第一篇：2.3：不等式的證明比較法

2.3不等式的證明（1）比較法

【知識要點】

1．作差比較法：

a?b?0?a?b

理論依據：a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

證明步驟：（1）作差；（2）變形；（3）判斷。

1．作商比較法：

a?b?a

b

a

b

a

b?1?1 ?1理論依據：當a,b?R?時，a?b?a?b?

證明步驟：（1）判斷（判斷能否作商）；（2）作商；（3）變形；（4）判斷。

【基礎訓練】

1． 已知a,b?(0,??)，設A?

12a?1

2b,B?

2a?b，則A、B的大小關系為______________。

2． 已知a,b

是兩個不相等的正數，M?

為______________。

3． 若x3

ab2N?，則M與N的大小關系a+b2的大小關系為______________。4．若a>0,b>0，則ab與(ab)

【精選例題】 的大小關系為____________。

例1． 已知a,b?R，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ac。

解法指導：對于二次型的不等式的證明，我們可考慮“作差法、配方法、?判別式”。方法一：2(a2?b2?c2)?2(ab?bc?ac)??a?b???a?c???c?b??0 所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。22

2?a2?b?c22???ab?bc?ac??a

22?(b?c)a?b?c?bc222b?c???b?c?22?b?c?bc?方法二：??a????2???2?

b?c?3(b?c)???a???0?2?4?22

所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。

方法三：?a2?b2?c2???ab?bc?ac??a2?(b?c)a?b2?c2?bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以?a2?b2?c2???ab?bc?ac??0，所以a2?b2?c2?ab?bc?ac。思考題：已知a,b?R，求證：a2?b2?1?a?b?ab。方法一：作差整理成關于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成關于a的二次式，再用?證明。

例2．（2000年上海春季高考題）設函數f(x)?|lgx|，若0?a?b且f(a)?f(b)，證明：ab?1。

解法指導:利用等價命題證明。

證明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

<1，所以lg

abab>0

lgb>0，因為0?a?b，所以0<

<0，所以lg(ab)<0，即得ab<1。

例3．某收購站分兩個等級收購小麥，一等小麥a元/kg，二等小麥b元/kg(b?a)。現有一等品小麥xkg，二等品小麥ykg。若以兩種價格的平均數收購，是否公平合理？ 解：平均價格為

a?b2

元/kg4。如以此價格統一收購，則收購費用為

a?b2

(x?y)

元；

而原定方案收購費用為（ax?by）元。因為(ax?by)?

a?b2

(x?y)?

(a?b)(x?y)。

又因為b?a，所以a?b?0，所以

（1）若x?y，則收購站得利；（2）當x?y時，兩種方案費用一樣；（3）當x?y時，則收購站吃虧。

例4．已知函數f(x)?logax(a?0,a?1,x?R?)，如x1,x2?R?，判斷[f(x1)?f(x2)]與

f(x1?x2

212)的大小并加以證明。

x1?x2

2x1?x2

2?)?logaloga

x1?x2

解：[f(x1)?f(x2)]—f(=?

logax1?logax2??loga

1因為x1,x2?

R?，所以

x1?x2

x1?x2時取等號。

（1）當a?1時，12

[f(x1)?f(x2)]?f(1

x1?x2

22)；)。

（2）當0?a?1時，[f(x1)?f(x2)]?f（x1?x2

【能力訓練】

一、選擇題： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既不充分又不必要條件

3．現給出下列三個不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，則

P與Q的大小關系為

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個

4.設復數z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,則M、N的大小關系為（）（A）M3N（B）M>N（C）M￡N（D）不能比較大小

二、填空題： 5．若a>0,a刮1,m,n

驏

N

*，則1+am+n_________am+an（比較大小）。

p÷

6．當x??。0,÷時，1-cosx________sinx（比較大小）??桫2÷

7．設x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，則P、Q之間的大小關系為________。

8．設x?R，則1+2x4______2x3+x2（比較大小）。

三、解答題： 9．設a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，證明：a+b+c。

10．設a>0,b>0,證明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．設?an?是由正數組成的等比數列，log0.5Sn?log0.5Sn?2

?log0.5Sn?1。

Sn是其前n項的和。證明：

第二篇：比較法證明不等式

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：AB1B2B3…BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.用極限法取2或-2，結果大于等于-4，因屬于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結果就只能大于-

4下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構造函數M=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關于c的一次函數(或常函數)，在cOM坐標系內，其圖象是直線，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)

所以函數f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)2≥0

(2y-1)2≥0

x2-2x+1≥0

4y2-4x+1≥0

x2-2x+1+4y2-4x+1≥0

x2+4y2+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法。

第三篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數，那么an與an＋1的大小關系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．與n的取值有關

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數列{an}和等差數列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設a，b，m均為正數，且，則a與b的大小關系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因為B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當a0；

當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第四篇：用比較法證明不等式·教案

用比較法證明不等式·教案

北京二十五中 馮睿

教學目標

1．理解，掌握比較法證明不等式．

2．培養滲透轉化、分類討論等數學思想，提高分析、解決問題能力． 3．鍛煉學生的思維品質（思維的嚴謹性、靈活性、深刻性）． 教學重點與難點

求差比較法證明不等式是本節課的教學重點；求差后，如何對“差式”進行適當變形，并判斷符號是本節課教學難點．

教學過程設計

（一）不等式證明的含義

師：前面我們已經學習了不等式性質．今天我們要以這些性質作為依據研究不等式證明．

什么是不等式證明呢？（板書）1．什么是不等式證明 我們通過具體題說明．

例1 求證：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 這道題含量是什么？（學生遲疑，教師給以啟發）

師：同學們可以想一想恒等式證明的含義．

生：這道題含義是對任意實數x，這個不等式都成立．

（二）引入比較法證明不等式，理解、認識比較法 師：很好，那么如何證明這個不等式呢？（讓學生稍作思考）生：求差．

（學生口述，教師板書）

證明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，則（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）． 師：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比較兩個實數大小時曾經用過這種方法．

（學生回答雖較為膚淺，但教師仍應鼓勵并進一步引導學生思考）師：在這里用“求差”有什么好處？（學生思考片刻回答）

生：直接證這個不等式有困難，轉化為一個一般式子與0比大小比較容易證明．

師：是的，在這里，通過“求差”將不等問題轉化為恒等問題；將二個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

這種證明的依據又是什么呢？ 生：依據是a-b＞0

a＞b，所以要證a＞b，只要證a-b＞0．

師：這種證明的理論依據是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0來推a＞b是證明不等式常用方種中的一種，叫比較法，這種比較法不妨稱作求差比較法．（板書）2．不等式證明的常用方法（1）比較法（求差比較法）

（三）在求差比較法中，求差后對“差式”適當變形并判斷符號的方法 師：下面我們將通過例題來歸納、總結求差比較法證明不等式時，如何對差式變形并判斷差式符號．

例2 求證：x2＋3＞3x．

（學生口述解題過程，教師板書）

師：求差后，進行等價變形時用的什么方法？ 生：配方法．

師：為什么用配方法？

生：因為求差后，式子中-3x的符號不確定，所以不容易判斷符號，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，這種差式的符號可以判斷．

師：也就是說變形的目的在于能判斷差式的符號，這道題用的是配方法． 例3 已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 師：這道題含義是什么？

生：對于a，b屬于任意正實數，不等式都成立． 師：請同學們考慮如何用比較法證明．（學生口述，教師板書）

證明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈R＋，則a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0． 因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．

師：這道題是用什么方法對差式進行等價變形． 生：對差式進行因式分解． 師：這樣變形的目的是什么？

生：將差式因式分解變形為幾個因式積的形式，對每個因式進行分析，判斷符號，從而使因式積的符號可以判斷，差式符號即可判斷．

師：說得很好，變形的目的是能判斷差式符號，這道題采用的是因式分解的方法，在判斷符號時要注意表述嚴謹、周密，正確判斷a，b∈R+范圍內每個因式符號．

師：這道題含義是什么？

生：對任意實數x，不等式都成立．（此時有的學生有異議）

生：我覺得應該考慮左式分式有意義的條件． 師：左式分式有意義的條件是什么？ 生：x∈R．

師：對．這道題忽視分式有意義的條件是不對的．只不過在這道題中條件就是x∈R，所以這道題的是對任意實數x，不等式都成立．請證明這道題．

（學生口述，教師板書）

師：這道題又是如何變形的呢？

生：這道題求差后，先通分，然后將分子配方，最后判斷符號． 師：通過以上例題，用比較法證明不等式可以歸納為哪些步驟． 生：有三步：（1）求差；（2）變形；（3）判斷符號． 師：在這些步驟中哪一步最重要． 生：我認為變形最重要． 師：為什么？

生：因為變形適當才能判斷差式符號． 師：怎么就叫“變形適當”？

生：通過變形將差式化為容易判斷符號的式子．

師：對．求差后，把所得差式進行合理變形，化為容易判斷符號的式子是求差比較證明不等式的關鍵．在變形中，有哪些具體方法呢？

生：變形時可以用配方法、因式分解、通分．

師：當然，除了這些主要的方法，在今后學習中還要不斷積累方法．

（學生審題，考慮片刻）

師：這道題問的是兩個式子大小關系，如何判斷？

生：可以利用求差比較法證明不等式的方法．先求差，再變形，轉化為能與0比大小的式子，就可以判斷這兩個式子的大小關系．

（學生口述，教師板書）

師：先通分，再對分子進行因式分解，現在如何判斷符號呢？（讓學生先討論，再回答）生：需要分類討論？ 師：為什么要分類討論？

生：因為分子中國式a-b的符號隨著a，b大小關系的不同而有不同的符號．

師：如何分類？

生：分為a＞b，a=b，a＜b三類討論．（學生口述，教師板書）

由于a，b＜0，則a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，進而2ab＞0，a2＋b2＞0，則（a2＋b2）（a＋b）＜0．

師：這道題在判斷符號時用分類討論，分類討論是重要的數學思想，要知道為什么分類？怎么分類？分類時要不重不漏．

（四）小結

在了解不等式證明的含義的基礎上，今天主要學習了不等式證明常用方法之一，比較法（或稱求差比較法）證明不等式，它是不等式證明中最基本、最重要的證明方法．要明確求差比較法證明不等式的依據，理解轉化，使問題簡化是求差比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在今后學習中繼續積累方法． 比較法證明不等式除了求差比較法，還有沒有其他方式呢？請同學們課下思考研究．

（五）布置作業

用比較法證明下列不等式：

（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））

4．已知a，b∈R＋，求證：aabb≥abba．（此題可用求商比較法證明）課堂教學設計說明

1．本節課是不等式證明的第一節課，因此需要了解不等式證明的含義，在這里是通過具體例題說明的并不需要研究不等式證明的一般定義． 2．例1是一道很簡單的題，學生會很自然地使用求差．這時教師引導學生深入思考這種方法正確性的依據以及這種方法中所蘊含的數學思想方法，提高學生對求差比較法的認識，同時使學生感受到淺顯、平淡知識中仍有一些值得思索和注意的地方，逐漸培養學生良好思維品質，有利于學生能力提高． 3．例2，例3，例4三道題主要目的在于讓學生歸納、總結，求差后對差式變形，并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破．例5帶有一些綜合性，加強學生對求差比較法認識和掌握，并考查對分類討論思想的認識，例題設計目的在于突出重點，突破難點．

4．本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，教師通過設疑、暗示，課堂討論等多種教學形式和方法，啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．

第五篇：§2.5.1不等式的證明 比較法

高一數學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》

§*2.5.1不等式的證明（1）—比較法

掌握用比較法證明簡單不等式

.問1什么是比較法？如何運用比較法證明不等式？

例1（P47例1）比較x2與2x?2的大小.例2（人教B版選修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正數，a?b，m1?m2，求證：

a?m1a?m2.?b?m1b?m

2例3已知：f(x)?x3，若x1,x2?R，且x1?x2，求證：f(x1)?f(x2).8-

高一數學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》 例4設a、b?R?

?例5設a、b?R?，求證：(a?b)(an?bn)?2(an?1?bn?1)（n?N*）.x2?1n例6設函數f(x)?2，求證：對任意不小于3的自然數都有f(n)?.x?1n?1

1.比較3x和2x?1的大小.2.比較(ac?bd)和(a?b)(c?d)的大小.3.用比較法證明：a?b?c?ab?bc?ac.222222222

a2b2

??a?b.4.已知a，b為正數，用比較證明：ba

5.設a，b，c為不全相等的正數，用比較法證明：

2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b).6.已知x?y?z?1，用比較證明：x?y?z?

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