第一篇：證明不等式的基本方法二1

證明不等式的基本方法二

綜合法與分析法

1教學目的：教學重點：綜合法、分析法

教學難點：不等式性質的綜合運用

一、復習引入：

1．重要不等式：

如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)

2．定理：如果a,b是正數，那么

a?b

222a?b2?ab(當且僅當a?b時取“?”號).a?b2：ab≤，ab≤（）4． b

a?a

b≥2（ab＞0），當且僅當a＝b時取“＝”號；

5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關系——結論 比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關系——結論

二、講解新課：

（一）1．綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）2．用綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2???Bn?B

3．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質

（二）證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都2．用分析法證明不等式的邏輯關系是：B?B1?B2???Bn?A

3．分析法的思維特點是：4．分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B

例1：已知a,b是正數，且a?b，求證：a3?b3?a2b?ab

2轉化嘗試，就是不斷尋找并簡化欲證不等式成立的充分條件，到一個明顯或易證其成立的充分條件為止.其邏輯關系是：B?B1?B2???Bn?A 證明：∵a?0,b?0,且a?b

∴要證a3?b3?a2b?ab2,只要證(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b), 只要證a2?ab?b2?ab,只要證a2?2ab?b2?0.∵a?b?0,∴(a?b)2?0即a2?2ab?b2?0得證.注：分析法的思維特點是：執果索因.對于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通

聯想嘗試，就是由已知的不等式及題設條件出發產生聯想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質做適當變形，推導出要求證明的不等式.其邏輯關系是：

A?B1?B2???Bn?B

法二：證明：∵a?0,b?0,且a?b ∴a3?ab2?2a2b,b3?ba2?2ab2,∴a3?ab2?b3?ba2?2a2b?2ab2,∴a3?b3?a2b?ab2

a?a?b

法三 ?aab

注：綜合法的思維特點是：執因索果.基本不等式以及一些已經得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯系,作由此及彼的聯想往往能啟發我們證明的方向.嘗試時貴在聯想，浮想聯翩，思潮如涌。

例2.（P23例1）已知a,b,c是不全相等的正數,求證

a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b?c≥2bc,a＞0,∴a(b?c)≥2abc① 同理 b(c?a)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③

因為a，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc 法二：ab?bc?ca

?3abc

333

3法三：ab2?ac2?bc2?ba2?ca2?cb2?6法四：ab2??ba2?

2法五：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?33a(b2?c2)b(c2?a2)c(a2?b2)例3（P23例2）.已知a1,a2,?an?R?，且a1a2?an?1，求證

（1?a1)(1?a2)?(1?an)?2

n

改變:同樣的條件,怎樣證明:（2?a1)(2?a2)?(2?an)?3

n

證明：?a1?R?,?1?

1?a

1?

?a1?a1即

a1?2a1，同理1?a2?2a2??1?an?2an

因為a1,a2,?an?R?，由不等式的性質，得

（1?a1)(1?a2)?(1?an)?2

n

a1a2?an?2

n

因為ai?1時，1?ai?2ai取等號，所以原式在a1?a2???an?1時取等號 變式：已知a1,a2,?an?R?，且a1a2?an?1，求證

（2?a1)(2?a2)?(2?an)?3

n

例

4、（P24例3）求證2?證（略）

四、課堂練習： 1．設a, b, c ? R，1?求證：a?b

7?3?6

?

2(a?b)

2?求證：a?b?

b?c

?c?a

?2(a?b?c)

3?若a + b = 1,求證：a?

?b?

?2

證：1?∵

a?b2

?（a?b2

2222)?0∴

a?b2

?|

a?b2

|?

a?b2

∴a2?b2?(a?b)

2?同理：b2?c2?

(b?c)，c?a

?

(c?a)

三式相加：a2?b2?3?由冪平均不等式：

b?c

?c?a

?2(a?b?c)

(a?

?b?

(a?)?

12)?(b?2

12)?

(a?b?1)

?

?

1∴a?

?b?

?2

2．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立, 只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)+(bc-ad)≥(ac+bd)

∴(a?b)(c?d)≥|ac+bd|≥ac+22

22222

五、課后作業

P25習題2。2 1、2、3、4

第二篇：不等式證明方法(二)

不等式證明方法

（二）一、知識回顧

1、反證法：從否定結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，從而肯定原結論的正確；

2、放縮法：欲證A?B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量使得，常用的放縮方式： B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）舍去或加上一些項；

12n?n?n?1；12n?n?1?n；111

1?;?22nn(n?1)nn(n?1)

3、換元法：三角換元、代數換元；

4、判別式法

二、基本訓練：

1、實數a、b、c不全為零的條件為（）

A)a、b、c全不為零

B)a、b、c中至多只有一個為零 C)a、b、c只有一個為零

D)a、b、c中至少有一個不為零

2、已知a、b、c、d?R?，s?abcd???，則有（）

a?b?ca?b?dc?d?ac?d?bA)0?s?B)1?s?2

C)2?s?

3D)3?s?4

3、為已知x2?y2?4，則2x?3y的取值范圍是________。

4、設x?0、y?0，A?x?yxy,B??，則A、B大小關系為________。

1?x?y1?x1?y5、實數x?x?y，則x的取值范圍是________。y13

3三、例題分析：

例

1、x＞0，y＞0，求證：x?y?(x?y)

例

2、函數f(x)?1?x2(a?b)，求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|

例

3、已知:a2?b2?1,x2?y2?1,求證:?1?ax?by?1（三角換元法）

例

4、求證：?1?x?11?（判別式法）

x2?x?1322

3例

5、若a,b,c都是小于1的正數，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時大于

例

6、求證：1?

例

7、設二次函數f(x)?ax2?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數y?f(x)的圖象與直線y?x和y??x均無公共點。

1.4（反證法）

111???????2(n?N)（放縮法）22223n（1）求證：4ac?b2?1

（2）求證：對于一切實數x恒有|ax2?bx?c|?

四、課堂小結：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.2、換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化成簡單的三角問題.3、含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.4、有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度.五、同步練習不等式證明方法

（二）1、若x2?xy?y2?1且x、y?R，則n?x2?y2的取值范圍是（）4|a|A)0?n?

1B)2?n?C)n?D)2?n?2 32、已知a、b?R?，則下列各式中成立的是（）

A)acos?bsin22??a?b

B)acos?bsin22??a?b

C)cos2?lga?sin2?lgb?lg(a?b)

D)cos2?lga?sin2?lgb?lga(?b)

3、設,y∈R,且x2+y2=4,則A)2-

24、若f(n)=

2xy的最大值為（）

x?y?2B)2+2 C)-2 D)?4 3n2?1-n,g(n)=n-n2?1,φ(n)=

1,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序為2n____________.5、設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個實數大于1”的條件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求證：|a?b|?a2?ab?b2?a2?b

2111?? a?bb?ca?c（提示：換元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）

11111?2?2?????2?1

8、若n?N，且n?2，求證：?2n?123n7、a＞b＞c，求證：

|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于

9、已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，1。2

答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

第三篇：證明不等式的基本方法

證明不等式的基本方法

一、比較法

(1)作差比較法

3322【例1】已知a,b都是正數，且a?b，求證：a?b?ab?ab

【1-1】 已知a?b，求證：a3?b3?ab(a?b)

【1-2】已知a?b，求證：a4?6a2b2?b4?4ab(a2?b2)

(2)作商比較法

abba【例2】已知a,b都是正數，求證：ab?ab，當且僅當a?b時，等號成立.【2-1】已知a,b,c都是正數，求證：abc

二、綜合法與分析法

(1)綜合法

【例3】已知a,b,c?0,且不全相等，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

【3-1】已知a1,a2,...,an?R?，且a1a2...an?1, 求證：(1?a1)(1?a2)...(1?an)?21 n2222222a2b2c?ab?cba?cca?b.【3-2】已知a,b,c?R?，用綜合法證明：

(1)(ab?a?b?1)?(ab?ac?bc?c2)?16abc；(2)2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)

(2)分析法

【例4】設x?0,y?0，且x?y?1.求證：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正數.求證：

三、反證法與放縮法(1)反證法

【例5】已知x,y?0,，且x?y?2,，試證：

【5-1】設0?a,b,c?1，證明：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能都大于

1???8 xyxy

bcacab???a?b?c abc

1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

(2)放縮法

【例6】用放縮法證明不等式 ：

【6-1】用放縮法證明不等式 ：

【6-2】用放縮法證明不等式 ：

1)?1

1111???...??1(m?1,m?N*)2m?1m?22m

11111n?1??2?2?...?2?(n?2,3,4,...)2n?123nn

...??n?N*?(n?1)

2(n?N*)【6-3】用放縮法證明不等式 ：

...?2

四、數學歸納法

11S?(a?).【例7】在各項均為正數的數列{an}中，數列的前n項和Sn滿足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明。

【7-1】.已知數列{an}前n項和為Sn??an?()

n?1

?2(n?N*).(1)令bn?2nan，求證數列{bn}是等差數列，并求{an}的通項公式；(2)設cn?

【7-1】已知各項為正數的數列{an}滿足an?1?2an?anan?1，a2?a4?2a3?4.n?15n

an，且{cn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明.n2n?1

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)令bn?an2，設數列{bn}的前n項和為Tn，試比較并予以證明.Tn?1?122log2bn?1?2

與的大小，2log2bn?14Tn

第四篇：g3.1039 不等式證明方法(二)

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g3.1039 不等式證明方法

（二）一、知識回顧

1、反證法：從否定結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，從而肯定原結論的正確；

2、放縮法：欲證A?B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量使得B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B），常用的放縮方式：

舍去或加上一些項；

1?n?n?1；1?n?1?n；112n2nn2?1n(n?1);

n2?1n(n?1)

3、換元法：三角換元、代數換元；

4、判別式法

二、基本訓練：

1、實數a、b、c不全為零的條件為（）

A)a、b、c全不為零

B)a、b、c中至多只有一個為零

C)a、b、c只有一個為零

D)a、b、c中至少有一個不為零

2、已知a、b、c、d?R?，s?a?b?c?da?b?ca?b?dc?d?ac?d?b，則有（A)0?s?B)1?s?2

C)2?s?

3D)3?s?4

3、為已知x2?y2?4，則2x?3y的取值范圍是________。

4、設x?0、y?0，A?x?yxyB1?x?y,B?1?x?1?y，則A、大小關系為________

5、實數xy?x?y，則x的取值范圍是________。

三、例題分析：

1例

1、x＞0，y＞0，求證：x2?y2?(x3?y3)3

例

2、函數f(x)?1?x2(a?b)，求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|

例

3、已知:a2?b2?1,x2?y2?1,求證:?1?ax?by?1（三角換元法）

例

4、求證：?1?x?1?1x2?x?13（判別式法）

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例

5、若a,b,c都是小于1的正數，求證：(1?

例

6、求證：1?

例

7、設二次函數y?xf(x)?ax2a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時大于14.（反證法）

122?132?????1n2?2(n?N)（放縮法）

?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數y?f(x)的圖象與直線和y??x均無公共點。

2（1）求證：4ac?b?1

14|a|（2）求證：對于一切實數x恒有|ax

2?bx?c|?

四、課堂小結：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.2、換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化成簡單的三角問題.3、含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.4、有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度.五、同步練習g3.1039 不等式證明方法

（二）1、若x2?xy?y2?1且x、y?R，則n?x2?y2的取值范圍是（）

不用整理試卷、免順號登分，左手翻試卷、右手敲鍵盤錄入成績之Excel登分王 考試成績錄入軟件Excel登分王下載地址http:// A)0?n?1

B)2?n?C)n?

2D)23?n?2

2、已知a、b?A)acos2R?2，則下列各式中成立的是（）

B)a2?bsin??a?b2cos2?bsin2??a?b2

C)cos2?lga?sin?lgb?lg(a?b)2xyx?y?22D)cos?lga?sin?lgb?lg(a?b)

3、設,y∈R,且x2+y2=4,則A)2-2的最大值為（）

C)-2

?

1n2B)2+

2n2 D)

?43

4、若f(n)= ?1-n,g(n)=n-,φ(n)=

12n,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序為____________.5、設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個實數大于1”的條件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求證：|a

7、a＞b＞c，求證：1a?b?1b?c?＋

?b|?a2?ab?b2?a2?b2

1a?c

（提示：換元法，令a－b=m∈R，b－c=n∈R＋）

8、若n?

9、已知

不用整理試卷、免順號登分，左手翻試卷、右手敲鍵盤錄入成績之Excel登分王 f(x)?x2N，且n?2，求證：

12?1n?1?122?132?????1n2?1

?px?q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于

12。考試成績錄入軟件Excel登分王下載地址http://

10、已知i、m、n是整數且1?i（1）niAmi?m?n，試證明：

?mAnnii；

m（2）(1?m)?(1?n).答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

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第五篇：證明基本不等式的方法

2.2 證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

●教學目標：

1、理解綜合法與分析法證明不等式的原理和思維特點.2、理解綜合法與分析法的實質，熟練掌握分析法證明不等式的方法與步驟.●教學重點：綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

●教學難點：綜合法與分析法證明不等式基本原理的理

●教學過程：

一、復習引入：

1、復習比較法證明不等式的依據和步驟？

2、今天學習證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

二、講授新課：

1、綜合法：一般地，從已知條件出發，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫順推證法或由因導果法。

用綜合法證明不等式的邏輯關系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正數，求證：.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創設運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數a,b,c的“積”，我們可以創設運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導學生，完成證明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性質定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因為a,b,c為不全相等的正數，所以以上三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質定理3的推論，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.點評：（1）綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。基本不等式以及一些已經得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯系,作由此及彼的聯想往往能啟發我們證明的方向.嘗試時貴在聯想，浮想聯翩，思潮如涌。

（2）在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創設條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.變式訓練：已知a,b,c是不全相等的正數，求證： 例

2、已知 且，求證： 分析：觀察要證明的結論，左邊是 個因式的乘積，右邊是2的 次方，再結合，發現如果能將左邊轉化為 的乘積，問題就能得到解決。

2、分析法：從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法 這是一種執果索因的思考和證明方法。

①用分析法證明不等式的邏輯關系是： ②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有……這只需要證明命題B2為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故B必真。

例3． 求證： 分析：觀察結構特點，可以利用分析法。

點評：①分析法的思維特點是：執果索因.對于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通!

②證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難，常用分析法.③在證明不等式時,分析法占有重要的位置.有時我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜

合法的形式寫出證明過程,這是解決數學問題的一種重要思想方法.例

4、已知，求證： 分析：要證的不等式可以化為 即 觀察上式，左邊各項是兩個字母的平方之積，右邊各項涉及三個字母，可以考慮用

三、課堂練習：

1、已知a,b,c,d∈R,求證：ac+bd≤ 分析一：用分析法

證法一：(1)當ac+bd≤0時,顯然成立(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bc-ad)

2因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用綜合法 證法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命題得證 分析三：用比較法

證法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 點評：用分析法證明不等式的關鍵是,尋求不等式成立的充分條件.因此,經常要對原不等式進行化簡,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做這些變形是否可以逆推,若不能逆推,則不可使用.2、已知 且 求證：（分析法）

四、課堂小結：

綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

五、課后作業：

課本P25—26習題2.2—2,3,4,5,6,7,8,9