第一篇：函數的證明方法

一般地，對于函數f(x)⑴如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函數f(x）就叫做偶函數。關于y軸對稱，f（-x）=f（x）。

⑵如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函數f(x）就叫做奇函數。關于原點對稱，-f（x）=f（-x）。

⑶如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R關于原點對稱.）那么函數f(x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。⑷如果對于函數定義域內的存在一個a，使得f(a）≠f(-a），存在一個b，使得f(-b）≠-f(b），那么函數f(x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。定義域互為相反數，定義域必須關于原點對稱 特殊的，f（x）=0既是奇函數，又是偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。

②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x）比較得出結論）③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。

④如果一個奇函數f(x）在x=0處有意義，則這個函數在x=0處的函數值一定為0。并且關于原點對稱。

⑤如果函數定義域不關于原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定義域不關于原點對稱）

⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數，則叫做既奇又偶函數。例如f（x）=0 注：任意常函數（定義域關于原點對稱）均為偶函數，只有f(x)=0是既奇又偶函數

第二篇：構造函數證明不等式的方法探究

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構造函數證明不等式的方法探究 作者：趙久勇 常國慶

來源：《新高考·高三數學》2012年第02期

第三篇：用定義證明函數極限方法總結

144163369.doc

用定義證明函數極限方法總結:

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法與用定義證明數列極限式類似，只是細節x?a

不同。

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?a?h(?)，從而得??h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?a?h(?)，從而得????

??h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定0?x?a??1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?a?h(?)，取??min??1,h(?)?。

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法： x??

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?h(?)，從而得A?h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?h(?)，從而得????

A?h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定x?A1，得f(x)?c??x?a，解????x?a???，得：x?h(?)，取A?max?A1,h(?)?。

平行地，可以寫出證明其它四種形式的極限的方法。

例1 證明：lim(2x?3)?7。x?2

證明：???0，要使：

(2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2?

取???2，?

2，即可。

x2?12?。例2 證明：lim2x?12x?x?13

x?1x2?12x?12分析：因為，放大時，只有限制????22x?x?132x?1332x?1

0?x??1，即0?x?2，才容易放大。

證明：???0，限制0?x??1，即0?x?2，要使；

x?1x?1x?1x?1x2?12x?12

??，只要????????

32x2?x?132x?1332x?132x?13

即0?x??3?，取??min(1,3?)，即可。

例3

證明：?（a?1）。

x?a

證明：???0，限制0?x?a?

1?a1?a

?1，要使：，所以x?

22?

?

?

??，只要

?1?a?,?，即可。?，取??min???，即0?x?a?

??22

??

?x3,x?1

例4 設f(x)??，證明:limf(x)?1。

x?1

?2,x?1

證明：當x?1時，f(x)?1?x?1?x?1x?x?1

限制0?x??1，則x?x?1?1?2，?x?x?1?7。???0，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?7x?1??，只要7x???，即x?1?

?

7，取

???

??min??，當0?x?1??時，有：

?7?

f(x)???，?limf(x)?1

x?1

說明：這里限制自變量x的變化范圍0?x??1，必須按自變量x的變化趨勢來設計，x?a時，只能限制x在a點的某鄰域內，不能隨便限制！

錯解：設x?1，則x?x?1?3，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?3x?1??，只要0?x?1?

?，取??min?1,?，????3?

當0?x?1??時，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。

x?1

例5 證明:lim

?1。

x?12x?1

2x?11

證明：考察，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?1 ?1?

2x?12x?1

限制0?x?1?

111，則2x?1?1?2x?1?1??。???0，要使： 422

2x??1

???4x?1??，只要4x???，即x?1?，42x?12x?1

?1??

?44?

?1??，2x?1

取??min?,?，當0?x???時，有：?lim

x?1

?1。

2x?1

1，則4

說明：在以上放大f(x)?A（即縮小2x?1）的過程中，先限制0?x?1?得：2x?1?

11。其實任取一個小于的正數?1，先限制0?x?1??1，則22

0?x?1?或0?x??1，則不2x??1?x1?1??12m?（如果是限制?0

例6 證明:lim

能達到以上目的）。

x

?2。

x?24x?7

證明：考察

7x?271x，?僅在x?的鄰域內無界，所以，限制?2?

44x?74x?74x?7

171

0?x?2?（此鄰域不包含x?點），則4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。

842

???0，要使：

7x?27x?2?x

只要14x?2??，即x?2?，?2???14x?2??，144x?74x?71?4x?2

取??min?,x?1??，當時，有：?2??，0?x?2???

4x?7?814?

x

?2。

x?24x?7

x?0

?lim

x

例7 用定義證明極限式：lima?1，（a?1）

證明：???0（不妨??1），要使：

ax?1???1???ax?1???loga?1????x?loga?1???（由對數函數

。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0，f(x)?logax是單調增函數）

xx

當0?x?0??時，有：a?1??。故lima?1。證畢

x?0

例8 設f(x)?0，limf(x)?

A，證明：lim

x?x0

x?x0

?

n?2為正整數。

證明：（用定義證明）因為，f(x)?0，由極限保不等式性知，A?0；當A?0時，???0，由limf(x)?A，知：???0，當0?x?x0??時，有：f(x)?A?

?

x?x0

?

??

f(x)?A

n?1

?

??

?n?2

n?2

?

n?1

?

f(x)?A

n?1

?

?

n?1，故：lim

x?x0

?

im(f)x0?當A?0時：???0，由l

x?x，知：

???0，當0?x?x0??時，有：

f(x)??

? ?0?lim

x?x0

?0。證畢

第四篇：構造函數證明不等式的方法探究

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構造函數證明不等式的方法探究

作者：趙久勇 常國慶

來源：《新高考·高三數學》2013年第06期

不等式證明是中學數學的重要內容之一.由于證明不等式沒有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使其成為各種考試命題的熱點問題.靈活構造函數，并利用導數證明不等式是常見的方法.而構造好相應函數是關鍵.從哪里人手，如何構造，怎么構造，許多同學找不到突破口，常常感到無所適從，甚至構造不出合理的函數.筆者通過2011年一道新課標高考試題的分析，就這類問題的處理方法作一剖析和歸納.

第五篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)