第一篇：高中數學選修4-5：2.1.4證明不等式的基本方法——反證法(一)

2.1.4證明不等式的基本方法——反證法

（一）【學習目標】

1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學習】

1.什么是反證法？

2.反證法證明不等式的理論依據是什么？

3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問題的證明用反證法？

【自主檢測】

1.實數a，b，c不全為0的條件為（）

A.a,b,c均不為有B.a,b,c中至多有一個為0

C.a,b,c中至少有一個為0 D.a,b,c中至少有一個不為0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求證：方程的兩根的絕對值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求證：a,b,c,d中至少有一個是 負數.【典型例題】

a?ma?.例1.利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數，并且a?b，則 b?mb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，則

例3.設a3?b3?2，求證a?b?2.例4.設0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b不可能同時大于1

【課堂檢測】

1.否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()

A．有一個解B．有兩個解

C.至少有三個解D．至少有兩個解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求證：a,b,c＞0.1?y1?x和中至少有一個小于2.xy

3.設二次函數f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于1.2

4.設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大1于 4

【總結提升】

1.前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。

2.反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。

3.利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

第二篇：高中數學選修4-5：2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

2.1.5證明不等式的基本方法——反證法

【學習目標】

1.掌握反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法步驟.【自主學習】

1.什么是反證法？

2.反證法證明不等式的理論依據是什么？

3.反證法證明不等式的步驟有哪些？通常什么樣的問題的證明用反證法？

【自主檢測】

1.設a,b∈R,給出下列條件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能給出“a,b中至少有一個大于1”的條件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零實數,用反證法證明下列三個方程：

0中至少有一個方程有兩

個相異實根.3.已知

（1）證明：函數f(x)在（－1,+∞）上為增函數;

（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.【典型例題】

例1.若x,y都是正實數,且x+y＞2,求證：

例2.已知

為－.求證 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值為2,最小值中至少有一個成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求證：p+q≤

2例4.設a,b,c都是奇數,求證：方程

沒有整數根.【課堂檢測】

1.用反證法證明質數有無限多個的過程如下：

假設______________．設全體質數為p1、p2、?、pn，令p＝p1p2?pn＋1.顯然，p不含因數p1、p2、?、pn.故p要么是質數，要么含有______________的質因數．這表明，除質數p1、p2、?、pn之外，還有質數，因此原假設不成立．于是，質數有無限多個．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反證法證明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求證：a,b至少有一個能被5整除.4.已知數列{bn}的通項公式為bn＝

4能成等差數列．

【總結提升】

1.當要證明的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰時的不等式的證明常用反證法.2.如果從正面入手證明需分多種情況進行分類討論,而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情況的不等式證明常用反證法...求證：數列{bn}中的任意三項不可

§2.1.6證明不等式的基本方法——放縮法

（一）【學習目標】

3.理解放縮法證明不等式的原理.4.掌握放縮法證明不等式的方法步驟.【自主學習】

4.什么是放縮法,放縮法證明不等式的理論依據是什么？ 5.放縮法證明不等式時,如何把握放大和縮小？ 【自主檢測】 1.求證: ?

k?1n

15*

?（n∈N）k23

2.求證：

11??1*

?2?（n∈N）??2n?2n?12n?1?

6n11

?1???

(n?1)(2n?1)49

?

15*

.(n∈N）?

n23

3.求證:

【典型例題】

例1.已知n∈

N*求證：（1

?

;??.（2）2?1?

??an1aa

例2.已知an?2n?1(n?N*).求證：??1?2?...?n(n?N*).23a2a3an?1

例3．函數f（x）=

例4．已知an=n，求證：∑

k=1

【課堂檢測】 1.求證:1?

n

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+

12n?1

?(n?N*)2

k ak

＜3．

11171??????(n?2)222

62(2n?1)35(2n?1)

2n3

2.已知an?4?2,Tn?,求證:T1?T2?T3???Tn?

2a1?a2???an

n

n

6.求證:（1）(1?1)(1?)(1?)?(1?)?

352n?1

2n?1.（2）(1?

1111)(1?)(1?)?(1?)?2462n

12n?1

4.已知函數f?

x??

x??0,???.對任意正數a,證明：1?f?x??2．

【總結提升】

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。

第三篇：高中數學不等式證明常用方法

本科生畢業設計（論文中學證明不等式的常用方法

所在學院：數學與信息技術學院

專 業： 數學與應用數學

姓 名： 張俊

學 號： 1010510020 指導教師： 曹衛東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學習階段不等式證明方法的概括和總結.不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數學歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學生比較不熟悉但也經常采用的方法,如構造法,向量法,求導法,換元法等等.關鍵詞: 不等式的證明;函數的構造;極值;導數

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構造函數法 ·········································1 1.1 移項法構造函數 ·································1 1.2 作差法構造函數

·····························2 1.3 換元法構造函數

·····························2 1.4 從條件特征入手構造函數

······················3 1.5 主元法構造函數 ··································3 1.6 構造形似函數 ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應用 ································9 參考文獻 ··············································11

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眾所周知,生活中存在著大量的不等量關系.不等量關系是基本的數學關系,它在數學研究與應用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關重要,許多數學家在這一領域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學習階段的重要內容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學習既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學的,系統的總結和歸納.1.構造函數法

1.1移項法構造函數

【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x,求證：當x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數證明,左邊構造函數

1?1,從其導數入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數,在x?(0,??)上為增函數,故函數

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數, 當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數, 于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數f(x)在區間上的最小（大）值,則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構造函數

【例2】 當x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯系,因此聯想到采用作差的方法,將兩個函數變為一個函數.作差法是最直接把兩者結合的方法且求導

后能很容易看出兩者的聯系.證:做函數f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構造出一個函數并利用所設函數的導數判斷函數的單調性,再根據單調

性的性質來證明原不等式如果一階導數無法判斷兩個關系,可以采用二階導數

來先判斷一階導數關系,再來判斷原函數的關系.1.3換元法構造函數

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯系,但發現x?y經常出現在三角代換中.于是可以采用 換元法進行嘗試,則結果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當發現不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關的不等式,可以采用換

元法.將x,y進行替換,再找兩者的關系來進行論證.1.4從條件特征入手構造函數

【例4】 若函數y?f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導數為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發現它是一個函數積的導數,因此可以構造出

F(x),求導后即可得到證明結果.1.5主元法構造函數

【例5】 設a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進行變換.證:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構造一個函數 a2x2前面的系數大于0,所以該拋物線開口向上

且當x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找幾個未知量之間的關系,進行證明.1.6構造形似函數

【例6】 當a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構造函數

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導等變換來構造出一些相似的函數,再利用函

數的單調性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發現作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數,可以作商, 判斷比值和1的大小關系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當a?b時,()baa?b?1?0, 當0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數函數的單調性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數函數的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設xn?(2n?1)sn,求證:數列?xn?為等差數列.11115???..........??(2)當n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當n?2時,sn?1?2

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化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

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分析:實系數一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應的

函數、不等式的判別式.此題含有三個未知數,所以要進行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結論為否定形式,適合用反證法來證明,假設命題不成立,從而導出矛

盾.證:假設(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關鍵在于找出與命題相反的結論,然后再用假設的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構造兩個向量.利用向量的知識進行解決.?m 證:設?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

??? 故設a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結:本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉化

為所學的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結論很

容易得到.第二種方法也是根據問題入手,不同的是它把問題直接改變為

一道運算式,這樣就把問題變為運算式結果與零比較大小,因為題目所給的數字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數字從何而來,一但轉化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數值的范圍,容易產生多解或錯解.這種方法好處在于已經知道了三角

值的范圍,且三角函數含有多種變形方式可以對式子進行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據學生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進行簡單的總結,使中學生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

參考文獻

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第四篇：證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

§4.2.3證明不等式的基本方法—反證法與放縮法

【學習目標】

能熟練運用反證法與放縮法來證明不等式。

【新知探究】

1．反證法的一般步驟：反設——推理——導出矛盾（得出結論）；

2．放縮法：欲證A?B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量使得，要注意放縮的適度，B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）

常用的方法是：①舍去或加上一些項；②將分子或分母放大（或縮小）．

??

??

1n2?1n(n?1);1

n2?1n(n?1)

【自我檢測】

1．設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個實數大于1”的條件是____________.2．A?1????

?n?N?)的大小關系是．

【典型例題】

例1.已知x,y?0,且x?y?2,求證：

變式訓練：若a,b,c都是小于1的正數，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時大于

–“學海無涯苦作舟，書山有路勤為徑” 1?x1?y中至少一個小于2。,yx1

4例2.已知實數a,b,c，a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?0,求證：a?0,b?0,c?0.變式訓練：課本P29頁，習題2.3第4題 例3.已知a,b,c?R?,求證1?aa?b?d?b

b?c?a?c

c?b?d?d

d?a?c?2.變式訓練：

x?y

1?x?y

32設x?0、y?0，A?例4．求證：1?

122,B?1n2x1?x?y1?y，則A、B大小關系為________。???????2(n?N)

例5．已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于 12。

–“天下事，必作于細”

第五篇：用反證法證明不等式

用反證法證明不等式

一、反證法的含義

反證法是指“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發，根據命題的條件和已知的真命題，經過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結果．這樣，就證明了結論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結論成立．”這種證明的方法，叫做反證法．

二、反證法的嚴密性

數學證明方法可分為直接證法和間接證法，從原命題所給的條件出發，根據已有的公理、定義、法則、公式，通過一系列的推理，一直推到所要證明的命題的結論，這種證法叫做直接證法．有些命題不易用直接證法去證明，這時可通過證明它的等價命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法．數學中常用的間接證法有反證法．

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題的．

三、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1、假設命題的結論不成立；

2、從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾；

3、由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確．

即：提出假設——推出矛盾——肯定結論．

四、反證法的分類

反證法中有歸謬法和窮舉法兩種．

原命題的結論的否定只有一種情況，只要把這種情況推翻，就可以肯定原命題結論成立，這種反證法叫做歸謬法；如果原命題的結論的否定不止一種情況，那么就必須把這幾種情況一一否定，才能肯定原命題結論成立，這種反證法叫做窮舉法．

五、反證法中常見的矛盾形式

（1）與已知條件即題設矛盾；

（2）與假設即反設矛盾；

（3）與已知的定義、公理和定理矛盾，即得出一個恒假命題；`

（4）自相矛盾．

六、反證法的適用范圍

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結論很少；

（2）命題的結論以否定形式出現時；

（3）命題的結論以“至多”、“至少”的形式出現時；

（4）命題的結論以“唯一”的形式出現；

（5）命題的結論以“無限”的形式出現時；

（6）關于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時，其反面常會較多、較具體、較容易．

反證法有進也用于整個命題論證過程的某個局部環節上．

七、用反證法證明不等式舉例

例 已知、、、，且

.求證：、、、中至少有一個是負數.選題意圖：本題考查利用反證法證明不等式.證明：假設、、、都是非負數，∵

∴

又

∴

這與已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一個是負數.