第一篇：不等式的證明
學習資 料
教學目標
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣． 教學建議
（一）教材分析
1．知識結(jié)構(gòu)
2．重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當?shù)淖C明方法．
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立．
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．
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由于
種證法就是求差比較法．，因此，證明，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 ．這
由于當 時，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 定要注意 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 的前提條件．
時，一
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．
總之．能夠判斷出差的符號是正或負即可．
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側(cè)的式子同號的不等式的證明．
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
? ．
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
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④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
? ．
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等．
⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．
②在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論
已知．
綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．
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③分析法的特點是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件．
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．
④各有其優(yōu)缺點：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達到所要證明的結(jié)論．
從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰． 也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達．
⑤一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．
（二）教法建議
①選擇例題和習題要注意層次性．
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發(fā)學生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當．
要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力．
②在教學過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個個問題，激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生在課堂活動中積極參與．
通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經(jīng)驗，能夠總結(jié)出比較法的實質(zhì)是把實數(shù)的大小順序通過實數(shù)運算變成一個數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達到結(jié)合點，從而解決問題．
③學生素質(zhì)較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．
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第一課時 教學目標
1．掌握證明不等式的方法——比較法；
2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學重點 比較法的意義和基本步驟.教學難點 常見的變形技巧.教學方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.教學過程
（－）導(dǎo)入新課
（教師活動）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學過的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù)
與 的大小？．
（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題．
（學生甲回答：，，）
［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學習：用比較法證明不等式．（板書課題）
設(shè)計意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學習的知識．
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
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[問題] 求證
教師引導(dǎo)學生分析、思考，研究不等式的證明．
（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題．
（得出證明過程后）
［點評］
①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．
③理論依據(jù)是：
④由 要證明，知：要證明 只要證 ；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．
設(shè)計意圖：幫助學生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學生化歸的數(shù)學思想．
【例題示范，學會應(yīng)用】
（教師活動）教師板書例題，引導(dǎo)學生研究問題，構(gòu)思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評．
例1 求證
（學生活動）學生在教師引導(dǎo)下，研究問題．與教師一道完成問題的論證．
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得
將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．
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證明：∵
＝
＝，∴ ．
［點評］
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號．
②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定．
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷．
變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．
例2 已知都是正數(shù)，并且，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．
證明：
＝
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＝ ．
因為 都是正數(shù)，且，所以
．
∴ ．
即：
[點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號．
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法．
③例2的結(jié)論反映了分式的一個性質(zhì)（若都是正數(shù)．
1．當 時，2．當 時，．以后要記住．
設(shè)計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題．
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[字幕]
練習：1．求證
2．已知，，d都是正數(shù)，且，求證
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．
設(shè)計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學．
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法．
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號．要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形．
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法．
（三）小結(jié)
（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識．
（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．
本節(jié)課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節(jié)課繼續(xù)學習對差式變形的常用方法．
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．
（四）布置作業(yè)
1．課本作業(yè)：P16．1，2，3．
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2．思考題：已知，求證：
3．研究性題：設(shè)，都是正數(shù)，且，求證：
設(shè)計意圖，課本作業(yè)供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識．
（五）課后點評
1．本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．
2．在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識．
3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結(jié)，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應(yīng)著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時常用方法，有利于難點的突破．
4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學生深入思考問題，培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)．
作業(yè)答實
思考題： 又，獲證．，研究性題：
．
所以，以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來
第二篇：不等式證明
不等式證明
1.比較法：
比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法
（1）作差比較：
①理論依據(jù)a-b>0
a>b;a-b=0
a=b;a-b<0
a
⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。
⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證A>B(B>0),只要證
;要證A
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關(guān)系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式
2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因?qū)Ч３Ｒ姷幕静坏仁接?｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執(zhí)果索因”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。
基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法
單純地應(yīng)用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結(jié)合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設(shè)所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式M 具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換小）某些項；擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有： ⑴添加或舍去一些項，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，如：lg3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結(jié)論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k； Ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅢ、12?k11111??(?)；（程度小）2k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如： 已知x2?y2?a2，可設(shè)x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設(shè) x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)； x2y2已知2?2?1，可設(shè)x?acos?,y?bsin?； abx2y2已知2?2?1，可設(shè)x?asec?,y?btan?； ab8、判別式法：判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。 9、其它方法 最值法：恒成立 恒成立 構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式； §14不等式的證明 不等式在數(shù)學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進行變形的性質(zhì)： （1）a?b?b?a（對稱性） （2）a?b?a?c?b?c（加法保序性） （3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對兩個以上不等式進行運算的性質(zhì).（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質(zhì)： （1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當然在證題過程中，常可“由因?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a(chǎn),b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a(chǎn),b,c?0，求證：abc?(abc) abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab? 4．設(shè)a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1????? 12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8 7．利用排序不等式證明Gn?An 8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1? 1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n 1n? 課后練習 1.選擇題 (1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組 （C）三組 （D）四組 (2)在0,1,2,?，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個 （C）5個 （D）6個 2．填空題 （1）的個位數(shù)分別為_________及_________.4 5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數(shù)A的個數(shù)是x×10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.求三個正整數(shù)x、y、z滿足 23.4．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？ 5．求的整數(shù)解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數(shù)x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.如果p、q、、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設(shè)x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．． 略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式 如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333 3222 2≡8(mod37).2222 27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22 3+7777 3333 ≡(8+7)(mod37),而 237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222 229.易知p≠q,不妨設(shè)p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程 例題答案： 1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc ?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab) ?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2 ?0 ?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2 1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且 ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3 a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和） ?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和） 其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個不等式.bcacab 222不妨設(shè)a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項 ai1?a?；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.i22ii設(shè)b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù)，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式 如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數(shù)式呢.44要證a?b?1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側(cè)的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,?an) 調(diào)和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術(shù)平均An?a1?a2???an n22a12?a2???an平方平均Qn? 2這四個平均值有以下關(guān)系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當且僅當a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1? xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn =xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1? =n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術(shù)平均.n?11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應(yīng)項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式 111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n? n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*) nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 ?1111??????n?(n?1)?nn?1 23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n （**）? n?1?nn?1 （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立. 本資料從網(wǎng)上收集整理 難點18 不等式的證明策略 不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學中的一個難點，本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點磁場 (★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究 ［例1］證明不等式1?12?13???1n?2n(n∈N) *命題意圖：本題是一道考查數(shù)學歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.知識依托：本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤： 這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項，有的放矢，直達目標；而證法三運用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨具匠心，發(fā)人深省.證法一：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假設(shè)n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+12131k?11k?112?13???1k＜2k，則1??????2k??2k(k?1)?1k?1?k?(k?1)?1k?1 ?2k?1,∴當n=k+1時，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當n∈N*時，都有1+ 12?13???1n＜2n.另從k到k+1時的證明還有下列證法： ?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)?0,2?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1k?1?2k?1.2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1，又如:?2k?1?2k? 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?2k?1k?1?2k?1.證法二：對任意k∈N*，都有： 1k?2k?12?k13?2k????k?11n?2(k?k?1)，2)???2(n?n?1)?2n.因此1??2?2(2?1)?2(3?12131n證法三：設(shè)f(n)=2n?(1?* ????)，那么對任意k∈N 都有： f(k?1)?f(k)?2(k?1??1k?11k?1k)?1k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1](k?1?k?1k)2 ?0??[(k?1)?2k(k?1)?k]?∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴1?12?13???1n?2n.x?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使x?y≤a命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力，屬于★★★★★級題目.知識依托：該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜ ?2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得： 22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，① ② ∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，當且僅當x=y時，②中有等號成立.本資料從網(wǎng)上收集整理 比較①、②得a的最小值滿足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.x?x?yy(x?x?yy)22解法二：設(shè)u???x?y?2xyx?y?1?2xyx?y.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(當x=y時“=”成立)，∴x?y≤1，x?y的最大值是1.從而可知，u的最大值為1?1?2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化為 xy+1≤a xy?1，設(shè)xy=tanθ，θ∈(0，?2).∴tanθ+1≤atan2??1；即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+?4?4)，?4).③)的最大值為1(此時θ=由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計 1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各 本資料從網(wǎng)上收集整理 種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.●殲滅難點訓練 一、填空題 1.(★★★★★)已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且 ax?by=1，x+y的最小值為__________.2.(★★★★)設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是__________.3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________.二、解答題 4.(★★★★★)已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1.求證：(1)a2+b2+c2≥ (2)3a?2?3b?2?3c?2≤6 5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)證明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R，則(2)若x，y，z∈R，且x+y+z=xyz，則y?zx?z?xy?x?yz+ + 12，證明：x，y，z∈［0，23］ b?cax?2c?aby?2a?bcz≥2(xy+yz+zx) 2≥2（1x?1y?1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niAim＜miAin； (2)證明：(1+m)n＞(1+n)m 338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤1.參考答案 難點磁場 證法一：(分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121 4222 14或，從而得證.+t1，b=12+t2.12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜ 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?(a?(?121a)(b?21b)?(1a?1a22?b?1b(?14?t1?t1?1)((222?t1)?112?t12?2?t2)?11214?t21412?t2?t2?1)?t2)2212?t1)(22(?14?t1?t1?1)(14?t2?t2?1)?2(54?t2)?t214?t22 ?t2425?16?1432t2?t2222525?16?.144?t2顯然當且僅當t=0，即a=b=證法三：(比較法） 12時，等號成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214 a?1b?1254ab?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤ 14.?2?(1?ab)?125?? ??ab4???25?2(1?ab)?1??139?162?1?ab?1???(1?ab)???4416? 1?4?ab?即(a?1a)(b?1b)?254 證法五：(三角代換法） ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，?2) 本資料從網(wǎng)上收集整理 (a??1a4)(b?1b)?(sin??4221sin?22)(cos2??1cos?222)2sin??cos??2sin?cos??24sin2?222?(4?sin?)?164sin2??sin2??1,?4?sin2??4?1?3.4?2sin2??16?25?22(4?sin2?)25????11244sin2???24sin2??即得(a?1a)(b?1b)?254.22 殲滅難點訓練 一、1.解析：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2??bcot2??a?b?2ab.答案：a+b+2ab 2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc 3.解析：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n 二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313= 13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ ［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 222 證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥a?b?c32222 a?b?c3證法三：∵∴a2+b2+c2≥ ?a?b?c3∴a2+b2+c2≥ 13證法四：設(shè)a=+α，b= 13+β，c= 13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a+b+c=（22213+α)+（2 13+β)+（2 13+γ) 本資料從網(wǎng)上收集整理 ==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ 13222 +α2+β2+γ2≥13 ∴a2+b2+c2≥(2)證法一:?同理? 3a?2?3b?32(3a?2)?1?3c?323(a?b?c)?92?63a?2?12,3b?2?,3c?2?3c?2? 3a?2?3b?2?∴原不等式成立.證法二：3a?2?3b?2?33c?2?(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)3 ?3(a?b?c)?63?3 ∴3a?2?3b?2?3c?2≤33＜6 ∴原不等式成立.5.證法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得： 2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ 1212，得x2+y2+(1－x－y)2= 12，整理成關(guān)于y的一元二 =0，∵y∈R，故Δ≥0 12∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤ 23，∴x∈［0，23］ ］ 132+x′，y=2 +y′，z= 13132 +z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′) +x′2+y′2+z′2+222 (x′+y′+z′) 13+x′+y′+z′≥2 +x′+ 132 (y??z?)22= 13+ 2332x′2 23故x′≤19，x′∈［－，13］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］ 12證法三：設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x2＞0，=x2+y2+z2≥ 本資料從網(wǎng)上收集整理 x+2(y?z)22?(1?x)22?x?232x?x?212＞ 12，矛盾.23x、y、z三數(shù)中若有最大者大于x+ 2，不妨設(shè)x＞ 23，則 12=x2+y2+z2≥(y?z)22=x+232(1?x)22=1223232x2－x+ =32x(x－)+12＞；矛盾.］ c?abcby?22故x、y、z∈［0，6.(1)證明:??(?(?bax?baax?x?22b?c22x?a?bc2z?2(xy?yz?zx)accaz?222aby?2xy)?(aby)?(y?2y?bc2bcz?2yz)?(2cax?2zx)2cby?z)?(acz?x)?0b?cc?aba?bcz?2(xy?yz?zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y?zx?z?xy?x?yz)?2(xy?yz?zx)2 2?xyz?[yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)]?2(xy?yz?zx)?(x?y?z)(yz?yz22222222?zx?zx222?xy?xy)2222?2(xy?yz?zx)?4(xyz?xyz?xyz)?yz?yz?zx?zx?xy?xy22333333?2xyz?2xyz?2xyz2222222222?yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)?x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)?0∵上式顯然成立，∴原不等式得證.7.證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m·?·(m－i+1)，AmmiiAmmm?1m?i?1nn?1n?i?1?????,同理?????，immmnnnnn?kn?m?kmi由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，?，i－1，有Annii，所以?Ammii,即mAn?nAm iiii(2)由二項式定理有： 2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+?+Cnm，2mm(1+n)m=1+C1mn+C2mn+?+Cmn，本資料從網(wǎng)上收集整理 ii由(1)知miAi＞niAi(1＜i≤miAmnm，而Cm= i!,Cin?Ani! ∴miCin＞niCim(1＜m＜n) ∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm?1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a 3+b3 =2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a 2b+3ab2 －8=3a2 b+3ab2 －6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3 +b3)］=－3(a+b)(a－b)2 ≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因為2ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a?b??m?，?n?ab因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m 2－4n≥0 因為2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m3?23m 將②代入①得m2－4(m23?23m)≥0，3即?m?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2 －ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33證法四：因為a?b2?(a?b32) 22?4ab?a2?b2?(a?b)[4a?4b?2ab])(a?b)28?3(a?b8≥0，所以對任意非負實數(shù)a、b，有 a3?b32≥(a?b32)3 b3 33因為a＞0，b＞0，a+=2，所以1=a?ba?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略） 證法五：假設(shè)a+b＞2，則 ①② 本資料從網(wǎng)上收集整理 a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因為a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332 233222 歸納法證明不等式 由于lnx>0則x> 1設(shè)f(x)=x-lnxf'(x)=1-1/x>0 則f(x)為增函數(shù)f(x)>f(1)=1 則x>lnx 則可知道等式成立。。。。。(運用的是定理，f(x),g(x)>0.且連續(xù)又f(x)>=g(x).則在相同積分區(qū)間上的積分也是>=) 追問 請問這個“定理”是什么定理? 我是學數(shù)學分析的，書上能找到么? 回答 能你在書里認真找找，不是定理就是推論埃。。 叫做積分不等式性 數(shù)學歸納法不等式的做題思路： 1、n等于最小的滿足條件的值，說明一下這時候成立，一般我們寫顯然成立，無須證明 2、假設(shè)n=k的時候成立，證明n=k+1的時候也是成立的，難度在這一步。(含分母的一般用放縮法，含根號的常用分母有理化。) 3、總結(jié)，結(jié)論成立，一般只要寫顯然成立。這題大于號應(yīng)該為小于號。當n=1,1<2顯然假設(shè)n=k-1的時候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√(k-1)<2√(k-1)則當n=k時，1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k-1)=2(√k-√(k-1)=2/，即只要√(k-1<√k,而這顯然。所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n 已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當n>1時,f(2^n)>n+2/ 2(1)n=2時代入成立 (2)假設(shè)n=a時候成立 則n=a+1時 f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))> f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1)) 后面相同項一共有2^a個 所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2 因為f(2^a)>(a+2)/2故上面大于<(a+1)+2>/2 因此n=a時上式成立的話n=a+1也成立 1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+) “1/2^2”指2的平方分之 1證明：數(shù)學歸納法： 1、∵當n=2時有1/2^2=1/4<1-1/2=1/ 2∴符合原命題。 2、假設(shè)當n=k時1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈N+)成立，則當n=k+1時有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)∴原命題成立 綜上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)成立！。第三篇：不等式證明
第四篇：不等式證明1
第五篇：歸納法證明不等式
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