第一篇：專題一三角函數的化簡、及證明

三角函數專題

專題一三角函數的化簡、求值及證明

一、知識網絡建構

1．⑴角度制與弧度制的互化：?弧度?180?，1??

⑵弧長公式：l??R；扇形面積公式：S??180弧度，1弧度?(180?)??57?18' 11lR??R2。2

22．三角函數定義:角?終邊上任一點（非原點）P(x,y),設|OP|?r 則：

sin??yxy,cos??,tan?? rrx

3．三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全s t c”）

4．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”

sinx5．同角三角函數的基本關系：sin2x?cos2x?1;?tanx cosx

6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(???)?sin?cos??cos?sin?；cos(???)?cos?cos??sin?sin?； tan(???)?tan??tan?.1?tan?tan?

222

2②sin(???)sin(???)?sin??sin?；cos(???)cos(???)?cos??sin?.③asin??

bcos????)(其中,輔助角?所在象限由點(a,b)所在的象

限決定,tan??b).a

27．二倍角公式：①sin2??2sin?cos?.(sin??cos?)?1?2sin?cos??1?sin2?

②cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?（升冪公式）.2222

cos2??1?cos2?1?cos2?（降冪公式）.,sin2??22

二、考綱要求及考試方向

1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化。

2、理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，理解同角三角函數的基本關系。3、能利用單位圓中的三角函數線推導出

4、兩角和與差的三角函數公式

(1)會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式。

(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。

(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。

5．簡單的三角恒等變換

能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)的正弦、余弦、正切的誘導公式

考試方向： 三角函數的化簡、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數的恒等變換是歷年高考命題的熱點.它既可以出現小題（選擇或者填空），也可以與三角函數的性質，解三角形，向量等知識結合，參雜、滲透在解答題中，它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間.提高三角變換能力, 要學會設置條件, 靈活運用三角公式, 掌握運算、化簡及證明的方法和技能.，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發散性，以及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力．

三、基本概念檢測

1、課標文數14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，25y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－，則y＝________.52、（2010福建理數）計算sin43cos13-sin13cos43的值等于（）

3、若?,??(0,?)，cos???????71,tan???，求α+2β=.350

4、（2010全國卷1理數）(14)已知?為第三象限的角，cos2???3,則

5π120，5、課標文數9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈?且sinα＋cos2α＝，則tanα的值等于()?246、（江蘇泰興市重點中學2011屆）（14分）已知a??1,cosx?,b??,sinx?,x??0,??

（1）若//，求tan(?2?)?.4??1?3??sinx?cosx的值； sinx?cosx

（2）若?，求sinx?cosx的值。

7、（四川省成都外國語學校2011屆高三10月文）．已知函數f(x)?x3?bx的圖象在點

A(1,f(1))處的切線的斜率為4，則函數g(x)?3sin2x?bcos2x的最大值是（）

ππ－，則α＋β＝()

8、已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的兩根，α，β∈??2222A.B．－ 3

31212C.或－ D.π或 33330＜?＜9（浙江理6）若?????1cos(?)?-＜?

＜0cos(??)?

42，則2，243，cos(???

2)?

A．

B．

C．D．

10、（2010全國卷1理數）(2)記cos(?80?)?k,那么tan100??

四、典型例題分析

例

1、（2010天津文數）（17）（本小題滿分12分）

在?ABC中，ACcosB。?ABcosC

（Ⅰ）證明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-

例

2、（2009湖南卷文）（每小題滿分12分）??1?，求sin?4B??的值。3?3?

??已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).??（Ⅰ）若a//b，求tan?的值； ??（Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。

例

3、(1)求值：

（2）、化簡logcos40°＋sin50°?1＋3tan10°?1＋cos40°2sin 3π7π＋log2sin________． 88（3）、（2010上海文數）19.（本題滿分1

2分）

已知0?x??

2，化簡：

x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).22

例4 [2011·廣東卷]

1π已知函數f(x)＝2sin??3x－6，x∈R.(1)求f(0)的值；

ππ1060，f?3α＋＝f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．(2)設α，β∈?213?2?

5例5.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；

?

sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值時角A、B的大小。

例

6、在數1和100之間插入n個實數，使得這n?2個數構成遞增的等比數列，將這n?2個數的乘積記作

（Ⅰ）求數列

（Ⅱ）設

Tn，再令an?lgTn,n≥1.{an}的通項公式； 求數列bn?tanan?tanan?1,{bn}的前n項和Sn.五、反饋訓練

1、（2009寧夏海南卷文）有四個關于三角函數的命題： p1：?x?R, sin2p3: ?x??0,?

?其中假命題的是 x12x+cos=p2: ?x,y?R, sin(x?y)?sinx?siny 222??sinxp4: sinx?cosy?x?y?

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p32、（2009上海卷文）函數f(x)?2cosx?sin2x的最小值是

3.（2010江蘇卷）

10、定義在區間?0,2?

????上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點2?

為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為

4、課標文數5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝()

5、（2009上海卷文）已知函數f(x)?sinx?tanx。項數為27的等差數列{a

n}滿足

則當d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0，f(ak)?0.。

6、（2010重慶文數）（15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧

連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經過同一點P（點P不

在C上）且半徑相等.設第i段弧所對的圓心角為?i(i?1,2,3)，則

cos?

13cos?2??

33?sin?1

3sin?2??3

3?____________.7、（2010福建文數）16.觀察下列等式：

① cos2a=2cosa-1;

② cos4a=8cosa-8cosa+ 1;

③ cos6a=32cosa-48cosa+ 18cosa-1;

④ cos8a=128cosa-256cosa+ 160cosa-32cosa+ 1;864264242

2⑤ cos10a= mcosa-1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa-1． 可以推測，m – n + p =． 108642

f(x)?tan(2x?),4

8、已知函數

（Ⅰ）求f(x)的定義域與最小正周期； ?

（II）設??????0,?4?f()?2cos2?,?，若2求?的大小． ?

??1????????1?，9、已知0???，?為f(x)?cos?2x??的最小正周期，a??tan?????，4????????

???2cos2??sin2(???)b?(cos?，2)，且a?b?m．求的值． cos??sin?

10、設 ? ?[0, ?

2],且 cos2?+2msin?-2m-2<0 恒成立,求 m 的取值范圍.3π41π，?，tanβ＝－β∈?π?，求cos(α＋β)．(2)已知cosα＝－，α∈??2??2?

5311、[2010·四川文數](1)①證明兩角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； ②由Sα＋β推導兩角和的正弦公式Sa＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.六、自我反思與總結

1、反思自己的問題：

2、存在的疑惑有哪些

第二篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第三篇：2012.2.1(1.2化簡與證明)

高一三角函數（化簡與證明）

選擇題

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），則tanα的值是（）1

355125AB．C．D．±13125123、若是?第二象限角，則tan?1?1化簡的結果是（）sin2?

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α

???

6、若?為二象限角，且cos?sin??2sincos，那么是（）2222

2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

17、若tanx?2, 則的值為（）sinx?3cosxcosx?sinxA．?3B．?5C．3D．

512tanx?

8、函數f?x??值域中元素的個數是（）21cosx?tanx?12cosx

A．1個B．2個C．3個D．4個

填空題

1、化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β=．

2、化簡

?2sin40?cos40?sin40??sin40?2?=．

?sin?sin = －2 tanα，則角?的取值范圍是． ?1?sin?1?sin?

79、已知?是三角形的內角，且sin??cos???，則tan?? 134、若

10、已知sin?+cos?=，那么角?是第______象限的角.解答題

1、化簡：tanα（cosα－sinα）＋

sin?(sin??tan?)． 1?cos?152、求證：1?2sin?cos?tan??1?． sin2??cos2?tan??

14、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求證：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

5、已知sin??sin2??1，求3cos2??cos4??2sin??1的值．

cos??sin?

8、若tan??，求值：①sin?,cos?； ② ； ③ 2sin2??sin?cos??cos2?；cos??sin?

④sin??cos?。

11、已知x是銳角，求函數y?(4?3sinx)(4?3cosx)的最小值。

m2?1解：y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx，令sinx+cosx=m則m∈（12]，并且有sinxcosx=,27947從而有y=(m?)2?，易得ymin=。2232

參考答案

一、選擇題

BABBDCDD

二、填空題1、1；

2、-1；

3、1?tan?；

?3??2k?,?k?Z?

4、?2k????2

2三、解答題

1、sin?

2sin2??cos2??2sin?cos??sin??cos??

2、左邊? ?2222sin??cos?sin??cos?

sin??cos?tan??1??右邊．?sin??cos?tan??

13、∵tan??cot??sin2?tan??cos2?cot??1?sin2?tan??1?cos2?cot? ?cos2?tan??sin2?cot??cos?sin??sin?cos??2sin?cos? ∴sin2?tan??cos2?cot??2sin?cos??tan??cot?．

4、∵cos2B?cos2?sin2A，cos2C?sin2?sin2A，∴cos2B?cos2C?cos2??sin2?sin2A，即：1?sin2B?1?sin2C?sin2A，∴sin2A?sin2B?sin2C?2． ????????

第四篇：函數的證明方法

一般地，對于函數f(x)⑴如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函數f(x）就叫做偶函數。關于y軸對稱，f（-x）=f（x）。

⑵如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函數f(x）就叫做奇函數。關于原點對稱，-f（x）=f（-x）。

⑶如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R關于原點對稱.）那么函數f(x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。⑷如果對于函數定義域內的存在一個a，使得f(a）≠f(-a），存在一個b，使得f(-b）≠-f(b），那么函數f(x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。定義域互為相反數，定義域必須關于原點對稱 特殊的，f（x）=0既是奇函數，又是偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。

②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x）比較得出結論）③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。

④如果一個奇函數f(x）在x=0處有意義，則這個函數在x=0處的函數值一定為0。并且關于原點對稱。

⑤如果函數定義域不關于原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定義域不關于原點對稱）

⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數，則叫做既奇又偶函數。例如f（x）=0 注：任意常函數（定義域關于原點對稱）均為偶函數，只有f(x)=0是既奇又偶函數

第五篇：構造函數證明不等式

在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數有關或能通過等價轉化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。

例1.設：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時，不等式取等號。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立，a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構造函數逆用判別式證明不等式

對某些不等式證明，若能根據其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。

例3.設a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構造函數：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構造函數f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當且僅當a?,b?,c?時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當a?,b?,c?時，(??)min?36 632abc

構造函數證明不等式

1、利用函數的單調性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。

a?x+，其中x∈R，0

b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數 b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數

b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴a?ma> b?mb例

6、求證：a?b1?a?b≤

a?b1?a?b（a、b∈R）

[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構造函數，運用函數的單調性證明，問題將迎刃而解。

[證明]令 f（x）=

x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數（證略）1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： a?b1?a?b≤

a?b1?a?b

[說明]要證明函數f(x)是增函數還是減函數，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數的單調性。

2、利用函數的值域

例

7、若x為任意實數，求證：—

x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函數的值域，于是構造函數f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。

1?x222x2證明：設 y=，則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實數 ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21?x22 ∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數的定義域。

另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數更簡單。

例

8、求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y

對大于1的任意x與y恒成立。

[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數，視參數為變元的函數，然后根據變元函數的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。

22證明：∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為：Lga≥

lgx?lgylgx?lgy22

2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。

3、運用函數的奇偶性

xx<(x≠0)1?2x2xx 證明：設f（x）=-(x≠0)x1?22 例

9、證明不等式：

?x?x?x2xx ∵f（-x）=-= x+ ?x1?222?12xxx

[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關于y軸對稱

x ∵當x>0時，1-2<0，故f(x)<0 當x<0時，根據圖象的對稱性知f(x)<0 故當 x≠0時,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x1?22 [小結]本題運用了比較法，實質是根據函數的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數的軸對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。