第一篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：42數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)案

4.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??，了解當(dāng)n n

為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立

2.培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本技能

【自主學(xué)習(xí)】

1.使用數(shù)學(xué)歸納法獨(dú)立完成貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??的證n

明

2.自我感悟什么樣的不等式易于用數(shù)學(xué)歸納法證明？

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)要使用歸納假設(shè)進(jìn)行放縮，如何放縮才能奏效，要積累經(jīng)驗(yàn)，特別是出現(xiàn)二次式時(shí)要注意留心總結(jié).4．對(duì)于兩個(gè)數(shù)的大小的探究要提高警惕，一般探究要比較的豐富，才利于做出正確的猜測(cè).【自主檢測(cè)】

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1???

1213?1*?nn?N,n?1?時(shí)，由n=k（k>1）時(shí)不等?2n?1

式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明11??n?1n?2?111??n?N*?時(shí)，由n=k到n=k+1時(shí)，不n?n2

4等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是＿＿＿＿

3.當(dāng)n=1，2，3，4，5，6

時(shí)，比較2n與n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例題】

1??1??1?例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n?N?,n?1? ?1???1???1???352n?1??????

例2.設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1?n?N*?

?1?.a1?2時(shí)，求a2,a3,a4并由此猜想?an?的一個(gè)通項(xiàng)公式

?2?a1?3時(shí)，證明對(duì)所有n?1有1an?n?2

2例3.已知函數(shù)g?x??x2?2x?x?1?,f?x???a?b??ax?bx，其中a、b?R,a?1,b?1,a?b,ab?4對(duì)于任意的正整數(shù)n，指出f?n?與g?2n?的大小關(guān)系，并證明之

x11 +?1?a11?a2?11? 1?an

2【課堂檢測(cè)】

1.設(shè)n為正整數(shù)，f?n??1?????n?N??，計(jì)算知11231n

357f?2??,f?4??2,f?8??,f?16??3,f?32??，據(jù)此可以猜測(cè)得出一般性結(jié)論為()222

2n?1n?2n?2 A.f?2n??B.f?n2??C.f?2n??D.以上都不對(duì) 222

n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值，2.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有2n?n3，則()A.n0?1B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù)C.n0?10D.n0?2

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1????11241127，n的起始值至少應(yīng)取為?n?126

44.等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)?n,Sn?均在函數(shù)

y?bx?r(b?0,b?1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.(1)求r的值

(2)當(dāng)b=2時(shí)，記bn?2?log2an?1

??n?N*?，證明對(duì)所有正整數(shù)n，不等式 b1?1b2?1??b1b2bn?1? bn

【總結(jié)提升】

1.數(shù)學(xué)歸納法依然是證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式行之有效的方法.但在證明遞推的依據(jù)是成立的時(shí)候常常需要放縮，故千萬要注意不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的作用.2.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)有時(shí)不能直接進(jìn)行，常需加強(qiáng)命題，為此難度就比較大，且加強(qiáng)又不易完成.如證明1?

為1?11??2232?11?2?223?15??n?N*,n?1?，就可以加強(qiáng)2n3152??n?N*,n?1?再用數(shù)學(xué)歸納法.?2n32n?1

3.不過關(guān)于n的不等式的證明不一定要用數(shù)學(xué)歸納法，有時(shí)使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.

第二篇：比較法證明不等式 高中數(shù)學(xué)選修2-3

1.1&1.2比較法證明不等式

陳嬌

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

掌握兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與它們的差值的等價(jià)關(guān)系以及理解并掌握比較法的一般步驟。

2.過程與方法

掌握運(yùn)用比較法證明一些簡(jiǎn)單的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性質(zhì)的導(dǎo)出過程，并能運(yùn)用性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過數(shù)軸比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法。

【教材分析】

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握作差比較法證明不等式；

教學(xué)難點(diǎn)：求差后對(duì)“差式”進(jìn)行適當(dāng)變形，并判斷其符號(hào)。

【教學(xué)過程】

第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號(hào)： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對(duì)高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11

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眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對(duì)不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時(shí),恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時(shí),g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當(dāng)x??1時(shí)f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時(shí),有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小（大）值,則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時(shí),證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個(gè)函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時(shí),f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時(shí),f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因?yàn)?1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時(shí)可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條

不等式入手,對(duì)其進(jìn)行變換.證:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡(jiǎn),得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當(dāng)x?a時(shí),f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡(jiǎn),得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡(jiǎn)單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時(shí),證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡(jiǎn)單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來證明簡(jiǎn)單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對(duì)值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

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??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對(duì)數(shù)式子時(shí)可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無法化簡(jiǎn),考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時(shí),()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時(shí)，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時(shí)可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時(shí),2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識(shí),是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時(shí),需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時(shí),sn?1?2

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化簡(jiǎn),得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn ??xn?是以首項(xiàng)為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時(shí),f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

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分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根、沒有實(shí)根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實(shí)根的判別式.同時(shí)也是與方程對(duì)應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個(gè)未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡(jiǎn)可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個(gè)未知量,其實(shí)只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟就解決了,因此在解決這類問題時(shí),第一步是替換未知量,第二部把另一個(gè)未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個(gè)式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個(gè)已知條件,且結(jié)論也無法化簡(jiǎn),因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個(gè)向量.利用向量的知識(shí)進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時(shí)平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因?yàn)閍?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因?yàn)??a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對(duì)問題進(jìn)行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識(shí),或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運(yùn)算式,這樣就把問題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因?yàn)轭}目所給的數(shù)字往往讓在解題時(shí)無從下手,無法想出這個(gè)數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時(shí)只需要考慮對(duì)算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號(hào).第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會(huì)考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時(shí)往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯(cuò)解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對(duì)式子進(jìn)行更好的化簡(jiǎn).并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個(gè)人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對(duì)高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時(shí)有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

參考文獻(xiàn)

[1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學(xué)版[J],2009:55～57 [3]曹軍芳.高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學(xué)院報(bào)[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學(xué)院報(bào),1995(3):31～33 [5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學(xué)報(bào),1999(4):101～103 [6]徐志科.王彥博.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法.自然科學(xué)版[A],2013(7):7～8 [7]李天榮.曹玉秀.中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法.臨滄師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2013(2):88～90 [8]嚴(yán)萬金.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明的常見技巧及方法策略.數(shù)學(xué)教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學(xué)習(xí)[J],2012:72～73 [10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J],2012(8):28～30 [11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61 [12]孫桂枝.不等式證明方法集萃.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J],2012:81～82 [13]甘志國.例談常用方法證明不等式.理科考試研究[J],2012:13～15 [14]何振光.不等式證明的常用方法.教與學(xué)[J],2012:92 [15]李占光.廖仲春.劉福保.高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法歸納.長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)

[A],2012(4):108～109

第四篇：數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案 §2.1.3不等式的證明

§2.1.3不等式的的證明(3)學(xué)案姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

2.?知識(shí)情景：

1.不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法(兩正數(shù)時(shí))．

20.綜合法和分析法．

30.反證法、換元法、放縮法

2.綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A?B1?B2???Bn?B 3.分析法：從要證的結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系： 結(jié)(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

?新知建構(gòu)：

1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0.2.換元法：一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元，換元時(shí)要注意等價(jià)性.常用的換元有三角換元有： 1．已知x?y?a，可設(shè)，； 022

220．已知x2?y2?1，可設(shè)，0?r?1)； 22xy30．已知a2?b2?1，可設(shè)，.例2 設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2?(y?1)2?1，當(dāng)x?y?c?0時(shí)，c的取值范圍是（）A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

1，求證：?y?ax?

3.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a，n(n?1)?n，0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

bb?m

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?(⑤利用函數(shù)的單調(diào)性)2???lg4；

⑥利用函數(shù)的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

⑦絕對(duì)值不等式：a?b≤a?

b≤a?b；

???

2n?k?N,k?

1?，*?2?k?N,k?1? * ⑨應(yīng)用貝努利不等式：(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

例4當(dāng) n > 2 時(shí)，求證：logn(n?1)?log(n?1)n

例5求證：1??

1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

例6 若a, b, c, d?R+，求證：1?

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

§2.1.3不等式的證明(3)練習(xí)姓名

11、設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個(gè)不小于.212、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大于

43、已知a?b?0，求證：a?（n?N且n?1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個(gè)小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2，求證：≤x2?xy?y2≤3

26、設(shè)f(x)?x2?x?13，x?a?1，求證：f(x)?f(a)?2?a?1?；

7、求證：?1?

8、求證

x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證

11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數(shù)，求證

1111??????2.122232n

231111?1?2?????2?2?(n≥2)

11、求證：?2n?12nn12、求證：2?1??n?N? *

第五篇：選修4-5學(xué)案§2.1.2不等式的證明綜合法...

高二數(shù)學(xué)學(xué)案選修4-5第二講

§2.1.2綜合法與分析法——問題導(dǎo)讀

設(shè)計(jì)：趙連強(qiáng)審核：賈勝如

☆學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握綜合法與分析法;

2.會(huì)利用綜合法和分析法證明不等式

?知識(shí)情景：

1.基本不等式：

0221.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí), 等號(hào)成立.2.如果a,b?R?,那么0

3.如果a,b,c?R0?a?b?c?,那么3a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí), 等號(hào)成立.2, 當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí), 等號(hào)成立.2.均值不等式：如果a,b?R?,那么

2aba?b的大小關(guān)系是： a?b

22???常用推論：1.a?0;a?0;a?

2.1?2(a?0);aab??2(ab?0);ba

acb?3.???(a,b,c?R).bac

3.不等式證明的基本方法：1.比差法與比商法(兩正數(shù)時(shí))．

2.綜合法和分析法．

3.反證法、換元法、放縮法

☆案例學(xué)習(xí)：

綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A?B1?B2???Bn?B 證明不等式的基本方法——綜合法和分析法 1 00 0

導(dǎo)讀檢測(cè)

1、已知x?0,y?0,x?y,求證1

1x?y?

4x?y.2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.例題講解

例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an

n)?2

B?B1?B2????Bn?A

用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系： 結(jié)(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

課堂檢測(cè)

1.求證?

2.已知a,b,c?0,求證:a2b2?b2c2?c2a2

a?b?c?abc

3.證明：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.4.設(shè)a?0,b?0，分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.綜合法與分析法——問題解決

1．已知x?0,y?0,x?y,求證114??.xyx?y

2．a(chǎn),b,c是互不相等的正數(shù)，且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27．

3.已知a?0,b?0.求證：（1）(a?b)(a?b)?4.（2）(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.4．已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證：

（1）

?1?1223333a?b?c?da?b?c?d?ab?cd;（2）?abcd.24