第一篇：2012高中數學單元訓練不等式的證明(一)

課時訓練36不等式的證明

（一）【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）1.設0＜x＜1，則a=2x,b=1+x,c=

中最大的一個是（）1?x

A.aB.bC.cD.不能確定 答案：C

解析：因0＜x＜1,故 1-x2＞0,即1+x＜

1221,b＜c,又1+x-2x=(x?)+＞0,故a＜1?x2

2b,即最大的是C.2.(2010北京東城區一模，4)已知a＜0,b＜-1,則下列不等式成立的是（）

aaaa＞2B.2＞＞a bbbbaaaaC.＞2＞aD.＞a＞2 bbbb

A.a＞答案：C

a

＞0,b＞-1.則b2＞1.b

1a

∴2＜1.又∵a＜0,∴0＞2＞a.bbaa

∴＞2＞a.故選C.bb

解析：∵a＜0,b＜-1,則

3.設a＞b＞0，則下列關系式成立的是（）A.ab＞(ab)C.aabb=(ab)答案：A 解析：ab÷(ab)

ab

ab

a?b2

B.ab＜(ab)

ab

a?b2a?b2的大小不確定

a?b2

D.aabb與(ab)

a?b2

a=()b

a?b2

a,因a＞b＞0,故ab＞1,a-b＞0,()

b

a?b2

＞1.4.設a,b∈R+，且ab-a-b≥1，則有（）

A.a+b≥2(2+1)B.a+b≤2+

1C.a+b＜2+1D.a+b＞2(2+1)答案：A

解析：由ab≥1+a+b?(5.若0＜x＜

a?b2)≥1+a+b,將a+b看作一整體即可.2

?,設a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是()2

A.a≥bB.a=bC.a＜bD.a＞b 答案：D

解析：a-b=2-xsinx-cos2x

x2?x2x2?2

=sinx-xsinx+1=(sinx-)+1-,因為0＜x＜,所以0＜＜＜1.所以a-b＞0.22441626.設a,b,c為△ABC的3條邊，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則()

A.S≥2PB.P＜S＜2PC.S＞PD.P≤S＜2P 答案：D

解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,∴S≥P.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)＞b2+c2+a2=S,∴2P＞S.7.若a,xy∈R+,且x+y≤ax?y恒成立，則a的最小值是()A.22B.2C.2D.1 答案：B

解析：因(x?y

x?y)2=1+2xy2xy≤1+=2, x?yx?y

故x?y

x?y的最大值為2.即amin=2.二、填空題（每小題5分，共15分）

8.在△ABC中，三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，若2b=a+c，則角B的范圍是___________.答案：0＜B≤?

3a2?c2?b23a2?3c2?2ac29a2c2?2ac1?解析：cosB=≥?.2ac8ac8ac

2∴0＜B≤?.339.已知ab+bc+ca=1，則當____________時，|a+b+c|取最小值_________________.答案：a=b=c=

解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，并且這個比越大，采光條件越好，則同時增加相等的窗戶面積與地板面積，采光條件變_____________（填“好”或“壞”）.答案：好 解析：設窗戶面積為a，地板面積為b，則a＜b,且aa?ma?.≥10%,設增加面積為m，易知bb?mb

三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）

11.已知函數f(x)=x2+ax+b,當p、q滿足p+q=1時，試證明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對任意實數x、y都成立的充要條件是：0≤p≤1.證明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)

=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b

=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy

=pq(x-y)2.∵(x-y)2≥0,∴欲使pq(x-y)2≥0對任意x、y都成立，只需pq≥0?p(1-p)≥0?p(p-1)≤0?0≤p≤1.故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要條件.12.若a、b∈R+且a+b=1,求證：a?11?b?≤2.2

2證明：a?11?b?≤2 22

11?b?≤4 22?a+b+1+2a?

?a?

?ab+11?b?≤1 22a?b1+≤1 2

41?ab≤.4

a?b21∵ab≤()=成立, 24

∴原不等式成立.13.已知a、b、x、y∈R+且11?,x＞y.ab

求證:xy?.x?ay?b

證法一：（作差比較法）∵xybx?ay??, x?ay?b(x?a)(y?b)

11?且，a、b∈R+, ab又

∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay.∴bx?ayxy?＞0，即.(x?a)(y?b)x?ay?b

證法二：（分析法）

∵x、y、a、b∈R+,∴要證

0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,14.給出不等式11xy,只需證明x(y+b)＞y(x+a),即證xb＞ya,而同?＞?abx?ay?bxb＞ya顯然成立，故原不等式成立.≥x2?1?c

x2?c1?c(x∈R).經驗證：當c=1,2,3時，對于x取一切實數，不等式c

都成立，試問c取任何正數時，不等式對任何實數x是否都成立，若成立，則證明，若不成立，求c的取值范圍.解析：由x2?1?c

x2?c

1≥1?c ≥c+?x2?c+x2?c1 c

1≥0)≥0 ?(x2?c-c)+ 1x2?c1-?(x2?c-c)(1-x?c?c2

假設x∈R時恒成立，顯然x2?c-c≥0

即有1-1

x?c?c2≥0 1?x2?c·≥1?x2≥-c c

左邊x2≥0，而右邊不恒≤0，故此不等式不能恒成立.若恒成立則必有1-c≤0 c

?c2?1?0,??c≥1時恒成立.??c?又c?0,?

第二篇：2012高中數學單元訓練不等式的證明(二)

課時訓練37不等式的證明

（二）【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）

a2b

2?1.設0＜x＜1,a、b為正常數，的最小值是（）x1?x

A.4abB.2(a2+b2)

C.(a+b)2D.(a-b)

2答案：C?a2b2

?解析：令x=cosθ,θ∈(0,),則=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥2x1?x

a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,則a-b的取值范圍是（）

A.［-2，25］B.［-2，2］

C.［-，］D.［0，］

答案：A

解析：設a=cosθ,b=sinθ,則a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+-2,2］.3.已知a∈R+,則下列各式中成立的是（）

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)

C.acos2??)4?bsin?=a+bD.acos??bsin?＞a+b 22

2答案：A

解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.設函數f(x)=ax+b(0≤x≤1),則a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：a+2b＞0?a+b＞0?f（121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］2

1?f()＞0?a+2b＞0.2

5.(2010重慶萬州區一模，7)已知函數y=f(x)滿足：①y=f(x+1)是偶函數；②在［1，+∞）上為增函數.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,則f(-x1)與f(-x2)的大小關系是()

A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關系不能確定 答案：A

解析：y=f(x+1)是偶函數f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大聯考，9)定義在R上的偶函數y=f(x)滿足f(x+2)=-f(x)對所有實數x都

成立，且在［-2，0］上單調遞增，a=f(37),b=f(),c=f(log18)，則下列成立的是()222

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b

答案：B 解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上為偶函數又在［-2，0］上單調遞增，所以f(x)在［0，2］上單調遞

減.b=f(1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f().22222

∵31＞1＞,∴b＞c＞a.22

227.設a、b、c、d∈R，m=a2?b2+c2?d2,n=(a?c)?(b?d),則()

A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n

答案：D

解析：設A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空題（每小題5分，共15分）

8.設x＞0,y＞0,A=

答案：A＜B

解析：A= x?yxy?,B=,則A，B的大小關系是__________________.1?x?y1?x1?yxyxy???=B.1?x?y1?x?yx?11?y

9.已知x2+y2=1,對于任意實數x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，則k的最大值是____________.答案：-

2解析：設x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+

-2.10.設｛an｝是等差數列，且a12+a112≤100,記S=a1+a2+…+a11則S的取值范圍是______________.答案：［-552，552］ ?),∴k≤-2.∴k的最大值為

4a?a112a?a11a?a11解析：由1≥(1)?1∈［-52,52］.222

∴S=a1+a2+…+a11 22

=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11(a1+a11)∈［-552,552］.2

三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）

11.若x,y均為正數，且x+y＞2.求證: 1?y1?x與中至少有一個小于2.xy

1?y1?x1?y1?x與均不小于2，即≥2且≥2,則1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy證明：假設

2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,與題設x+y≥2矛盾.故假設錯誤.n(n?1)(n?1)2

12.已知an=?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N),求證：＜an＜對n∈N*

22*恒成立.證明：an＞2?22+…+n2=1+2+3+…+n=n(n?1), 2

1nn2?2n(n?1)2

而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.2222

13.若a,b,c為三角形三邊，x,y,z∈R,x+y+z=0,求證：a2yz+bzzx+c2xy≤0.證明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.?

(*)

∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c為三角三邊，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0對x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得證.14.已知：a∈R+,求證：a+4?a1a?4

a≥17.4

證明：∵a∈R+，設t=a+4a≥2a?14=4,則左式=f(t)=t+(t≥4)ta

∴f(t)=(t?12)+2在t≥4上遞增.t

117=得證.44∴f(t)≥f(4)=4+

第三篇：高中數學不等式證明常用方法

本科生畢業設計（論文中學證明不等式的常用方法

所在學院：數學與信息技術學院

專 業： 數學與應用數學

姓 名： 張俊

學 號： 1010510020 指導教師： 曹衛東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學習階段不等式證明方法的概括和總結.不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數學歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學生比較不熟悉但也經常采用的方法,如構造法,向量法,求導法,換元法等等.關鍵詞: 不等式的證明;函數的構造;極值;導數

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構造函數法 ·········································1 1.1 移項法構造函數 ·································1 1.2 作差法構造函數

·····························2 1.3 換元法構造函數

·····························2 1.4 從條件特征入手構造函數

······················3 1.5 主元法構造函數 ··································3 1.6 構造形似函數 ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應用 ································9 參考文獻 ··············································11

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關系.不等量關系是基本的數學關系,它在數學研究與應用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關重要,許多數學家在這一領域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學習階段的重要內容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學習既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學的,系統的總結和歸納.1.構造函數法

1.1移項法構造函數

【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x,求證：當x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數證明,左邊構造函數

1?1,從其導數入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數,在x?(0,??)上為增函數,故函數

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數, 當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數, 于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數f(x)在區間上的最小（大）值,則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構造函數

【例2】 當x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯系,因此聯想到采用作差的方法,將兩個函數變為一個函數.作差法是最直接把兩者結合的方法且求導

后能很容易看出兩者的聯系.證:做函數f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構造出一個函數并利用所設函數的導數判斷函數的單調性,再根據單調

性的性質來證明原不等式如果一階導數無法判斷兩個關系,可以采用二階導數

來先判斷一階導數關系,再來判斷原函數的關系.1.3換元法構造函數

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯系,但發現x?y經常出現在三角代換中.于是可以采用 換元法進行嘗試,則結果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當發現不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關的不等式,可以采用換

元法.將x,y進行替換,再找兩者的關系來進行論證.1.4從條件特征入手構造函數

【例4】 若函數y?f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導數為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發現它是一個函數積的導數,因此可以構造出

F(x),求導后即可得到證明結果.1.5主元法構造函數

【例5】 設a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進行變換.證:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構造一個函數 a2x2前面的系數大于0,所以該拋物線開口向上

且當x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找幾個未知量之間的關系,進行證明.1.6構造形似函數

【例6】 當a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構造函數

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導等變換來構造出一些相似的函數,再利用函

數的單調性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發現作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數,可以作商, 判斷比值和1的大小關系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當a?b時,()baa?b?1?0, 當0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數函數的單調性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數函數的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設xn?(2n?1)sn,求證:數列?xn?為等差數列.11115???..........??(2)當n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當n?2時,sn?1?2

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

分析:實系數一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應的

函數、不等式的判別式.此題含有三個未知數,所以要進行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結論為否定形式,適合用反證法來證明,假設命題不成立,從而導出矛

盾.證:假設(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關鍵在于找出與命題相反的結論,然后再用假設的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構造兩個向量.利用向量的知識進行解決.?m 證:設?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

??? 故設a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結:本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉化

為所學的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結論很

容易得到.第二種方法也是根據問題入手,不同的是它把問題直接改變為

一道運算式,這樣就把問題變為運算式結果與零比較大小,因為題目所給的數字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數字從何而來,一但轉化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數值的范圍,容易產生多解或錯解.這種方法好處在于已經知道了三角

值的范圍,且三角函數含有多種變形方式可以對式子進行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據學生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進行簡單的總結,使中學生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業設計（論文）

參考文獻

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[A],2012(4):108～109

第四篇：高中數學不等式

數學基礎知識與典型例題

數學基礎知識與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?7?5 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?（1?x2?1

例16.解：原不等式等價于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當x>0時，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當x<0時，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當a>0時，{x|x??a或x?0}； 當a=0時，{x|x?R且x?0}； 當a<0時，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當y≠2時，要方程有實數解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述, －

2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?a?b)

另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數的情況，這時可構造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當a、b、c中有負數或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數學第二冊(上)第27頁例

1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaaa?b?c?a?b??c

a?b?c

例22.高中數學第二冊(上)第17頁習題9 法一:構造函數法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aa?m?bb?m?c

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bb?m?c

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aa?m?bb?m?c

c?m.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數學第二冊(上)第13頁例

46、當你發現有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢”吧！

Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會讓你變得偉大！

一個人的夢想有多么偉大，他就有多么偉大！

偉大的目標，即使吹起牛來都很爽！所以，目標一定要遠大！你人生才會過得充實而干勁十足！

我在這十多年瘋狂英語的奮斗路上，我發現一個真理：

“人的潛能無限！相信自己，就能創造奇跡；懷疑自己，人生就會在可憐、悲慘中度過！”

每個人其實都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財富。

而可悲的是，大多數的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因為他們的父母，和他們所處的時代，也沒有給他們這把鑰匙。

我們太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當我們發現有這把鑰匙的時候，已經年過30歲了??

其實，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。

在此，我非常急切地想與大家分享一個“18歲就成功的故事”，告訴你如果發現自己有“非凡天賦”時,就瘋狂地造夢想吧，從此，你就會自發地苦練，并為自己的家庭帶來夢中渴求的一切。

在丁俊暉8歲時，父親送給他一件特別的禮物——一支臺球桿。他很快發現：兒子在臺球桌上有非凡的天賦，兩年下來，已經打遍當地無敵手。

有一次，爸爸讓小俊暉與臺球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰勝他。”

看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個驚人的決定：賣掉家鄉的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學習臺球，成為職業臺球手。為了節省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味??竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺球當成了自己一輩子奮斗的職業。

丁俊暉練球常常進入到癡迷的狀態，整天與臺球為伴，很快，父親送給他的臺球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又斷了??反反復復，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。

即使這樣，他父親還時刻提醒、監督他，有時剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時間稍長一點，父親就過來催促：“你去房間練球吧，空調已幫你開好了。”他父親說：“人做事一定要堅定，做一件事就要把它做好，如果連這點精神和承擔失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會強加給他沒興趣的東西做。我堅信我兒子是5000年才出一個的神童！”

也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級臺球冠軍的丁俊暉。現在丁俊暉已經在老家買了新房，他實現了當初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現了奪得世界冠軍的諾言！

所以，偉大的夢想造就偉大的人生！Great dreams make great men!

目標定得小，成績就小。有大志才會有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第五篇：高中數學知識點：不等式的證明及應用

不等式的證明及應用

知識要點：

1．不等式證明的基本方法：

?a?b?0?a?b

?（1）比較法：?a?b?0?a?b

?a?b?0?a?b?

用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）綜合法：利用題設、不等式的性質和某些已經證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因導果”即從一個（一組）已知的不等式出發，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導出所要求證的不等式。

（3）分析法：“執果索因”從求證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。

2．不等式證明的其它方法：

（1）反證法：理論依據A?B與B?A等價。先否定命題結論，提出假設，由

此出發運用已知及已知定理推出矛盾。根據原命題與逆否命題等價，A得證。

（2）放縮法：理論依據 a > b,b > c?a > c ?B

（3）函數單調性法。

3．數（式）大小的比較：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數單調性法

4．不等式在函數中的應用：

（1）求函數的定義域（2）求函數的值域（3）研究函數的單調性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數，等號可取。

（2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。

6．方程與不等式解的討論

（1）一元二次方程ax2

a?0,??b2?bx?c?0有嚴格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。

（2）函數與不等式：利用函數圖象找出等價關系，轉化為不等式問題去解決。