第一篇：函數的單調性說課稿(獲獎)
《函數的單調性》說課稿
《函數的單調性》說課稿
北京景山學校 許云堯
各位專家、評委：大家好！
我是北京景山學校的數學教師許云堯，很高興有機會參加這次說課活動，希望專家和評委對我的說課提出寶貴意見．我說課的內容是《函數的單調性》的教學設計，下面我分別從教學內容的分析、教學目標的確定、教學方法的選擇和教學過程的設計這四個方面來匯報我對這節課的教學設想．
一、教學內容的分析 1．教材的地位和作用
首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎．
其次，從函數角度來講.函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.最后，從學科角度來講.函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材.2．教學的重點和難點
對于函數的單調性,學生的認知困難主要在兩個方面: 首先，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說比較困難.其次，單調性的證明是學生在函數學習中首次接觸到的代數論證內容，而學
共 8 頁 第 1 頁
《函數的單調性》說課稿
生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據以上的分析和教學大綱對單調性的教學要求，本節課的教學重點是函數單調性的概念，判斷、證明函數的單調性；難點是引導學生歸納并抽象出函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.二、教學目標的確定
根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，我從三個方面確定了以下教學目標：
1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．
2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．
3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
三、教學方法的選擇 1．教學方法
本節課是函數單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，主要采取教師啟發講授，學生探究學習的教學方法.教學過程中，根據教材提供的線索，安排適當的教學情境，讓學生展示相應的數學思維過程，使學生有機會經歷數學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養能力.2．教學手段
教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學．目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為四個階段：創設情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握證法，適當延展；歸納小結，提高認識.具體過程如下：
(一)創設情境，引入課題
概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習對象有了豐富具體經驗以后，才能使學生對學習對象進行主動的、充分的理解，因此在本階段
共 8 頁 第 2 頁
《函數的單調性》說課稿 的教學中，我從具體材料——有關奧運會天氣的例子出發，而不是從抽象語言入手來引入函數的單調性.使學生體會到研究函數單調性的必要性，明確本課我們要研究和學習的課題，同時激發學生的學習興趣和主動探究的精神．
在課前，我給學生布置了兩個任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上我引導學生觀察2006年8月8日的氣溫變化曲線圖，引導學生體會在某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.然后，我指出生活中我們關心很多數據的變化，并讓學生舉出一些實際例子（如燃油價格等）.隨后進一步引導學生歸納：所有這些數據的變化，用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小．
(二)歸納探索，形成概念
在本階段的教學中，為使學生充分感受數學概念的發生與發展過程和數形結合的數學思想，經歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對函數單調性的本質的認識，我設計了三個環節,引導學生分別完成對單調性定義的三次認識.1．借助圖象，直觀感知
本環節的教學主要是從學生的已有認知出發，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.在本環節的教學中，我主要設計了兩個問題：
問題1：分別作出函數y?x?2,y??x?2,y?x2以及y?觀察自變量變化時，函數值有什么變化規律？
在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.而后兩個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．
共 8 頁 第 3 頁
1的圖象，并且x《函數的單調性》說課稿
對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2.問題2：能否根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數的定義：
如果函數f(x)在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數f(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f(x)在該區間上為增函數．
然后讓學生類比描述減函數的定義.至此，學生對函數單調性就有了一個直觀、描述性的認識．
2．探究規律，理性認識
在此環節中，我設計了兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式，使學生對單調性的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識．
問題1：右圖是函數y?x?2(x?0)的 x圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增 函數和減函數嗎？
對于問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.問題2：如何從解析式的角度說明f(x)?x2在[0,??)上為增函數？ 在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調性概念的關鍵.在教學中，我組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋，評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：
(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12?22,所以f(x)?x2在[0,??)上為增函數．
(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以f(x)?x2在[0,??)上為增函數． 對于這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析.引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎上，引導學生
共 8 頁 第 4 頁
《函數的單調性》說課稿
從給定的區間內任意取兩個自變量x1,x2,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取0?x1?x2,有x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0,即x1?x2，所以
2222f(x)?x2在[0,??)為增函數．
這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小.事實上,這種回答也給出了證明單調性的方法，為后續用定義證明其他函數的單調性做好鋪墊,降低難度.至此，學生對函數單調性有了理性的認識.3．抽象思維，形成概念
本環節在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識.教學中，我引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時我設計了一組判斷題： 判斷題：
1①已知函數f(x)?,因為f(?1)?f(2),所以函數f(x)是增函數．
x②若函數f(x)滿足f(2) ④因為函數f(x)?11在(??,0)和(0,??)上都是減函數，所以f(x)?在xx(??,0)?(0,??)上是減函數.通過對判斷題的討論，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在A?B上是增（或減）函數． 從而加深學生對定義的理解，完成本階段的教學.共 8 頁 第 5 頁 《函數的單調性》說課稿 （三）掌握證法，適當延展 本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握根據單調性定義證明函數單調性的方法，同時引導學生探究定義的等價形式，對證明方法做適當延展.2例 證明函數f(x)?x?在(2,??)上是增函數． x在引入導數后，用定義證明單調性的作用已經有所降低，我選擇一個較難的例子，主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識.證明過程的教學分為三個環節：難點突破、詳細板書、歸納步驟.1．難點突破 對于函數單調性的證明，由于前邊有對函數f(x)?x2在[0,??)上為增函數的研究作鋪墊, 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟: 證明：任取x1,x2?(2,??),且x1?x2, f(x1)?f(x2)?(x1?22)?(x2?)，x1x2因此學生的難點主要是兩個函數值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道如何變形,不敢動筆；另一方面部分學生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結論.針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函數f(x)?x2在[0,??)上為增函數的說明過程，明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導學生從已有的認知出發，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形后容易找到公因式(x1?x2),提取后即可考慮判斷符號.2．詳細板書 在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規范、完整的板書，引導學生注意證明過程的規范性和嚴謹性，幫助學生養成良好的學習習慣.證明：任取x1,x2?(2,??),且x1?x2，設元 f(x1)?f(x2)?(x1?22)?(x2?) 求差 x1x222?) 變形 x1x2?(x1?x2)?(共 8 頁 第 6 頁 《函數的單調性》說課稿 ?(x1?x2)?2(x2?x1) x1x2?(x1?x2)x1x2?2.x1x2由x1,x2?(2,??),得x1x2?2, 斷號 又由x1?x2，得x1?x2?0，于是f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2).2所以，函數f(x)?x?在(2,??)上是增函數． 定論 x3．歸納步驟 在板書的基礎上，我引導學生歸納利用定義證明函數單調性的方法和步驟(設元,求差,變形,斷號,定論).通過對證明過程的分析，使學生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學生掌握方法，提高學生的推理論證能力． 為了鞏固用定義證明函數單調性的方法，強化解題步驟，形成并提高解題能力，我設計了課堂練習： 證明：函數f(x)?x在[0,??)上是增函數． 教學過程中，我對學生的完成情況進行及時評價和有針對性的指導.同時考慮到我校學生數學基礎較好，思維較為活躍的特點，為了加深學生對定義的理解，并對判斷單調性的方法做適當延展，我設計了下面的問題.問題：除了用定義外，如果證得對任意的x1,x2?(a,b)，且x1?x2，有f(x2)?f(x1)?0，能斷定函數f(x)在(a,b)上是增函數嗎? x2?x1教學過程中，我引導學生分析這種敘述與定義的等價性．然后，讓學生嘗試用這種定義等價形式證明之前的課堂練習.這種方法進一步發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． （四）歸納小結，提高認識 本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋，組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規律，深化對數學思想方法的認識，為后續學習打好基礎． 1．學習小結 在知識層面上，引導學生回顧函數單調性定義的探究過程，使學生對單調性 共 8 頁 第 7 頁 《函數的單調性》說課稿 概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義.在方法層面上，首先引導學生回顧判斷，證明函數單調性的方法和步驟；然后引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等，重點強調用符號語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結果；同時對學習過程作必要的反思,為后續的學習做好鋪墊.2．布置作業 在布置書面作業的同時，為了尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需要，我設計了探究作業供學有余力的同學課后完成.(1)證明：函數f(x)在(a,b)上是增函數的充要條件是對任意的x,x?h?(a,b)，且h?0,有 f(x?h)?f(x)?0． h目的是加深學生對定義的理解，而且這種方法進一步發展同樣也可以得到導數法． (2)研究函數y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． x目的是使學生體會到利用函數的單調性可以簡化函數圖象的繪制過程，體會由數到形的研究方法和引入單調性定義的必要性，加深對數形結合的認識． 以上就是我對《函數的單調性》這節課的教學設想.各位專家、評委，本節課我在概念教學上進行了一些嘗試.在教學過程中，我努力創設一個探索數學的學習環境,通過設計一系列問題,使學生在探究問題的過程中，親身經歷數學概念的發生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵,深入理解概念.不足之處，懇請各位專家批評指正．謝謝! 共 8 頁 第 8 頁 《函數的單調性》說課稿 北大附中深圳南山分校：馬立明 一、教材分析-----教學內容、地位和作用本課是蘇教版新課標普通高中數學必修一第二章第1節《函數的簡單性質》的內容，該節中內容包括：函數的單調性、函數的最值、函數的奇偶性。總課時安排為3課時，《函數的單調性》是本節中的第一課時。函數的單調性是函數眾多性質中的重要性質之一，函數的單調性一節中的知識是今后研究具體函數的單調性理論基礎；在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問題中均有著廣泛的應用；在歷年的高考中對函數的單調性考查每年都有涉及；同時在這一節中利用函數圖象來研究函數性質的數形結合思想將貫穿于我們整個高中數學教學。按現行教材結構體系，該內容安排在學習了函數的現代定義及函數的三種表示方法之后，了解了在生活實踐中函數關系的普遍性，另外學生已在初中學過一次函數、反比例函數、二次函數等初等函數。在學生現有認知結構中能根據函數的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數值增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數圖象的直觀性、發揮好多媒體教學的優勢；在本節課是以函數的單調性的概念為主線，它始終貫穿于整個課堂教學過程；這是本節課的重點內容。利用函數的單調性的定義證明具體函數的單調性一個難點，也是對函數單調性概念的深層理解，且在“作差、變形、定號”過程學生不易掌握。學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明的比較法的基本思路，現在提出來對今后的教學也有了一定的鋪墊。 二、學情分析教學目標的制定與實現，主要取決于我們對學習者掌握的程度。只有了解學習者原來具有的認知結構，學習者的準備狀態，學習風格，情感態度等，我們才能制定合適的教學目標，安排合適的教學活動與評價標準。不同的教學環境，不同的學習主體有著不同的學習動機和學習特點。我所教授的班級的學生具體學情具體到我們班級學生而言有以下特點：學生多才多藝，個性張揚，但學科成績不很理想，參差不齊；經受不住挫折，需要經常受到鼓勵和安慰，否則就不能堅持不懈的學習；學習習慣不好，小動作較多，學習時注意力抗干擾能力不強，易被外界因素所影響，需要不斷的引導；獨立解決問題能力弱，畏難情緒嚴重，探索精神不足。只有少部分學生學習習慣良好，學風嚴謹，思維縝密。 三、教學目標：根據新課標的要求，以及對教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構及心理特征，制定如下教學目標： 三維目標1 知識與技能：（1） 使學生理解函數單調性的概念，能判斷并證明一些簡單函數在給定區間上的單調性。（2） 通過函數單調性的教學，逐步培養學生觀察、分析、概括與合作能力； 2過程與方法：（1） 通過本節課的學習，通過“數與形”之間的轉換，滲透數形結合的數學思想。（2） 通過探究活動，明白考慮問題要細致、縝密，說理要嚴密、明確。3 情感，態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作與評價，拉近學生之間、師生之間的情感距離，培養學生對數學的興趣。 （二）重點、難點重點：函數單調性的概念:為了突出重點，使學生理解該概念，整個過程分為：作圖象并觀察圖象→討論：函數圖象的變化趨勢是什么？→在這種變化趨勢下，x與函數值y是如何相互影響的？→你能從量的角度出一個縝密的，完善的定義來嗎？每個步驟都是在教師的參與下與引導下，通過學生與學生之間，師生之間的合作交流，不斷反省，探索，直到完善結論，最終達到一個嚴密，簡潔的定義。難點：函數單調性的判斷與推證：突破該難點的：通過對照、分析定義，引導學生，概括出證明方法及步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷得結論”，并注意解題過程的規范性與嚴謹性。 四、教學方法：合作學習認為教學是師生之間、生生之間相互作用的過程，強調多邊互動，共同掌握知識。視教學為師生平等參與和互動的過程，強調教師只是小組中的普通一員，起到一個引導者，管理者角色。在課堂教學中要加強知識發生過程的教學，充分調動學生的參與的積極性，有效地滲透數學思想方法，發展學生個性品質，從而達到提高學生整體的數學素養的目的。結合教學目標和學生情況我采用合作交流，探究學習相結合的教學方法。 五、內容組織形式課堂教學環節畫出函數的圖象,并研究出它們各自的變化趨勢。認知派學習理論認為學習的積累及恰當與否取決于學習者已有的認知結構。殘缺的認知結構是完成不了整個學習過程的。針對學生的實際情況，在上一節的課后布置作業讓學生畫一次函數，二次函數及反比例函數圖象，回顧以前知識，盡而形成一個完整的認知結構，為以后的學習排除障礙。 （二）創設情景，引發興趣師：在生活中我們經常會關注一些實際問題。如果你是市長分管防洪抗旱工作，你會對水位的漲落隨時間變化的規律特別關心，如果你為一個股民的話，你心里想得就是如果能預見每天股價的走勢那該是一件多么幸福的事情。實際上這些問題歸根結底就是：是研究量與量之間的變化趨勢，也就是研究其中兩個變量如何相互影響的，這也是我們今天所要研究的主要課題?？匆韵聦嶋H問題：請說出氣溫在哪些時段是升高的，怎么樣用數學語言來刻畫“隨時間的增大氣溫逐步升高”這一特征？這種在一定時間內，隨著時間增大，氣溫逐步升高的現象反映在數學中，我們稱它為函數的單調性行為學習理論者強調環境對學習產生的影響。當學習者對某種特殊的刺激做出反應時，就產生了“學習”。依據教材知識，滲透新課標理念，通過與實際問題的聯系，揭示我們研究此節內容的現實意義，目的引發學生學習興趣，有利于學生學習動力的產生。要點：短，平，快。 （三）合作交流，建構數學師生互動，引導探索建構數學，收獲新知讓一小組的代表上臺來展示在上節課后所做的幾個函數圖象，并據此討論下列問題，問題 1、并說一說所畫函數的圖象的變化趨勢。觀察得到：隨著x值的增大，函數的函數圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈下降的趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一個區間內呈逐漸下降的趨勢。問題2：你能明確的說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？此時X與函數值y如何相互影響的？討論得到：在某一個區間內，當x值增大時，函數值y也增大圖象在該區間內呈上升趨勢。在某一個區間內，當x值增大時，函數值y也反而減小圖象在該區間內呈下降趨勢。在眾多的函數中，很多函數都具有這種性質，因此我們有必要對函數的這種性質做進一步的討論與研究。這就是我們今天這一節課的主題。函數的這種性質，我們就稱為函數的單調性。 1、通過一系列的問題，引發對概念的全面思考。從具體到抽象，再從抽象到具體，并通過合作交流，增強學生對概念的理解，不斷的修正、完善結論，達到建構數學的目的。 2、教學實踐證明，小組內成員合作，組間成員競爭的討論是一種有效的教學策略，使得整個評價的重心同個人之間競爭轉為團體合作達標。并能使教師與學生、學生與學生之間有更多的交往、互動的機會。它也是引導學生積極參與教學過程的重要措施，是培養學生合作精神和激發學生創新意識的重要手段，也是促使每個學生得到充分發展的有效途徑 3、重點：學生能否抓住定義中的關鍵詞“給定區間”、“任意”和“都有”，是能否正確，深入透徹地理解和掌握概念的重要一環。分析定義，使學生把定義與圖形結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解，滲透數形結合的分析問題的數學思想方法問題3：我們剛才已經對函數的單調性，做了定性的分析，我們如何從量的角度來刻畫這種性質。你能給出一個確切的定義來嗎？請用你自己的話表達出來，并說給你的小組成員聽，并與他交流后，形成集體意見，再展示給大家。最后的結論：定義：對于函數f的定義域I內某個區間A上的任意兩個值⑴若當<時，都有f （四）數學運用，鞏固新知例題例1：定義在R上的函數y=f圖象如圖甲，所示，請說出它的單調區間，以及在每一單調區間上，是增函數還是減函數 參看所畫看圖乙，指出函數y=的單調區間，能不能說在定義域內是單調減函數？指出函數的單調區間，能不能說在定義域內是單調減函數？)如圖丙，函數圖象如圖，寫出單調區間讓學生進一步理解一般函數單調區間的定義，區間的端點要不要？在這里一定要強調單調性只是函數的“局部性質”它與區間密不可分。-----不能把函數的單調區間寫成例2判斷并證明函數f=在上的單調性。證明：設,是上的任意兩個實數，且<，------------------------------則f－f=－=,由,∈，得>0,又由<,得－<0,于是f－f<0,即f 歸納證明方法并加以比較說明；使學生突破本節的難點，掌握重點內容。基本步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷定結論”其中第二環節是難點“作差→變形→判斷正負”。課堂練習： 1、判斷下列說法是否正確 定義在R上的函數滿足，則函數是R上的增函數。 定義在R上的函數滿足，則函數是R上不是減函數。 定義在R上的函數在上是增函數，在上也是增函數，則函數是R上的增函數。、定義在R上的函數在上是增函數，在上也是增函數，則函數是R上的增函數。 2、判斷函數f=kx+b在R上的單調性，并說明理由.3、判斷并證明函數在上的單調性。練習的設定也是由淺入深層層推進的?；仡櫩偨Y，加深理解理解理解請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是詞語特別注意的？ 1、函數單調性的定義，注意定義中的關鍵詞。 2、證明函數單調性的一般步驟； 3、在寫單調區間時，不要輕易用并集的符號連接；課后知識性內容總結，把課堂內容轉化為學生的素質兼顧差異，分層練習必做：習題2.1：第1、4、7題選做：研究的單調性，并給出嚴格證明，你能求出該函數的值域嗎？ 1、針對學生個體的差異設置分層練習。既注重課內基礎知識掌握，又兼顧了有余力的學生的能力的提高。 2、提出新的課題是想把問題研究引向課外，激發學生興趣，為下一節課“最值”作好充分的準備。希望得到各位評委的批評指正課后記：在本節課中我力求做一名引導者，管理者營造一種平等，民主，和諧的學習氣氛，充分發揮評價在教學中的導向和激勵作用，與學生平等，民主的討論問題，增強學生之間的合作交流意識。集體講授時力求簡要清晰，高效低耗。 函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計 北京教育學院宣武分院 彭 林 函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。 關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？ 在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。 就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。 第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。 第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。 第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。 基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。 讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的． 在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數． 關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？ 對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。 所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的： 右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減 對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？ 從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？ 一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點： （1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。 用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。 在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！ 因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明 在上為增函數？ 這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種： ①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以 在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。 對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明 就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。 教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題： 判斷題： ①②若函數③若函數滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規備課 【教學目標】 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創設情境，引入課題 課前布置任務： (1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知 問題1： 分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函 預案：(1)函數 在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數 在整個定義域內 y隨x的增大而減?。?/p> (2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p> (3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識 問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明 在為增函數？ 22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以 在,因為 為增函數． 在為增函數． 在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量． 【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數 ③若函數 在區間 和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)上為增函 ． ④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展 例 證明函數 在上是增函數． 1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取 ，設元 求差 變形，斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數 2．歸納解題步驟 在上是增函數． 定論 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數 問題：要證明函數 在區間 上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對 在上是增函數． 任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業 書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數 在區間 上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且 有． (2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成． 三、教學過程的設計 為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆． 必修1《1.3.1 函數的單調性》說課稿 酒泉中學 馬長青 一.教學內容分析 1.本課定位與內容 本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》A版第一章第三節函數的基本性質第一小節函數的單調性與最大(小)值，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性，共2課時，本節課為第一課時。 2.教材的地位和作用 從單調性本身看，學生的學習分為三個層面，首先是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對函數的增減性有一個初步的感性認識，其次在高一對單調性進行嚴格定義，最后在高三從導數的角度再次研究單調性。本節課的學習處于對單調性學習的第二層面，通過圖象歸納、抽象出單調性的準確定義，并在高中首次經歷代數的嚴格證明，是對初中學習的一次升華。 從本節的教學看，在此學習單調性是對函數概念的延續和拓展，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，從本章的教學看，本節課的學習是后續研究指數函數、對數函數內容的基礎。 從函數知識網絡看，單調性起著承上啟下的作用，一方面，是初中學習內容的深化，使學生對函數單調性從感性認識提高到理性認識。另一方面，函數的單調性為后面學習指數函數、對數函數、三角函數及數列這種特殊的函數打下基礎，與不等式、求函數的值域、最值，導數等都有著緊密的聯系。 從高中數學學習看，函數的單調性是培養學生數形結合思想的重要內容，也是研究變量的變化范圍的有力工具。3.教學目標 根據本課教材特點、課程標準對本節課的教學要求以及學生的認知水平，教學目標確定為： 知識與技能： （1）從形與數兩方面理解單調性的概念 （2）初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法 （3）通過對函數單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力 過程與方法： （1）通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合思想方法（2）經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。情感態度價值觀： 通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法 4.教學重難點 根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成和初步運用。雖然高一學生已經有一定的抽象思維能力，但是要用準確的符號語言去刻畫圖象的增減性，從感性上升到理性對高一的學生來說比較困難。因此，本節課的教學難點是函數單調性的概念形成。 二.學生情況分析 知識結構 學生已經學習過一次函數，二次函數，反比例函數，函數的概念及函數的表示，能畫出一些簡單函數的圖象，能從圖象的直觀變化，學生能得到函數增減性。 能力結構 通過初中對函數的學習，學生已具備了一定的觀察事物能力，抽象歸納的能力和語言轉換能力。 學習心理 函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質，學生渴望進一步學習，這種積極心態是學生學好本節課的情感基礎。 本班學生特點 本班為酒泉中學高一（4）班，學生數學素養較好。三.教學模式 《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“高中數學課程應倡導自主探索等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程。” 因此，根據教學內容和學生的認知、能力水平，本節課作為新授課主要采取教師啟發式教學法和學生探究式教學法。以設置情境、設問和疑問進行層層引導，激發學生積極思考，逐步將感性認識提升到理性認識，培養和發展學生的抽象思維能力。引導學生提出疑問，進行思考，從而創造性的解決問題，最終形成概念，培養學生的創造性思維和批判精神。 五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新 四.教學設計 為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新 單調性的概念是本節課的重點，而形成過程則是本節課的難點，為了突破這一難點，讓學生能夠充分感受單調性概念的形成過程，經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，本節課設置了前三個環節,后兩個環節的設計，是為了使學生對函數單調性認識的再次深化。 （一）創設情境，引入新課 數學課程標準中提出“通過已學過的函數特別是二次函數理解函數的單調性”，因此在本節課的開始，我作了這樣的情境創設，從學生熟知的一次函數和二次函數入手，從初中對函數增減性的認識過渡到對函數單調性的直觀感受。 提出問題1：分別作出函數y=x，二次函數y=2x，y=-2x和y=x的圖象，并且觀察函數變化規律？ 2首先引導學生觀察兩個一次函數圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.二次函數的增減性要分段說明，進而提出問題：二次函數是增函數還是減函數？ 進一步討論得出：增減性是函數的局部性質 據此，學生已經對單調性有了直觀認識，緊接著，我提出問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數？ 結合增減性是局部性質，學生會用直觀描述回答：在一個區間里，y隨x增大而增大，則是增函數；y隨x增大而減小就是減函數。 學生用圖象的感性認識初步描述了單調性，下面進一步將學生從感性向理性進行引導 （二）初步探索，概念形成 提出問題三：以y=x+1在（0，+∞）上單調性為例，如何用精確的數學語言來描述函數的單調性？ 這是本節課的難點，因此我將概念形成設置了三個階段 1.提問學生什么是“隨著” 經討論得出，隨著是由于當x取一定的值時，y有確定值與之對應，因此x變化時，y會根據法則隨著x發生變化 2.如何刻畫“增大”？ 要表示大小關系，學生會想到取點，比大小，學生也許會用特殊點說明問題，比如x取2、3，2<3，對應的函數值是5<10 提出質疑：這個點的變化能否說明y隨著x增大而增大，進一步引導學生從特殊到一般，進入第三階段，對“任取”的理解。 3.對“任取”的理解 針對特殊值，學生可能會舉反例證明其是不充分的，那么應該如何取值呢？學生可能會多取一些，也可能會想到將取值區間任意小，進一步討論得出“任取”二字。 用對隨著的理解再次深化函數概念，用對增大的理解得到要表示大小關系，最后再強調取值的任意性，這樣就實現了從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”的過渡，實現“形”到“數”的轉換，形成了單調性的定義。 得到定義后，再提出如何得到f(x1) （三）概念深化，延伸拓展 通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。 2提出問題四：能否說從這個例子能得到什么結論？ 在它的定義域上是減函數？ 學生思考、討論，提出自己觀點 學生可能會提出反例，如x1=-1，x2=1 進一步得出結論： 函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，函數在A∪B上不一定是增（減）函數 教師給出例子進行說明： 進一步提問： 函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，何時函數在A∪B上也是增（減）函數。 學生會提出將函數圖象進行變形（如x<0時圖象向下平移） 性 回歸定義，強調任意 在問題四的背景下解決本題，體會在運動中滿足任意性。拓展探究：已知函數 是（-∞，+∞）上的增函數，求a的取值范圍.這個問題有一定難度，但是學生在前面集合的學習中已經接觸過在運動中求參數a的取值范圍，此處可看作是對前面學習的鞏固。 （四）證法探究，應用定義 在概念已經完善的基礎上，提出例1 例1：證明函數 在（0，+）上是增函數 本環節是對函數單調性概念的準確應用，本題采用前面出現過的函數，一方面希望學生體會到函數圖象和數學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。 學生根據單調性定義進行證明，教師在黑板上書寫證明步驟，再引導學生總結證明步驟。 提出例2判斷函數在（0，+∞）上的單調性。 根據定義進行判斷，體會判斷可轉化成證明。 課標中指出“形式化是數學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發，尋求方法，并體會轉化思想。 進一步提問：如果把（0，+∞）條件去掉，如何解這道題？為學生提供思考空間。 （五）小結評價，作業創新 從知識、方法兩個方面引導學生進行總結。學生回顧函數單調性定義的探究過程；證明、判斷函數單調性的方法步驟；數學思想方法。 小結過程使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。 作業的設計實現了分層，既鞏固了基礎，又給了學生充足的思考空間。 通過本節課的學習，預計學生能理解單調性的定義，絕大多數學生能按照單調性的證明步驟進行證明，能判斷函數的單調性，本節課的評價方式為課堂反饋、教師評價、學生自評相結合。 在本節課的設計中，我有一些新的嘗試，在教學過程中，創設一個探索的學習環境，通過設計一系列問題，使概念得到形成和深化，學生親身經歷數學概念的產生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。在情境設置中，嚴格按照課標要求以二次函數y=x+1為例，經歷畫圖、描述圖象、找單調區間、形成單調性定義、證明其單調性的過程，將學生對單調性的認識從感性上升到理性，并將定義進行應用。五.板書設計 六.課堂評價 七.資源開發 2 函數的單調性說課稿(市級一等獎)函數單調性說課稿 《函數的單調性》說課稿(市級一等獎)旬陽縣神河中學 詹進根 我說課的課題是《普通高中課程標準實驗教科書 必修1》第二章第三節——函數的單調性。我將根據新課標的理念和高一學生的認知特點設計本節課的教學。我從下面三個方面闡述我對這節課的理解和教學設計。 一、教材分析 1、教材內容 本節課是北師大版(必修一)第二章函數第三節——函數的單調性，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，依據函數圖象判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性。 2、教材的地位和作用 函數是本章的核心概念，也是中學數學中的基本概念，函數貫穿整個高中數學課程。在歷年的考題中?？?，函數的思想也是我們學習數學中的重要思想。在這一節中利用函數圖象研究函數性質的數形結合思想將貫穿于整個高中數學教學。 函數的基本性質包括單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性。而我們今天學習的內容就是函數基本性質中的一種——單調性。函數的單調性是用代數方法研究函數圖象局部變化趨勢的。函數的單調性是學生初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識，是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數等內容的基礎，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，對解決各種數學問題有著廣泛作用。此外在比較數的大小、極限、導數以及相關的數學綜合問題中也有廣泛的應用，它是整個高中數學中起著承上啟下作用的核心知識之一。通過對本節課的學習，讓學生領會函數單調性的概念、掌握證明函數單調性的步驟，并能運用單調性知識解決一些簡單的實際問題。通過上述活動，加深對函數本質的認識。更主要本節教學過程中還滲透了探索發現、數形結合、歸納轉化等數學思想方法，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。 根據函數單調性在整個教材內容中的地位和作用，并結合學生的認知水平，本節課教學應實現如下教學目標。 3、教學目標 知識與技能:理解函數單調性和單調函數的意義;會判斷和證明簡單函數的單調性。 過程與方法:培養從概念出發，進一步研究其性質的意識及能力;體會感悟數形結合、分類討論的數學思想。 情感態度與價值觀:領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法，培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣;由合適的例子引發學生探求數學知識的欲望，突出學生的主觀能動性，激發學生學習的興趣。 4(教學的重點和難點 教學重點: 函數單調性的概念，判斷并證明函數的單調性;1 函數單調性說課稿 教學難點: 根據定義證明函數的單調性和利用函數圖像證明單調性。 二、教法與學法 1(教學方法 本節課是函數單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，本節課主要采用“創設情景、問題探究、合作交流、歸納總結、聯系鞏固”的教學方式，這樣既增加了教師與學生、學生與學生之間的交流，又能激發學生的求知欲，調動學生積極性，使他們思路更加開闊，思維更加敏捷。 2(教學手段 教學中使用多媒體輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識。 3(學法 高一學生知識上已經掌握了一次函數、二次函數、反比例函數的圖象和基本性質等內容，但對知識的理解和方法的掌握上不完備，反應在解題中就是思維不嚴密，過程不完整;能力上具備了一定的觀察、類比、分析、歸納能力，但知識整合和主動遷移的能力較弱，數形結合的意識和思維的深刻性還需進一步培養和加強，所以應從下面兩方面來提高學生的水平。 (1)讓學生利用圖形直觀感受;(2)讓學生“設問、嘗試、歸納、總結、運用”，重視學生的主動參與，注重信息反饋，通過引導學生多思、多說、多練，使認識得到深化。 三、教學過程 本節課的教學過程包括:創設情境，引入課題;歸納探索，形成概念;鞏固提高，深化概念;歸納小結，提高認識.具體過程如下:(一)創設情境，引入課題 我們知道，函數是刻畫事物變化的工具。在2003年抗擊非典型肺炎時，衛生部門對疫情進行了通報。如下圖是北京從4月21日到5月19日期間每日新增病例的變化統計圖。 思考如何用數學語言刻畫疫情變化, [設計意圖]:通過實際生活中的例子讓學生對圖像的上升和下降有一個初步感性認識，為下一步對概念的理性認識作好鋪墊。同時通過多媒體展示，能夠提高學生的興趣，增強直觀性，拉近數學與實際的距離，感受數學源于生活,讓學生學會用數學的眼光去關注生活。函數單調性說課稿(二)歸納探索，形成概念 在本階段的教學中，為使學生充分感受數學概念的形成與發展過程和數形結合的數學思想，加深對函數單調性的本質的認識，我設計了幾個環節,引導學生分別完成對單調性定義的認識.1、提出問題，觀察變化 12問題:分別做出函數的圖像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 個函數圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通過學生熟悉的圖像，及時引導學生觀察，函數圖像上A點的運動情況，引導學生能用自然語言描述出，隨著增大時圖像變化規律。讓學生大膽的去說，x 老師逐步修正、完善學生的說法，最后給出正確答案。 【設計意圖】 新課標十分注重初中與高中的銜接，注重通過函數的圖像，研究函數的基本性質。以學生們熟悉的函數為切入點，盡量做到從直觀入手，順應同學們的認知規律。第三個、第四個函數圖像的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質（2、步步深化，形成概念 2觀察函數y=x隨自變量x 變化的情況，設置啟發式問題:(1)在y軸的右側部分圖象具有什么特點,(2)如果在y軸右側部分取兩個點(x，y)，(x，y)，當x 【設計意圖】通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換。另外，對“任意性”的理解，我特設計了問題(2)、(3)，達到步步深入，從而突破難點，突出重點的目的。通過對以上問題的分析，從正、反兩方面領會函數單調性。師生共同總結出單調增函數的定義，并解讀定義中的關鍵詞，如:區間內，任意，當<時，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照單調增函數定義，由學生說出單調減函數的定義。3 函數單調性說課稿 教師總結歸納單調性和單調區間的定義。 注意強調:函數的單調性是函數在定義域某個區間上的局部性質，也就是說，一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性。 【設計意圖】通過問題的分解，引導學生步步深入，直至找到最準確的數學語言來描述定義。體現從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創新意識。 3(鞏固提高，深化概念 本環節在前面研究的基礎上，加深學生進一步理解函數單調性定義本質，完成對概念的再一次認識.練習1:如下圖給出的函數，你能說出它的函數值隨自變量值的變化情yx況嗎? 怎樣用數學語言表達函數值的增減變化呢? 1f(x),例1 說出函數的單調區間，并指明在該區間上的單調性.x 練習2:判斷下列說法是否正確 (1)定義在R上的函數滿足，則函數是R上的增函數。f(x)f(2),f(1)(2)定義在R上的函數滿足，則函數是R上不是減函數。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函數，因為是增函數。所以函數fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定義在R上的函數在，,0,上是增函數，在0,，,上也是增函數，f(x)則函數是R上的增函數。 (5)函數在上都是減函數，所以在 上是減函數。 例2 畫出函數的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。f(x),3x，2 通過對上述幾題討論，加深學生對定義的理解。強調以下三點，完成本階段的教學: ?單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性。函數單調性說課稿 ?有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)。 ?函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(或減)函數，一般不能認為函數在上是增(或減)函數。 【設計意圖】函數單調性定義產生是本節課的難點，難在:如何使學生從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言的準確理解及正確應用更是學生薄弱環節，這里通過問題研討體現了以學生為主體，師生互動合作的教學新理念。例1主要是從圖形上判斷函數的單調性;例2主要對數形結合，定義法證明函數的單調性的只是鞏固與應用.(四)歸納小結，提高認識 歸納小結是鞏固新知識不可或缺的環節之一，本節課我采用組織和指導學生自己談學習收獲的方式對所學知識進行歸納，深化對數學思想方法的認識，為后續學習打好基礎(1(本節小結 函數單調性定義，判斷函數單調性的方法(圖像、定義)在方法層面上，引導學生回顧判斷，證明函數單調性的方法和步驟;引導學生體會探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等。 2(布置作業 課后作業實施分層設置，書面作業、課后思考.作業布置:教材第38頁的第2，3，5題 思考交流:問題 如果可以證明對任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能斷定函數在上是增函數嗎? fx()(,)ab,0xx,21 【設計意圖】:目的是加深學生對定義的理解，讓學生體會這種敘述與定義的等價性，而且這種方法進一步發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆。 以上各個環節，環環相扣，層層深入，注意調動學生自主探究與合作交流，努力實現教學目標，也使新課標理念能夠得到很好的落實。 各位評委，本節課我在概念教學上進行了一些嘗試.在教學過程中，我努力創設一個探索數學的學習環境,通過設計一系列問題,使學生在探究問題的過程中，親身經歷數學概念的發生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵,深入理解概念。函數單調性說課稿 附一:板書設計 函數的單調性 一、函數單調性的概念 三、例題講解 四、課堂練習 二、證明函數單調性的步驟 例1: 五、布置作業 例2: 小結和作業在多媒體上展示，這樣的板書簡明清楚，重點突出，加深學生對重點知識的理解和掌握，同時便于記憶，有利于提高教學效果.6 函數單調性說課稿 7第二篇：《函數的單調性》說課稿
第三篇：函數單調性
第四篇：必修1函數單調性說課稿
第五篇：函數的單調性
點擊咨詢 