第一篇：基本不等式的證明

重要不等式及其應用教案

教學目的

(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．

教學過程

一、引入新課

師：上節課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數集？為什么？

生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(a－b)2∈R+∪{0}這一性質，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．

二、推導公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個以上實數的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結果呢？先考查兩個實數的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個正實數的立方和又具有什么性質呢？

生：由③式的推導方法，再增加一個正實數c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數的立方和會有什么結果，進一步還會想到4個正數的4次方的和會有什么結果，直至n個正數的n次方的和會有什么結果．這些問題留給同學們課外去研究．

4．推論

師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．

⑦

(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)

⑨

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

何平均數．⑨式表明：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．這是一個著名的平均數不等式定理．現在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．

三、小結

(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．

四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當且僅當sinA=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)．

2三、應用公式練習

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．]

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時，要根據題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件．只有公式①、②對任何實數都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(事實上對非負實數也成立)．

2．填空：

(1)當a________時，an＋a－n≥________；

(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應用重要不等式也可以求一些函數的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數值估計．如

表明任何自然數的算術平方根不大于該數加1之半．

四、布置作業

略．

教案說明

1．知識容量問題

這一節課安排的內容是比較多的，有些是補充內容．這是我教重點中學程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應另當別論．補充內容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現教學的基本要求仍是可以做到的．還應看到學生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發性，學生就有可能舉一反

三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學生的負擔．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應的就增加了課堂練習的時間．反之，如果學生被動聽講，目標不清，不得要領，內容講得再少，學生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學生的程度有關，與教學是否得法也很有關系．我們應當盡可能采用最優教法，擴大學生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教學目的問題

近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學目的和要求時，開始追求傳授知識和培養能力并舉的課堂教學效果．在培養學生的能力方面，不僅要求學生能夠運用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據此，本節課確定如下的教學目的：一是在知識內容上要求學生掌握四個公式；二是培養學生用綜合法進行推理的能力．當然，學生能力的形成和發展，絕不是一節課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學結果．考慮到中學數學的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養能力結合起來，天長日久，肯定會收到深遠的效果．

3．教材組織與教法選用問題

實現上述教學目的，關鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養能力結合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內在聯系，又似乎在應用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數的平方和或三個數的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：

和它的等價形式當

n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應是一般式的基礎．同時，這兩個特例之間應有緊密的聯系，在推導方法上也應該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設計思想，因而改變了現行課本的證法．

這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經迭代、疊加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應用數學歸納法就可以證出公式

正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應在上一節比較法中就予以強調．

當學生在教師的指導下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養學生今后獨立去獲取知識的過程．

第二篇：基本不等式的證明

課題：基本不等式及其應用

一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和

a?b?ab(a、b∈R+，當且僅當a=b時取“=”號)，并能應用它們證明一些不等

2式．

(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．

二、教學重難點

重點：兩個基本不等式的掌握；

難點：基本不等式的應用。

三、教材、學生分析

教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數的最大值或最小值提供了一種

方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。

學生分析：學生在上新課之前都預習了本節內容，對上課內容有一定的理解。所以根據這一

情況多補充了一些內容，增加了課堂容量。

四、教學過程

（一）引入新課

客觀世界中，有些不等式關系是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關系的證明，常常會歸結為一些基本不等式。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。

（二）推導公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

學生回答：a=b，因為a=b?a+b=2ab 2

2充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．

2．探索

公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana

1④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．

3．練習

222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接應用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到

22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤

2(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中基本不等式2 我們把a?b和ab分別叫做正數a、b的算術平均數和幾何平均數。

25、公式小結

(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①

配方

② ③ 降換

次元

⑤

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．

(3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明．

+222幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表

示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

2ab?4?ab?4S?ABC 2

如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過． 公式

示：

a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2

（三）例題

1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4

（其中一題作為練習）

（四）應用

下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。

求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。

證明：設矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2

'可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2

由基本不等式2，得a?b?ab?0（因為a≠b等號不成立）。2

a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質，得（（五）作業

練習冊P10/6

第三篇：基本不等式與不等式基本證明

課時九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用，利用基本不等式時，關鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現積（或和）為定值，以便解決問題，現就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數

例

1、求函數y?x?

點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數式中的各項均為正。

技巧二：巧變常數

例

2、已知0?x?

點評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數；二是巧提常數，應用時要注意活用。

技巧

三、分離常數

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點評：通過加減常數，分離出一個常數是分式函數求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數

例

4、若x,y?R且滿足

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。

技巧

五、統一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點評：根據分母的特點，進行結構調整為統一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統一（如求函數y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實數，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點評：分段應用基本等式，然后整體相加(乘)得結論，是證明輪換對稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點評：做“1”的代換。

.3.逆向運用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點評：依據求證式的結構，湊出常數因子，是解決此類問題的關鍵。為脫去左邊的根號，a?

12,b?

將

1?1???

轉換成 1??a??,1??b??,然后逆向運22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點評:由于?

著一個不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點評：本題的關鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時要注意a

?b?2ab的a?b

變式應用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關根式不等式的問題.?

第四篇：基本不等式的證明 教案

課題：基本不等式的證明(1)

斜橋中學肖劍

一、教材分析

不等式是高中的重點也是難點,而本節內容又是該章的重中之重，是《考試說明》中八個C級考點之一。基本不等式的證明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關系提供了主要的方法及應用。用基本不等式求函數最值也是高考的一個熱點。

二、教學目標

1.知識目標：⑴知道算術平均數和幾何平均數的概念

⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式證明簡單的不等關系。

2.情感目標：通過不等式基本性質的探究過程，培養學生合作交流的思維品質，滲透不等式

中的數學美，激發學生學習興趣，陶冶學生的數學情操。

3.能力目標:⑴通過對基本不等式證明的理解，體會三種證明方法，能準確用三種證明中簡

單的方法證明其它不等式問題。

⑵體會類比的數學思想方法，培養其觀察、分析問題的能力和總結概括的能力

三、教學重、難點

以學生探索發現定理來得出重點，以學生小組討論，教師點撥來突破難點。

四、教學方法

以學生自主探究為住，教師歸納總結，采用啟發式教學。

五、教學過程

1、創設情境、導入新課

利用多媒體顯示下面不等式，由學生完成比較大小。

3?42?94?

423

322222、問題探究、講授新課

提出問題：能否發現什么規律？

通過比較，學生不難得出，兩數和的一半大于兩數積的算術平方根。從而得出數學表達式a?b?ab。從而得出本節課的第一個重點：基本不等式的定理。這樣由學生自主探索、2發現新知，可讓他們體會獲得成功的愉悅感。在這里，如果學生漏掉a和b是正數，可對他們進行修正，并可擴充到a?0，b?0。同時講明取“＝”當且僅當的含義，接著可向學生講

解算術平均數和幾何平均數的概念。

得出這個定理后，下面我可利用多媒體生動地向學生展示該不等式的幾何證明即不等式的幾何意義同時強調取等號時的位置，這樣可提高他們學習數學的興趣。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個不等式是正確的，但我們數學是需要嚴謹的邏輯證明，同學們可用哪些方法去證明呢？這便是本節課的第二個重點，也是難點。在此，可鼓勵學生發揮集體的力量，一人不行兩人，兩人不行四人，大家一起探討，這樣以學生為主體，使他們全都參與到課堂中去，使課堂達到高潮。在學生的討論過程中，我也深入到學生中去，并做適當的點撥。

通過學生的討論，學生不難得出用作差的方法證明該不等式，對此，我對他們進行鼓勵、肯定，豎立他們學習數學的自信心。同時向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們再次強化該方法的書寫步驟。對于分析法，我估計學生可能會想到思路，會說出大致的證明過程，但對該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個重要方法，接著講解該方法，即從結論出發，推到已知結論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學會規范的書寫，即“要證，只要證”的形式

要證ab?a?b

2只要證2ab?a?b

只要證0?a?b?2ab

只要證0?a?b ?2

因為最后一個不等式成立，所以ab? a?b成立，當且僅當a?b，即a?b時取“?” 2

對于綜合法，在證明這道題時，如果學生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因為綜合法在本題中不易想到從哪個式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學生自然能想到從哪個式子開始證明，同時講清綜合法的特點，即由條件，推倒結論。

講完三種證明方法后，留一定時間給學生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點及書寫過程，加深他們的印象。

b2a2

?最后，我以鞏固本節課所學知識為目的，讓學生比較:與a?b的大小(其中ab

a,b?R?)，在這里，我認為比較兩個變量的大小，可引導學生利用我們上課一開始比較具體數大小的方法，代幾個具體的數去比較。這種方法在我們以后做填空題中比較大小是一種捷徑。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學生在黑板板演，以檢驗他們掌握情況與書寫格式是否合理。如時間還有剩余，可由學生完成例一，幫他們鞏固基本不等式定理。

例一1．設a,b為正數，證明下列不等式成立：

ba1??2（2）a??2 aba

162．已知函數y?x?，x?(?2,??)，求此函數的最小值。x?2（1）

六、回顧反思：

本節課的最后，由學生思考今天所學到了哪些知識，這些知識可解決哪些問題？

七、板書設計

基本不等式

一、定理

a?b?ab（a?0，b?0）

2二、證明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶綜合法

三、探索 a?b比較?2a2?b2的大小 2

如何證明

例一

第五篇：3.4.1 基本不等式的證明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的證明

一、基礎過關

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，則m、n之間的大小關系是________． a－

24．設0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為________． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)??a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．設a、b、c都是正數，求證：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求證：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，則a＋______(填“大”或“小”)值，為__________． a－

1x10．若對任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為________． x＋3x＋1

1111．設x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy

12．已知a，b，c為不等正實數，且abc＝1.111求證：＋<＋abc

三、探究與拓展

1613．已知a>b>0，求證：a2＋16.b?a－b?

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數，也都是正數． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab?三式相加得2??abc?≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2?x－y?2＋2xy?x－y?2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥?x－y? x－yx－y

＝22.2??x－y＝x－y當且僅當?，??xy＝1

時取等號． －2

1，＋∞? 11.1 9．大 －1 10.??5?

1112．證明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2??a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c為不等正實數，111∴a＋b＋c＋.abc

13．證明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b?a－b?b?a－b?

16≥[2?a－b?b]2＋ b?a－b?

16＝4(a－b)b＋ b?a－b?

4≥4×2?a－b?b×＝16.b?a－b?

4取“＝”時當且僅當：a－b＝b>0且(a－b)b＝，b?a－b?

即當a＝2且b＝2時“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤??2＝4，當且a＝2b時取等號，2??x＝即???y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aab?a－b?

≥264＝16.當a＝2，b＝2時，等號成立．