第一篇：高中數學知識點總結_不等式的性質與證明
要點重溫之不等式的性質與證明
1．在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的：當a>0,b>0時，a>b?an>bn；
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2當a<0,b<0時，a>b?a 1x <2推得的應該是：x> 或x<0，而由 1x >2推得的應該是： （別漏了“0 13?f(x) 1f(x)? 3[舉例]若f(x)=2x,則g(x)?為。的值域為；h(x)?1?的值域 解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒數”求：3-f(x)<3，分兩段取倒數即0<3-f(x)<3得 13?f(x) 3> 或3-f(x)<0得 13?f(x) <0,∴g(x)∈(-?,0)∪（1a 1b 13,+?)；f(x)+3>3?0< 1f(x)?3 43。 ba ab [鞏固1] 若??0，則下列不等式①a?b?ab；②|a|?|b;|③a?b；④??2中，正確的不等式有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 （） [鞏固2] 下列命題：①若a>b,則ac2>bc2；②若ac2>bc2,則a>b；③若a>b,c>d則a-d>b-c； ④若a>b,則a>b；⑤若a>b,則lg(a2?1)?lg(b2?1),⑥若a ac?a ? bc?b ba?ab 2；⑨若a>b且 1a ? 1b,則a>0,b<0； ；其中正確的命題是。 [遷移]若a>b>c且a+b+c=0，則：①a>ab，②b>bc，③bc ca ba的取值范圍是：(- 12,1)，的取值范圍是：（-2，- 12）。上述結論中正確的是。 2．同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時要 求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數”才可相乘。 [舉例]已知函數f(x)?ax?c，且滿足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,則f(3)的取值范圍是：。 解析：解決本題的一個經典錯誤如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3② 由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④ 由③+②得：1≤a≤ ⑤由④+②得： ? 113 ≤c≤－2⑥ 由⑤×9+⑥得： 163 ≤9a+c≤13⑦，即 163 ≤f(3)≤13。錯誤的原因在于： 當且僅當1=－a－c且2=4a+c時⑤式中的1=a成立，此時，a=1，c=－2； 當且僅當－4a－4c=8 且4a+c=3 時⑥式中的?可見⑤⑥兩式不可能同時成立，所以⑦中的正解是待定系數得f(3)=?∴7≤f(3)≤ 343 163 113 =c成立，此時，a= 53，c=? 113； =9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。 f(1)+ f(2)，又：≤? f(1)≤ 103； 163 ≤ f(2)≤8 。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯解分析知：當a=1，53 c=－2時，不等式c=? 113 ≤? f(1)和 163 ≤ f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當a= 343 53，時，不等式?f(1)≤和f(2)≤8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這 個解法是沒有問題的。可見，在求變量范圍時也并非絕對不能用“同向不等式相加”，只要“等號”能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時“接近”。 注：本題還可以用“線性規劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標函數f(3)的最大、最小值。 [鞏固]設正實數a、b、c、x、y，且a、b、c為常數，x、y為變量，若x+y=c，則的最大值是： A．(a?b)cB． a?b?c ax+by C． a? 2b ?cD． (a?b) 3．關注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy≥0? |x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y|?|x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y|?|x-y|=|y|-|x|； xy≤0?|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y|?|x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|? |x+y|=|y|-|x|。 [舉例1]若m>0,則|x-a| C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件。 解析：|x-a| 解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|?2xlog2x>0? log2x>0?x>1∴不等式的解集為（1，+?)。 [鞏固1]a,b都是非零實數，下列四個條件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價的條件是：（填條件序號）。[鞏固2]方程|x?2? xx? 1|=|x?2|+| xx?1 |的解集是。 2aba?b 4．若a、b∈R，則 + a?b ≥ a?b 2≥ab≥ ；當且僅當a=b時等號成立； 其中包含常用不等式：a?b≥ a?b2 (a?b) ；(a?b)（1a ? 1b)≥4以及基本不等式： a?b2 ≥ab，基本不等式還有另外兩種形式：若a≤0、b≤0，則≤ab； 若：a、b∈R，則a2?b2≥2ab；用基本不等式求最值時要關注變量的符號、放縮后是否為定值、等號能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。[舉例1] 若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x+y-4x-2y-8=0的周長，則值為。 解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，∴a+b=1,1a?2b a?ba 2a?2bb ba 2ab 21a ? 2b的最小 =??3???3?22,當且僅當a=b=時等號成立。 [舉例2]正數a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3?ab-2ab-3≥0?等號成立。a+b=ab-3≤（ab≥3?ab≥9，當且僅當a=b=3時 a?b2)-3?(a?b)?4(a?b)?12?0? a+b≥6, 當且僅當 a=b=3時等號成立。 注：該方法的實質是利用基本不等式將等式轉化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。[鞏固1]在等式1? 1?9 ???? 中填上兩個自然數，使它們的和最小。 [鞏固2]某工廠第一年年產量為A，第二年的年增長率為a，第三年的年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則 A．x? a?b2 a?b2 a?b2 （） a?b2 B．x? C．x? D．x? [遷移]甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則： A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時到教室D．不能確定誰先到教室 5．比較大小的方法有：①比差：判斷“差”的正負，因式分解往往是關鍵；②比商：判斷“商”與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用于指數式的比較；③變形：如平方（需為正數）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變量，常見的有0，1等；⑤數形結合。用定義證明單調性的過程就是已知自變量的大小比較函數值的大小的過程。[舉例1]已知a?b?0且ab?1，若0?c?1,p?log p、q的大小關系是（） a?b c 2,q?logc（1a? b),則 A．p?q 解析：記x= a?b2 B．p?qC．p?qD．p?q , y=（1a? b)2, 直接比較x、y的大小將大費周章，但： x> 2ab 2=1,y= 1a?b?2ab ? 1a?b?2 x ? 12ab?2 = 4，∴x>y，又0 [舉例2] x0是x的方程a=logax(0 如右，它們的交點為P（x0，y0）,易見 x0<1, y0 <1，而y0=ax=logax0 即logax0<1,又0 ln22 ln3 3ln552a?2、、,q= 2?a?4a2 [鞏固2]設a>2，p=a?A．p>qB．p [遷移] 設定義在R上的函數f(x)滿足：①對任意的實數x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②當 x>0時,f(x)>1；判斷并證明函數f(x)的單調性。 6．放縮法的方法有：①添加或舍去一些項，如：a?1?a； ②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如： lg3?lg5?（lg3?lg 5) ?（lg）?(lg) ?lg 4；n(n?1)? n?(n?1) 等； ④利用常用結論：下列各式中k?N?（Ⅰ）k? k(k?1)?k?1（Ⅱ）k?1? k? 1k?1?1k k 1? 12k1k?； （Ⅲ） 1k! ? k(k?1)k1 ? 1k(k?1) ? 1k?11 ? 1k (k?2)； ? k(k?1) ? 1k?1 (Ⅳ) 1k ? k ?1 ? 1(k?1)(k?1) ? 2k?1 (? a 1k?1 ? (k?2)； b c1?c [舉例]已知a、b、c是⊿ABC的三邊長，A= 1?a1?b,B=,則： A．A>B,B． A c1?c = 11c? 1< 11a?b ?1 = a?b1?a?b = a1?a?b ? b1?a?b a1?a ? b1?b =A [鞏固]若n∈N﹡,求證：(n?1)?1?(n?1)? n?1?n [遷移]已知an=2n-1,數列{an}的前n項和為Sn，bn=對一切自然數n，恒有Tn<2。 簡答 1Sn,數列{ bn}的前n項和為Tn，求證： 1．[鞏固1]B，[鞏固2] ②③④⑥⑦⑨⑩；[遷移] ①③④⑤； 2、[鞏固]A； 3、[鞏固1] ①④，[鞏固2]（-1，0]∪[2, +?); 4、[鞏固1]4，12；[鞏固2]B，[遷移]B； 5、[鞏固1] 1n ln5 5< ln2 2< ln55,[鞏固2]A，[遷移]遞增； 6、[鞏固]有理化，[遷移]放縮： ? 1n(n?1),(n?2)。 不等式的證明及應用 知識要點： 1．不等式證明的基本方法： ?a?b?0?a?b ?（1）比較法：?a?b?0?a?b ?a?b?0?a?b? 用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。 （2）綜合法：利用題設、不等式的性質和某些已經證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因導果”即從一個（一組）已知的不等式出發，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導出所要求證的不等式。 （3）分析法：“執果索因”從求證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前 面的不等式，直至找到已知的不等式。 證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。 2．不等式證明的其它方法： （1）反證法：理論依據A?B與B?A等價。先否定命題結論，提出假設，由 此出發運用已知及已知定理推出矛盾。根據原命題與逆否命題等價，A得證。 （2）放縮法：理論依據 a > b,b > c?a > c ?B （3）函數單調性法。 3．數（式）大小的比較： （1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數單調性法 4．不等式在函數中的應用： （1）求函數的定義域（2）求函數的值域（3）研究函數的單調性 5．基本不等式法求最值： （1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數，等號可取。 （2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。 6．方程與不等式解的討論 （1）一元二次方程ax2 a?0,??b2?bx?c?0有嚴格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。 （2）函數與不等式：利用函數圖象找出等價關系，轉化為不等式問題去解決。 高中數學第六章-不等式 考試內容： 不等式．不等式的基本性質．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式． 考試要求： （1）理解不等式的性質及其證明． （2）掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用． （3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式． （4）掌握簡單不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06.不 等 式知識要點 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質 （1）a?b?b?a（對稱性） （2）a?b,b?c?a?c（傳遞性） （3）a?b?a?c?b?c（加法單調性） （4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減） （6）a.?b,c?0?ac?bc （7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調性） （8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘） (9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（異向不等式相除） (10)a?b,ab?0?11（倒數關系）?ab （11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則） （12）a?b?0?a?(n?Z,且n?1)（開方法則） 3.幾個重要不等式 （1）若a?R,則|a|?0,a2?0 （2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當僅當a=b時取等號） （3）如果a,b都是正數，那么 a?b.（當僅當a=b時取等號） 2極值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,則： 1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最小；○ 2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.○ 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等 .(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號） 3ba(5)若ab?0,則??2（當僅當a=b時取等號） ab (6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a （7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.幾個著名不等式 （1）平均不等式：如果a,b都是正數，那么 11?aba?b（當僅當2a=b時 取等號）即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）： 2222a?ba?ba?ba?b22特別地，ab?(（當a = b時，()?)??ab）222 2a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33?? 22?...?an??冪平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n 注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n ????n?1) （2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 （a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn22(a12?a22?a32???an)(b122?b22?b32??bn) （3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數 若定義在某區間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2 2則稱f(x)為凸（或凹）函數.5.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論； 2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則 f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0 （3）無理不等式：轉化為有理不等式求解 1?g(x)?0??定義域 ???f(x)?g(x)??f(x)?0? ○2?f(x)?0?f(x)?0○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)] （4）.指數不等式：轉化為代數不等式 af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb （5）對數不等式：轉化為代數不等式 ?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0; ?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)? （6）含絕對值不等式 1應用分類討論思想去絕對值；○2應用數形思想； ○ 3應用化歸思想等價轉化 ○ g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)? 注：常用不等式的解法舉例（x為正數）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?22327 22x2(1?x2)(1?x2)1234②y?x(1?x)?y??()??y?223272 類似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x與1同號，故取等)?2 22 xxx 本科生畢業設計（論文中學證明不等式的常用方法 所在學院：數學與信息技術學院 專 業： 數學與應用數學 姓 名： 張俊 學 號： 1010510020 指導教師： 曹衛東 完成日期： 2014年04月15日） 摘 要 本文主要是對高中學習階段不等式證明方法的概括和總結.不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數學歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學生比較不熟悉但也經常采用的方法,如構造法,向量法,求導法,換元法等等.關鍵詞: 不等式的證明;函數的構造;極值;導數 ABSTRACT This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words: The inequality proof;function;extreme value;derivative 目 錄 1.構造函數法 ·········································1 1.1 移項法構造函數 ·································1 1.2 作差法構造函數 ·····························2 1.3 換元法構造函數 ·····························2 1.4 從條件特征入手構造函數 ······················3 1.5 主元法構造函數 ··································3 1.6 構造形似函數 ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應用 ································9 參考文獻 ··············································11 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） 眾所周知,生活中存在著大量的不等量關系.不等量關系是基本的數學關系,它在數學研究與應用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關重要,許多數學家在這一領域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學習階段的重要內容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學習既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學的,系統的總結和歸納.1.構造函數法 1.1移項法構造函數 【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x,求證：當x??1時,恒有 1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數證明,左邊構造函數 1?1,從其導數入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數,在x?(0,??)上為增函數,故函數 g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數, 當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數, 于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） 因此,當x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0 ∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數f(x)在區間上的最小（大）值,則有f(x)?f(a) （或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構造函數 【例2】 當x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯系,因此聯想到采用作差的方法,將兩個函數變為一個函數.作差法是最直接把兩者結合的方法且求導 后能很容易看出兩者的聯系.證:做函數f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當x?0時,f'(x)?0 而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當x?(0,1)時,f''(x)?0 ∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減 ∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構造出一個函數并利用所設函數的導數判斷函數的單調性,再根據單調 性的性質來證明原不等式如果一階導數無法判斷兩個關系,可以采用二階導數 來先判斷一階導數關系,再來判斷原函數的關系.1.3換元法構造函數 122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯系,但發現x?y經常出現在三角代換中.于是可以采用 換元法進行嘗試,則結果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?) 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） ??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當發現不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關的不等式,可以采用換 元法.將x,y進行替換,再找兩者的關系來進行論證.1.4從條件特征入手構造函數 【例4】 若函數y?f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數 a ,b滿足0?a?b,求證:af(a) xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導數為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數，f(a)?f(b) ?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發現它是一個函數積的導數,因此可以構造出 F(x),求導后即可得到證明結果.1.5主元法構造函數 【例5】 設a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d 分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條 不等式入手,對其進行變換.證:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式 ?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0 22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d 用替換,構造一個函數 a2x2前面的系數大于0,所以該拋物線開口向上 且當x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0 ?其判別式 ? 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d 疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找幾個未知量之間的關系,進行證明.1.6構造形似函數 【例6】 當a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構造函數 f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0 設f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調遞減.?a?b ?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0 ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導等變換來構造出一些相似的函數,再利用函 數的單調性來證明簡單不等式.2.比較法 2.1作差比較法 【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮 問題.證:(1)當0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2 ?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x) ?0?x?1,?0?1?x? 1?loga(1?x)?0,得證.（2）當a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2 ? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x) ?0?x?1,?0?1?x?1 22222 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） ??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法 【例2】 設a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發現作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數,可以作商, 判斷比值和1的大小關系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當a?b時,()baa?b?1?0, 當0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數函數的單調性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前 提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數函數的形式.3.放縮法 2n?1an(n?N) 【例1】 已知數列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設xn?(2n?1)sn,求證:數列?xn?為等差數列.11115???..........??(2)當n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做 第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1) 證:(1)當n?2時,sn?1?2 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） 化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1 由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2 ?2公差d?2的等差數列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n? 2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44 2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增 n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法 較多.4.判別式法 ?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,? ?3?222 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） 分析:實系數一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0． ?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應的 函數、不等式的判別式.此題含有三個未知數,所以要進行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中 證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0 x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0 22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再 用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結論為否定形式,適合用反證法來證明,假設命題不成立,從而導出矛 盾.證:假設(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1 ?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ? 2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關鍵在于找出與命題相反的結論,然后再用假設的條件推出矛盾.6.向量法 a2b2c2???12.【例1】設a?1,b?1,c?1,證明: b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法 向量法,構造兩個向量.利用向量的知識進行解決.?m 證:設?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c 222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3 ?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3? a?b?c?3 ?23 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） ?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得 b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應用 1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)? ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學生獨立完成,可得到如下解決 方法.解法一:分析法 1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法 ?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab? 41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0 ?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4 解法三:三角代換法 ?a?b?1,a ?0,b?0 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） ??? 故設a?sin?,b?cos?,???0,? ?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ? 4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結:本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步 步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉化 為所學的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結論很 容易得到.第二種方法也是根據問題入手,不同的是它把問題直接改變為 一道運算式,這樣就把問題變為運算式結果與零比較大小,因為題目所給的數字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數字從何而來,一但轉化 為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是 角的范圍,一般學生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角 函數值的范圍,容易產生多解或錯解.這種方法好處在于已經知道了三角 值的范圍,且三角函數含有多種變形方式可以對式子進行更好的化簡.并 且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均 可采用,根據學生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進行簡單的總結,使中學生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文） 參考文獻 [1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學版[J],2009:55～57 [3]曹軍芳.高中數學中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學院報[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學院報,1995(3):31～33 [5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學報,1999(4):101～103 [6]徐志科.王彥博.利用導數證明不等式的幾種方法.自然科學版[A],2013(7):7～8 [7]李天榮.曹玉秀.中學數學不等式的證明方法.臨滄師范高等專科學校學報,2013(2):88～90 [8]嚴萬金.淺談中學數學不等式的證明的常見技巧及方法策略.數學教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學習[J],2012:72～73 [10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數學教學研究[J],2012(8):28～30 [11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61 [12]孫桂枝.不等式證明方法集萃.數學學習與研究[J],2012:81～82 [13]甘志國.例談常用方法證明不等式.理科考試研究[J],2012:13～15 [14]何振光.不等式證明的常用方法.教與學[J],2012:92 [15]李占光.廖仲春.劉福保.高中數學中不等式的證明方法歸納.長沙民政職業技術學院學報 [A],2012(4):108～109 一、教學內容：不等式性質及證明． 二、教學目標： 1.了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景． 2.理解不等式的性質，掌握不等式證明的基本方法． 三、重點難點： 1.了解不等式的有關概念及其分類，掌握不等式的性質及其應用，明確各個性質中結論成立的前提條件． 2.利用不等式性質的基本性質進行簡單的推理及證明，培養學生的邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力． 四、教學過程： （一）知識要點 1、不等式的基本性質 （1）對于任意兩個實數a、b，都有 a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0． （2）比較兩實數a、b大小的方法——求差比較法，即通過判斷它們的差a?b的符號來判斷a、b的大小． 2、不等式的性質定理 定理1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a． 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性． 定理2：若a?b，且b?c，則a?c． 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數；定理2稱不等式的傳遞性． 定理3：若a?b，則a?c?b?c． 說明：① 不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向； ② 定理3的證明相當于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法； ③ 定理3的逆命題也成立； ④ 不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊． 定理3推論：若a?b，且c?d，則a?c?b?d． 說明：① 推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出； ② 這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向； ③ 同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式． 定理4：如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc． 推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd． 說明：① 不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變； ② 兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向； ③ 推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘．這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向． nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)． 定理5：如果a?b?0，那么na?nb(n?N且n?1)． 例題1 對于實數a、b、c，判斷下列命題的真假． （1）若a?b，則ac?bc； （2）若a?b，則ac?bc；（3）若ac?bc，則a?b； （4）若a?b?0，則a?ab?b；（5）若a?b?0，則22222211ba?； （6）若a?b?0，則?． ababcc?． ab◆應用Ⅰ 證明簡單的不等式 例題2.1 已知a?b?0，c?0，求證： 應用練習設a、b是非零實數；若a?b，則下列不等式成立的是（）A.a?b B.ab?ab C.◆應用Ⅱ 判斷命題的真假 例題2.2 對于任意實數a、b、c，在下列命題中，真命題是（）A.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 B.“ac?bc”是“a?b”的必要條件 C.“ac?bc”是“a?b”的充分條件 D.“ac?bc”是“a?b”的充分條件 應用練習已知a，b，c，d為實數，且c?d，則“a?b”是“a?c?b?d”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 ◆應用Ⅲ 比較實數的大小 222211ba D.?? ab2a2bab1122、、a、b的大小關系． ab11112222提示：首先利用a、b是正數，、是負數，再分別去比較a、b、、的大小． abab例題2.3 若?1?a?b?0，試比較 應用練習已知a?0，且a?1，m?n?0，比較A?a? ◆應用Ⅳ 求取值范圍問題 例題2.4 已知? m11n和的大小． B?a?mnaa?2??????2，求 ???2的范圍． ??1?????1應用練習若?、?滿足?，試求??3?的取值范圍． 1???2??3?提示：可將??3?用???，??2?表示出來，問題可得解． 3．證明不等式的基本方法（1）比較法 比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負． 以上介紹的是差值比較法，用比較法證不等式還可采取商值比較法，即左、右兩邊作商判斷商值與1的大小．（2）綜合法 利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件． 綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2???Bn?B，及從已知條件A出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論B．（3）分析法 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法． 分析法是從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執果索因”． 例題3.1已知a,b?R，求證：ab?ab． 分析：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行． 〖練習〗若實數x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x)． 例題3.2 已知a，b，m都是正數，并且a?b．求證： 應用練習證明：(a?b)(c?d)?(ac?bd)． （1） 變式訓練 證明函數f(x)? 應用練習證明函數y?2 x2?4x?3?abba2422a?ma（1）?． b?mb222221在其定義域上是減函數． x?x在[2,??)上是增函數． 五．課堂小結： 1．不等式的概念和性質式本章的基礎，是證明不等式和解不等式的主要依據，復習時要高度重視．對每一條性質，要弄清條件和結論，注意條件加強和放寬后，條件和結論之間發生的變化；記住不等式運算法則的結論形式，掌握運算法則的條件，避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤．掌握證明不等式性質的方法，可以進一步提高邏輯推理能力． 2．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法． （1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證； （2）綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野． 3．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等．換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性．放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查．有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法． 證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點． 4．利用性質求數（式）的取值范圍的方法 應用不等式的性質求多個變量線性組合的范圍，由于變量間彼此相互制約，在“取等”的條件上會有所不同，故解此類題目要特別小心．一般來說，可采用整體換元或待定系數法． 例如，已知?1?x?y?4且2?x?y?3，則z?2x?3y的取值范圍是__________．（答案用區間表示） 方法一：設2x?3y?s(x?y)?t(x?y)，通過對比系數求出s、t的值． 方法二：畫出???1?x?y?4的可行域為ABCD，z?(3,8)的最優解為A、C兩點． ?2?x?y?3 4第二篇：高中數學知識點：不等式的證明及應用
第三篇：高中數學知識點總結_第六章不等式
第四篇：高中數學不等式證明常用方法
第五篇：數學教案【不等式的性質及證明】
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