第一篇:專題一三角函數的化簡、及證明
三角函數專題
專題一三角函數的化簡、求值及證明
一、知識網絡建構
1.⑴角度制與弧度制的互化:?弧度?180?,1??
⑵弧長公式:l??R;扇形面積公式:S??180弧度,1弧度?(180?)??57?18' 11lR??R2。2
22.三角函數定義:角?終邊上任一點(非原點)P(x,y),設|OP|?r 則:
sin??yxy,cos??,tan?? rrx
3.三角函數符號規律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(簡記為“全s t c”)
4.誘導公式記憶規律:“奇變偶不變,符號看象限”
sinx5.同角三角函數的基本關系:sin2x?cos2x?1;?tanx cosx
6.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:
①sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos??sin?sin?; tan(???)?tan??tan?.1?tan?tan?
222
2②sin(???)sin(???)?sin??sin?;cos(???)cos(???)?cos??sin?.③asin??
bcos????)(其中,輔助角?所在象限由點(a,b)所在的象
限決定,tan??b).a
27.二倍角公式:①sin2??2sin?cos?.(sin??cos?)?1?2sin?cos??1?sin2?
②cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?(升冪公式).2222
cos2??1?cos2?1?cos2?(降冪公式).,sin2??22
二、考綱要求及考試方向
1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化。
2、理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義,理解同角三角函數的基本關系。3、能利用單位圓中的三角函數線推導出
4、兩角和與差的三角函數公式
(1)會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式。
(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。
(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內在聯系。
5.簡單的三角恒等變換
能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)的正弦、余弦、正切的誘導公式
考試方向: 三角函數的化簡、求值及證明涉及恒等變換,而三角函數的恒等變換是歷年高考命題的熱點.它既可以出現小題(選擇或者填空),也可以與三角函數的性質,解三角形,向量等知識結合,參雜、滲透在解答題中,它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間.提高三角變換能力, 要學會設置條件, 靈活運用三角公式, 掌握運算、化簡及證明的方法和技能.,在考察三角公式的掌握和運用的同時,還注重考察思維的靈活性和發散性,以及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力.
三、基本概念檢測
1、課標文數14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,25y)是角θ終邊上一點,且sinθ=-,則y=________.52、(2010福建理數)計算sin43cos13-sin13cos43的值等于()
3、若?,??(0,?),cos???????71,tan???,求α+2β=.350
4、(2010全國卷1理數)(14)已知?為第三象限的角,cos2???3,則
5π120,5、課標文數9.C2,C6[2011·福建卷] 若α∈?且sinα+cos2α=,則tanα的值等于()?246、(江蘇泰興市重點中學2011屆)(14分)已知a??1,cosx?,b??,sinx?,x??0,??
(1)若//,求tan(?2?)?.4??1?3??sinx?cosx的值; sinx?cosx
(2)若?,求sinx?cosx的值。
7、(四川省成都外國語學校2011屆高三10月文).已知函數f(x)?x3?bx的圖象在點
A(1,f(1))處的切線的斜率為4,則函數g(x)?3sin2x?bcos2x的最大值是()
ππ-,則α+β=()
8、已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的兩根,α,β∈??2222A.B.- 3
31212C.或- D.π或 33330<?<9(浙江理6)若?????1cos(?)?-<?
<0cos(??)?
42,則2,243,cos(???
2)?
A.
B.
C.D.
10、(2010全國卷1理數)(2)記cos(?80?)?k,那么tan100??
四、典型例題分析
例
1、(2010天津文數)(17)(本小題滿分12分)
在?ABC中,ACcosB。?ABcosC
(Ⅰ)證明B=C:
(Ⅱ)若cosA=-
例
2、(2009湖南卷文)(每小題滿分12分)??1?,求sin?4B??的值。3?3?
??已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).??(Ⅰ)若a//b,求tan?的值; ??(Ⅱ)若|a|?|b|,0????,求?的值。
例
3、(1)求值:
(2)、化簡logcos40°+sin50°?1+3tan10°?1+cos40°2sin 3π7π+log2sin________. 88(3)、(2010上海文數)19.(本題滿分1
2分)
已知0?x??
2,化簡:
x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).22
例4 [2011·廣東卷]
1π已知函數f(x)=2sin??3x-6,x∈R.(1)求f(0)的值;
ππ1060,f?3α+=f(3β+2π)=,求sin(α+β)的值.(2)設α,β∈?213?2?
5例5.(湖南理17)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC.(Ⅰ)求角C的大小;
?
sinA-cos(B+4)的最大值,并求取得最大值時角A、B的大小。
例
6、在數1和100之間插入n個實數,使得這n?2個數構成遞增的等比數列,將這n?2個數的乘積記作
(Ⅰ)求數列
(Ⅱ)設
Tn,再令an?lgTn,n≥1.{an}的通項公式; 求數列bn?tanan?tanan?1,{bn}的前n項和Sn.五、反饋訓練
1、(2009寧夏海南卷文)有四個關于三角函數的命題: p1:?x?R, sin2p3: ?x??0,?
?其中假命題的是 x12x+cos=p2: ?x,y?R, sin(x?y)?sinx?siny 222??sinxp4: sinx?cosy?x?y?
2(A)p1,p4(B)p2,p4(3)p1,p3(4)p2,p32、(2009上海卷文)函數f(x)?2cosx?sin2x的最小值是
3.(2010江蘇卷)
10、定義在區間?0,2?
????上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點2?
為P,過點P作PP1⊥x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為
4、課標文數5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+cos2B=()
5、(2009上海卷文)已知函數f(x)?sinx?tanx。項數為27的等差數列{a
n}滿足
則當d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0,f(ak)?0.。
6、(2010重慶文數)(15)如題(15)圖,圖中的實線是由三段圓弧
連接而成的一條封閉曲線C,各段弧所在的圓經過同一點P(點P不
在C上)且半徑相等.設第i段弧所對的圓心角為?i(i?1,2,3),則
cos?
13cos?2??
33?sin?1
3sin?2??3
3?____________.7、(2010福建文數)16.觀察下列等式:
① cos2a=2cosa-1;
② cos4a=8cosa-8cosa+ 1;
③ cos6a=32cosa-48cosa+ 18cosa-1;
④ cos8a=128cosa-256cosa+ 160cosa-32cosa+ 1;864264242
2⑤ cos10a= mcosa-1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa-1. 可以推測,m – n + p =. 108642
f(x)?tan(2x?),4
8、已知函數
(Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期; ?
(II)設??????0,?4?f()?2cos2?,?,若2求?的大小. ?
??1????????1?,9、已知0???,?為f(x)?cos?2x??的最小正周期,a??tan?????,4????????
???2cos2??sin2(???)b?(cos?,2),且a?b?m.求的值. cos??sin?
10、設 ? ?[0, ?
2],且 cos2?+2msin?-2m-2<0 恒成立,求 m 的取值范圍.3π41π,?,tanβ=-β∈?π?,求cos(α+β).(2)已知cosα=-,α∈??2??2?
5311、[2010·四川文數](1)①證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ②由Sα+β推導兩角和的正弦公式Sa+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.六、自我反思與總結
1、反思自己的問題:
2、存在的疑惑有哪些
第二篇:函數極限證明
函數極限證明
記g(x)=lim^(1/n),n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a,那么存在N2,當x>N2時,0<=f2(x)同理,存在Ni,當x>Ni時,0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};
那么當x>N,有
(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)
第三篇:2012.2.1(1.2化簡與證明)
高一三角函數(化簡與證明)
選擇題
1、已知cosα= - 12,α∈(π,2π),則tanα的值是()1
355125AB.C.D.±13125123、若是?第二象限角,則tan?1?1化簡的結果是()sin2?
A.1B.-1C.tan2αD.-tan2α
???
6、若?為二象限角,且cos?sin??2sincos,那么是()2222
2A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
17、若tanx?2, 則的值為()sinx?3cosxcosx?sinxA.?3B.?5C.3D.
512tanx?
8、函數f?x??值域中元素的個數是()21cosx?tanx?12cosx
A.1個B.2個C.3個D.4個
填空題
1、化簡sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=.
2、化簡
?2sin40?cos40?sin40??sin40?2?=.
?sin?sin = -2 tanα,則角?的取值范圍是. ?1?sin?1?sin?
79、已知?是三角形的內角,且sin??cos???,則tan?? 134、若
10、已知sin?+cos?=,那么角?是第______象限的角.解答題
1、化簡:tanα(cosα-sinα)+
sin?(sin??tan?). 1?cos?152、求證:1?2sin?cos?tan??1?. sin2??cos2?tan??
14、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA,求證:sin2A+sin2B+sin2C = 2.
5、已知sin??sin2??1,求3cos2??cos4??2sin??1的值.
cos??sin?
8、若tan??,求值:①sin?,cos?; ② ; ③ 2sin2??sin?cos??cos2?;cos??sin?
④sin??cos?。
11、已知x是銳角,求函數y?(4?3sinx)(4?3cosx)的最小值。
m2?1解:y=16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx,令sinx+cosx=m則m∈(12],并且有sinxcosx=,27947從而有y=(m?)2?,易得ymin=。2232
參考答案
一、選擇題
BABBDCDD
二、填空題1、1;
2、-1;
3、1?tan?;
?3??2k?,?k?Z?
4、?2k????2
2三、解答題
1、sin?
2sin2??cos2??2sin?cos??sin??cos??
2、左邊? ?2222sin??cos?sin??cos?
sin??cos?tan??1??右邊.?sin??cos?tan??
13、∵tan??cot??sin2?tan??cos2?cot??1?sin2?tan??1?cos2?cot? ?cos2?tan??sin2?cot??cos?sin??sin?cos??2sin?cos? ∴sin2?tan??cos2?cot??2sin?cos??tan??cot?.
4、∵cos2B?cos2?sin2A,cos2C?sin2?sin2A,∴cos2B?cos2C?cos2??sin2?sin2A,即:1?sin2B?1?sin2C?sin2A,∴sin2A?sin2B?sin2C?2. ????????
第四篇:函數的證明方法
一般地,對于函數f(x)⑴如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函數f(x)就叫做偶函數。關于y軸對稱,f(-x)=f(x)。
⑵如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那么函數f(x)就叫做奇函數。關于原點對稱,-f(x)=f(-x)。
⑶如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x),(x∈R,且R關于原點對稱.)那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱為既奇又偶函數。⑷如果對于函數定義域內的存在一個a,使得f(a)≠f(-a),存在一個b,使得f(-b)≠-f(b),那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱為非奇非偶函數。定義域互為相反數,定義域必須關于原點對稱 特殊的,f(x)=0既是奇函數,又是偶函數。
說明:①奇、偶性是函數的整體性質,對整個定義域而言。
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱,如果一個函數的定義域不關于原點對稱,則這個函數一定不具有奇偶性。
(分析:判斷函數的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱,然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。
④如果一個奇函數f(x)在x=0處有意義,則這個函數在x=0處的函數值一定為0。并且關于原點對稱。
⑤如果函數定義域不關于原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如f(x)=x3【-∞,-2】或【0,+∞】(定義域不關于原點對稱)
⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數,則叫做既奇又偶函數。例如f(x)=0 注:任意常函數(定義域關于原點對稱)均為偶函數,只有f(x)=0是既奇又偶函數
第五篇:構造函數證明不等式
在含有兩個或兩個以上字母的不等式中,若使用其它方法不能解決,可將一邊整理為零,而另一邊為某個字母的二次式,這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數有關或能通過等價轉化為一元二次方程的,都可考慮使用判別式,但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。
例1.設:a、b、c∈R,證明:a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立,并指出等號何時成立。
解析:令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc
⊿=(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R,∴⊿≤0 即:f(a)?0,∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。
當⊿=0時,b?c?0,此時,f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0,∴a??b?c時,不等式取等號。
?4?例2.已知:a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2,求證: a,b,c??0,?。
?3??a?b?c?222解析:?2 消去c得:此方程恒成立,a?(b?2)a?b?2b?1?0,22?a?b?c?2∴⊿=(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0,即:0?b??4?同理可求得a,c??0,?
?3?4。3② 構造函數逆用判別式證明不等式
對某些不等式證明,若能根據其條件和結論,結合判別式的結構特征,通過構造二項平方和函數:f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2
由f(x)?0,得⊿≤0,就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題,獲得簡捷明快的證明。
例3.設a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1,求證:4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析:構造函數:
f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)
2=8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0,得⊿≤0,即⊿=4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設a,b,c,d?R?且a?b?c?1,求解析:構造函數f(x)?(=(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2
1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0(當且僅當a?,b?,c?時取等號),632149得⊿≤0,即⊿=144-4(??)≤0
abc111149
∴當a?,b?,c?時,(??)min?36 632abc
構造函數證明不等式
1、利用函數的單調性
+例
5、巳知a、b、c∈R,且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想,構造出與所證不等式密切相關的函數,利用函數的單調性來比較函數值而證之,思路則更為清新。