第一篇：不等式3(基本不等式應用與證明)

學習要求大成培訓教案（不等式3基本不等式證明與應用）基本不等式

1.理解算術平均數與幾何平均數的定義及它們的關系.2.探究并了解基本不等式的證明過程, 會用多種方法證明基本不等式.3.理解基本不等式的意義, 并掌握基本不等式中取等號的條件是: 當且僅當這兩個數相等.１． 算術平均數：幾何平均數

２． 設a≥0,b≥0則a+

b

2【精典范例】

例1．.設a、b為正數,求證明：

a+b3

2點評：１．不等式證明的方法：(1)作差比較法(2)分析法(3)綜合法

２．本題對a≥0,b≥０時仍成立，且題中等號當且僅當a=b時成立．

３．把不等式a+b32(a≥0,b≥0)稱為基本不等式

4.由本題可知，兩正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，當兩數相等時兩者相等

5.基本不等式的幾何解釋：半徑不小于半弦．

例2.利用基本不等式證明下列不等式：

(1)已知a>0,求證 a+

(3).已知x , y , z是互不相等的正數, 且x+y+z=1 , 求證:(132(2).已知a, b, c∈R , 求證: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz

點評：1..基本不等式的變形公式：

2.學會多次運用和創造條件運用基本不等式證題，尤其是不等式兩邊均為三項，可將一邊變成六項，分成三組．對每一組用基本不等式．３．注意嚴格不等式的證明方法．

思維點拔：

1.上面兩例在于：(1)揭示基本不等式的內容與證法．(2)舉例說明利用基本不等式證題的方法技巧，以讓學生初步領會不等式證明的基本方法．

２．基本不等式的推廣：n個(n>1)非負數的幾何平均數不大于它們的算術平均數．即若ai≥0(i=1,2,?,n),則

追蹤訓練

１．設Ｐ為正數，求下列各組數的算術平均數與幾何平均數．（１）２與８（２）３與１２（３）Ｐ與９Ｐ（４）２與２

２．已知a>1求證a+

３． 已知a , b , c不全相等的三個正數, 且abc=1 , 求證:

第2課時

p2

1≥3３．已知a+b+c=1,求證a2+b2+c2≥

3a-1

???a??． abc

學習要求

1.理解最值定理的使用條件：一正二定三相等． 2.運用基本不等式求解函數最值問題．

１． 最值定理：若x、y都是正數，(1)如果積xy是定值P , 那么當且僅當x=y時, 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么當且僅當x=y時, 積xy有最大值．

２．最值定理中隱含三個條件：． 【精典范例】

例1．(1).已知函數y=x+

51(x>－2), 求此函數的最小值.(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;x+244x-5

(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求

+的最小值.xy

例2.（１）求

2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求

11+ xy的最小值．

思維點拔：

１．利用基本不等式求最值問題時，一定要交代等號何時成立，只有等號成立了，才能求最值，否則要用其它方法了．而在證明不等式時，不必要交代等號何時成立．

２．例2是常見典型錯誤，它違背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后兩條。

追蹤訓練一

1.2.3.已知x>1 ,0

【選修延伸】

利用函數單調性求函數最值.例3:求函數

9求函數y=4x+

2x

1+x2的最小值；已知x<0 , 求y=

x的最大值；

已知x , y∈R, 且+

xy

+

-x2+

3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值；

x+2

y?x?

(x?4)的最小值.x?2

思維點拔：

利用基本不等式求解時,等號不能成立,故改用函數單調性求解.追蹤訓練二

求函數

第3課時

y?

?sin2x的最小值.2

sinx

學習要求 1.初步學會不等式證明的三種常用方法：比較法，綜合法，分析法。

2.了解不等式證明的另三種方法：反證法，換元法，放縮法.【精典范例】

例１．（１）已知a,b?R+,且a1b，求證：a3+b3>a2b+ab2

（2）已知

a<1,b<1，求證：

a+b

<1

1+ab

追蹤訓練一

１． 已知a,b,m?

R+,且a

a+ma

>．

b+mb

２．已知a,b,c?R,且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca3

例２.（１）已知a,b,c?(0,1),求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于

1．4（２）已知a

+b2=1,x2+y2=1，求證：ax+by 1

（３）求證：

a+b1+a+b

?

a1+a

b1+b

追蹤訓練二

1．求證：1+

111++?+<2 22223n

學習要求

1． 會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的實際問題。2.通過對實際問題的研究，體會數學建模的思想。3．開拓視野，認識數學的科學價值和人文價值． 【精典范例】

例１．用長為4a的鐵絲圍成一個矩形, 怎樣才能使所圍矩形的面積最大.(用基本不等式求解)．

例２．某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池, 其容積為4800m3, 深度為3m , 如果池底每1m2的造價為150元, 池壁每1m2的造價為120元, 怎樣設計水池能使總造價最低? 最低總造價為多少元?

例３．某商場預計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機共3600臺, 每批都購入x臺(x為正整數), 且每批需付運費400元, 儲存購入的電視機全年所付保管費用與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比, 若每批購入400臺, 則全年需用去運費和保管費43600元, 現在全年只有24000元資金可用于支付這筆費用, 能否恰好當地安排每批進貨的數量, 使資金夠用, 寫出你的結論, 并說明理由.選修延伸：

先建目標函數，再用基本不等式求最值，這是一種很常見題型，加以理解和掌握．

追蹤訓練

１．建造一個容積為8m3, 深為2m的長方體無蓋水池, 如果池底的造價為每平方米120元, 池壁的造價為每平方米80元, 求這個水池的最低造價.２．巨幅壁畫畫面與地面垂直, 且最高點離地面14米, 最低點離地面2米, 若從離地面1.5米處觀賞此畫, 問離墻多遠時, 視角最大?

1．進一步會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的實際問題。2.通過對實際問題的研究，進一步體會數學建模的思想。.設x>0時, y=3－3x－的最大值為______________x

【精典范例】

例１．過點(1 , 2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點, 當△AOB的面積最小時, 求直線l的方程

例２．如圖(見書P93), 一份印刷品的排版面積(矩形)為A , 它的兩邊都留有寬為a的空白, 頂部和底部都留有寬為b的空白, 如何選擇紙張的尺寸, 才能使紙的用量最小?

練習1過第一象限內點P(a , b)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點, 當直線l的方程.2汽車行駛中, 由于慣性作用, 剎車后還要向前滑行一段距離才能停住, 我們把這段距離叫做“剎車距離”, 在某公路上, “剎車距離”S(米)與汽車車速v(米/秒)之間有經驗公式: S=

PAPB

取最小值時, 求

325

v+v, 為保證安全行駛, 要求在這條公路上行駛著的兩車之408

間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米, 現假設行駛在這條公路上的汽車在平均車身長5米, 每輛車均以相同的速度v行駛, 并且每兩輛之間的間隔均是“安全距離”.(1)試寫出經過觀測點A的每輛車之間的時間間隔T與速度v函數關系式;(2)問v為多少時, 經過觀測點A的車流量(即單位時間通過的汽車數量)最大?

第二篇：基本不等式與不等式基本證明

課時九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用，利用基本不等式時，關鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現積（或和）為定值，以便解決問題，現就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數

例

1、求函數y?x?

點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數式中的各項均為正。

技巧二：巧變常數

例

2、已知0?x?

點評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數；二是巧提常數，應用時要注意活用。

技巧

三、分離常數

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點評：通過加減常數，分離出一個常數是分式函數求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數

例

4、若x,y?R且滿足

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。

技巧

五、統一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點評：根據分母的特點，進行結構調整為統一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統一（如求函數y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實數，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點評：分段應用基本等式，然后整體相加(乘)得結論，是證明輪換對稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點評：做“1”的代換。

.3.逆向運用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點評：依據求證式的結構，湊出常數因子，是解決此類問題的關鍵。為脫去左邊的根號，a?

12,b?

將

1?1???

轉換成 1??a??,1??b??,然后逆向運22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點評:由于?

著一個不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點評：本題的關鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時要注意a

?b?2ab的a?b

變式應用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關根式不等式的問題.?

第三篇：基本不等式的證明

課題：基本不等式及其應用

一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和

a?b?ab(a、b∈R+，當且僅當a=b時取“=”號)，并能應用它們證明一些不等

2式．

(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．

二、教學重難點

重點：兩個基本不等式的掌握；

難點：基本不等式的應用。

三、教材、學生分析

教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數的最大值或最小值提供了一種

方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。

學生分析：學生在上新課之前都預習了本節內容，對上課內容有一定的理解。所以根據這一

情況多補充了一些內容，增加了課堂容量。

四、教學過程

（一）引入新課

客觀世界中，有些不等式關系是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關系的證明，常常會歸結為一些基本不等式。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。

（二）推導公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

學生回答：a=b，因為a=b?a+b=2ab 2

2充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．

2．探索

公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana

1④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．

3．練習

222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接應用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到

22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤

2(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中基本不等式2 我們把a?b和ab分別叫做正數a、b的算術平均數和幾何平均數。

25、公式小結

(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①

配方

② ③ 降換

次元

⑤

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．

(3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明．

+222幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表

示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

2ab?4?ab?4S?ABC 2

如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過． 公式

示：

a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2

（三）例題

1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4

（其中一題作為練習）

（四）應用

下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。

求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。

證明：設矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2

'可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2

由基本不等式2，得a?b?ab?0（因為a≠b等號不成立）。2

a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質，得（（五）作業

練習冊P10/6

第四篇：基本不等式的證明

重要不等式及其應用教案

教學目的

(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力．

教學過程

一、引入新課

師：上節課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數集？為什么？

生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(a－b)2∈R+∪{0}這一性質，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．

二、推導公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個實數平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數學思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個以上實數的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結果呢？先考查兩個實數的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個正實數的立方和又具有什么性質呢？

生：由③式的推導方法，再增加一個正實數c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數的立方和會有什么結果，進一步還會想到4個正數的4次方的和會有什么結果，直至n個正數的n次方的和會有什么結果．這些問題留給同學們課外去研究．

4．推論

師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．

⑦

(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)

⑨

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

何平均數．⑨式表明：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．這是一個著名的平均數不等式定理．現在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．

三、小結

(1)我們從公式①出發，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統，其理論基礎都是實數的平方是非負數．

四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當且僅當sinA=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)．

2三、應用公式練習

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．]

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時，要根據題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件．只有公式①、②對任何實數都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(事實上對非負實數也成立)．

2．填空：

(1)當a________時，an＋a－n≥________；

(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應用重要不等式也可以求一些函數的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數值估計．如

表明任何自然數的算術平方根不大于該數加1之半．

四、布置作業

略．

教案說明

1．知識容量問題

這一節課安排的內容是比較多的，有些是補充內容．這是我教重點中學程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應另當別論．補充內容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現教學的基本要求仍是可以做到的．還應看到學生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發性，學生就有可能舉一反

三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學生的負擔．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應的就增加了課堂練習的時間．反之，如果學生被動聽講，目標不清，不得要領，內容講得再少，學生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學生的程度有關，與教學是否得法也很有關系．我們應當盡可能采用最優教法，擴大學生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教學目的問題

近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學目的和要求時，開始追求傳授知識和培養能力并舉的課堂教學效果．在培養學生的能力方面，不僅要求學生能夠運用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據此，本節課確定如下的教學目的：一是在知識內容上要求學生掌握四個公式；二是培養學生用綜合法進行推理的能力．當然，學生能力的形成和發展，絕不是一節課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學結果．考慮到中學數學的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養能力結合起來，天長日久，肯定會收到深遠的效果．

3．教材組織與教法選用問題

實現上述教學目的，關鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養能力結合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內在聯系，又似乎在應用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數的平方和或三個數的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：

和它的等價形式當

n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應是一般式的基礎．同時，這兩個特例之間應有緊密的聯系，在推導方法上也應該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設計思想，因而改變了現行課本的證法．

這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經迭代、疊加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應用數學歸納法就可以證出公式

正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應在上一節比較法中就予以強調．

當學生在教師的指導下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養學生今后獨立去獲取知識的過程．

第五篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數f(x)在閉區間?0,1?上連續，因而在閉區間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變為麥克勞林公式

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.