第一篇：數學教案【不等式的性質及證明】
一、教學內容：不等式性質及證明．
二、教學目標：
1.了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景． 2.理解不等式的性質，掌握不等式證明的基本方法．
三、重點難點：
1.了解不等式的有關概念及其分類，掌握不等式的性質及其應用，明確各個性質中結論成立的前提條件．
2.利用不等式性質的基本性質進行簡單的推理及證明，培養學生的邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力．
四、教學過程：
（一）知識要點
1、不等式的基本性質
（1）對于任意兩個實數a、b，都有
a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0．
（2）比較兩實數a、b大小的方法——求差比較法，即通過判斷它們的差a?b的符號來判斷a、b的大小．
2、不等式的性質定理
定理1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a． 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性． 定理2：若a?b，且b?c，則a?c．
說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數；定理2稱不等式的傳遞性．
定理3：若a?b，則a?c?b?c．
說明：① 不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向； ② 定理3的證明相當于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法； ③ 定理3的逆命題也成立；
④ 不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊． 定理3推論：若a?b，且c?d，則a?c?b?d．
說明：① 推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；
② 這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
③ 同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式．
定理4：如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc． 推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd．
說明：① 不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變；
② 兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；
③ 推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘．這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向．
nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)．
定理5：如果a?b?0，那么na?nb(n?N且n?1)． 例題1 對于實數a、b、c，判斷下列命題的真假．
（1）若a?b，則ac?bc；
（2）若a?b，則ac?bc；（3）若ac?bc，則a?b；
（4）若a?b?0，則a?ab?b；（5）若a?b?0，則22222211ba?；
（6）若a?b?0，則?． ababcc?． ab◆應用Ⅰ 證明簡單的不等式
例題2.1 已知a?b?0，c?0，求證：
應用練習設a、b是非零實數；若a?b，則下列不等式成立的是（）A.a?b
B.ab?ab
C.◆應用Ⅱ 判斷命題的真假
例題2.2 對于任意實數a、b、c，在下列命題中，真命題是（）A.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 B.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 C.“ac?bc”是“a?b”的充分條件 D.“ac?bc”是“a?b”的充分條件
應用練習已知a，b，c，d為實數，且c?d，則“a?b”是“a?c?b?d”的（）A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件 C.充要條件
D.既不充分也不必要條件 ◆應用Ⅲ 比較實數的大小 222211ba
D.??
ab2a2bab1122、、a、b的大小關系． ab11112222提示：首先利用a、b是正數，、是負數，再分別去比較a、b、、的大小．
abab例題2.3 若?1?a?b?0，試比較
應用練習已知a?0，且a?1，m?n?0，比較A?a?
◆應用Ⅳ 求取值范圍問題 例題2.4 已知?
m11n和的大小． B?a?mnaa?2??????2，求
???2的范圍．
??1?????1應用練習若?、?滿足?，試求??3?的取值范圍．
1???2??3?提示：可將??3?用???，??2?表示出來，問題可得解． 3．證明不等式的基本方法（1）比較法
比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負．
以上介紹的是差值比較法，用比較法證不等式還可采取商值比較法，即左、右兩邊作商判斷商值與1的大小．（2）綜合法
利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件．
綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2???Bn?B，及從已知條件A出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論B．（3）分析法
證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法．
分析法是從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執果索因”．
例題3.1已知a,b?R，求證：ab?ab．
分析：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行．
〖練習〗若實數x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x)．
例題3.2 已知a，b，m都是正數，并且a?b．求證：
應用練習證明：(a?b)(c?d)?(ac?bd)．
（1）
變式訓練 證明函數f(x)?
應用練習證明函數y?2
x2?4x?3?abba2422a?ma（1）?．
b?mb222221在其定義域上是減函數．
x?x在[2,??)上是增函數． 五．課堂小結：
1．不等式的概念和性質式本章的基礎，是證明不等式和解不等式的主要依據，復習時要高度重視．對每一條性質，要弄清條件和結論，注意條件加強和放寬后，條件和結論之間發生的變化；記住不等式運算法則的結論形式，掌握運算法則的條件，避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤．掌握證明不等式性質的方法，可以進一步提高邏輯推理能力．
2．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法．
（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；
（2）綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野．
3．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等．換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性．放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查．有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法．
證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點．
4．利用性質求數（式）的取值范圍的方法
應用不等式的性質求多個變量線性組合的范圍，由于變量間彼此相互制約，在“取等”的條件上會有所不同，故解此類題目要特別小心．一般來說，可采用整體換元或待定系數法．
例如，已知?1?x?y?4且2?x?y?3，則z?2x?3y的取值范圍是__________．（答案用區間表示）
方法一：設2x?3y?s(x?y)?t(x?y)，通過對比系數求出s、t的值． 方法二：畫出???1?x?y?4的可行域為ABCD，z?(3,8)的最優解為A、C兩點．
?2?x?y?3 4
第二篇：第二冊不等式證明 -數學教案
目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。
過程：
一、復習：
1．不等式的一個等價命題
2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論
二、作差法：（P13—14）
1． 求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3)? 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m
第三篇：利用函數凹凸性質證明不等式
利用函數的凹凸性質證明不等式
內蒙古包頭市第一中學張巧霞
摘要：本文主要利用函數的凹凸性來推導和證明幾個不等式.首先介紹了凹凸函數的定義，描述了判定一個函數具有凹凸性質的充要條件，并且給出了凸函數的一個重要性質——琴生不等式.通過巧妙構造常見的基本初等函數，利用這些函數的凹凸性推導幾個重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德爾不等式，然后再借助這些函數的凹凸性及其推導出來的重要不等式證明一些初等不等式和函數不等式.關鍵詞：凸函數；凹函數；不等式.一． 引言
在數學分析和高等數學中，利用導數來討論函數的性態時，經常會遇到一類特殊的函數——凹凸函數.凹凸函數具有一些特殊的性質，對于某些不等式的證明問題如果靈活地運用函數的凹凸性質就可以簡潔巧妙地得到證明.二． 凹凸函數的定義及判定定理
(1)定義 設f(x)是定義在區間I上的函數，若對于I上的任意兩點x1,x2及實數???0,1?總有
f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2?
則稱f(x)為I上的凸函數（下凸函數）；反之，如果總有不等式
f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2?
則稱f(x)為I上的凹函數（上凸函數）.特別地，取??x?x2f?x1??f?x2?1)????.，則有f(1
222
若上述中不等式改為嚴格不等式，則相應的函數稱為嚴格凸函數或嚴格凹函數.（2）判定定理 若函數f(x)在區間 I上是二階可微的，則函數f(x)是凸函數的充要條件是f“(x)?0，函數f(x)是凹函數的沖要條件是f”(x)?0.三．關于凸函數的一個重要不等式——琴生不等式
設f(x)是定義在區間I上的一個凸函數，則對?xi?I,?i?1,2,?,n?,?i?0,??
i?1ni?1有
f(??ixi)???if?xi?.i?1
i?1
nn
特別地，當?i?
?i?1,2,?,n?,有 n
f（x1?x2???xnf?x1??f?x2????f?xn?)?.22
琴生不等式是凸函數的一個重要性質，因為每個凸函數都有一個琴生不等式，因此它
在一些不等式的證明中有著廣泛的應用.四． 應用凸函數和琴生不等式證明幾個重要不等式.（1）（調和——幾何——算術平均不等式）設ai?0,?i?1,2,?,n?,則有
n
?n??a??i???n
1??i?1??i?1ain
當且僅當a1?a2???an時，等號成立.證明 設f(x)??lnx,因為f“(x)?
?a
i?1
n
i
n
?0,x??0,???, 2x
所以f(x)是?0,???上的凸函數，那么就有f（??x)???f?x?.ii
i
i
i?1
i?1
nn
現取xi?ai,?i?,?i?1,2,?,n?, n
?n1??n1?n1
則有?ln??ai?????lnai???ln?ain?, ???
?i?1n?i?1n?i?1??n1??n1?
得ln??ai??ln?ain????,n?i?1??i?1?
由lnx的遞增性可得
n
??1
（1）?a???ii???
i?1n?i?1?
同理，我們取xi?
nn
?0，就有 ai
?n11?ln???na
i?i?1?n1?1????ln???ai?i?1n?
n
n
?n
?1????ln?1???i?1an?i??
?, ???
即
???a??i??（2）n
1??i?1??i?1ain
n
由（1），（2）兩式可得
?n?
?a??i???n
1??i?1??i?1ain
（2）柯西——赫勒德爾不等式
p
1n
?a
i?1
i
n
?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?
其中ai,bi,?i?1,2,?,n?是正數，又p?0,p?1,p與q共軛，即
nnn
q
??1.pq
證明 首先構造函數f?x??xp,p?1時，f”?x??0,?x?0? 所以f?x??x是?0,???上的凸函數，則有
p
n
?n?p
f(??ixi)????ixi????ixi i?1i?1?i?1?
n
p
令 ?i?
pi
?p
i?1
n,這里pi?0,?i?1,2,?,n?，i
?n
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i?1
n
i
n
?n??n?p??即??pixi????pixi???pi??i?1??i?1??i?1?
p?1
由題設知
11p
??1，得q?，p?1pq
所以?
1p
1q
?
???p??px?pxp???????iiiii?，?i?1??i?1??i?1?
nn
p
n
1q
現取ai?pixi,bi?pi，?i?1,2,?,n? 則aibi?pixipi
1p
1q
?pixi,pixi?ai，代入上式得
pp
?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?
命題得證.在柯西赫勒德爾不等式中，若令p?q?2時，即得到著名的不等式——柯西不等式
nn
p
n
1q
?2??2?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1?
nn
n
?n2??n2?
(?aibi)???ai???bi?i?1?i?1??i?1?
n
這里ai,bi,?i?1,2,?,n?為兩組正實數，當且僅當ai?bi時等號成立.五．凸函數及重要不等式在證明初等不等式和函數不等式中的應用.例1.求證在圓的內接n邊形中，以正變形的面積最大.證明 設圓的半徑為r，內接n邊形的面積為S，各邊所對的圓心角分別為?1,?2,?,?n，則
S?
r?sin?1?sin?2???sin?n?,因為f“?x???sinx?0，2
所以f?x??sinx是?0,??上的凹函數，由琴生不等式可得
f(?
i?1
n
?i)??f??i?.ni?1n
n
n
即sin
??
i?1
i
n
?
??sin
i?1
n
i
n
?sin?i?nsin
i?1
2?
n
上式只有在?1??2????n時等號才成立，也即正n邊形的面積最大.特別地，若A,B,C為三角形的三個內角時，由上式可得sinA?sinB?sinC?
.2x?y
例2 求證對任意的x?0,y?0，下面的不等式xlnx?ylny?(x?y)ln成立.證明 我們根據所要證明的不等式構造相應的函數，令f?t??tlnt,t?0，因f”?t??所以有
?0.故f?t??tlnt是?0,???上的凸函數，t
?x?y?f?x??f?y?f?,?x,y??0,???, ??
2?2?
即
x?yx?y1ln??xlnx?ylny?, 222
x?y
(x?y)ln??xlnx?ylny?,所以在利用凸函數證明不等式時，關鍵是如何巧妙地構造出能夠解決問題的函數，然后列出琴生不等式就可以簡潔，巧妙地得到證明.nnnn
?n?4444
例3 設ai,bi,ci,di都是正實數，證明??aibicidi???ai?bi?ci?di.i?1i?1i?1i?1?i?1?
分析 本題所要證明的結論看上去接近于柯西不等式，但是這里是4次方的情形，所以想辦
法將其變成標準形式。
?n??n?
證明??aibicidi?????aibi??cidi??
?i?1??i?1??
????aibi?
??i?1
n
??n?2
????cidi??
????i?12
n
?n22??22?=??aibi???cidi? ?i?1??i?1?
n
n
n
n
??
??
?
?ai
i?1
?bi
i?1
?ci
i?1
?di
i?1
通過以上例子我們可得出結論，運用柯西不等式的關鍵是對照柯西不等式的標準形式，構造
出兩組適當的數列，然后列出式子.例4 設a,b,c,d都是正實數，且c?d?a?b
證明 首先由均值不等式得
?
?
a3b3
?1..證明?
cd
?a3b3?acb3bda344
?? ???ac?bd?a???b?c?d?dc?
?a?2ab?b
=a2?b2再由柯西不等式得
??
2122
?ac?bd??a?b
??c
?d
?d
?
?
?a?b=a2?b2
?
122
?c
322
??
?a3b3?22
??a?b即??cd???
??
?a3b3?
???c?d???ac?bd? ??
?a2?b2
??
a3b3??1 所以cd
六．總結
由上面的分析我們看到，雖然利用函數的凹凸性來證明不等式有它的局限性，但是往
往是其它方法不可代替的，我們可以充分感受到利用函數的凹凸性解決問題的方便和快捷，豐富了不等式的常規證法，開闊了解題思路.參考文獻
【1】 【2】 【3】 【4】
謝惠民.數學分析習題課講義【M】.高等教育出版社，2003.王仁發.高觀點下的中學數學代數學【M】.高等教育出版社，1999.席博彥.不等式的引論【M】.內蒙古教育出版社，2000.華東師范大學數學系.數學分析【M】.高等教育出版社，1991.
第四篇：不等式性質練習題
﹤不等式性質
一、選擇題
1、已知a?b?0，下列不等式恒成立的是（）
A.a2
?b2
B.ab?1C.1111
a?bD.a?b2、已知a?0,b??1，下列不等式恒成立的是（）
A.a?
ab?abB.aaaaaab2?b?aC.b?b2?aD.b?a?b3、若a,b,c,d四個數滿足條件：?1?d?c;?2?a?b?c?d;?3?a?d?b?c，則（）
Ab.?c?d?aB.a?d?c? bC.d?b?a? cD.b?d?c? a4、如果a,b,c滿足c?b?a,且ac?0,則以下選項中不一定成立的是（）
A.ab?acB.c?b?a??0C.cb2?ab2D.ac?a?c??05、下列命題中正確的是（）
Aa.?b,k?N*?ak?bkB.a?b,c?1?
c?1c?1
b?a
C.a?b,c?d??a?b?
??c?d?2
D.a?b?0,c?d?0?abd?c6、如果a,b是滿足ab?0的實數，則（）
A.a?b?a?bB.a??a bC.a??a b
D.a?b?a?b
7、若a?0,b?0,則不等式?b?1
x
?a的解為（）
A.?1b?x?0或0?x?1aB.?111111a?x?bC.x??a或x?bD.x??b或x?a
二、填空題
8、若m?0,n?0,m?n?0,則m,n,?m,?n的大小關系為
9、若?1?a?b?1,?2?c?3,則?a?b?c的取值范圍是
10、若0?a?1,給出下列四個不等式，其中正確的是
1○
1log?1??1?1?a1?1?1?a?1?a??loga??1?a??○2loga?1?a??loga?a
a?1?a??
○3a?a○4a?aa11、已知三個不等式：?1?ab?0?2??
ca??d
b
?3?bc?ad，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，可以組成個正確的命題。、設x,y為實數，且滿足3?xy2
?8,4?x2y?9,則x3
12y
4的取值范圍是
三、解答題、（1）設2?a?3,?4?b??3,求a?b,a?b,ab2
13b,ab,a的取值范圍。
（2）設二次函數f?x?的圖像關于y軸對稱，且?3?f?1??1,?2?f?2??3,求f?3?的最大值和最小值。
14、（1）已知?
1?a?0,A?1?a2,B?1?a211
2,C?1?a,D?1?a，試將A,B,C,D按從小到大的順序排列，并說明理由。
b?c?0,比較aabbcc
與?abc?
a?b?c
（2）已知a?3的大小。
15、火車站有某公司待運的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t。現用A,B兩種型號車廂共50節
運送這批貨物。已知35t甲種貨物和
15t乙種貨物可裝滿一節A型貨廂；25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節B型貨箱，據此安排A,B兩種貨箱的節數，共有幾種方案？若每節A型貨箱運費是0.5萬元，每節B型貨箱運費是0.8萬元，哪種方案的運費最少？
第五篇：不等式的性質
《不等式的性質》的教學設計與反思
慶陽市西峰區彭原鄉彭原初級中學
馬
杰
［教材分析］
《不等式的性質》的內容屬于初中數學“數與代數”部分。數量之間除有相等關系外，還有大小不等的關系。正如方程和方程組是討論等量關系的有利數學工具一樣，不等式與不等式組是討論不等關系的有利數學工具。不等式是刻畫現實世界中量與量之間關系的有效數學模型，在現實生活中有著廣泛的應用，所以對不等式的學習，有著重要的實際意義。研究不等式在整個初中數學學習中有著承上啟下的作用。解決不等式問題對不等關系的研究起著畫龍點睛的作用。掌握不等式的性質是順利解決不等式的重要依據。不等式的基本性質也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容作理論基礎，起到重要的奠基作用。
［學情分析］
1.授課班級學生基礎較差，教學中應給予充分思考的時間，謹防填塞式教學；充分調動學生的積極性，注重課堂教學的有效性，在練習設計上要針對學生差異采取分層設計的方法。
2.本節課主要研究不等式的性質和簡單應用。他與前面學過的等式的性質有聯系也有區別，為滲透類比、分類討論的數學思想提供了很好的素材。由于學生的認知結構是建立在等式的知識基礎上對不等式進行學習，所以，在學習的過程中學生容易延續的等式性質的理解，產生慣性的思維定勢，尤其體現在對不等式性質3的理解與應用。
［教學目標］
1.經歷不等式基本性質的探索過程，掌握不等式的基本性質。
2.經歷通過類比、猜測、驗證發現不等式性質的探索過程，初步體會不等式與等式的異同。
3.通過創設問題情境和實驗探究活動，積極引導學生參與解決數學問題，提高學生學習數學的興趣，增強學習數學的信心，發展學生的符號表達能力、代數變形能力，在自主探索、合作交流中讓學生感受學習的樂趣。［教學重難點］
重點：理解并掌握不等式的性質。
難點：不等式性質的理解應用（特別是性質3的理解應用）。［教學過程］
一、回顧舊知，類比新知
［問題1］我們學習過等式的相關性質，你能說出等式的性質嗎？（性質1??，性質2??。）
學生回答問題，教師演示天平實驗。（等式）
［問題2］我們學習了不等式，它是否也有類似的性質呢？ 教師繼續演示天平實驗。學生觀察老師的操作后思考：①.天平被調整到什么狀況；②.給不平衡的天平兩邊同時加入（拿掉）相 同質量的砝碼，天平會有什么變化？③.如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？
本環節中，教師應重點關注：
（1）.學生能否準確表達等式的性質；（2）.學生是否積極參與類比的思考之中。
（通過回顧等式的性質，演示等式性質的產生過程，為不等式性質的研究以及不等式的性質的歸納作好鋪墊。培養學生善于運用類比、遷移學習方法的良好習慣。）
二、探索新知，歸納結論
［問題3］ 用“>”或“<”填空，并總結其中的規律： ①
5>3, 5+2——3+2，5-2——3-2； ②
-1<3,-1+2____3+2，-1-3——3-3；
③
6<2，6*5——2*5，6*（-5）——2*（-5）;④
-2<3，(-2)*6___3*6，(-2)*(-6)____3*(-6).學生填空，師生展示正確結果。
（通過對一組練習的延伸探究，培養學生發現、歸納問題的能力）
［問題4］從以上一組練習種你發現了什么？請你把你的發現與合作小組的同學交流。
通過學生小組合作交流，學生把自己的“發現”進行充分討論，探究不等式的性質。
［問題5］請用你發現的規律填空： 當不等式兩邊加上或減去同一個數（正數或負數）時，不等號的方向——。當不等式兩邊乘同一個數正數時，不等號的方向——；而乘同一個數負數時，不等號的方向——。
［問題6］請大家換一些其他數，驗證這個發現。
教師掌握各小組情況，適當引導，尤其（3）（4）是不等式兩邊同乘以正數、負數，所得結果截然不同，因此要有針對的區別開。
（通過類比等式性質，引導學生探究不等式的性質，培養學生用類比的方法學習知識。）
［問題7］你能用自己的語言概括不等式有哪些性質嗎？請小組討論。
性質1：:不等式兩邊加上或減去同一個數（式子）時，不等號的方向不變;性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數時，不等號的方向不變;性質3：: 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數時，不等號的方向改變;（學生觀察對比、探索發現，清晰地掌握性質2和性質3的區別，有利于正確理解和應用；培養學生的概括能力和數學語言表達能力。）
［問題8］你能用字母表示不等式的性質嗎？請小組討論交流。（1）.若a>b, 則 ： a±c>b±c；
（2）.若a>b,c>0 則 ： ac>bc或a/c>b/c；（3）.若a>b,c<0 則 ： ac 等式的性質有2條，進行加減乘除運算時相等關系不變；不等式的性質有3條，加減不等關系不變，乘除要分正、負分別討論，兩個結果不同。 學生合作交流，教師深入指導。本環節中，教師應重點關注： （1）.交流合作中，學生是否積極參與類比的思考；（2）.學生能否全面地考慮不等式性質2和性質3的區別；（3）.學生能否準確表達不等式的性質； （4）.學生能否用數學符號語言表達不等式的性質。（培養學生使用符號語言表達數學現象，培養數學文字與符號語言的相互轉化能力，提升數學表達能力。） 三、基礎訓練，鞏固應用 1.如果a>b,判斷下列不等式是否正確： -4+a>-4+b；（）a-3 a+2__b+2； 3a__3b；-2a__-2b； a-3__b-3； a/2__b/2； a-8__b-8； 2a-5__2b-5；-3.5a__-3.5b；-8.5a+2__-8.5b+2； 若a>0,b<0,c<0 則（a-b）c___0； 若a ax___ay.（加深學生對新知識的理解，建立對不等式性質的正確的認識） 四、應用拓展，解決問題 例1：利用不等式的性質解下列不等式： ① x-7>26;② 3x<2x+1; ③ 2/3x>50; ④-4x>3.（學生分組討論，研究上述不等式的解法，并總結其中的規律，要求學生類比解方程，用準確的數學語言表達。特別是移項表述，類比解方程，用準確的數學語言表達。） 教師深入小組，適當點撥指導，幫助學生總結不等式結構特點，有針對性的總結規律。 師生共同展示討論結果。 教師板書其中一題，統一要求對不等式解題過程的規范書寫，解集在數軸上的正確表示，展示數形結合的整體美感。 本環節中，教師應重點關注： （1）.學生能否抓住不等式的結構特點，合理使用不等式性質解不等式； （2）.學生能否準確地在數軸上表示不等式的解集；（強調“＜”與“≤”在意義上和數軸表示上的區別。） （3）.學生能否認真參與小組討論；是否通過討論掌握不等式解法； （4）.學生能否通過對比解方程的方法，發現解方程與解不等式的方法的區別與聯系。練習：教材第119頁練習第1題。 （培養學生積極思考，參與交流合作的習慣，建立良好的合作意識，提高學生運用所學知識解決問題的能力。類比解方程的方法解不等式注意性質3，并類比解法的異同，幫助嚴謹規范的書寫習慣。） 五、歸納小結，收獲感悟 談一談本節課你有什么收獲？ 學生歸納總結（1）不等式性質1、2、3；（2）簡單不等式的解法 本環節中，教師應重點關注： （1）.學生是否積極參與總結歸納，是否養成對知識進行及時歸納整理的習慣； （2）.學生對本節課所研究的問題的理解程度。（積累數學經驗，加強記憶和應用能力。） 六、作業 習題9.1第4、5題。［教學反思］ 為創設寬松民主的學習氛圍，激發學生思維的主動性，順利完成教學目標，本節課堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則，即“以學生活動為主，教師講述為輔，學生活動在前，教師點撥評價在后”的原則，給學生充分的自主探索時間，引導學生聯系已有知識學習新知識，減少學生獲取新知識的難度，通過教師的引導，調動學生的積極性，組織學生參與“探究—討論—交流—總結”的學習過程，讓學生在課堂上多活動、多觀察，主動參與到了整個教學活動中來，從本節課的設計上看，我自認為知識全面，講解透徹，條例清晰，系統性強，講練結合，訓練到位，但一節課下來后沒有為學生“減負”，忽略了實效性。在今后的教學中我要多問多聽、多思多想，真正為學生減輕課業負擔，增強教學的實效性。 另外，在今后的教學中要注重學生學習習慣的培養。 作 者：馬 杰 甘肅省慶陽市西峰區彭原鄉彭原初級中學教師 通訊地址：甘肅省慶陽市西峰區彭原鄉彭原初級中學 郵 編：745000
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