)min?f(a)?lna

②a?e時，f(mx)a?xf?(a)，lan

f(x)min③

ln2a ?f(2a)?2時，2?a?ef(x?m)axaf?(e)，ef(x)minln2a ?f(2a)?2af?(e)e，e④?a?2時，f(xm)a?x2f(x)min?f(a)?lna

【難度】*** 【點評】

1?x【題】、已知函數f(x)?ln(ax?1)?,x?0,a?0

1?x(1)求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)的最小值為1，求a的取值范圍.【答案】：a?2時，f(x)在[0,??)上單調遞增 2?a0?a?2時，f(x)在[0,)上單調遞減

a2?af(x)在(,??)上單調遞增

aa?2

【難度】***

【題】已知函數：f(x)?x?(a?1)lnx?(a?R),當x??1,e?時，求f(x)的最小值；

【答案】當1?a?e時，f?x?min?a??a?1?lna?1 當a?e時，f?x?min?e??a?1?? 【難度】***

aeaxf(x)?3x?1(a?0),g(x)?x?9x，若f(x)?g(x)上的最大值為28.求實數k的取值范圍 【題】已知函數【難度】***

【題】已知函數

23f?x??ax?x?bx（其中常數a,b?R），32g?x??fx??f?x???為奇函數.(1)求f?x?的表達式；(2)討論g?x?的單調性，并求g?x?在區間?1,2?上的最大值與最小值.【答案】

132f?x???x?xg?x?在?1,2?上最大值為

3442，最小值 33【難度】***

1312【題】設f(x)??x?x?2ax.32

2（1）若f(x)在(,??)上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

316（2）當0?a?2時，f(x)在[1,4]上的最小值為?，求

3f(x)在該區間上的最大值。1【答案】a的取值范圍是(?,??)

910f(x)在該區間上的最大值為.3【難度】****

【題】已知函數(1)求函數f(x)?lnx?x2

f(x)的單調遞增區間；

(2)求函數f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值.2(0,)

2【答案】當0?a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最

22大值為lna?a;

2當a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值為2

1?ln2?

2【難度】*** f(x)?1?(1?a)x?x2?x3，其中a?0:

（1）討論f(x)在其定義域上的單調性；

（2）x?[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時x的值.【題】設函數【難度】*** f(x)?x?ax?bx?c(實數a,b,c為常

1數)的圖像過原點，且在x?1處的切線為直線y??

2(1)求函數f(x)的解析式;(2)若m?0，求函數f(x)在區間[?m,m]上的最大值.【題】已知函數【難度】***

32f(x)?x2?ax?3a2lnx(1)討論f(x)的單調性;【題】設函數(2)若a為正常數，求f(x)在區間(0,t](t?0)上的最小值.【難度】***

第二篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第三篇：函數的單調性

函數的單調性說課稿(市級一等獎)函數單調性說課稿 《函數的單調性》說課稿(市級一等獎)旬陽縣神河中學 詹進根

我說課的課題是《普通高中課程標準實驗教科書 必修1》第二章第三節——函數的單調性。我將根據新課標的理念和高一學生的認知特點設計本節課的教學。我從下面三個方面闡述我對這節課的理解和教學設計。

一、教材分析

1、教材內容

本節課是北師大版(必修一)第二章函數第三節——函數的單調性，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，依據函數圖象判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性。

2、教材的地位和作用

函數是本章的核心概念，也是中學數學中的基本概念，函數貫穿整個高中數學課程。在歷年的考題中常考，函數的思想也是我們學習數學中的重要思想。在這一節中利用函數圖象研究函數性質的數形結合思想將貫穿于整個高中數學教學。

函數的基本性質包括單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性。而我們今天學習的內容就是函數基本性質中的一種——單調性。函數的單調性是用代數方法研究函數圖象局部變化趨勢的。函數的單調性是學生初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識，是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數等內容的基礎，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，對解決各種數學問題有著廣泛作用。此外在比較數的大小、極限、導數以及相關的數學綜合問題中也有廣泛的應用，它是整個高中數學中起著承上啟下作用的核心知識之一。通過對本節課的學習，讓學生領會函數單調性的概念、掌握證明函數單調性的步驟，并能運用單調性知識解決一些簡單的實際問題。通過上述活動，加深對函數本質的認識。更主要本節教學過程中還滲透了探索發現、數形結合、歸納轉化等數學思想方法，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。

根據函數單調性在整個教材內容中的地位和作用，并結合學生的認知水平，本節課教學應實現如下教學目標。

3、教學目標

知識與技能:理解函數單調性和單調函數的意義;會判斷和證明簡單函數的單調性。

過程與方法:培養從概念出發，進一步研究其性質的意識及能力;體會感悟數形結合、分類討論的數學思想。

情感態度與價值觀:領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法，培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣;由合適的例子引發學生探求數學知識的欲望，突出學生的主觀能動性，激發學生學習的興趣。

4(教學的重點和難點 教學重點: 函數單調性的概念，判斷并證明函數的單調性;1 函數單調性說課稿 教學難點: 根據定義證明函數的單調性和利用函數圖像證明單調性。

二、教法與學法 1(教學方法 本節課是函數單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，本節課主要采用“創設情景、問題探究、合作交流、歸納總結、聯系鞏固”的教學方式，這樣既增加了教師與學生、學生與學生之間的交流，又能激發學生的求知欲，調動學生積極性，使他們思路更加開闊，思維更加敏捷。

2(教學手段

教學中使用多媒體輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識。

3(學法

高一學生知識上已經掌握了一次函數、二次函數、反比例函數的圖象和基本性質等內容，但對知識的理解和方法的掌握上不完備，反應在解題中就是思維不嚴密，過程不完整;能力上具備了一定的觀察、類比、分析、歸納能力，但知識整合和主動遷移的能力較弱，數形結合的意識和思維的深刻性還需進一步培養和加強，所以應從下面兩方面來提高學生的水平。

(1)讓學生利用圖形直觀感受;(2)讓學生“設問、嘗試、歸納、總結、運用”，重視學生的主動參與，注重信息反饋，通過引導學生多思、多說、多練，使認識得到深化。

三、教學過程

本節課的教學過程包括:創設情境，引入課題;歸納探索，形成概念;鞏固提高，深化概念;歸納小結，提高認識.具體過程如下:(一)創設情境，引入課題

我們知道，函數是刻畫事物變化的工具。在2003年抗擊非典型肺炎時，衛生部門對疫情進行了通報。如下圖是北京從4月21日到5月19日期間每日新增病例的變化統計圖。

思考如何用數學語言刻畫疫情變化, [設計意圖]:通過實際生活中的例子讓學生對圖像的上升和下降有一個初步感性認識，為下一步對概念的理性認識作好鋪墊。同時通過多媒體展示，能夠提高學生的興趣，增強直觀性，拉近數學與實際的距離，感受數學源于生活,讓學生學會用數學的眼光去關注生活。函數單調性說課稿(二)歸納探索，形成概念

在本階段的教學中，為使學生充分感受數學概念的形成與發展過程和數形結合的數學思想，加深對函數單調性的本質的認識，我設計了幾個環節,引導學生分別完成對單調性定義的認識.1、提出問題，觀察變化

12問題:分別做出函數的圖像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 個函數圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通過學生熟悉的圖像，及時引導學生觀察，函數圖像上A點的運動情況，引導學生能用自然語言描述出，隨著增大時圖像變化規律。讓學生大膽的去說，x 老師逐步修正、完善學生的說法，最后給出正確答案。

【設計意圖】 新課標十分注重初中與高中的銜接，注重通過函數的圖像，研究函數的基本性質。以學生們熟悉的函數為切入點，盡量做到從直觀入手，順應同學們的認知規律。第三個、第四個函數圖像的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質（2、步步深化，形成概念 2觀察函數y=x隨自變量x 變化的情況，設置啟發式問題:(1)在y軸的右側部分圖象具有什么特點,(2)如果在y軸右側部分取兩個點(x，y)，(x，y)，當x

【設計意圖】通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換。另外，對“任意性”的理解，我特設計了問題(2)、(3)，達到步步深入，從而突破難點，突出重點的目的。通過對以上問題的分析，從正、反兩方面領會函數單調性。師生共同總結出單調增函數的定義，并解讀定義中的關鍵詞，如:區間內，任意，當<時，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照單調增函數定義，由學生說出單調減函數的定義。3 函數單調性說課稿

教師總結歸納單調性和單調區間的定義。

注意強調:函數的單調性是函數在定義域某個區間上的局部性質，也就是說，一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性。

【設計意圖】通過問題的分解，引導學生步步深入，直至找到最準確的數學語言來描述定義。體現從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創新意識。

3(鞏固提高，深化概念

本環節在前面研究的基礎上，加深學生進一步理解函數單調性定義本質，完成對概念的再一次認識.練習1:如下圖給出的函數，你能說出它的函數值隨自變量值的變化情yx況嗎?

怎樣用數學語言表達函數值的增減變化呢? 1f(x),例1 說出函數的單調區間，并指明在該區間上的單調性.x 練習2:判斷下列說法是否正確

(1)定義在R上的函數滿足，則函數是R上的增函數。f(x)f(2),f(1)(2)定義在R上的函數滿足，則函數是R上不是減函數。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函數，因為是增函數。所以函數fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定義在R上的函數在，,0,上是增函數，在0,，,上也是增函數，f(x)則函數是R上的增函數。

(5)函數在上都是減函數，所以在

上是減函數。

例2 畫出函數的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。f(x),3x，2 通過對上述幾題討論，加深學生對定義的理解。強調以下三點，完成本階段的教學: ?單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性。函數單調性說課稿

?有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)。

?函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(或減)函數，一般不能認為函數在上是增(或減)函數。

【設計意圖】函數單調性定義產生是本節課的難點，難在:如何使學生從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言的準確理解及正確應用更是學生薄弱環節，這里通過問題研討體現了以學生為主體，師生互動合作的教學新理念。例1主要是從圖形上判斷函數的單調性;例2主要對數形結合，定義法證明函數的單調性的只是鞏固與應用.(四)歸納小結，提高認識

歸納小結是鞏固新知識不可或缺的環節之一，本節課我采用組織和指導學生自己談學習收獲的方式對所學知識進行歸納，深化對數學思想方法的認識，為后續學習打好基礎(1(本節小結

函數單調性定義，判斷函數單調性的方法(圖像、定義)在方法層面上，引導學生回顧判斷，證明函數單調性的方法和步驟;引導學生體會探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等。

2(布置作業

課后作業實施分層設置，書面作業、課后思考.作業布置:教材第38頁的第2，3，5題 思考交流:問題 如果可以證明對任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能斷定函數在上是增函數嗎? fx()(,)ab,0xx,21 【設計意圖】:目的是加深學生對定義的理解，讓學生體會這種敘述與定義的等價性，而且這種方法進一步發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆。

以上各個環節，環環相扣，層層深入，注意調動學生自主探究與合作交流，努力實現教學目標，也使新課標理念能夠得到很好的落實。

各位評委，本節課我在概念教學上進行了一些嘗試.在教學過程中，我努力創設一個探索數學的學習環境,通過設計一系列問題,使學生在探究問題的過程中，親身經歷數學概念的發生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵,深入理解概念。函數單調性說課稿 附一:板書設計 函數的單調性

一、函數單調性的概念

三、例題講解

四、課堂練習

二、證明函數單調性的步驟 例1:

五、布置作業 例2: 小結和作業在多媒體上展示，這樣的板書簡明清楚，重點突出，加深學生對重點知識的理解和掌握，同時便于記憶，有利于提高教學效果.6 函數單調性說課稿 7

第四篇：函數單調性教案(簡單)

函數單調性

一、教學目標

1、建立增（減）函數及單調性、單調區間的概念

2、掌握如何從函數圖象上看出單調區間及單調性

3、掌握如何利用定義證明一段區間上的函數單調性

二、教學重難點

1、了解增（減）函數定義

2、用定義法證明一段區間上的函數單調性

三、教材、學情分析

單調性是處于教材《數學?必修一》B版第二章第一節，初中對單調性有著初步感性認識，到這節課我們給單調性嚴格的定義。單調性是對函數概念的延續和擴展，也是我們后續研究函數的基礎，可以說，起到了承上啟下的作用。

四、教學方法

數形結合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數學必修

一、教師教學用書

六、教學過程

（一）知識導入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問學生今天的溫度是如何變化的？

學生答：氣溫先上升，到了14時開始不斷下降。

由此導入函數圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問學生，這兩個函數圖象是如何變化的？

學生答：前一個不斷上升，后一個在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問學生并提醒學生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結論？

不同的函數，其圖像的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上的變化趨勢也不同，函數圖像的變化規律就是函數性質的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來看一下一元二次函數y=x2的圖象的對應值表，當x從0到5上變化時，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們在這段上升區間中任取兩個x1，x2，x1

教師順勢引導出增函數的概念，再由增函數類比畫圖演示，引導出減函數的概念。強調增（減）函數概念，尤其是在區間內任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數可以引出單調區間的定義，不作很詳細講解。給出例題讓學生思考作答，進一步鞏固知識點。

（三）證明方法

讓學生們思考例二（思想為用定義法證明一段區間的單調性）并嘗試解答，一段時間后教師給學生講解。

講解完例題后，引導學生歸納用定義法正明一段區間的單調性的方法：

1、設元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調性是怎樣的？

通過這道問題的講解說明，讓學生們意識到單調性是離不開區間的且單調區間不能求并。

（五）課堂小結

再次對

1、增（減）函數定義。

2、增（減）函數的圖象有什么特點？如何根據圖象指出單調區間。

3、怎樣用定義證明函數的單調性？三個問題進行闡述，牢固學生記憶和理解。

（六）布置作業。

第五篇：專題：函數單調性的證明

函數單調性的證明

函數的單調性需抓住單調性定義來證明，這是目前高一階段唯一的方法。

一、證明方法步驟為：

① 在給定區間上任取兩個自變量x1、x2且x1＜x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商（分母不為零）

③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結論，確定函數的單調性。

在做差比較時，我們常將差化為積討論，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（無理式）、配方等手段。

二、常見的類型有兩種：

（一）已知函數的解析式：

1例1：證明：函數f?x?=在x∈（1，+∞）單調遞減

x-

1例2：證明：函數f?x?=x+x+1在x∈R時單調遞增

3[1，+?）時單調遞增 例3：證明：函數f?x?=x-1在x∈2

例4：討論函數f?x?=x+

1在（1，+?）的單調性，并求最小值 x-1

例5：求函數f?x?= x+2的單調區間 x-1+?）單調遞增 練習：

1、證明函數f?x?=x+（a＞0）在（a，2、討論函數f?x?=1+x-x的單調性

2ax

（二）f?x?抽象函數的單調性：

抽象函數的單調性關鍵是抽象函數關系式的運用，同時，要注意選擇作差還是作商，這一點可觀察題意中與0比較，應作差；與1比較，應作商。如下三例：

例1：已知函數滿足x、y∈R時，f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞0時，＞0.證明：f(x)在R上單調遞增.例2：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.例3：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，1.若f(x)?0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.練習：

1、已知函數

f?x?對于任意的x、y∈R，f?x?+f?y?=f?x+y?，且當x＞0時，f?x?＜0；f?1?=-23.f(x)＞f(x)＞總有（1）求證：f?x?在R上是減函數

（2）求f?x?在[-3，3]上的最大值與最小值

2、已知函數f?x?的定義域為R，且m、n∈R，恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1，且f?-＞-?1??=0，當x?2?1時，f?x?＞0.2（1）求證：f?x?是單調遞增函數（2）求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數f?x?恒為正，且滿足f?x+y?=f?x?f?y?，當x＞0時，f?x?＞1.（1）證明：f?x?在R上單調遞增.2（2）若函數f?x?的定義域為[-1,1]時，解不等式fx-1＞f?2x?

??

4、函數f?x?的定義域為R，對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1，且x＞0時，f?x?＞1（1）求證：f?x?是R上的增函數

2（2）若f?4?=5，解不等式f3m-m-2＜3

??3