第一篇：利用函數(shù)凹凸性質(zhì)證明不等式

利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式

內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué)張巧霞

摘要：本文主要利用函數(shù)的凹凸性來推導(dǎo)和證明幾個不等式.首先介紹了凹凸函數(shù)的定義，描述了判定一個函數(shù)具有凹凸性質(zhì)的充要條件，并且給出了凸函數(shù)的一個重要性質(zhì)——琴生不等式.通過巧妙構(gòu)造常見的基本初等函數(shù)，利用這些函數(shù)的凹凸性推導(dǎo)幾個重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德爾不等式，然后再借助這些函數(shù)的凹凸性及其推導(dǎo)出來的重要不等式證明一些初等不等式和函數(shù)不等式.關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；凹函數(shù)；不等式.一． 引言

在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中，利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的性態(tài)時，經(jīng)常會遇到一類特殊的函數(shù)——凹凸函數(shù).凹凸函數(shù)具有一些特殊的性質(zhì)，對于某些不等式的證明問題如果靈活地運用函數(shù)的凹凸性質(zhì)就可以簡潔巧妙地得到證明.二． 凹凸函數(shù)的定義及判定定理

(1)定義 設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于I上的任意兩點x1,x2及實數(shù)???0,1?總有

f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2?

則稱f(x)為I上的凸函數(shù)（下凸函數(shù)）；反之，如果總有不等式

f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2?

則稱f(x)為I上的凹函數(shù)（上凸函數(shù)）.特別地，取??x?x2f?x1??f?x2?1)????.，則有f(1

222

若上述中不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)或嚴(yán)格凹函數(shù).（2）判定定理 若函數(shù)f(x)在區(qū)間 I上是二階可微的，則函數(shù)f(x)是凸函數(shù)的充要條件是f“(x)?0，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)的沖要條件是f”(x)?0.三．關(guān)于凸函數(shù)的一個重要不等式——琴生不等式

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的一個凸函數(shù)，則對?xi?I,?i?1,2,?,n?,?i?0,??

i?1ni?1有

f(??ixi)???if?xi?.i?1

i?1

nn

特別地，當(dāng)?i?

?i?1,2,?,n?,有 n

f（x1?x2???xnf?x1??f?x2????f?xn?)?.22

琴生不等式是凸函數(shù)的一個重要性質(zhì)，因為每個凸函數(shù)都有一個琴生不等式，因此它

在一些不等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用.四． 應(yīng)用凸函數(shù)和琴生不等式證明幾個重要不等式.（1）（調(diào)和——幾何——算術(shù)平均不等式）設(shè)ai?0,?i?1,2,?,n?,則有

n

?n??a??i???n

1??i?1??i?1ain

當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時，等號成立.證明 設(shè)f(x)??lnx,因為f“(x)?

?a

i?1

n

i

n

?0,x??0,???, 2x

所以f(x)是?0,???上的凸函數(shù)，那么就有f（??x)???f?x?.ii

i

i

i?1

i?1

nn

現(xiàn)取xi?ai,?i?,?i?1,2,?,n?, n

?n1??n1?n1

則有?ln??ai?????lnai???ln?ain?, ???

?i?1n?i?1n?i?1??n1??n1?

得ln??ai??ln?ain????,n?i?1??i?1?

由lnx的遞增性可得

n

??1

（1）?a???ii???

i?1n?i?1?

同理，我們?nèi)i?

nn

?0，就有 ai

?n11?ln???na

i?i?1?n1?1????ln???ai?i?1n?

n

n

?n

?1????ln?1???i?1an?i??

?, ???

即

???a??i??（2）n

1??i?1??i?1ain

n

由（1），（2）兩式可得

?n?

?a??i???n

1??i?1??i?1ain

（2）柯西——赫勒德爾不等式

p

1n

?a

i?1

i

n

?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?

其中ai,bi,?i?1,2,?,n?是正數(shù)，又p?0,p?1,p與q共軛，即

nnn

q

??1.pq

證明 首先構(gòu)造函數(shù)f?x??xp,p?1時，f”?x??0,?x?0? 所以f?x??x是?0,???上的凸函數(shù)，則有

p

n

?n?p

f(??ixi)????ixi????ixi i?1i?1?i?1?

n

p

令 ?i?

pi

?p

i?1

n,這里pi?0,?i?1,2,?,n?，i

?n

??pixi

則?i?1

?n

??pi?i?1

p

???????

p

?px

ii?1

n

pi

?p

i?1

n

i

n

?n??n?p??即??pixi????pixi???pi??i?1??i?1??i?1?

p?1

由題設(shè)知

11p

??1，得q?，p?1pq

所以?

1p

1q

?

???p??px?pxp???????iiiii?，?i?1??i?1??i?1?

nn

p

n

1q

現(xiàn)取ai?pixi,bi?pi，?i?1,2,?,n? 則aibi?pixipi

1p

1q

?pixi,pixi?ai，代入上式得

pp

?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?

命題得證.在柯西赫勒德爾不等式中，若令p?q?2時，即得到著名的不等式——柯西不等式

nn

p

n

1q

?2??2?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?

nn

n

?n2??n2?

(?aibi)???ai???bi?i?1?i?1??i?1?

n

這里ai,bi,?i?1,2,?,n?為兩組正實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ai?bi時等號成立.五．凸函數(shù)及重要不等式在證明初等不等式和函數(shù)不等式中的應(yīng)用.例1.求證在圓的內(nèi)接n邊形中，以正變形的面積最大.證明 設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接n邊形的面積為S，各邊所對的圓心角分別為?1,?2,?,?n，則

S?

r?sin?1?sin?2???sin?n?,因為f“?x???sinx?0，2

所以f?x??sinx是?0,??上的凹函數(shù)，由琴生不等式可得

f(?

i?1

n

?i)??f??i?.ni?1n

n

n

即sin

??

i?1

i

n

?

??sin

i?1

n

i

n

?sin?i?nsin

i?1

2?

n

上式只有在?1??2????n時等號才成立，也即正n邊形的面積最大.特別地，若A,B,C為三角形的三個內(nèi)角時，由上式可得sinA?sinB?sinC?

.2x?y

例2 求證對任意的x?0,y?0，下面的不等式xlnx?ylny?(x?y)ln成立.證明 我們根據(jù)所要證明的不等式構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，令f?t??tlnt,t?0，因f”?t??所以有

?0.故f?t??tlnt是?0,???上的凸函數(shù)，t

?x?y?f?x??f?y?f?,?x,y??0,???, ??

2?2?

即

x?yx?y1ln??xlnx?ylny?, 222

x?y

(x?y)ln??xlnx?ylny?,所以在利用凸函數(shù)證明不等式時，關(guān)鍵是如何巧妙地構(gòu)造出能夠解決問題的函數(shù)，然后列出琴生不等式就可以簡潔，巧妙地得到證明.nnnn

?n?4444

例3 設(shè)ai,bi,ci,di都是正實數(shù)，證明??aibicidi???ai?bi?ci?di.i?1i?1i?1i?1?i?1?

分析 本題所要證明的結(jié)論看上去接近于柯西不等式，但是這里是4次方的情形，所以想辦

法將其變成標(biāo)準(zhǔn)形式。

?n??n?

證明??aibicidi?????aibi??cidi??

?i?1??i?1??

????aibi?

??i?1

n

??n?2

????cidi??

????i?12

n

?n22??22?=??aibi???cidi? ?i?1??i?1?

n

n

n

n

??

??

?

?ai

i?1

?bi

i?1

?ci

i?1

?di

i?1

通過以上例子我們可得出結(jié)論，運用柯西不等式的關(guān)鍵是對照柯西不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，構(gòu)造

出兩組適當(dāng)?shù)臄?shù)列，然后列出式子.例4 設(shè)a,b,c,d都是正實數(shù)，且c?d?a?b

證明 首先由均值不等式得

?

?

a3b3

?1..證明?

cd

?a3b3?acb3bda344

?? ???ac?bd?a???b?c?d?dc?

?a?2ab?b

=a2?b2再由柯西不等式得

??

2122

?ac?bd??a?b

??c

?d

?d

?

?

?a?b=a2?b2

?

122

?c

322

??

?a3b3?22

??a?b即??cd???

??

?a3b3?

???c?d???ac?bd? ??

?a2?b2

??

a3b3??1 所以cd

六．總結(jié)

由上面的分析我們看到，雖然利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式有它的局限性，但是往

往是其它方法不可代替的，我們可以充分感受到利用函數(shù)的凹凸性解決問題的方便和快捷，豐富了不等式的常規(guī)證法，開闊了解題思路.參考文獻

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謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義【M】.高等教育出版社，2003.王仁發(fā).高觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)【M】.高等教育出版社，1999.席博彥.不等式的引論【M】.內(nèi)蒙古教育出版社，2000.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析【M】.高等教育出版社，1991.

第二篇：應(yīng)用凹凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式解讀

應(yīng)用凹(凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式 435000 湖北省黃石市第二中學(xué) 王碧純

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容.由于證題方法多、技巧性強,所以是一個難點.本文介紹應(yīng)用凹(或凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式的方式,希望給讀者以啟迪,并起到拋磚引玉的作用.定義 已知函數(shù)y =f(x 在給定區(qū)間[a ,b ]上,若x 1,x 2∈[a ,b ]恒有f(x 1+ f(x 2≤2f(x 1+x 2 2(當(dāng)且僅當(dāng)x 1=x 2時取等號,則稱f(x 在[a ,b ]上是凸函數(shù);若恒 有f(x 1+f(x 2≥2f(x 1+x 2 2(當(dāng)且僅當(dāng)x 1=x 2時取等號,則稱f(x 在[a ,b ]上是凹函數(shù).應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,我們可以證明下面的凹(或凸函數(shù)的性質(zhì).定理 若函數(shù)f(x 在某區(qū)間內(nèi)是凹(或凸函數(shù),則對變數(shù)在這區(qū)間內(nèi)的任意值x 1,x 2,x 3,…x n 有以下不等式成立:

f(x 1+x 2+…+x n n ≤f(x 1+f(x 2+…+f(x n n , 當(dāng)且僅當(dāng)x 1=x 2=…,=x n 時取等號(對于凸函數(shù)不等式方向相反.由凹函數(shù)的 定義可知y =x 2(x ∈R ,y = 1 x(x >0為凹函數(shù).事實上,任給x 1,x 2∈R ,都有 x 21+x 22≥12(x 21+2x 1x 2+x 2 2=2(x 1+x 22 2 ,∴ y =x 2(x ∈R 是凹函數(shù).對于任意x 1,x 2∈R +, 1x 1

+ 1x 2 =x 1+x 2x 1 x 2≥ 2x 1 x 2 x 1 x 1 = 2x 1 x 2 ≥ 2 x 1+x 2 2 , 故 y = 1x , x ∈R +是凹函數(shù).利用定義我們還可以證明 y =sin x , x ∈(0,Π是凸函數(shù).下面我們應(yīng)用凹(或凸 函數(shù)的性質(zhì),給出某些不等式的證明.例1 已知Α為銳角,求證:

(1+1sin Α(1+1 co s Α ≥3+2 2.證明 ∵ Α為銳角, ∴ sin Α>0, co s Α>0.又 y = 1 x(x ∈R +為凹函數(shù),∴(1+ 1sin Α(1+1 co s Α

=1+1sin Αco s Α+1sin Α+ 1 co s Α ≥1+2sin2Α+ 2 sin Α+co s Α 2 =1+2sin2Α+ 4

2sin(Α+ Π

4≥1+2+4 2 =3+2 2.例2 已知A 1,A 2,A 3,…,A n 是凸n 邊形的n 個內(nèi)角.求證: sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin(n-2Π n.證明 由平面幾何知識可知 A i ∈(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n =(n-2Π.又y =sin x ,x ∈(0,Π 是凸函數(shù).∴ sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin A 1+A 2+…+A n n =n sin(n-2Πn.而已知A、B、C 為△A B C 的內(nèi)角, 則 sin A +sin B +sin C ≤

2 是上

述命題中n =3時的特例.例3 已知a +b +c =1,且a、b、c ∈R +,求證:(a +1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2≥102 3.證明(a + 1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2 ≥3[(a + 1a +(b + 1b +(c +1c ]2 =3[(a +b +c +(1a +1b + 1c 3 ]2 ≥3(1 3 +13 3 1 a + b +c 3 2=3×(13+32=102.應(yīng)用上題方法可以得到下面的結(jié) 7 42004年第11期

中學(xué)數(shù)學(xué) 概率小議

——兼談廣東省2004年高考第13題510631 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 孫道椿 1概率的統(tǒng)計定義:記某個隨機事件為A,若在u次彼此無關(guān)的試驗(或觀察中出現(xiàn)了v次,則稱F u(A=v u 為隨

機事件A在u次獨立試驗中出現(xiàn)的頻率.事件 A發(fā)生的頻率v u 會在某一常數(shù)P附近擺動, 且當(dāng)u越大時,這種擺動幅度越小,則稱常數(shù)P為事件A的概率,記為P(A.概率的統(tǒng)計定義是一種最基礎(chǔ)的定義.它說明了事件的概率是客觀存在的.也給出了概率的最原始的求法.從定義可以看出,我們指的隨機現(xiàn)象應(yīng)具有二個條件: ①不確定性:每次實驗的結(jié)果(事件具有多個可能性,且不能確定每次試驗會出現(xiàn)哪種結(jié)果.②可重復(fù)性:在相同的條件下,試驗可重復(fù)進行;或者可以同時進行多次的相同試驗.平常,人們對第一個條件——不確定性映象很深.對第二個條件——可重復(fù)性,往往容易忽視.從定義可以看出,概率論是一門實踐性很強的科學(xué).忽視了可重復(fù)性,就忽視了它的重要基礎(chǔ).有些事情:比如美國的總統(tǒng)選舉.雖然選舉前不能確定它的結(jié)果,但它不滿足可重復(fù)性.所以它不是數(shù)學(xué)中所指的隨機現(xiàn)象.因此也不存在“概率”的問題,實際生活中也很少有人問它的概率大小.如果有四人預(yù)測美國的選舉結(jié)果: 甲說“布什有95?的可能當(dāng)選.” 乙說“布什有50?的可能當(dāng)選.” 丙說“布什有5?的可能當(dāng)選.” 丁說“布什肯定不會當(dāng)選.”

若結(jié)果是布什當(dāng)選了,上面僅有丁一人說錯,若布什沒有當(dāng)選,上面四人全沒有錯,由于美國的選舉不可重復(fù).實際上,前面三人說的話是不可驗證的,它只是反映了說話人的主觀態(tài)度及認(rèn)識,在概率論中是無意義的.一般的隨機事件,用統(tǒng)計定義求出它的概率,需要做多次實驗(而且還不能找出精確值.為此,對實驗合理的設(shè)計,數(shù)據(jù)的處

論: 當(dāng)x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1時,則有(x1+1 x12+(x2+1

x2 2+…+(x n+1 x n 2 ≥(n2+12 n.例4 設(shè)a、b、c為△A B C的三邊,S是 △A B C的面積.求證: a2+b2+c2≥43S.(第三屆國際中學(xué)生競賽題證明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca =ab sin C sin C + bc sin A sin A + ca sin B sin B

=2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C.① 又 y=1 x(x>0為凹函數(shù), ∴ 2S(1 sin A + 1 sin B + 1

sin C ≥2S3

sin A+sin B+sin C 3 =2S 9 sin A+sin B+sin C.②

即 y=sin x, x∈(0,Π為凸函數(shù), 又

sin A+sin B+sin C ≤3sin A+B+C 3 = 33 2 ,③

由①②③可得 a2+b2+c2≥2S 9

2 =43S.通過以上幾個不等式的證明,對比常見 的證明方法,顯然利用凹(或凸函數(shù)的性質(zhì) 證明不等式要簡捷得多.同時我們還可以看 到應(yīng)用函數(shù)的凹凸性證明不等式,不僅可以 鞏固有關(guān)基礎(chǔ)知識,使得某些復(fù)雜問題簡單 化,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧,發(fā)展學(xué)生 的思維能力.(收稿日期:20040910 84中學(xué)數(shù)學(xué)

2004年第11期

第三篇：凹凸函數(shù)的性質(zhì)

凹凸函數(shù)的性質(zhì)

12文麗瓊 營山中學(xué)

四川營山 637700 2營山駱市中學(xué)

四川營山

638150

摘要：若函數(shù)f(x)為凹函數(shù)，則f(x?x112???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n

?xx

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，則f(2)?

從而使一些重要不等式的證明更簡明。

中圖分類號：

文獻標(biāo)識號：

文章編號：

高二數(shù)學(xué)不等式，教材上只要求學(xué)生掌握兩個數(shù)的均值不等式，教材上的閱讀材料中，證明了三個數(shù)的均值不等式，從而推廣到多個數(shù)的情形。學(xué)有余力的學(xué)生，會去證多個數(shù)的情形。仿照書上去證，幾乎不可能。下面介紹凹凸函數(shù)的性質(zhì)，并用來證明之，較簡便易行。

凹函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點的切線都在函數(shù)圖像的下方，則函數(shù)f(x)叫做凹函數(shù)。如圖

（一）凸函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點的切線都在函數(shù)圖像的上方，則函數(shù)f(x)叫做凸函數(shù)。如圖

（二）性質(zhì)定理 若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則

f(x1?x2???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n

若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則

?xxf(12)?

證明：若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，如下圖

?xx點P（12

???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上

設(shè)過P點的切線方程為：y=ax+b 則

f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b

（1）

∵f(x)是凹函數(shù)，切線在函數(shù)圖像下方

∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n???xnn?a?x1?x2???xnn?b

(2)由（1），（2）得

?xxf(12)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，如下圖

?xx

點P（12

???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上

設(shè)過P點的切線方程為：y=ax+b 則

f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b

（1）

∵f(x)是凸函數(shù)，切線在函數(shù)圖像上方

∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n?a?x1?x2???xnn?b

(2)由（1），（2）得

?xxf(12???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n

定理證明過程要結(jié)合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高斯不等式。

?xx均值不等式：12???xnn?nx?x12???xn

（x1,x2,?,xn＞0）

證明：∵ y=lgx 是凸函數(shù)

∴l(xiāng)g(x1?x2???xnn2)?lg(x1)?lg(x2)???lg(xn)n

?xx

∴l(xiāng)g(1???xnn)?lgnx?x12???xn

即

x?x12???xnn?nx?x12???xn

（x1,x2,?,xn＞0）

高斯不等式：證明：∵ y?x?x1n22???xn?11xx??12???1xn

（x1,x2,?,xn＞0）

1(x>0)是凹函數(shù) x11

2∴

1(x1?x2???xn)／n?xx1???n1xn

即

x1?x2???xnn2?11xx?12???1xn

（x1,x2,?,xn＞0）

以上兩個不等式的證明，非常簡明，下面再舉幾個性質(zhì)定理應(yīng)用的例子。例1 A、B、C為三角形三內(nèi)角，求證sinA+sinB+sinC≤

證明：∵A、B、C為三角形三內(nèi)角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinA?sinB?sinCπ?sin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1x?x2???xn)?x?x???x例2 求證(1nn

證明：∵ y?x 為凹函數(shù)

x?x2???xn)?x?x???x

∴(1nn?x???x????xxxx12n例3 求證（（k∈N?）)?nn

證明：∵ y?x

（k∈N?）為凹函數(shù)

2222n12k2k2k22kn12k2x?x2???xn)

∴(1n2k?x2k1?x2???xnn2k2k

通過以上例子，可以看出，關(guān)鍵在于找到合適的凹函數(shù)或凸函數(shù)，再用性質(zhì)定理，問題可得解決。

第四篇：數(shù)列----利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

數(shù)列已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an?S2?Sn對一切正整數(shù)n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）設(shè)a1?0，數(shù)列{lg大值。

2已知數(shù)列{an}的前n項和Sn??

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列{

3在等差數(shù)列?an?中，a3?a4?a5?84,a9?73.（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式；（Ⅱ）對任意m?N*，將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列m2m10a1的前n項和為Tn，當(dāng)n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最an12n?kn，k?N*,且Sn的最大值為8.29?2an的前n項和Tn。n2?bm?的前m項和Sm.

第五篇：凹凸函數(shù)在不等式證明中的巧用

凹凸函數(shù)在不等式證明中的巧用

唐才禎1莫玉忠2李金繼

3摘要：本文從凹凸函數(shù)原始定義出發(fā)，導(dǎo)出其等價的解析不等式.同時從凹凸函數(shù)的幾何特征導(dǎo)出另一個與凹凸函數(shù)原始定義等價的解析不等式.然后利用所得不等式來推導(dǎo)一些常用的不等式，提供了一種不等式證明的技巧.關(guān)鍵詞：凹函數(shù)；凸函數(shù)；不等式；幾何特征

不等式在數(shù)學(xué)問題中是經(jīng)常碰到的，常用的不等式證明方法有初等數(shù)學(xué)中的綜合法、分析法、比較法和數(shù)學(xué)歸納法[1]，高等數(shù)學(xué)中常用的方法是利用函數(shù)的單調(diào)性、極大、極小值法和泰勒展式等方法[2].本文介紹利用凹凸函數(shù)的定義及其幾何特征在不等式證明中的應(yīng)用.一． 凹凸函數(shù)定義及幾何特征

凹凸函數(shù)是區(qū)分函數(shù)增減方式的兩種不同類型的函數(shù)，即：雖然函數(shù)單調(diào)增加，但卻可有如圖1中的兩種方式增加，把形如f1(x)的增長方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)，而形如f2(x)的增長方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)，其精確定義為

1．定義[3]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I有定義,若?x1,x2?I,?t?(0,1)有

……（1）f(tx1?(1?t)x2)?tf(x1)?(1?t)f(x2)

(f(tx1?(1?t)x2)?tf(x1)?(1?t)f(x2))

則稱f(x)在區(qū)間I是凸函數(shù)（凹函數(shù)）.根據(jù)函數(shù)的凸凹定義，不難證明，若函數(shù)f(x)在區(qū)間I是凹的，則函數(shù)一f(x)在區(qū)間I就是凸的，從而，我們從凸函數(shù)特征的討論可在凹函數(shù)上適用.為了便于使用，通常把不等式（1）改寫成如下等價形式：

如：設(shè)q1?t,q2?1?t,有q1?q2?1.(q1,q2?(0,1))

則（1）式可改寫為

f(q1x2?q2x2)?q1f(x1)?q2(x2)……（2）

2． 凸函數(shù)的幾何特征：

如圖，設(shè)A1,A2是凸函數(shù)y=f(x)曲線上兩點，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)x1?x2,x?(x1,x2)，則存在q1,q2?0,q1?q2?1,使得

12作者簡介： 唐才禎（1963－），男，廣西靈川人，中教一級，廣西醫(yī)科大學(xué)附中.作者簡介： 莫玉忠（1969－），女，廣西金秀人，講師，柳州師專數(shù)學(xué)系.3作者簡介： 李金繼（1963－），男，廣西靈川人，靈川化肥廠

.x?q1x1?q2x2，過點x作ox軸的垂線交函數(shù)于A，交A1A2于B，則（2）式左端即為A點縱坐標(biāo)，右端即為B點縱坐標(biāo)，因此，凸函數(shù)的幾何意義就是：其函數(shù)曲線任意兩點A1與A2之間的部分位于弦A1A2的下方或曲線在任一點切線上方.根據(jù)以上幾何特征，下面推導(dǎo)一個關(guān)于凸函數(shù)的直接不等式，設(shè)y?f(x)為函數(shù)，A1A2為f(x)上的任一弦，設(shè)A1(x1,f(x1)),A2(x2,f(x2)，不妨設(shè)x1?x2，則直線 A1A2的方程為

y?f(x1)?f(x2)?f(x1)(x?x1),x?(x1,x2)x2?x1

從而由上所述凸函數(shù)幾何性質(zhì)有

f(x1)?f(x2)?f(x1)(x?x1)?f(x),x?(x1,x2)……（3）x2?x1

3． 凸函數(shù)的判斷

凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則在一般教材均有述及，下面是[4]中的一個判別凸函數(shù)準(zhǔn)則： 定理 設(shè)f(x)在(a,b)上二階可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)上是凸函數(shù)的充要條件是f??(x)?0

下面我們將從不等式（2）、（3）出發(fā)，適當(dāng)選取q1,q2,x1,x2來證明一些不等式.二． 等式（2）的應(yīng)用

不等式（2）是凸函數(shù)定義的一個等價形式，所以不等式（2）的應(yīng)用實際上是凸函數(shù)定義的直接應(yīng)用，（2）式的一個直接結(jié)果是出詹生（Jenson）不等式.命題若函數(shù)f(x)在區(qū)間I 是凸的，則有不等式

f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn)??(4)其中xi?I,qi?0,i?1,2,?,n,且q1?q2???qn?1，其證明可參見[3]，在此略.如在（2）及（4）式中，適當(dāng)選取f(x)的表達式，將可巧妙地證明一些不等式.x?x2???xn?x?x2???xn?例1． 證明不等式?1其中 ??1

nn??

q1?1;x1,x2,?xn?0.證明：設(shè)f(x)?x,x?0,則f''(x)?p(p?1)xpp?2pppp，由條件可知f''(x)?0.從而f(x)?xp為凸函數(shù).取q1?q2???qn?

p1，再由Jenson不等式（4）有 npppx?x2???xn?x1?x2???xn?? ??1

nn??

例2．證明不等式(x?y)lnx?y?xlnx?ylnyx,y?0.2

1?0,x?0.如取x證明：取f(x)?xlnx，x?0.f'(x)?lnx?1，f''(x)?

1.由Jenson不等式有 2

x?yx?yln?xlnx?ylny即有 22

x?y(x?y)ln?xlnx?ylny2

三． 不等式（3）的應(yīng)用 n?2,q1?q2?

不等式（3）是由凸函數(shù)的幾何特征得到的，要得到所要證的不等式，需據(jù)所給出的不等式形式適當(dāng)選取x1,x2的值，所以這種方法具有一定的構(gòu)造性，靈活性，難度相對大些.例3． 證明楊格（young）不等式：

apbq11ab??,a,b?0,??1.pqpq

證明：取f(x)?lnx.顯然其為凹函數(shù)，直線AB的方程為

y?lnx1?lnx2?lnx1(x?x1)，取x?p'x1?(1?p')x2?(x1,x2),p'?(0,1)則 x2?x1

lnx2?lnx1((p'?1)x1?(1?p')x2)?p'lnx1?(1?p')lnx2 x2?x1

pqy?lnx1?如取x1?a,x2?b,p'?111,1?p'?1??.ppq

由（3）式ln(1p1q11a?b)?lnap?lnbq

pqpq

ln(1p1qa?b)?lna.bpq

又因為lnx在定義域上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以有

a.b?1p1qa?b.pq

a?bnan?bn)?,a,b?0 例4 證明不等式(22

證明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）的方法給予證明.取y?f(x)?x,x?0,則f(x)為凸函數(shù)，由（3）式有 n

f(x)?f(x1)?f(x2)?f(x1)ab11(x?x1),取x1?,x2?,x?(x1?x2)?x2?x1a?ba?b22

從而有

bnan)?()1nan1a()?()?(?)，化簡后得： ba2a?b2a?b?a?ba?b

a?bn1n()?(a?bn).22（結(jié)語：綜上所述，利用凸函數(shù)定義及幾何特性證明不等式，關(guān)鍵是要根據(jù)所要證不等式，選取相關(guān)的函數(shù)及適當(dāng)?shù)膞1,x2選取，此法雖具有一定的構(gòu)造性，但證明的過程卻相對簡潔.參考文獻：

[1].梁永固，等，初等代數(shù)研究，廣東高等教育出版社，1989

[2].紀(jì)樂剛，等，數(shù)學(xué)分析，華東師范大學(xué)出版社，1993

[3].劉玉璉，等，數(shù)學(xué)分析講義，高等教育出版社，1996

[4].朱來義，等，微積分，高等教育出版社，2000