第一篇：高中數學選修4-5：32 一般形式的柯西不等式 學案

3.2 一般形式的柯西不等式

【學習目標】

1.掌握一般形式的柯西不等式的判別式法證明，并掌握等號成立的充要條件 2.基本會使用柯西不等式證明不等式、求最值 【自主學習】

1.三維柯西不等式可以對比二維柯西不等式來記憶和理解，你能寫出來嗎？ 2.一般形式的柯西不等式是對二維、三維的推廣，是歸納推理的典范，至少要會用判別式法完成證明，而且要理解等號成立的充要條件

3.結合二維柯西不等式的應用初步的體會一般形式的柯西不等式的應用.【自主檢測】

1.已知a,b,c?0，且a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為＿＿＿＿ A.1B.4C.D.2.設a1,a2，an?

R,1a

1b

1c

1314

a1?a2?

?an

n的大小關系為＿＿＿

3.若a,b,c?0,???1，則a?b?c的最小值是＿＿＿＿ 【典型例題】

例1.已知a,b,c?0，求證：

?1?.??

bca??abc?

????????9?2?.?a?b?c?a2?b2?c2?9abc ?abc??bca?

??

b2c2?c2a2?a2b2

?abc ?2?.a?b?c

n

?n?

例2.(1)已知a1,a2，an?R.求證：??ai??n?ai2

i?1?i?1?

（2）已知a1,a2，an?0,a1?a2?（3）已知a1,a2，an?R,b1,b2,a32an?12an2a12a221

?an?1.??????

a1?a2a2?a3a3?a4an?1?anan?a12

2222,bn?0.求證：a1?a2?a3??an??a1?a2??an?

b1b2b3bnb1?b2??bn

例3.（1）已知a12?a22??an2?1,x12?x22??xn2?1，求a1x1?a2x2??anxn的最大值

1??1??1?

（2）設a,b,c?R,a?b?c?1，求??a????b????c??

a??b??c??

?

2的最小值

（3）若x?y?z?19,求函數u

【課堂檢測】

1.設a1,a2，an?R,，則P?a1?a2?

n?an與Q?n

??a1a2?an的大小關系為()

A.P?QB.P?QC.P?QD.P?Q 1111?2.設a,b,c，d?R?，且P??a?b?c?d???????，則P的最小值為?abcd?

3.已知x?4y?9z?1，則x2?y2?z2的最小值為4.把一條長為m的繩子截成四段，各圍成一個正方形，怎樣截法才能使這四個正方形的面積和最小？

【總結提升】

1.由二維形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是從特殊到一般的認識過程，其中三維形式的柯西不等式是過渡的橋梁，三維形式的柯西不等式可以對比二維形式的柯西不等式來理解和記憶，一般形式的柯西不等式又可以參照三維形式的柯西不等式來理解和推廣，對不等式等號成立的條件更要對比來研究.2.一般形式的柯西不等式注意整體的結構特征，形成一定的思維模式，在解決問題時才能靈活使用.

第二篇：關于柯西不等式的證明

關于柯西不等式的證明

王念

數學與信息學院 數學與應用數學專業 07 級 指導老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結論，并簡單介紹一些它的應用。

關鍵詞：柯西不等式、數學歸納法、二次型正定、歐式空間向量內積、詹森不等式，二維隨機變量的數學期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個重要不等式，它的結構和諧對稱、以及廣泛的運用引起了人們的興趣和討論。本文運用高等代數、微積分的基本內容來證明柯西不等式?？挛鞑坏仁降膬热?1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號當且僅當a1?a2?.....?an?0或bi?kai時成立（k為常數，i=1,2…..n）.1.2 設a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實數則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當且僅當bi?kai（i=1,2…..n）取等號。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式?？挛鞑坏仁降淖C明 2.1構造二次函數，證明柯西不等式。(其關鍵在于利用二次函數??0時函數f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當且僅當aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號成立。b1b2bn

2.2 利用數學歸納法進行證明。（關鍵把握由特殊到一般情況的嚴密性）

（1）當n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當

n?2

時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

??a12?a2?....?ak

設B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進行證明（關鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進行證明（關鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實數域上n個變量的實函數。如果對于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數值

q(x1,x2,....xn)都是正數，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當

aa1a2

??.......?n時等號成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內積的性質進行證明。

定理：在一個歐式空間里，對于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當且僅當?與?線性相關時，才取等號。

證 如果?與?線性相關，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現在設?與?線性無關。那么對于任意實數t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個二次三項式。由于它對于t的任意是數值來說都是正數，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對于任意兩個向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規定（必須規定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗證，關于內積的公理被滿足，因而R對于這樣定義的內積來說作成一個歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對于任意實數a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進行證明

考察函數?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機變量的數學期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第三篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構造二次函數f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請注意，一次項系數是2B，不是B）展開得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經發生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經換成了2B，因而導致很多網友的誤解。此步若錯，柯西不等式就無法證明了?。┮祈椀肁C≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應用】 柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。

巧拆常數證不等式

例：設a、b、c為正數且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數

∴為證結論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號成立條件無法滿足

∴原不等式成立

求某些函數最值

例：求函數y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數的定義域為[5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請參考有關文獻。三角形式證明 :兩邊同時平方,展開,消去同樣的項,剩余部分再平方,消去同樣的項,得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數形式

設a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實數，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當且僅當a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規定ai=0時，bi=0）時等號成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)

第四篇：柯西不等式及應用含答案

一、柯西不等式：

(?a)?(?b)?(?akbk)2等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)

2k

2k

k?

1k?1

k?1

nnn

二維柯西不等式：(x1x2?y1y2)2?(x12?y12)(x22?y22)

證明：（用作差法）

(x1?y1)(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2?0

2222222

2三維柯西不等式：(x1x2?y1y2?z1z2)2?(x12?y12?z12)(x22?y22?z22)

證明：（構造空間向量法）設m?

(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

??，所以：x1x2?y1y2?z1z2?

x1?y1?z1?x2?y2?z2，兩邊平方即可！

222222

n維柯西不等式：(?a)?(?b)?(?akbk)2

2k

2k

k?1

k?1

k?1

n

n

n

等號成立的條件是

ak??bk(k?1,2,3???n)

證明：（用構造函數法）（1）.當b1?b2?????bn?0時，不等式顯然成立；（2）當b1,b2,???bn不全為0時，構造f(x)?（n

n

n

n

?b

k?1

n

k

2)x?2(?akbk)x?(?ak),所以有2

k?1

k?1

nn

f(x)?(?b)x?2(?akbk)x?(?a)??(bkx?ak)2?0對任意x?R恒成立，因此

k

2k

k?1

k?1

k?1

k?1

??4(?akbk)?4(?a)?(?bk2)?0

2k

k?1

k?1

k?1

nnn

故：（?a

k?1

n

2k)?(?b)?(?akbk)2

2kk?1

k?1

nn

柯西不等式的變式：(?ak)?(?bk)?(?akbk)2

k?1k?1k?1nnn

(?a)?(?b)??akbk 2

k2k

k?1k?1k?1nnn

nak(?akbk)?(?)?(?ak)2等號成立的條件是當且僅當b1?b2?????bn

k?1k?1bkk?1

2naka(?)?(?k)2（在柯西不等式中令bk=1，兩邊同時除以n2即得）

k?1nk?1nnnn

2ak(?)?

k?1bkn(?ak)2k?1nn?b

k?1(等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)k

二、練習：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且x?y?z?1，求的最小值； ??y(1?y)z(1?z)x(1?x)

2.已知a,b>0,求證：3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)

3.已知x?y?z?2且x,y,z>0，求證：1119≥ ??x?yy?zz?x

44.設a,b,c為正數且互不相等.求證:2229> ??a?bb?cc?aa?b?c

3111≥ ??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)25.設正實數a,b,c 滿足abc?1, 求證:

12100 3c

222?a?b?c17.設實數a,b,c 滿足a?2b?3c?6，求證：3?9?27≥； 36.設a,b,c為正數, 且a?b?c?1,求證:(a?)?(b?)?(c?)≥221a1b

8.已知x?2y?3z?12, 求證:x?2y?3z≥24；

9.已知a?b?c?1, 求證:a?1?b?2?3c?3?33；

10.若a>b>c，求證：222114 ??a?bb?ca?c

答案：

y(1?y)?y(x?z)?xy?xz

1.證明：由x?y?z?1得：z(1?z)?z(x?y)?zx?yz

x(1?x)?x(y?z)?xy?zx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：????y(1?y)z(1?z)x(1?x)xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)]?(??)?(x?y?z)2 xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

所以有：???[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)] xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

即：???2(xy?yz?zx)，xy?yzzx?yzxy?zx

又2(xy?yz?zx)?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)

x?y?z?xy?yz?zx222x?y?z?1 31x2y2z2

所有：，當且僅當x?y?z?時取等號 ???xy?yzzx?yzxy?zx2

32.證明：由柯西不等式可得：

(11121112??)?(1??1??1?)a?2ba?4ba?6ba?2ba?4ba?6b

111??]< 222(a?2b)(a?4b)(a?6b)

（放縮）?(12?12?12)[3[111??](a?b)(a?3b)(a?3b)(a?5b)(a?5b)(a?7b)

?

?3111111(?????)2ba?ba?3ba?3ba?5ba?5ba?7b（裂項相消）36b9311?(?)?2b(a?b)(a?7b)(a?b)(a?7b)2ba?ba?7b

3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)所以有：

3.證明：由柯西不等式得：

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?（111??)?(1?1?1)2?9，又x?y?z?2x?yy?zz?x3

所以有：11199≥???.x?yy?zz?x2(x?y?z)4

4.證明：與第3題的證法相同，最后說明a,b,c為正數且互不相等,所以不取等號；

5.證明：由abc?1得：abc?1，所以：2221122221?bc,?ac,2?a2b2 22abc

111??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

??????a(b?c)b(a?c)c(a?b)ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2

[(ab?ac)?(ab?bc)?(ac?bc)]?(??)?(bc?ac?ab)2 ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2(bc?ac?ab)2bc?ac?ab3a2b2c2

?????即： ab?acab?bcac?bc2(ab?bc?ac)22

又abc?1，所以：3111≥ ??333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

6.證明：由柯西不等式

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2?(12?12?12)?[(a?)2?(b?)2?(c?)2] abcabc

結合a?b?c?1 ***2所以：(a?)?(b?)?(c?)?[(a?b?c)?(??)]?[1?(??)]abc3abc3abc

1111112又???(a?b?c)(??)?(1?1?1)?9 abcabc

1111211002所以：[1?(??)]?(1?9)? 3abc33

121212100故：(a?)?(b?)?(c?)≥ 3abc

7.證明：

3?a?9?b?27?c＝3?a?3?2b?3?3c?33?a?3?2b?3?3c?33?(a?2b?3c)

又由柯西不等式：

(1?a?2?2b?3?c)2?[12?(2)2?(3)2]?[a2?(2b)2?(3c)2]

即：(a?2b?3c)?6?(a?2b?c)，結合a?2b?3c?6

所以有：a?2b?3c?6 2222222

即：33

所以：3?(a?2b?3c)?33?6?1 3?a1?9?b?27?c≥ 3

8.證明：由

(1?x?2?2y??z)2?[12?(2)2?()2]?[x2?(2y)2?(z)2]

結合題目條件即可證出，與第7題一樣；

9.證明：

(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2?(12?12?12)?[(a?1)2?(b?2)2?(c?3)2]?3[3(a?b?c)?6]

結合題目條件就可以證出了！

10.證明：由條件a>b>c得：a?b>0,b?c>0,所以

11?)?(1?1)2＝4 a?bb?c

114所以： ??a?bb?ca?c[(a?b)?(b?c)]?（點評： 1.（22?ak?1n2k)?(?b)?(?akbk)2中的求和展開式為： 2kk?12nnk?1(a1?a2????an)(b1?b2????bn)?(a1b1?a2b2?????anbn)2；

2.二維、三維、n維柯西不等式的證明分別用了作差法、向量法、構造函數法證明，其實這三種方法也可以相互遷移，尤其是向量法簡潔明了，值得借鑒；

3.帶條件的三元不等式很常見, 用柯西不等式來證的較多, 要適當選擇ak 和bk, 便于運用柯西不等式(222?a

k?1n2k)?(?b)?(?akbk)2； 2kk?1k?1nn

4.結合柯西不等式及變式中的等號成立的條件，請讀者自行研究以上不等式的取等號條件。

以上如有錯誤之處敬請原諒并給予批評指正

郵箱zgh9723008@sina.com或qq聯系：934355819(驗證信息填：柯西不等式)

謝謝！

第五篇：柯西不等式的小結

柯西不等式的小結

浙江省余姚中學

徐鵬科

315400 柯西不等式是數學分析和數學物理方程研究中一個非常重要的不等式，普通高中數學新課程把它列入選修內容，然而對于浙江等省份而言，又是高考報考第一類大學的加試內容。因此對其作一小結很有必要，通過幾年的教學與實踐，應該說把握這塊知識已不是困難的事。

新課程選修４-５中，施行類比的數學思想方法得到的柯西不等式一般形式為：

設a1,a2,a3,?,an;b1,b2,b3,?,bn是實數，則

222222(a12?a2?a3??an)(b12?b2?b3???bn)?(a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2

當且僅當bi?0(i?1,2,3,?,n)或存在一個實數k使ai?kbi(i?1,2,3,?,n)時等號成立。課本提供的證時方法是構造函數f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，利用f(x)非負性來完成不等式的證明。筆者認為，課本從二維向量類比到三維向量后得到了三維形式的柯西不等式，如果再增加從三維向量到n維向量的類比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，這是我們作為教師應該想到的地方。在這里必須指出，大多學生在學習柯西不等式時會遇到的困難不少，不等式形式的記憶，不等式應用的靈活性，會使學家生置身于云里霧里。筆者在教學中為學生記憶方便，編了如下的順口溜：“大端括號乘括號，小端括號添平方，末平方的平方和，已平方的和串積，莫忘何時能相等。”實踐證明，效果是明顯的。

柯西不等式是一個公式，公式總涉及到應用的問題，公式的應用不外乎“順用”、“逆用”、“變用”這三種用法，下面來舉例說明，由于篇幅有限每道例題只作分析，讀者閱后自證較易。

首先要掌握“順用”，這里指的是從大到小的應用 例

1、設x1,x2,?,xn?R?，且x1?x2???xn?1。

22xnx12x21求證：?????.1?x11?x21?xnn?1分析：根據柯西不等式的特征和x1?x2???xn?1，要證的不等式可變形為

22xnx12x2(n?1)(左邊第一括號中的n可看成n個????)?(x1?x2???xn)2，1?x11?x21?xn1的和，再把余下的1代掉即可得需證不等式，即證：

22xnx12x2[(1?x1)?(1?x2)???(1?xn)](????)?(x1?x2???xn)2，此即

1?x11?x21?xn柯西不等式，顯然成立。

其次要掌握“逆用”，這里指的是從小到大的應用。例2 已知 2x?3y?4z?10求x?y?z的最小值.222分析： ?10??2x?3y?4z??2?3?422222?x?y?z?2?2??x2?y2?z2?

100203040,y?,z? 當且僅當x?時等號成立

29292929100222

??x?y?z??

min29本題的解題過程告訴我們，柯西不等式中的三個括號，如果其中兩個是定值，則必可求出余下一個括號的最值。

最后，要把握”變用”，這里指的是對整個公式作靈活應用，是公式應用中的最高層次。例 3 設實數 x,y滿足2x2?3y2?5，求A?x?2y的最大值.分析： 顯然，本題解決方向應是從小端向大端行進，然而，恰當配湊常數是關鍵。

?A??x?2y???22???2x???222??1111?????3y?????5? ???????623????????2

?A?x?2y?x?2y?330 6例4 已知x,y,z?R?且x?y?z?1

（1）若2x2?3y2?6z2?1求x,y,z的值.（2）若2x2?3y2?tz2?1恒成立，求正數t的取值范圍.分析： 對于（1），求x,y,z的值只有兩個方程，這是一個三元不定方程，一般不能求出確 定的x,y,z的解，現題目要求這樣做，因此個中必有特殊情況，特殊情況就在柯西不等式中，2?111??2x2?3y2?6z2??????2x2?3y2?6z2???x?y?z??1

?236?

等號當且僅當x?111,y?,z?時取到。23622可見題設的特殊性。確定了未知數能取的特殊性。

對于（2），既然2x?3y?tz?1恒成立，除參數t必然的一個取值范圍的要求外還 須2x?3y?tz的最小值也應該是大于等于1.為此只需柯西不等式從大端到小端的進行，又2x2?3y2?tz2?于是2x2?3y2?tz22222?2?111????x?y?z?1，????236????2min?151?6t?1成立，解得t?6

例 5 已知 w?x?y?z?F?16，求F?8?w?x?y?z的最大值.2222分析： 要求出F的最大值，需要建立關于F的不等式，借助柯西不等式就可以達到目的.?8?F???w?x?y?z??1?1?1?12222

于是有 5F?16F?0,22?2??w2?x2?y2?z2??4??16?F2?

0?F?165?Fmax?當且僅當x?y?z?w?6時取到。5165

例 6 如圖 已知在銳角?ABC中，BC?a,AC?b,AB?c，其內一點P向三邊作垂線，垂足為N，M，L，試求BC?CM22?AN的最小值，zND2A并指出此時P點的位置。

分析： 為了求出題中變量的最小值，首先想到的是把這 個量用數學式子表達出來。于是可設

MyBL?x,CM?y,AN?z

?PB2?x2?PC2?(a?x)2?2222由勾股定理?PC?y?PA?(b?y)?PA2?z2?PB2?(c?z)2?三式相加即得

BxLC

(a?x)2?(b?y)2?(c?z)2?x2?y2?z2

化簡整理得ax?by?cz?12(a?b2?c2)2(1)

(2)由柯西不等式ax?by?cz?222a2?b2?c2?x2?y2?z2a2?b2?c2有（1）、（2）得到x?y?z?4當且僅當x?2(3)

abc,y?,z?時取到。22222a2?b2?c2?BC?CM?AN的最小值為

4此時P點是銳角三角形ABC的外心。

綜上所述，柯西不等式的教學既要抓緊基礎知識的落實，又要靈活掌握應用。在柯西不等式的應用中充滿著智慧，對運算能力特別是代數式的變形技巧和數字的配湊技巧提出較高的要求，是培養學生能力的好場所。