第一篇：函數凹凸性的性質判定及應用（模版）
函數凹凸性的判定性質及應用 曹陽
數學計算機科學學院
摘要：函數的凹凸性在數學研究中具有重要的意義。本文從凸函數的多種定義入手，引出凹凸函數的性質，介紹了凹凸函數的性質及判定定理。在此基礎上，將一元函數的凹凸性進行推廣，推廣到二元函數上，討論了二元函數凹凸性的性質，判定方法及其應用。一元到二元，即增加了一個變量，那么對于ｎ元的情況是否有相似的函數存在呢？本文層層深入，將二元函數進行再次推廣，至ｎ元的情形，給出ｎ元凹凸函數的定義，判定方法及性質。本文主要討論了一元，二元，多元凹凸函數的定義，性質，及判定方法，并介紹了它們應用。
關鍵詞：凹凸性；一元函數；二元函數；多元函數；判別法；應用；
Convex function of Judge Properties and Applications
Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications;
1.引言
凸函數是數學中一類極其重要的函數，它在最優化，運籌與控制理論，模具設計等方面具有重要的理論和實踐意義。凸函數在大學數學中很少具有直接的運用，而導數在函數圖像的凹凸性研究是大學數學中一個重要的知識點，這說明凸性在大學數學，特別是數學分析中的應用沒有得到應有的正視，長期以來，凸函數被熱為只在一些具體學科，如機器人學，模具設計或一些數學分支（如全局優化，運籌學等）中具有重要的運用，而在大學數學中沒有應用。本文將重點探討凸函數在分析學中的一些簡單應用。在本文中，我們首先給出凸函數的多種定義，性質，然后探討二元與多元的情況下凸函數的定義，判定及性質。
2.一元函數凹凸性的判定
2.1 凸函數的多種定義及等價證明 下面先先給出凸函數的13種常見定義。假設I?R，f:I?R.定義2.1.11： f在I內連續ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,則稱f為凸函數。
?x1，x2，x3?Ｉ，定義2.1.21：若 f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x2)x3?x2則稱f為凸函數
定義2.1.31：
１ｆ（ｘ）?ｘ１１????x1，x2，x3?Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２??的行列式?0，則稱f為凸函數
?ｘ１ｆ（ｘ）?３??３定義2.1.41：
?x1，x2?Ｉ，?ｔ?（0，1），則稱f為凸函數 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）?tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（?ｔｘ）?定義2.1.5:?ｔｋ?ｋｋｋｋ?1ｋ?11nnn?ｔｆ（ｘ），則稱f(x)為凸函數
ｋｋｋ?1定義2.1.61：（1.）?ｘ?Ｉ，?ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）?x1，x2，ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇
則稱f(x)為凸函數
?I, 定義2.1.71：若ｆ在Ｉ內存在單增函數?,?ｘ０?x?I,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０?ｘｘ０?（ｔ）dｔ，則稱f為凸函數。
定義2.1.81：
設f在I上連續，?x1，x2?Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）?1ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ?f(x1)?f(x2)2，則稱f為凸函數。定義2.1.91：若ｘ，．．．，xｎ?Ｉ，ｆ（１?ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎ?Ｎ），則稱f為凸函數。
定義2.1.101：若ｆ在Ｉ內可導，?ｘ，ｙ?Ｉ，有ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），則稱f為凸函數。定義2.1.111：若ｆ在Ｉ可導，且ｆ＇（ｘ）單調遞增，則稱f為凸函數。定義2.1.121：ｆ在Ｉ內二次可導，ｆ＇＇（ｘ）?０，則稱f為凸函數。定義2.1.131：ｆ在區間Ｉ上凸函數的充要條件是：函數
為[0,1]上的凸函數，?（?）＝ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２下面給出幾種定義間的相互證明。
定理2.1.11 若ｆ在區間Ｉ上可導，則定義７?定義１０
?Ｉ，?ｘ?Ｉ，有：證明：因為ｆ在Ｉ內存在單增函數?，?ｘ ０（ｔ）dt
（１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝??０ｘ０ｘ故對于?ｙ?Ｉ，不妨設ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝??（ｔ）dt
（２）０ｘ０ｙ（ｘ）將式（１）兩邊關于ｘ求導，得ｆ＇（ｘ）＝?．
（１）－（２），得：
ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝??（ｔ）dｔ－??（ｔ）dｔ＝??（ｔ）dｔ＋??（ｔ）dｔ＝
ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙ?ｘｙ（?）；ｙ＜?＜ｘ
（３）?（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）?（ｔ）（ｙ）??（?），式（２）可化為： 因為?單調遞增，且ｙ＜?，所以?（?）?（ｘ－ｙ）?（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）?＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ）
即ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）
定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上連續，則定義１３?定義８。
（?）證明：因為?＝ｆ（?ｘ＋為?０，１?上的凸函數，故：（１－?）ｘ）１２（?）＝?＝?ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２（??１＋（１－?）?０）（１）＋（１－?）?（０）＝? ｆ（ｘ）＋（１－?）ｆ（ｘ）???１２特別地，當?＝12時，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２
先證不等式的左邊．
?I，ｘ，由實數的性質知在Ｉ上可確定一個閉區間?ｘ，若ｔ??x1，ｘ＜ｘｘ２１２１２?，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，則ｔ關于
ｘ＋ｘ１２２的對稱點是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上連續，所以１２積分存在，所以：?ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝?ｄ?ｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）?ｔ?２?ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１
即ｆ（）?ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下證不等式的右邊． 作變換ｕ＝x２－t（0?ｕ?１），則t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１當t＝x１時，u＝1；t＝x２時，ｕ＝0ｘ２?ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆ?ｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ?（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１?１２?２１??１２?００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２?ｆ（ｔ）ｄｔ即，故?ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?１ｘ－ｘ２１?ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔ?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１
定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可導，則定義８?定義１２。證明 因?x1，x2?Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?１ｘ－ｘ２１?ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔ?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１
令ｘ＝x１＋ｘ２２，則ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）?１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１?；又因為ｆ在Ｉ
ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可導，則ｆ在Ｉ上連續，故由極限的性質可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２?lim，即ｆ＋（ｘ）?ｆ－（ｘ）１２x?ｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limx?ｘ２．
x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二階導數，所以ｆ＇，即?x1，2?Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ），設ｘ為Ｉ上任意固定點，則１２＇＇ｆ（ｘ＋?x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）?０。?x?0?x＇＇定理2.1.41 定義１１?定義2
＇（ｘ）證明
因為ｆ（ｘ）在Ｉ內可導，且ｆ單調遞增，?ｘ，ｘ，ｘ?I, 且１２３?Ｉ，曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在（。可確定兩個區間?ｘ，?ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２?２３?x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切線方程為ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故橫坐標為ｘ的曲線的２２２＇（ｘ）縱坐標與切線縱坐標之差為：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２?Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ內可導，而?ｘ故ｆ（ｘ）在?ｘ內連續，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３?２３?２３上可導，所以ｆ（ｘ）在?ｘ上滿足拉格朗日中值定理，即??１?（ｘ），ｘ，ｘ２３?２３＇ｆ（?１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，當ｘ＝ｘ３時，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（?１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（?１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）?０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在?ｘ，上滿足拉格朗日中值定理，即??２?（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２?１２＇（?２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），當ｘ＝ｘ１時，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（?２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（?２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）?０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），?ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以?ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ?ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函數的多種定義及等價證明 凹函數的13種常見定義。定義2.2.11： f在I內連續ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,則稱f為凹函數。
定義2.2.21：若?x1，x2，x3?Ｉ，定義2.2.31：
f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x2)x3?x2則稱f為凹函數
１ｆ（ｘ）?ｘ１１????x1，x2，x3?Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２??的行列式?0，則稱f為凹函數
?ｘ１ｆ（ｘ）?３??３定義2.2.41?x1，x2?Ｉ，?ｔ?（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）?ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２則稱f為凹函數
定義2.2.5 :?ｔ，ｔ＝１，有ｆ（?ｔｘ）?ｋ?ｋｋｋｋ?1ｋ?11nnn?ｔｆ（ｘ），則稱f為凹函數
ｋｋｋ?1定義2.2.61：
（１。）?ｘ?Ｉ，?ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）（２。）?x1，x2，ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇則稱f為凹函數
?I, 定義2.2.71：若ｆ在Ｉ內存在單減函數?,?ｘ０?x?I,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０?ｘｘ０?（ｔ）dｔ，則稱f為凹函數。
定義2.2.81： 設f在I上連續，?x1，x2?Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）?1ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ?f(x1)?f(x2)2則f為凹函數
定義2.2.91：若ｘ，．．．，xｎ?Ｉ，ｆ（１?ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎ?Ｎ），則稱f為凹函數。
定義2.2.101：若ｆ在Ｉ內可導，?ｘ，ｙ?Ｉ，有ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），則稱f為凹函數。
定義2.2.111：若ｆ在Ｉ可導，且ｆ＇（ｘ）單調遞減，則稱f為凹函數。定義2.2.121：ｆ在Ｉ內二次可導，ｆ＇＇（ｘ）?０，則稱f為凹函數。定義2.2.131：ｆ在區間Ｉ上凹函數的充要條件是：函數。
為[0,1]上的凹函數。?（?）＝ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２幾種定義間的推到證明即可類比與凸函數的情況 2.3 關于凸凹函數性質的總結
上一段為凸（或凹）函數的十三種定義及部分定義間的相互證明，這一段在此基礎上就凸（或凹）函數的性質方面作進一步思考。根據上文所提到的定義，可知
性質2.3.12：當ｆ在Ｉ上一階可導時，由ｆ在Ｉ單增（或減），ｆ（ｘ）（?或?）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇證明：必要性：計算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（?）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇
（ｆ（?）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（?介于ｘ和ｘ之間）０由于ｆ在Ｉ單增（或減），可知上面兩個因子同號，故有
（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（?或?）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：設?x，x０?Ｉ，有f（x）（。當x１，x２?Ｉ，?或?）f而x１＜x２時就有f（x１）（?或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）?（或（x１）（x２－x１）＋f（x１）?）f（x２）（或?）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．兩式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或?）［ｆ２１１２１２?（x１）（?或?）f（x２），可見f即f在I上I上單減（或單增）ｘ＜ｘ?。保玻В再|2.3.22 設ｆ在Ｉ上可導，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）??ｘｘ?Ｉ，ｆ（ｘ）（?或１，２?）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是過＇＇的曲線的切線，由于上面不等式的幾何意義是：下凸（上凹）曲線（ｘ，ｆ（ｘ））１１總在曲線上的任一點的切線之上（下）。
性質2.3.32：當ｆ在Ｉ上二階可導時，則可得 當ｆ在Ｉ上二階可導時，ｆ在Ｉ下凸
＇（x）（?或?）0（或上凹）??x?I，f＇＇（ｘ）證明：必要性：ｆ在Ｉ上二階可導，且下凸（或上凹）ｆ在I上單增（或單減））?ｆ（ｘ）（?或?）0，?x?I ＇充分性：
?ｘｘ?Ｉ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（?）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１?。玻。?）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），據上面的證明中徳充分性，可知已做；額下面１２１１證明鏈的證明：ｆ（ｘ）（?或f在I上單增或單減）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）??）ｆ１２１１＇性質2.3.42：若ｆ在Ｉ上可導，則下述兩個斷語等價：
（１）
＇f（x２）（?或?）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２）
f（x１）＋f（x２））（?或?）22證明：（１）? f（x１＋x２（２）?ｘ令ｘ３＝，ｘ?Ｉ，１２
于是ｆ（ｘ）（?或１?）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝則ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2
ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222兩式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（?或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）過點2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝與的弦為亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１?）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2?ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１?）＝）當令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是兩點橫坐標的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ當此時兩點的橫坐標縮小一半時），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2?（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用數學歸納法易證?）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有?ｎ?Ｎ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2?（ｘ－ｘ２１ｎ或
2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１?）＝，此即ｆ（ｘ）（?或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１?）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇
2.4 一元函數凹凸性判定定理及其應用 定理2.4.11： 設a?x1?x2?b，（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則'f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);（2）若f(x)的圖形在[a,b]上是凹的，則'f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);
證 先證（1）：由于f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 連續，在(a,b)內可導。因為a?x1?x2?b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一點??(x1,x2)?(a,b)，使得f'(?)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)。有由于f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，有f''(x)?0,f'(x)在(a,b)上單調遞減，得到''''f(x1)?f(?)?f(x2)，從而有f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);
同理可證（2）
幾何意義 如圖所示，在弧AB上任取兩點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中a?x1?x2?b，若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的（或凹的），則弦MN的斜率
'（大于）過點N的切線斜率f(x2)，大于（小kMN?[f(x2)?f(x1)/(x2?x1)小于于）過點M的切線斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小總是在過兩端點的切線的斜率之間。
: 定理2.4.22 :設a?x1?x2?x3?b
（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則（2）若f(x)的圖形在[a,b]上是凹的，則
f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1??f(x3)?f(x1)x3?x1f(x3)?f(x1)x3?x1;;
證明 因為f(x)在[a,b]連續，在(a,b)內可導，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一點??(x1,x2)?(a,b)，使得f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1)令g(x)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)則g(x)?'f(x)(x?x1)?[f(x)?f(x1)](x?x1)2'?[f(x)?f(?)](x?x1)(x?x1)2''=
f(x)?f'(?)x?x1',其中x1???x.（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則f''(x)?0，f'(x)在[a,b]上單調遞減，于是f'(x)?f'(?)，從而g'(x)?0，即g(x)在[x1,x]上單調遞減。取x1?x2?x3?x?b則有g(x2)?g(x3)即
f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x1)x3?x1;
同理可證凹函數。
幾何意義 如圖所示，在弧AB上任取3點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中a?x1?x2?x3?b。當f(x)的圖形在[a,b]上是凸的(凹的)時，弦MN的斜率率f(x3)?f(x1)x3?x1f(x2)?f(x1)x2?x1大于(小于)弦MP的斜
（1）函數凹凸性的直觀解題法
以函數y?f(x)在某區間I 上單調增加為例說明我們不難理解,隨著自變量x的穩定增加,當函數y的增量越來越大時,函數圖形是凹的,當函數y 的增 量越來越小時,函數圖形是凸的,當函數y的增量保持不變時,函數圖像是直線.對于減函數我們可以作類似的分析.例題
例１
如圖，液體從一圓錐形漏斗流入正方體容器中，開始時漏斗盛滿液體，經過50 秒漏完!已知正方體容器液面上升的速度是一個常量，H 是圓錐中液面下落的距離,則H 與下落時間t(秒)的函數關系用圖像表示只可能是以下哪一選項?
分析: 不難看出圓錐中液面下落的距離H 隨著時間t 是單調增加的函數, 由于正方體中液面上升的速度是一個常量,所以自變量t 是穩定增加的,因此 液體從漏斗漏出的速度為一常量.又由于圓錐的截面越向下越小,所以隨著時間t的穩定增加,圓錐中液面下降的距離H 的變化將越來越快,H關于t 的函數圖形應是凹的，故正確答案選(B)
??例2： 用凸函數方法證明younger不等式：ｘｙ??ｘ＋?ｙ（ｘ，ｙ，?，?均
＇（ｘ）＝－為正數?＋?＝１）證明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,則ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）為凹函數。從而ｆ（?ｘ＋?ｙ）??ｆ（ｘ）＋?ｆ（ｙ）＝?ｌｎｘ＋?ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ??或
由ｅｌｎ（?ｘ＋?ｙ）?ｌｎ（ｘ＋ｙ）??ｘ的單調增加性：
??ｅ?ｅ即ｘｙ??ｘ＋?ｙ 我們可以推廣至三元甚至n元的情況１２ｎｘｘ．．．．ｘ??１ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，?１，．．．，?ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（?ｘ＋?ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）?????均為正數?１＋．．．＋?ｎ＝１）
＇（ｘ）＝－證明:令ｆ（ｘ）＝lnx,則ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）為凹函數。從而
???１ｆ（?１ｘ＋?２ｘ２＋．．．．＋?ｎｘｎ）??１ｆ（ｘ）＋?２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋?ｎｆ（ｘｎ）＝?１ｌｎｘ＋．．．＋?ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１???ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ）?ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（?１從１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ??１ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，?１，．．．，?ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ????－１1ｘｙ＋例3：證明：對任何正數ｘ，ｙ，當??1時，有ｘ??－１??ｙ?
證明：注意不等式系數之和用凸，凹函數證明。
?－１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系數均為正數，可考慮??＇設ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，則ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０為凹函數，故
??－１1ｘ?－１1ｘｆ（ｙ＋）?ｆ（ｙ）＋ｆ（）?－１?－１??ｙ??ｙ?＝?－１1ｌｎｙ＋［?ｌｎｘ－（?－１）ｌｎｙ］ ??ｌｎ（?－１1ｘｙ＋）??ｙ?－１?＝ｌｎｘ由ｅ的單調增加性知：ｅｘ?ｅｌｎｘ?－１1ｘｙ＋?ｘ 即?－１??ｙ?例4：ｆ（ｘ）為內的凹函數，證明對任意的（ａ，ｂ）有，ｘ?［?，?］，［?，?］?（ａ，ｂ），?Ｌ＞０，ｓ．ｔ．?ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?Ｌｘ－ｘ１２１２證明：由知，存在ｈ＞０，使得[??h，??h]?記［?，?］?（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是對?ｘ，ｘ?［?，?］,若１２?。捎趂(x)為凸函數，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２??，從而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１
若ｘ可取ｘ由于f(x)為凸函數，有?ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２??ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，綜上所述
?ｘ，ｘ?［?，?］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?Ｌｘ－ｘ１２１２１２
(2）應用凹凸性的常規定義證題
對函數凹凸性定義, 不同教材有不同的定義形式,下面給出其中一種定義形式: 設f(x)在區間I 上連續,如果對I 上任意兩點x1,x2都有f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2那么稱f(x)在I 上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如
x1?x22)?f(x1)?f(x2)2n果對I上任意兩點x1,x2都有f(的圖形是(向上)凸的(或凸弧).,那么稱f(x)在I上
1n一般地,看f(x).是區間I上的凹函數,則有.f(?i?1xin)??nf(xi)其中xi是I 內
i?1的任意點(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是區間I 上的凸函數時,則不等號反向).定理設f(x).在,[a.b]上連續,在(a,b)內具有一階和二階導數,如果在(a,b)內.f''(x)?0(或f''(x)?0).那么f(x).在[a.b]上的圖形是凹的（或凸的）（證明全略）
（3）數形結合解題
函數的凹凸性揭示了函數因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結合函數其它性質，可使我們對函數圖形的描繪更加精確。
例1：如圖所示 半徑為r=4的圓c 切直線AB于0 點,線OT從OB出發繞O 點逆時針方向旋轉
到OA!OT 交圓C 于P,記.?PCO 弓形PMO 的面積s=f(x),試判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。
解：由題意可得S?S扇形PMOC?S?POC, S扇形PMOC?12rx?2又因為
12rsinx2
?rcosx2?12rsinx?212?4?x?8x,S?POC?2?2
12?4?sinx?8sinx,x?[0,2?] 2所以，得f''(x)?8x?8sinx.當x?(0,?)時，f''(x)?0;當x?(?,2?)時，f''(x)?0;由函數凹凸性定理可知，f(x)在[0,?]上函數圖形為凹，在[0,2?]上函數圖形為凸。
函數的凹凸性是函數圖形的一個重要特征，了解函數的凹凸性能使函數圖形的描繪更加精確化。在解決函數變化率的過程中或求某些特殊不等式時，用函數凹凸性求解!會顯得更為簡捷。
3.二元函數凹凸性的判定及其應用
3.1 二元函數凹凸的定義
定義3.1.13:設f(x,y)是定義在區域C上的二元函數，且滿足對任意(x1,y1)?C,(x2,y2)?C;?1,?2?0，且?1??2?1，有?1f(x1,y1)??2f(x2,y2)?（或?）f(?1x1??2x2,?1y1??2y2)我們稱f(x,y)在C上為凹（或凸）函數。為了研究方便，設定f(x,y)非常數函數和一次函數。
從定義中看出，為上面定義中等號成立的充分條件而非必要條件。3.2 二元函數凹凸性的判定定理
定理3.2.1
3設f?x,y?在區域D上具有二階連續偏導數，記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fxy(x,y), ''''''則
（1）在D上恒有A<0，且AC?B2?0時，f(x,y)在區域D上是凸函數；（2）在D上恒有A>0, 且AC?B2?0時，f(x,y)在區域D上是凹函數。如果A僅在個別處為零，并不影響函數在該區域的凹凸性.但如果在區域D上恒有A=0時，依據定理1無法判斷f(x,y)在區域D上的凹凸性，定理2可解決這個問題。
定理3.3.23
設f(x,y)在區域D上具有二階連續偏導數，記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fxy(x,y),在''''''D恒有A=0,AC?B2?0時，則當
當C?0時，f(x,y)在區域D上是凹函數。C?0時，f(x,y)在區域D上凸函數；證明
任取(x1,y1)，(x2,y2)?D,設tx1?(1?t)x2?x0,ty1?(1?t)y2?y0,t?(0,1).記x1?x0??x,y1?y2??y,則x2?x0?泰勒
公
tt?1?x,y2?y0?tt?1?y,由二元函數的得
式可tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)?f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)?x?fy'(x0,y0)?y2?0.5[fxx(?1,?1)(?x)?
t(f(x1,y1)?f(x0,y0))?(1?2fxy(?1,?1)?x?y?fyy(?1,?1)(?y)]}?(1?t){fx(x0,y0)?fy(x0,y0)0.5(tt?1'''''2'tt?1?xtt?1''?y?2''''2)[fxx(?2,?2)(?x)?2fxy(?2,?2)?x?y?fyy(?2,?2)(?y)]}
=0.5t{f(?1,?1)(?x)?2f(?1,?1)?x?y?f(?1,?1)(?y)?''xx2''xy''yy2t22(1?t)[fxx(?2,?2)(?x)??1)(?y)]''22
?2fxy(?2,?2)?x?y?fyy(?2,?2)(?y)},其中：''''2?1?x0??1(x1?x0),?1?y0??1(y1?y0),?2?x0??2(x2?x0),?2?y0??2(y2?y0)(o??1,?2?1),顯然
（?1，?1）?D,(?2,?2)?D.2
由A=0及AC?B?0得 B=0，于是tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)? 0.5tf(?1,?1)(?y)?''yy2t22(1?t)fyy(?2,?2)(?y)(t?(0,1)).''2
當c?0時，即f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2),f(x,y)在區域D上是即f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2),f(x,y)在區域D上是
tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?0，tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?0，凸函數。當c?0時，凹函數。
２例1 討論ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性
函數的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?3,fy'(x,y)?2y，于是A?fxx(x,y)?0,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?2,，于是A?O,AC?B?0且''''''2c?0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定義域上是凹函數
定理3.3.33設f(x,y)在開區域內2個偏導數，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且連續 f(x,y)在D內是凸（凹）函數的充要條件是：對于任意(x1,y1),(x2,y2)?D，有f(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)（orf(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)證明
只證明凸
''''函數的情形 充分性
任取
t??0,1?,令x0?tx1?(1?t)x2,y?ty1?(1?t)y2由已知可得
''''，'f(x1,y1)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x1?x0)?fy(x0,y0)(y1?y0)f(x2,y2)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x2?x0)?fy(x0,y0)(y2?y0)'tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)[tx1?(1?t)x2?x0]?fy(x0,y0)[ty1?(1?t)y2?y0]，所以f(x,y)在區域D內是凸函數
必要性 由于f(x,y)在區域D內是凸函數，則對任何t??0,1?,(x1,y1),(x2,y2)?D，都有
tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2),整理得
f(x1,y1)?f(x2,y2)?1t
(f(x2?t(x1?x2),y2?t(y1?y2))?f(x2,y2))
1''22＝{fx(x2,y2)t(x1?x2)?fy(x2,y2)t(y1?y2)?o([t(x1?x2)]?[t(y1?y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)?''o(t(x1?x2)?(y1?y2))t'22
令t?0?，兩邊取極限得
f(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2),f(x1,y1)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)?f(x2,y2)'''即
同理可證凹函數的情形。
3.4 二元凹凸函數的應用（求最大值，最小值）定理3.4.1
5設是在開區域D內具有連續偏導數的凸（或凹）函數，(x0,y0)?D且
則f(x0,y0)必為f(x,y)在D內的最大值與最小值
證明：
只證明凸函數的情形。因為ｆ（ｘ，ｙ）是在開區域D內具有連續偏導數的凸函數，由定理3可知，對于任給（ｘ，ｙ）?Ｄ,有f(x,y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)又f(x0,y0)?0,f(x0,y0)?0, 'x'y''fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0,''
例1：求二元函數f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2的最大值或最小值。解：函數的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?6x?2,fy'(x,y)?6y?2，于是得x?fx(x,y)?0,fy(x,y)?0，''13,y?13，所以f(x,y)在其定義域內最小值為114f(,)?333
同理可證凹函數的情形。
例2 求二元函數f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2在定義域內的最大值或最小值
解函數。的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?6x?2,fy'(x,y)?6y?2，于是
A?fxx(x,y)?6,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?6則A?0,AC?B?0所以''''''2f(x,y)在其定義域內是凹函數，令fx(x,y)?0,fy(x,y)?0，得x?''13,y?13，所以f(x,y)在其定義域內最小值為f(,)?331143
4．多元函數凹凸性的判定
4.1多元函數凹凸性的幾個定義
定義4.1.16 設D是n維空間的一個區域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)?D,p?(x1,x2,...,xn)?D 則
''（1）設fxy 總能分解成fxy??''g(x,y).h(x,y),fxx?g(x,y),fyy?h(x,y)(fxx??g,fyy??h),''''''''則D上是凹（凸）的；
''''（2）設（1）的條件成立并且關于fxx,fyy的兩個不等式中，Q(x1??(x1?x1),x2??(x2?x1),...,xn??(xn?xn))?D,'''f(x,y)在則稱D是凸函數，否則稱D為凹函數。
定義4.1.26 設f(p)是定義在凸函數D上的函數，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意兩點，記p0?(12x11?x222,x21?x22212,...,xn1?xn22).（1）若恒有[f(p1)?f(p2)]?f(p0)([f(p1)?f(p2)]?f(p0)),且等號不恒成立，則稱f在D上是凹（或凸）的)]?f0(p)([1f(p)?2f(p)]0?f(p)),則稱f在D上是嚴（2）若[f(p1)?f(p22211格上的凹（或凸）的。
（3）若[f(p1)?f(p2)]?f(p0)，則稱在D上是線性的，21則稱f在D上是線性的。這兩種定義是等價的
在二元函數中，設D是２維空間的一個區域，若p(x1,x2)?D,p＇?(x1',x2')?D
''則由定義一知（1）設fxy總能分解成
fxy??''g(x,y).h(x,y),fxx?g(x,y),fyy?h(x,y)(fxx??g,fyy??h),''''''''則在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的；
''''（２）設（1）的條件成立并且關于fxx,fyy的兩個不等式中，Q(x1??(x1?x1),x2??(x2?x２))?D,則稱
'D是凸函數，否則稱D為凹函數。
由定義二知
設f(p)是定義在凸函數D上的函數p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意兩點，記p0?(x11?x22212,x21?x222).1（1）若恒有[f(p1)?f(p2)]?f(p0)([f(p1)?f(p2)]?f(p0)),且等號不恒成2立，則稱f在D上是凹（或凸）的)]?f0(p)([1f(p)?2f(p)]0?f(p)),則稱f在D上是嚴（2）若[f(p1)?f(p22211格上的凹（或凸）的。
（3若[f(p1)?f(p2)]?f(p0)，則稱f在D上是線性的。
21例如三元函數f(x,y,z)?xyz就是一個凹函數 4.2多元函數凹凸性的幾個判定定理 定理4.2.18 設f(x,y)是凸區域D上具有二階連續偏導數的二元函數，記''''''2那么，A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fyy(x,y),??B?AC,若C?0且不恒為0，當A?0或C?0，函數f在D上上凹，當A>0或C<0，函數f在D上上凸，若??0當A?0或C?0，函數f在D上是凹的，當A?0或C<0，函數f在D上上凸。證明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)?D,記p0(x0,y0)?(f(p1)?f(p0)?(x1?x0)fx(p0)?(y1?y0)fy(p0)?f(p2)?f(p0)?(x2?x0)fx(p0)?(y2?y0)fy(p0)?''''x1?x222M22,y1?y22),由泰勒公式
M1
則當A?0,C?0時
Mi?(xi?x0)fxx(?i,?i)?2(xi?x0)(yi?y0)fxy(?i,?i)?(yi?y0)fyy(xi,?i)＝＝{[(xi?x0)A?(yi?y0)B]?(yi?y0)(B?AC)}A{[(xi?x0)B?(yi?y0)C]?(xi?x0)(B?AC)}C''2''''2''222222(i?1,2)f(p1)?f(p0)?(x1?x0)fx(p0)?(y1?y0)fy(p0)?M12M2f(p2)?f(p0)?(x2?x0)fx(p0)?(y2?y0)fy(p0)?''2則
f(p1)?f(p2)?2f(p0)?M1?M22
當??0,A?0，C>0,Mi?0,f(p1)?f(p2)?2f(p0),??0,A?0,C?0時，定理得證
利用泰勒公式，我們不難證明
定理4.2.29設f(x,y)是凸函數D上的具連續偏導數的二元函數不同時取，則有f(x,y)在D上是嚴格凹（凸）的。
''''''若fxx?fxy?fyy?0,，則f(x,y)在D上線性的。
定理一和定理顯然不難推廣到一般徳多元函數中去，這里不再敘述。定理4.2.39 設ｆ是凸區域D上的n元函數，nD1?{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)?D, an?1??axii?1i?0,a是任意常數}是D中的任意平面區域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等價于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或線性，但非恒線性的；
（2）ｆ在D上嚴格凹（凸）的等價于ｆ在Ｄ１上是嚴格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是線性的等價于ｆ在D上是線性的。證明：（只證嚴格上凹的情形）設ｆ在D內任何平面區域Ｄ１上均嚴格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)?2f(p0)２因而ｆ在D上嚴格上凹。反之，若ｆ在D上嚴格上凹，顯然在任何Ｄ１上也是嚴格上凹。
在上面的基礎上給出
定義
設n元函數f在n元凸區域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 則稱f在D上是凹凸不平的
定理4.2.110
設ｆ（ｘ，ｙ）是凸區域D上的具有二階連續偏導數的二元函
''''''2數，對?(x,y)?D記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fyy(x,y),??B?AC,則、（1）f在D上是平的?A?B?C;(2)f在D上是凹的???0,A?0,C?0(A,B,C不全恒為0)；（3）f在D上是平的???0,A?0,C?0(A,B,C不全恒為0)；
（4）f在D上是凹凸不平的?P?D,使?(p)?0,或A（或C）在D上值是可正負的。
（注：若?,A,C在D內沒有零點或只有孤立點，則（2）、（3）就成了嚴格上凹凸的情況）
證明：只證（2）與（4）。先證（2）
在D內任取一條線段，不妨記其方程是x?x0或y?kx?b(k是任意實數）易得f在D上上凹?f在線段x?x0上上凹或線性，且在線段y?kx?b上上凹或''''2''''''2''線性但非恒線性?fyy(x0,y)?0，且g(x)?fxx(x,kx?b)?kfxx(x,y)?2kfxy(x,y)?fyy(x,y)?Ak?2BK?C?0（等
''號不恒取)，x?x(x,y)?D,且y?kx?b其中fyy(x0,y)?0（對?(x0,y)?D)?C?0）
對于Ak2?2Bk?C?0(k任意，等號不恒取)，分別有
（1）A?0時，2BK?C?0有，對任意k恒成立，則B?0,C?0。此時''??0,C?g(x)?0
（2）A?0時，4B2?4AC?4??0,即??0,C?0
由（1）與（2）知，g''(x)?0（等號不恒取）???0,A?0且C?0（A,B,C不全恒為0）綜上可得，f在D上上凹???0,A?0且C?0（A,B,C不全恒為0）
再證（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平?f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的?A，B,C不全恒為0，且?p1?D,使?(p1)?0或?p2?D,使A(p2)?0，或?p3?D,使C(p3)?0，同時，?Q1?D,使?(Q1)?0，或?Q2?D使A(Q2)?0或?Q3?D,使 C(Q3)?0 ??p?D,使?(p)?0,或A（或C）在D上可正負。
小 結
函數的凹凸性是解決函數問題經常遇到的，一元，二元，至多元函數的凹凸函數的性質及判定在數學中具有重要的作用。利用函數凹凸性的判定定理對解決函數問題具有很大的幫助。在熟悉函數凹凸性的定義時更要掌握函數凹凸性的幾個重要的判定定理。
參考文獻
[1] 同濟大學數學教研室主編.數學分析[M].北京：高等教育出版社.1982.[2] 華東師范大學數學系編.數學分析[M].北京：高等教育出版社.1988.[3] 李再湘.函數凹凸性的定義[J].數學通報.第三卷.1992(4):43-45.[4] 安振平.凹凸性的判定[J].基礎教育.第四卷.1994(6):43-45.[5] 楊正義.一元函數凹凸性的應用[J].教學研究.第六卷.1997(6):45-47.[6] 郭慧清.多元函數函數凹凸性 [J].甘肅教育.第二卷.1996(12):8-10.[7] 毛曉鋒.函數凹凸性的性質[J].數學通報.第五卷.2001(12):27-29.[8] 萬莉娟.關于函數凹凸性的幾個判別法[J].高師理科學刊,2005,25(1):7-9.[9]高俊宇.函數凹凸性在證不等式中的應用.滄州?？茙煼秾W校 學報,2003,9,19(3).[10]羅志斌,曾華菊.關于函數凹凸性定義的一個注解.贛南師范學 院學報,2005(3).致
謝
本文在選題，修改及其完稿的整個過程中，都是在宋賢梅老師的細心指導下完成的，在寫作的過程中，宋老師嚴格要求，同時又給予鼓勵，引導我正確的寫作思路，傳授我適當的寫作方法,在此對她表示忠心的感謝！
第二篇：凹凸函數的性質
凹凸函數的性質
12文麗瓊 營山中學
四川營山 637700 2營山駱市中學
四川營山
638150
摘要：若函數f(x)為凹函數，則f(x?x112???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n
?xx
若函數f(x)為凸函數，則f(2)?
從而使一些重要不等式的證明更簡明。
中圖分類號：
文獻標識號：
文章編號：
高二數學不等式，教材上只要求學生掌握兩個數的均值不等式，教材上的閱讀材料中，證明了三個數的均值不等式，從而推廣到多個數的情形。學有余力的學生，會去證多個數的情形。仿照書上去證，幾乎不可能。下面介紹凹凸函數的性質，并用來證明之，較簡便易行。
凹函數定義 若函數f(x)上每一點的切線都在函數圖像的下方，則函數f(x)叫做凹函數。如圖
（一）凸函數定義 若函數f(x)上每一點的切線都在函數圖像的上方，則函數f(x)叫做凸函數。如圖
（二）性質定理 若函數f(x)是凹函數，則
f(x1?x2???xnn???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nf(x1)?f(x2)???f(xn)n
若函數f(x)是凸函數，則
?xxf(12)?
證明：若函數f(x)是凹函數，如下圖
?xx點P（12
???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上
設過P點的切線方程為：y=ax+b 則
f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b
（1）
∵f(x)是凹函數，切線在函數圖像下方
∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n???xnn?a?x1?x2???xnn?b
(2)由（1），（2）得
?xxf(12)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n
若函數f(x)為凸函數，如下圖
?xx
點P（12
???xnn?xx,f(12???xnn)）在f(x)上
設過P點的切線方程為：y=ax+b 則
f(x1?x2???xnn)?a?x1?x2???xnn?b
（1）
∵f(x)是凸函數，切線在函數圖像上方
∴f(x1)?ax1?b;f(x2)?ax2?b;…;f(xn)?axn?b ∴f(x1)?f(x2)???f(xn)n?a?x1?x2???xnn?b
(2)由（1），（2）得
?xxf(12???xnn)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n
定理證明過程要結合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高斯不等式。
?xx均值不等式：12???xnn?nx?x12???xn
（x1,x2,?,xn＞0）
證明：∵ y=lgx 是凸函數
∴lg(x1?x2???xnn2)?lg(x1)?lg(x2)???lg(xn)n
?xx
∴lg(1???xnn)?lgnx?x12???xn
即
x?x12???xnn?nx?x12???xn
（x1,x2,?,xn＞0）
高斯不等式：證明：∵ y?x?x1n22???xn?11xx??12???1xn
（x1,x2,?,xn＞0）
1(x>0)是凹函數 x11
2∴
1(x1?x2???xn)／n?xx1???n1xn
即
x1?x2???xnn2?11xx?12???1xn
（x1,x2,?,xn＞0）
以上兩個不等式的證明，非常簡明，下面再舉幾個性質定理應用的例子。例1 A、B、C為三角形三內角，求證sinA+sinB+sinC≤
證明：∵A、B、C為三角形三內角 ∴A+B+C=π
A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0 ∴ 3333 2 ∴sinA?sinB?sinCπ?sin 即 SinA+sinB+sinC≤ 222222n1x?x2???xn)?x?x???x例2 求證(1nn 證明：∵ y?x 為凹函數 x?x2???xn)?x?x???x ∴(1nn?x???x????xxxx12n例3 求證（（k∈N?）)?nn 證明：∵ y?x （k∈N?）為凹函數 2222n12k2k2k22kn12k2x?x2???xn) ∴(1n2k?x2k1?x2???xnn2k2k 通過以上例子，可以看出，關鍵在于找到合適的凹函數或凸函數，再用性質定理，問題可得解決。 應用凹(凸函數的性質證明不等式 435000 湖北省黃石市第二中學 王碧純 不等式的證明是高中數學中的一個重要內容.由于證題方法多、技巧性強,所以是一個難點.本文介紹應用凹(或凸函數的性質證明不等式的方式,希望給讀者以啟迪,并起到拋磚引玉的作用.定義 已知函數y =f(x 在給定區間[a ,b ]上,若x 1,x 2∈[a ,b ]恒有f(x 1+ f(x 2≤2f(x 1+x 2 2(當且僅當x 1=x 2時取等號,則稱f(x 在[a ,b ]上是凸函數;若恒 有f(x 1+f(x 2≥2f(x 1+x 2 2(當且僅當x 1=x 2時取等號,則稱f(x 在[a ,b ]上是凹函數.應用數學歸納法,我們可以證明下面的凹(或凸函數的性質.定理 若函數f(x 在某區間內是凹(或凸函數,則對變數在這區間內的任意值x 1,x 2,x 3,…x n 有以下不等式成立: f(x 1+x 2+…+x n n ≤f(x 1+f(x 2+…+f(x n n , 當且僅當x 1=x 2=…,=x n 時取等號(對于凸函數不等式方向相反.由凹函數的 定義可知y =x 2(x ∈R ,y = 1 x(x >0為凹函數.事實上,任給x 1,x 2∈R ,都有 x 21+x 22≥12(x 21+2x 1x 2+x 2 2=2(x 1+x 22 2 ,∴ y =x 2(x ∈R 是凹函數.對于任意x 1,x 2∈R +, 1x 1 + 1x 2 =x 1+x 2x 1 x 2≥ 2x 1 x 2 x 1 x 1 = 2x 1 x 2 ≥ 2 x 1+x 2 2 , 故 y = 1x , x ∈R +是凹函數.利用定義我們還可以證明 y =sin x , x ∈(0,Π是凸函數.下面我們應用凹(或凸 函數的性質,給出某些不等式的證明.例1 已知Α為銳角,求證: (1+1sin Α(1+1 co s Α ≥3+2 2.證明 ∵ Α為銳角, ∴ sin Α>0, co s Α>0.又 y = 1 x(x ∈R +為凹函數,∴(1+ 1sin Α(1+1 co s Α =1+1sin Αco s Α+1sin Α+ 1 co s Α ≥1+2sin2Α+ 2 sin Α+co s Α 2 =1+2sin2Α+ 4 2sin(Α+ Π 4≥1+2+4 2 =3+2 2.例2 已知A 1,A 2,A 3,…,A n 是凸n 邊形的n 個內角.求證: sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin(n-2Π n.證明 由平面幾何知識可知 A i ∈(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n =(n-2Π.又y =sin x ,x ∈(0,Π 是凸函數.∴ sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin A 1+A 2+…+A n n =n sin(n-2Πn.而已知A、B、C 為△A B C 的內角, 則 sin A +sin B +sin C ≤ 2 是上 述命題中n =3時的特例.例3 已知a +b +c =1,且a、b、c ∈R +,求證:(a +1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2≥102 3.證明(a + 1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2 ≥3[(a + 1a +(b + 1b +(c +1c ]2 =3[(a +b +c +(1a +1b + 1c 3 ]2 ≥3(1 3 +13 3 1 a + b +c 3 2=3×(13+32=102.應用上題方法可以得到下面的結 7 42004年第11期 中學數學 概率小議 ——兼談廣東省2004年高考第13題510631 華南師范大學數學系 孫道椿 1概率的統計定義:記某個隨機事件為A,若在u次彼此無關的試驗(或觀察中出現了v次,則稱F u(A=v u 為隨 機事件A在u次獨立試驗中出現的頻率.事件 A發生的頻率v u 會在某一常數P附近擺動, 且當u越大時,這種擺動幅度越小,則稱常數P為事件A的概率,記為P(A.概率的統計定義是一種最基礎的定義.它說明了事件的概率是客觀存在的.也給出了概率的最原始的求法.從定義可以看出,我們指的隨機現象應具有二個條件: ①不確定性:每次實驗的結果(事件具有多個可能性,且不能確定每次試驗會出現哪種結果.②可重復性:在相同的條件下,試驗可重復進行;或者可以同時進行多次的相同試驗.平常,人們對第一個條件——不確定性映象很深.對第二個條件——可重復性,往往容易忽視.從定義可以看出,概率論是一門實踐性很強的科學.忽視了可重復性,就忽視了它的重要基礎.有些事情:比如美國的總統選舉.雖然選舉前不能確定它的結果,但它不滿足可重復性.所以它不是數學中所指的隨機現象.因此也不存在“概率”的問題,實際生活中也很少有人問它的概率大小.如果有四人預測美國的選舉結果: 甲說“布什有95?的可能當選.” 乙說“布什有50?的可能當選.” 丙說“布什有5?的可能當選.” 丁說“布什肯定不會當選.” 若結果是布什當選了,上面僅有丁一人說錯,若布什沒有當選,上面四人全沒有錯,由于美國的選舉不可重復.實際上,前面三人說的話是不可驗證的,它只是反映了說話人的主觀態度及認識,在概率論中是無意義的.一般的隨機事件,用統計定義求出它的概率,需要做多次實驗(而且還不能找出精確值.為此,對實驗合理的設計,數據的處 論: 當x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1時,則有(x1+1 x12+(x2+1 x2 2+…+(x n+1 x n 2 ≥(n2+12 n.例4 設a、b、c為△A B C的三邊,S是 △A B C的面積.求證: a2+b2+c2≥43S.(第三屆國際中學生競賽題證明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca =ab sin C sin C + bc sin A sin A + ca sin B sin B =2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C.① 又 y=1 x(x>0為凹函數, ∴ 2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C ≥2S3 sin A+sin B+sin C 3 =2S 9 sin A+sin B+sin C.② 即 y=sin x, x∈(0,Π為凸函數, 又 sin A+sin B+sin C ≤3sin A+B+C 3 = 33 2 ,③ 由①②③可得 a2+b2+c2≥2S 9 2 =43S.通過以上幾個不等式的證明,對比常見 的證明方法,顯然利用凹(或凸函數的性質 證明不等式要簡捷得多.同時我們還可以看 到應用函數的凹凸性證明不等式,不僅可以 鞏固有關基礎知識,使得某些復雜問題簡單 化,而且可以培養學生的解題技巧,發展學生 的思維能力.(收稿日期:20040910 84中學數學 2004年第11期 利用函數的凹凸性質證明不等式 內蒙古包頭市第一中學張巧霞 摘要：本文主要利用函數的凹凸性來推導和證明幾個不等式.首先介紹了凹凸函數的定義，描述了判定一個函數具有凹凸性質的充要條件，并且給出了凸函數的一個重要性質——琴生不等式.通過巧妙構造常見的基本初等函數，利用這些函數的凹凸性推導幾個重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德爾不等式，然后再借助這些函數的凹凸性及其推導出來的重要不等式證明一些初等不等式和函數不等式.關鍵詞：凸函數；凹函數；不等式.一． 引言 在數學分析和高等數學中，利用導數來討論函數的性態時，經常會遇到一類特殊的函數——凹凸函數.凹凸函數具有一些特殊的性質，對于某些不等式的證明問題如果靈活地運用函數的凹凸性質就可以簡潔巧妙地得到證明.二． 凹凸函數的定義及判定定理 (1)定義 設f(x)是定義在區間I上的函數，若對于I上的任意兩點x1,x2及實數???0,1?總有 f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2? 則稱f(x)為I上的凸函數（下凸函數）；反之，如果總有不等式 f(?x1??1???x2)??f?x1???1???f?x2? 則稱f(x)為I上的凹函數（上凸函數）.特別地，取??x?x2f?x1??f?x2?1)????.，則有f(1 222 若上述中不等式改為嚴格不等式，則相應的函數稱為嚴格凸函數或嚴格凹函數.（2）判定定理 若函數f(x)在區間 I上是二階可微的，則函數f(x)是凸函數的充要條件是f“(x)?0，函數f(x)是凹函數的沖要條件是f”(x)?0.三．關于凸函數的一個重要不等式——琴生不等式 設f(x)是定義在區間I上的一個凸函數，則對?xi?I,?i?1,2,?,n?,?i?0,?? i?1ni?1有 f(??ixi)???if?xi?.i?1 i?1 nn 特別地，當?i? ?i?1,2,?,n?,有 n f（x1?x2???xnf?x1??f?x2????f?xn?)?.22 琴生不等式是凸函數的一個重要性質，因為每個凸函數都有一個琴生不等式，因此它 在一些不等式的證明中有著廣泛的應用.四． 應用凸函數和琴生不等式證明幾個重要不等式.（1）（調和——幾何——算術平均不等式）設ai?0,?i?1,2,?,n?,則有 n ?n??a??i???n 1??i?1??i?1ain 當且僅當a1?a2???an時，等號成立.證明 設f(x)??lnx,因為f“(x)? ?a i?1 n i n ?0,x??0,???, 2x 所以f(x)是?0,???上的凸函數，那么就有f（??x)???f?x?.ii i i i?1 i?1 nn 現取xi?ai,?i?,?i?1,2,?,n?, n ?n1??n1?n1 則有?ln??ai?????lnai???ln?ain?, ??? ?i?1n?i?1n?i?1??n1??n1? 得ln??ai??ln?ain????,n?i?1??i?1? 由lnx的遞增性可得 n ??1 （1）?a???ii??? i?1n?i?1? 同理，我們取xi? nn ?0，就有 ai ?n11?ln???na i?i?1?n1?1????ln???ai?i?1n? n n ?n ?1????ln?1???i?1an?i?? ?, ??? 即 ???a??i??（2）n 1??i?1??i?1ain n 由（1），（2）兩式可得 ?n? ?a??i???n 1??i?1??i?1ain （2）柯西——赫勒德爾不等式 p 1n ?a i?1 i n ?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1? 其中ai,bi,?i?1,2,?,n?是正數，又p?0,p?1,p與q共軛，即 nnn q ??1.pq 證明 首先構造函數f?x??xp,p?1時，f”?x??0,?x?0? 所以f?x??x是?0,???上的凸函數，則有 p n ?n?p f(??ixi)????ixi????ixi i?1i?1?i?1? n p 令 ?i? pi ?p i?1 n,這里pi?0,?i?1,2,?,n?，i ?n ??pixi 則?i?1 ?n ??pi?i?1 p ??????? p ?px ii?1 n pi ?p i?1 n i n ?n??n?p??即??pixi????pixi???pi??i?1??i?1??i?1? p?1 由題設知 11p ??1，得q?，p?1pq 所以? 1p 1q ? ???p??px?pxp???????iiiii?，?i?1??i?1??i?1? nn p n 1q 現取ai?pixi,bi?pi，?i?1,2,?,n? 則aibi?pixipi 1p 1q ?pixi,pixi?ai，代入上式得 pp ?p??q?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1? 命題得證.在柯西赫勒德爾不等式中，若令p?q?2時，即得到著名的不等式——柯西不等式 nn p n 1q ?2??2?ab?ab??????iiii? i?1?i?1??i?1? nn n ?n2??n2? (?aibi)???ai???bi?i?1?i?1??i?1? n 這里ai,bi,?i?1,2,?,n?為兩組正實數，當且僅當ai?bi時等號成立.五．凸函數及重要不等式在證明初等不等式和函數不等式中的應用.例1.求證在圓的內接n邊形中，以正變形的面積最大.證明 設圓的半徑為r，內接n邊形的面積為S，各邊所對的圓心角分別為?1,?2,?,?n，則 S? r?sin?1?sin?2???sin?n?,因為f“?x???sinx?0，2 所以f?x??sinx是?0,??上的凹函數，由琴生不等式可得 f(? i?1 n ?i)??f??i?.ni?1n n n 即sin ?? i?1 i n ? ??sin i?1 n i n ?sin?i?nsin i?1 2? n 上式只有在?1??2????n時等號才成立，也即正n邊形的面積最大.特別地，若A,B,C為三角形的三個內角時，由上式可得sinA?sinB?sinC? .2x?y 例2 求證對任意的x?0,y?0，下面的不等式xlnx?ylny?(x?y)ln成立.證明 我們根據所要證明的不等式構造相應的函數，令f?t??tlnt,t?0，因f”?t??所以有 ?0.故f?t??tlnt是?0,???上的凸函數，t ?x?y?f?x??f?y?f?,?x,y??0,???, ?? 2?2? 即 x?yx?y1ln??xlnx?ylny?, 222 x?y (x?y)ln??xlnx?ylny?,所以在利用凸函數證明不等式時，關鍵是如何巧妙地構造出能夠解決問題的函數，然后列出琴生不等式就可以簡潔，巧妙地得到證明.nnnn ?n?4444 例3 設ai,bi,ci,di都是正實數，證明??aibicidi???ai?bi?ci?di.i?1i?1i?1i?1?i?1? 分析 本題所要證明的結論看上去接近于柯西不等式，但是這里是4次方的情形，所以想辦 法將其變成標準形式。 ?n??n? 證明??aibicidi?????aibi??cidi?? ?i?1??i?1?? ????aibi? ??i?1 n ??n?2 ????cidi?? ????i?12 n ?n22??22?=??aibi???cidi? ?i?1??i?1? n n n n ?? ?? ? ?ai i?1 ?bi i?1 ?ci i?1 ?di i?1 通過以上例子我們可得出結論，運用柯西不等式的關鍵是對照柯西不等式的標準形式，構造 出兩組適當的數列，然后列出式子.例4 設a,b,c,d都是正實數，且c?d?a?b 證明 首先由均值不等式得 ? ? a3b3 ?1..證明? cd ?a3b3?acb3bda344 ?? ???ac?bd?a???b?c?d?dc? ?a?2ab?b =a2?b2再由柯西不等式得 ?? 2122 ?ac?bd??a?b ??c ?d ?d ? ? ?a?b=a2?b2 ? 122 ?c 322 ?? ?a3b3?22 ??a?b即??cd??? ?? ?a3b3? ???c?d???ac?bd? ?? ?a2?b2 ?? a3b3??1 所以cd 六．總結 由上面的分析我們看到，雖然利用函數的凹凸性來證明不等式有它的局限性，但是往 往是其它方法不可代替的，我們可以充分感受到利用函數的凹凸性解決問題的方便和快捷，豐富了不等式的常規證法，開闊了解題思路.參考文獻 【1】 【2】 【3】 【4】 謝惠民.數學分析習題課講義【M】.高等教育出版社，2003.王仁發.高觀點下的中學數學代數學【M】.高等教育出版社，1999.席博彥.不等式的引論【M】.內蒙古教育出版社，2000.華東師范大學數學系.數學分析【M】.高等教育出版社，1991. 證明設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那么若在(a,b)內f“(x)>0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。 設x1和x2是[a,b]內任意兩點，且x1 對f'(x)在區間[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得 [f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f”(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ 因為f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即 [f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。 f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入 f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等價于f(x)(x2-x1)<=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2) （1） 那個二階條件是充要條件，必要性證明，假設是凹的，（1）式改寫成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1 充分性證明，由于f''(x)>=0,f'(x)單調增（廣義的），這里要用拉格朗日定理了 f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1 顯然與凹定義等價 證畢第三篇：應用凹凸函數的性質證明不等式解讀
第四篇：利用函數凹凸性質證明不等式
第五篇：二階導數與函數凹凸性證明
點擊咨詢 