第一篇：比較法證明不等式 高中數學選修2-3

1.1&1.2比較法證明不等式

陳嬌

【教學目標】

1.知識與技能

掌握兩個實數的大小與它們的差值的等價關系以及理解并掌握比較法的一般步驟。

2.過程與方法

掌握運用比較法證明一些簡單的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性質的導出過程，并能運用性質證明一些簡單的不等式。

3.情感態度與價值觀

通過數軸比較兩個實數的大小關系，體會數形結合的思想；掌握數學研究的基本方法。

【教材分析】

教學重點：理解并掌握作差比較法證明不等式；

教學難點：求差后對“差式”進行適當變形，并判斷其符號。

【教學過程】

第二篇：比較法證明不等式

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：AB1B2B3…BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.用極限法取2或-2，結果大于等于-4，因屬于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結果就只能大于-

4下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構造函數M=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關于c的一次函數(或常函數)，在cOM坐標系內，其圖象是直線，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)

所以函數f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)2≥0

(2y-1)2≥0

x2-2x+1≥0

4y2-4x+1≥0

x2-2x+1+4y2-4x+1≥0

x2+4y2+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法。

第三篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數，那么an與an＋1的大小關系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．與n的取值有關

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數列{an}和等差數列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設a，b，m均為正數，且，則a與b的大小關系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因為B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當a0；

當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第四篇：§2.5.1不等式的證明 比較法

高一數學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》

§*2.5.1不等式的證明（1）—比較法

掌握用比較法證明簡單不等式

.問1什么是比較法？如何運用比較法證明不等式？

例1（P47例1）比較x2與2x?2的大小.例2（人教B版選修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正數，a?b，m1?m2，求證：

a?m1a?m2.?b?m1b?m

2例3已知：f(x)?x3，若x1,x2?R，且x1?x2，求證：f(x1)?f(x2).8-

高一數學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》 例4設a、b?R?

?例5設a、b?R?，求證：(a?b)(an?bn)?2(an?1?bn?1)（n?N*）.x2?1n例6設函數f(x)?2，求證：對任意不小于3的自然數都有f(n)?.x?1n?1

1.比較3x和2x?1的大小.2.比較(ac?bd)和(a?b)(c?d)的大小.3.用比較法證明：a?b?c?ab?bc?ac.222222222

a2b2

??a?b.4.已知a，b為正數，用比較證明：ba

5.設a，b，c為不全相等的正數，用比較法證明：

2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b).6.已知x?y?z?1，用比較證明：x?y?z?

2221.3-89-

第五篇：g3.1038 不等式的證明—比較法

g3.1038 不等式的證明—比較法

一、基本知識

1、求差法：a＞b? a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞0??1并且b?0 b3、用到的一些特殊結論：同向不等式可以相加（正數可以相乘）；異向不等式可以相減；

4、分析法——執果索因；模式：“欲證?，只需證?”；

5、綜合法——由因導果；模式：根據不等式性質等，演繹推理

6、分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達.二、基本訓練

1、已知下列不等式:

(1)x2?3?2x(x?R)(2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?R)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個數為 ???????????????????()

(A)0(B)1(C)2(D)32、1＞a＞b＞0，那么???????????????????（）

a?ba?b(A)a＞＞ab＞b(B)b＞＞ab＞a2

2a?ba?b(C)a＞＞b＞ab(D)＞ab＞a＞b 22

??

3、如果－＜b＜a＜，則b－a的取值范圍是?????????（）2

2???(A)－?＜b－a＜0(B)－?＜b－a＜?(C)－＜b－a＜0(D)－＜b－a＜222

4a4、已知a?2,那么（填“>”或者“<”）4?a

2a5、若a?1，0?b?1，則logb

a?logb的范圍是_____________

6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_____________

三、例題分析：

例

1、求證：若a、b>0,n>1,則an?bn?an?1b?abn?

1例

2、已知：a、b

?

例

3、a、b、c、d、m、n全是正數，比較p=ab?cdq=ma?nc?

例

4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。變題：求證：ab?(ab)

例

5、a∈R，函數f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小.mn(a?0,b?0)

(1)判斷此函數的單調性。

n2(2)F(n)=,當函數f(x)?a?x為奇函數時，比較f(n),F(n)的大小.n?12?

1例

6、設二次函數f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1。a

（1）當x?(0,x1)時，證明：x?f(x)?x

1（2）設函數f(x)的圖象關于直線x?x0對稱，證明：x0?

四、同步練習：g3.1038 不等式的證明—比較法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5

(A)⑴、⑵(B)⑴、⑶(C)⑶、⑷(D)⑴、⑵、⑶、⑷

2、對x?R都成立的不等式是?????????????????????()

(A)lg(x2?1)?lg2x(B)x2?1?2x(C)

3、0＜a＜1，F=2a，G=1?a，H=12(D)x?4?4x?12x?11，那么F、G、H中最小的是???（）1?a

(A)F(B)G(C)H(D)不能確定

4、a>b>0，則下列不等式恒成立的是??????????????????（）

b2?1b22a?bb11(A)?2(C)a??b?(D)aa>bb ?(B)2a?2baaba?1a5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序為.7(2x?2y)

6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是________。8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比較M=x＋y與N=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?N,x,y?R?)大小

9、已知△ABC的外接圓半徑R=1，S?ABC?

t?111??。求證：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三邊，4?a2??b2a?b2??()

10、設a、b為實數，求證：

4211、已知正數a、b、c滿足a?b?2c，求證：

（1）c2?ab

（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab

答案：DDAD5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、M?N.8、xn?1?yn?1?xny?xyn