第一篇：不等式證明練習題
11n??恒成立，則n的最大值是（）a?bb?ca?c
A．2B．3C．4D．6 1．設a?b?c,n?N，且
x2?2x?22． 若x?(??,1)，則函數y?有（）2x?
2A．最小值1B．最大值1C．最大值?1D．最小值?
13．設P?
Q?
R?P,Q,R的大小順序是（）
A．P?Q?RB．P?R?QC．Q?P?RD．Q?R?P
4．設不等的兩個正數a,b滿足a?b?a?b，則a?b的取值范圍是（）
A．(1,??)B．(1,)C．[1,]D．(0,1)
?5．設a,b,c?R，且a?b?c?1，若M?(?1)(?1)(?1)，則必有（）332243431
a1b1c
A．0?M?11B．?M?1C．1?M?8D．M?8 88
6．若a,b?
R?，且a?b,M?
N?M與N的大小關系是A．M?NB．M?NC．M?ND．M?N
1．若logxy??2，則x?y的最小值是（）
33223A．B．C．22
3?2．a,b,c?R，設S?3D．232 abcd???，a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b
則下列判斷中正確的是（）
A．0?S?1B．1?S?2C．2?S?3D．3?S?
43．若x?1，則函數y?x?116x?的最小值為（）xx2?1
A．16B．8C．4D．非上述情況
4．設b?a?0，且P?a?b，M? N?，R?Q?112?ab2
則它們的大小關系是（）
A．P?Q?M?N?RB．Q?P?M?N?R
C．P?M?N?Q?RD．P?Q?M?R?N
二、填空題
1．函數y?3x(x?0)的值域是.2x?x?
12．若a,b,c?R?，且a?b?c?1，則a??的最大值是
3．已知?1?a,b,c?1，比較ab?bc?ca與?1的大小關系為4．若a?
0，則a?1a5．若x,y,z是正數，且滿足xyz(x?y?z)?1，則(x?y)(y?z)的最小值為______。
1．設x?0，則函數y?3?3x?1的最大值是__________。x
2．比較大小：log34______log67
3．若實數x,y,z滿足x?2y?3z?a(a為常數)，則x2?y2?z2的最小值為
4．若a,b,c,d是正數，且滿足a?b?c?d?4，用M表示
a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，則M的最小值為__________。
5．若x?1,y?1,z?1,xyz?10，且xlgx?ylgy?zlgz?10，則x?y?z?_____。
1．若a?b?0，則a?1的最小值是_____________。b(a?b)
abb?ma?n, , , 按由小到大的順序排列為baa?mb?n2．若a?b?0,m?0,n?0，則
223．已知x,y?0，且x?y?1，則x?y的最大值等于_____________。
1111??????，則A與1的大小關系是_____________。210210?1210?2211?1
125．函數f(x)?3x?2(x?0)的最小值為_____________。x4．設A?
三、解答題
1．已知a?b?c?1，求證：a?b?c?
2221 3
．解不等式x?7?3x?4??0
3．求證：a?b?ab?a?b?1
．證明：1)?1
1．如果關于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集，求參數a的取值范圍。
22?...??a?b?c2
?3
3．當n?3,n?N時，求證：2n?2(n?1)
4．已知實數a,b,c滿足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1，求證：1?a?b?
1． 設a,b,c?R?，且a?b?c，求證：a?b?c
2．已知a?b?c?d，求證：
?3．已知a,b,c?R，比較a?b?c與ab?bc?ca的大小。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d
．求函數y?
5．已知x,y,z?R，且x?y?z?8,x?y?z?24
求證：
222444?x?3,?y?3,?z?3 333
第二篇：不等式證明練習題
不等式證明練習題
(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展開，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式，得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z
則原不等式等價于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展開，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式，得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z
則原不等式等價于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.
第三篇：不等式證明
不等式證明
1.比較法：
比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法
（1）作差比較：
①理論依據a-b>0
a>b;a-b=0
a=b;a-b<0
a
⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。
⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證A>B(B>0),只要證
;要證A
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式
2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因導果。常見的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執果索因”：即從求證的不等式出發，探求使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。
基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法
單純地應用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式M 具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數的單調性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換小）某些項；擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有： ⑴添加或舍去一些項，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，如：lg3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k； Ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅢ、12?k11111??(?)；（程度小）2k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如： 已知x2?y2?a2，可設x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設 x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)； x2y2已知2?2?1，可設x?acos?,y?bsin?； abx2y2已知2?2?1，可設x?asec?,y?btan?； ab8、判別式法：判別式法是根據已知或構造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數的根、解集、函數的性質等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。 9、其它方法 最值法：恒成立 恒成立 構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式； 第一章三角形的證明、第二章不等式練習題 一選擇題： 1、如圖1給出下列四組條件： A D ①AB=DE，BC=EF，AC=DF ②AB?DE，?B??E，BC?EF； ③?B??E，BC?EF，?C??F； B E ④AB?DE，AC?DF，?B??E． 圖其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（） A．1組B．2組C．3組D．4組 2、等腰三角形底邊長為7，一腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3，則腰長是 （） A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對 3、如圖2，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點，有以下結論：(1)DE=AC； (2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE其中結論正確的是（） A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4) 4、下列不等式變形正確的是（） A．由a?b，得ac?bcB．由a?b，得?2a??2b C ．由，得?a??bD．由a?b，得a?2?b? 24、設“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現用天平秤兩次，情況 如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質量從大到小排列應為（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■圖圖2 5、已知不等式x?1?0，此不等式的解集在數軸上表示為（） 6、下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形的最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形.其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個 7.如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，如果 cm，cm，那么△的周長是（） A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm 8.等腰三角形的底邊長為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是（） A.32aB.3aC.6a D.2a 9、下列說法中，錯誤．．的是（）A.不等式x?2的正整數解中有一個B.?2是不等式2x?1?0的一個解 C.不等式?3x?9的解集是x??3D.不等式x?10的整數解有無數個 10．如圖4示，一次函數y＝kx＋b（k、b為常數，且k?0）與正比例函數y＝ax（a為常數，且a?0）相交于點P，則不等式kx+b>ax的解集是（） A．x>1B．x<1C．x>2D．x< 2二、填空題 11、等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個等腰三角形的周長是． 12、已知函數y＝3－2x，當x＿＿＿＿＿時，y≤0． 13、如圖5，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.14、如圖6，一次函數y?ax?b的圖象經過A、B兩點，則關于x的不等式ax?b?0的解 集是． 15、△ABC中，AM平分∠，cm，則點M到AB的距離是_________.16、如圖7，已 知的垂直平分線 交于 點，則 .圖5 圖7圖 4圖6 三、解答題 17、解不等式并把解集在數軸上表示出來。3x?2?1?2x??13x?22x ?15?3? 118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常數)的解集是x＜3，求m。 19、如圖⊿ABC中，∠ACB的平分線交AB于E，∠ACB的補角∠ACD的平分線為CG，EG∥BC交AC于F，EF會與FG相等嗎？為什么？ 20、有20名工人，每人每天加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這20名工 人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙種零件．已知每加工甲種零件可獲利16元，每加工乙種零件可獲利24元． （1）寫出此車間每天所獲利潤y（元）與生產甲種零件人數x（人）之間的函數關系 式（用x表示y）． （2）若要使車間每天獲利不少于1800元，問最多派多少人加工甲種零件？ 21、一家小型放映廳的盈利額y（元）同售票數x（張）之間的關系如圖所示，其中保險部門規定：超過150人時，要繳納公安消防保險費50元。試根據關系圖，回答下列問題：（1）當售票數滿足0＜x≤150時，盈利額y（元）與x之間的函數關系式是___________；（2）當售票數滿足150＜x≤200時，盈利額y（元）與x之間的函數關系式是_____________； （3）當售票數x為____________時，不賠不賺；當售票數x滿足_________時，放影廳要賠本；當售出的票數x為____________時，此放映廳能賺錢；（4）當售出的票數x為何值時，此時所獲得利潤比x＝150時多？ 22、某社區活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區居民免費借用．該社區附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動： A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售； B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球． 設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）．請解答下列問題：（1）分別寫出yA、yB與x之間的關系式； （2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？ （3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案． 23、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合． (1)當∠A滿足什么條件時，點D恰為AB的中點?寫出一個你認為適當的條件，并利用此條件證明D為AB的中點； (2)在(1)的條件下，若DE＝1，求△ABC的面積． 3.4基本不等式 重難點：了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題． 考綱要求：①了解基本不等式的證明過程． ②會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題． 經典例題：若a，b，c都是小于1的正數，求證：，不可能同時大于． 當堂練習： 1.若，下列不等式恒成立的是 （） A．2.若 B．且 C． D．，則下列四個數中最大的是 （） Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a 的最大值為 （） Ｃ．的最小值是（） C.D.Ｄ．－1 3.設x>0,則Ａ． 3Ｂ．4.設 A.10 B.5.若x, y是正數，且，則xy有 （） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （）A． B． C． D． 7.若x>0, y>0,且x+y4,則下列不等式中恒成立的是 （） A． B． C． D． 8.a,b是正數，則Ａ． 三個數的大小順序是（） Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9.某產品的產量第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，設這兩年平均增長率為x，則有（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10.下列函數中，最小值為4的是 （）Ａ．Ｃ．11.函數 Ｂ． Ｄ．的最大值為 .12.建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為 元.13.若直角三角形斜邊長是1，則其內切圓半徑的最大值是 .14.若x, y為非零實數，代數式15.已知：的值恒為正，對嗎？答 ., 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 試比較與 的大小，并加以證明.17.已知正數a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;（2）求的最小值.18.設正整數n都成立..證明不等式 對所有的參考答案： 經典例題： 【 解析】 證法一 假設，同時大于，∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，≥，.三個不等式相加得 .，不可能，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同時大于證法二 假設，同時成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即.（*） 又∵ ≤，同理∴≤，≤ ≤，與（*）式矛盾，故當堂練習： 不可能同時大于.1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.; 12.3600; 13.15．; 14.對; 16.【 解析】 ． ∵、，∴ ． 當且僅當＝時，取“＝”號． 當時，有． ∴ ．． 即． 當時，有． 即 17.(1) (2) 18．【 解析】 證明 由于不等式對所有的正整數k成立,把它對k從1到n(n≥1)求和,得到 又因 因此不等式 以及 對所有的正整數n都成立.第四篇：第一章三角形的證明、第二章不等式練習題
第五篇：基本不等式練習題
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