第一篇：證明不等式的基本方法一

證明不等式的基本方法一

------比較法

教學(xué)目的：

以不等式的等價(jià)命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用教學(xué)重點(diǎn)：比較法的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：常見(jiàn)解題技巧

一、復(fù)習(xí)引入：

兩實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大．例如，在圖6一1中，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b,點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么a?b． 我們?cè)倏磮D6一1，a?b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)即正數(shù).一般地：

若a?b，則a?b是正數(shù)；逆命題也正確．

類似地，若a?b，則a?b是負(fù)數(shù)；若a?b，則a?b?0；它們的逆命題都正確.這就是說(shuō)：

a?b?a?b?0； b a a?b?a?b?0； A B a?b?a?b?0． 圖6—

1由此可見(jiàn)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了.二、講解新課：

思考一：

3322已知a,b是正數(shù)，且a?b，求證：a?b?ab?ab

嘗試：作差比較，作差——變形——定符號(hào)

證明：∵(a?b)?(ab?ab)=a2(a?b)?b2(a?b)

=(a?b)(a?b)=(a?b)(a?b)

2∵a,b是正數(shù)，且a?b,∴a?b?0,(a?b)>0

3322∴(a?b)?(ab?ab)>0,∴a?b?ab?ab 3322332222

2注：比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法

比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論

例2（P21例）如果用akg白糖制出bkg糖溶液，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為

時(shí)糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加到a，若上述溶液中添加mkg白糖，此ba?m，將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并給出證明。b?m

a?ma? 此即：已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：b?mb

分析：這是一道分式不等式的證明題，依比較法證題步驟先將其作差，然后通分，由分子、分母的值的符

證明：a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)???b?mbb(b?m)b(b?m)

∵a,b,m都是正數(shù)，并且a 0 ,b ? a > 0 ∴a?mam(b?a)? ?0即b?mbb(b?m)

思考：若a > b，結(jié)果會(huì)怎樣？若沒(méi)有“a < b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷？ 例3．在⊿ABC中a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，S是三角形的面積求證： c2?a2?b2?4ab?43S

222證明：在⊿ABC中c?a?b??2abcosC，S?1absinC

2c2?a2?b2?4ab?4S??2abcosC?4ab?23absinC所以13??4ab(1?cosC?sinC)?4ab[1??C)]226

?由于a，b∈（0，+∞）又sin(?C)?1 6

?222則4ab[1?sin(?C)]?0即c?a?b?4ab?43S 6

aba?b2思考二： 例4．設(shè)a, b ? R+，求證：ab?(ab)

方法2：作商法?abba

a?1b? 理論根據(jù)： aa?b,b?0??1ba?b?0?

操作方法：“作商——變形——判斷商式大于1或小于1”

證明：（作商）aabb

(ab)a?b

2?aa?b2bb?a2a?()ba?b2

a當(dāng)a = b時(shí)，()ba?b2?

1a?ba?0,()2ba?b2a當(dāng)a > b > 0時(shí)，?1,b?1

a?b

2a當(dāng)b > a > 0時(shí)，0??1,b

∴ab?(ab)aba?b2a?ba?0,()2b?1（其余部分略）

注：1．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論

2．比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論

三、練習(xí)

1．求證：x2 + 3 > 3x

證明：∵(x2 + 3)? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)?

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 23223223223?0

4證明：(a5 + b5)?(a2b3 + a3b2)=(a5 ? a3b2)+(b5 ? a2b3)

= a3(a2 ? b2)? b3(a2 ? b2)=(a2 ? b2)(a3 ? b3)

=(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正數(shù)，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)> 0

即a5 + b5 > a2b3 + a3b

23．例4后半題

四、小結(jié) ：我們一起學(xué)習(xí)了證明不等式的最基本、最重要的方法：比較法，1．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論

2．比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論

五、作業(yè)

P23習(xí)題2。11、2、3、4

第二篇：證明不等式的基本方法

證明不等式的基本方法

一、比較法

(1)作差比較法

3322【例1】已知a,b都是正數(shù)，且a?b，求證：a?b?ab?ab

【1-1】 已知a?b，求證：a3?b3?ab(a?b)

【1-2】已知a?b，求證：a4?6a2b2?b4?4ab(a2?b2)

(2)作商比較法

abba【例2】已知a,b都是正數(shù)，求證：ab?ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立.【2-1】已知a,b,c都是正數(shù)，求證：abc

二、綜合法與分析法

(1)綜合法

【例3】已知a,b,c?0,且不全相等，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

【3-1】已知a1,a2,...,an?R?，且a1a2...an?1, 求證：(1?a1)(1?a2)...(1?an)?21 n2222222a2b2c?ab?cba?cca?b.【3-2】已知a,b,c?R?，用綜合法證明：

(1)(ab?a?b?1)?(ab?ac?bc?c2)?16abc；(2)2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)

(2)分析法

【例4】設(shè)x?0,y?0，且x?y?1.求證：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正數(shù).求證：

三、反證法與放縮法(1)反證法

【例5】已知x,y?0,，且x?y?2,，試證：

【5-1】設(shè)0?a,b,c?1，證明：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能都大于

1???8 xyxy

bcacab???a?b?c abc

1?x1?y,中至少有一個(gè)小于2.yx

(2)放縮法

【例6】用放縮法證明不等式 ：

【6-1】用放縮法證明不等式 ：

【6-2】用放縮法證明不等式 ：

1)?1

1111???...??1(m?1,m?N*)2m?1m?22m

11111n?1??2?2?...?2?(n?2,3,4,...)2n?123nn

...??n?N*?(n?1)

2(n?N*)【6-3】用放縮法證明不等式 ：

...?2

四、數(shù)學(xué)歸納法

11S?(a?).【例7】在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

【7-1】.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn??an?()

n?1

?2(n?N*).(1)令bn?2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn?

【7-1】已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an?1?2an?anan?1，a2?a4?2a3?4.n?15n

an，且{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明.n2n?1

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)令bn?an2，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較并予以證明.Tn?1?122log2bn?1?2

與的大小，2log2bn?14Tn

第三篇：證明基本不等式的方法

2.2 證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

●教學(xué)目標(biāo)：

1、理解綜合法與分析法證明不等式的原理和思維特點(diǎn).2、理解綜合法與分析法的實(shí)質(zhì)，熟練掌握分析法證明不等式的方法與步驟.●教學(xué)重點(diǎn)：綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

●教學(xué)難點(diǎn)：綜合法與分析法證明不等式基本原理的理

●教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1、復(fù)習(xí)比較法證明不等式的依據(jù)和步驟？

2、今天學(xué)習(xí)證明不等式的基本方法——分析法與綜合法

二、講授新課：

1、綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以以上三式不能全取“=”號(hào)，從而①,②,③三式也不能全取“=”號(hào).由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.點(diǎn)評(píng)：（1）綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時(shí)貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。

（2）在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時(shí)，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項(xiàng)、并項(xiàng)、分解、組合是變形的重要技巧.變式訓(xùn)練：已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證： 例

2、已知 且，求證： 分析：觀察要證明的結(jié)論，左邊是 個(gè)因式的乘積，右邊是2的 次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為 的乘積，問(wèn)題就能得到解決。

2、分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法 這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。

①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： ②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有……這只需要證明命題B2為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故B必真。

例3． 求證： 分析：觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以利用分析法。

點(diǎn)評(píng)：①分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.對(duì)于思路不明顯,感到無(wú)從下手的問(wèn)題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對(duì)不等式做這樣或那樣的變形,分析時(shí)貴在變形,不通思變,變則通!

②證明某些含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難，常用分析法.③在證明不等式時(shí),分析法占有重要的位置.有時(shí)我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜

合法的形式寫出證明過(guò)程,這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.例

4、已知，求證： 分析：要證的不等式可以化為 即 觀察上式，左邊各項(xiàng)是兩個(gè)字母的平方之積，右邊各項(xiàng)涉及三個(gè)字母，可以考慮用

三、課堂練習(xí)：

1、已知a,b,c,d∈R,求證：ac+bd≤ 分析一：用分析法

證法一：(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bc-ad)

2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用綜合法 證法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命題得證 分析三：用比較法

證法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 點(diǎn)評(píng)：用分析法證明不等式的關(guān)鍵是,尋求不等式成立的充分條件.因此,經(jīng)常要對(duì)原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn),常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做這些變形是否可以逆推,若不能逆推,則不可使用.2、已知 且 求證：（分析法）

四、課堂小結(jié)：

綜合法與分析法證明不等式的方法與步驟

五、課后作業(yè)：

課本P25—26習(xí)題2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

第四篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換小）某些項(xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第五篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。