第一篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界． x?x0

證設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應用局部保號性時，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0

得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當0?x?x0??1時有，2????f?x?(7)當0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數 x?x0x?x0

f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當x?0時有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當a?1時）的嚴格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第二篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2 函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)

當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界．

x?x0

證

設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內有界．

§3.2 函數極限的性質

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應用局部保號性時，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當 0?x?x0??1時有，§3.2 函數極限的性質

????f?x?

(7)

當0?x?x0??2時有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數

x?x0x?x0f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當x?0時有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數極限的性質

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當a?1時）的嚴格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：2函數極限的性質解讀

§2 函數極限的性質

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質。

至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限 證

設與、都是

當

存在，則此極限是唯一的。

時的極限，則對任給的，分別存在正數，使得當

時有

（1）

當 時有

（2）

取，則當時，（1）式與(2)式同時成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若極限 內有界。

存在，則在某空心鄰域證

設。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數

（或證 設有，這就證得結論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設 內有，則

與都存在，且在某鄰域。

（3）

證 設，使得當，時，則對任給的，分別存在正數與

（4）

當

時有

（5）

令，則當

時，不等式

與（4）,（5）式同時成立，于是 有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設==，且在某內有

（6）

則。

證 按假設，對任給的時

（7），分別存在正數

與，使得當當時有

（8）

令，則當

時，不等式（6）、（7）、（8）式同時成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四則運算法則）若極限數，當

與

都存在，則函 時極限也存在，且

1）=

2）=

又若，則當時極限也存在，且有

3）

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給讀者作為練習。利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發計算較復雜的函數極限。

例1求。

解 由第一章§3習題13，當 時有，而，故由迫斂性得

。另一方面，當時有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四則運算法則有

=

例3 求

解 當 時有。故所求極限等于。

例4

證明

證

任給（不妨設），為使

（9）

即，利用對數函數

（當

時）的嚴格增性，只要

于是，令成立，從而證得結論。，則當時，就有（9）式

第四篇：第4講函數極限及性質2009

《數學分析I》第4講教案

第4講函數極限概念及其性質

講授內容

一、x趨于?時函數的極限

例如，對于函數f(x)?

1x，當x無限增大時，函數值無限地接近于0；而對于函數g(x)=arctanx，則

?

2當x趨于+?時函數值無限地接近于．

定義1設f為定義在[a,??)上的函數，A為定數．若對任給的?>0，存在正數M(?a)，使得當x>M時有 |f(x)?A|

則稱函數f當x趨于+?時以A為極限，記作limf(x)?A.x??

定義1的幾何意義如圖3—1所示，對任給的?>0，在坐標平面上平行

于x軸的兩條直線)y?A??與y?A??，圍成以直線y?A為中心線、寬為2?的帶形區域；定義中的“當x>M時有|f(x)?A|??”表示：在直線x?M的右方，曲線y=f(x)全部落在這個帶形區域之內．如果正

數?給得小一點，即當帶形區域更窄一點，那么直線x?M一般要往右平移；但無論帶形區域如何窄，總存在這樣的正數M，使得曲線y?f(x)在直線x?M的右邊部分全部落在這更窄的帶形區域內.limf(x)?A或 f(x)?A(x???)；

x???

limf(x)?A或f(x)?A(x??).x??

這兩種函數極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“x?M”分別改為“x??M或”x?M"．不難證明：若f為定義在U(?)上的函數，則limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A

x??

x???

x???

例1 證明lim

1x

x??

?0

證：任給??0，取??

?，則當：x??時有

?

1x

?0?

1x

?

1?

??，所以lim

1x

x??

?0。

例2證明：（1）limarctanx??

x???,(2)limarctanx?

x???

?

.注：當x??時arctanx不存在極限．

二、x趨于x0時函數的極限

定義2(函數極限的???定義)設函數f在點x0的某個空心鄰域U(x0;?)內有定義，?為定數．若

'

對任給的??0存在正數?(??)，使得當0?x?x0??時有 f(x)????，則稱函數f當x趨于x0。

'

時以?為極限，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)

x?x0

舉例說明如何應用???定義來驗證這種類型的函數極限．特別講清以下各例中?的值是怎樣確定的．

例3設f(x)?

x?4x?

2，證明limf(x)?4.x?2

證：由于當x?2時，f(x)?4?

x?4x?2

?4?x?2?4?x?2，故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時有f(x)?4??，這就證明了limf(x)?

4x?2

例4證明：limsinx?sinx0;limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

證：先建立一個不等式：當0?x?

?

時有sinx?x?tanx(1)?

事實上，在如圖3?2的單位圓內，當0?x?

時，顯然有

S?OCD?S扇形OAD?S?OAB即又當x?

?

sinx?

x?

tanx，由此立得(1)式．

時有sinx?1?x，故對一切x?0都有sinx?x，當x?0時，由sin(?x)??x得?sinx??x綜上，我們得到不等式sinx?x,x?R，其中等號僅當x?0時

x?x0

x?x0

成立．而sinx?sinx0?2cos

sin

?x?x0．

對任給的??0,只要取???，則當0?x?x0??時，就有sinx?sinx0??．

所以limsinx?sinx0.可用類似方法證明limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

例證明lim

x?12x?x?

1x?1

?

3．x?132x?1

證：當x?1時有

x?12x?x?1

?

?

x?12x?1

?

?

若限制x于0?x?1?1（此時x?0）則2x?1?1，于是，對任給的??0只要取??min{3?,1}，則當

x?12x?x?1

0?x?1??時，便有?

?

x?13

??．

例6證明

x?x0

lim?x

?

?x0(x0?1)

證：由于x?1,x0?1 因此?x??x

?

x0?x1?x

??x

?

x?x0x?x0

?x

?

2x?x0?x

于是，對任給的??0（不妨設0???1）取 ??

?x02

?，則當0?x?x0??時，就有1?x??x0??．

關于函數極限的???定義的幾點說明：

（1）定義2中的正數?，相當于數列極限???定義中的?，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定．一

??

般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小些也無妨．如在例3中可取??或??等等．

（2）定義中只要求函數f在x0的某一空心鄰域內有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數值是否有定義，或者取什么值．這是因為，對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢．如在例3中，函數f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時f的函數值趨于一個定數．

（3）定義2中的不等式0?x?x0??等價于x?U

?x0;??,，而不等式

f?x?????等價于

f?x??U??;??．

下面我們討論單側極限．

?x2,x?0

例如，函數 f?x???(I)

?x,x?0

當x?0而趨于0時，應按f?x??x2來考察函數值的變化趨勢；當x?0而趨于0時，則應按f?x??x.定義3設函數f在U??x0;?

'

??或U?x

0?

;?

'

??內有定義，?為定數．若對任給的?

?0，存在正數

????

'

?，使得當x

?x?x0??,?

?

x0???x?x0?時有f?x?????

則稱數?為函數f當x趨于x0(或x0)時的右(左)極限，記作

?

limf?x????limf?x????或f?x????x?x0?f?x???x?x0

x?x0

?

???

?x?x0

?

??

?

??

右極限與左極限統稱為單側極限．f在點x0的右極限與左極限又分別記為f?x0?0??limf?x?與f?x0?0??limf?x?

x?x0

?

?

x?x0

按定義3容易驗證函數(I)在x?0處的左、右極限分別為f?0?0??limf?x??limx?0，f?0?0??lim

x?0

?

x?0

?

f?x??lim?x

?

?0

x?0

x?0

同樣還可驗證符號函數sgnx在x?0處的左、右極限分別為limsgnx?lim??1???1,limsgnx?lim1?

1x?0

?

x?0

?

x?0

?

x?0

?

定理3.1limf?x????limf?x??limf?x???

x?x0

x?x0

?

x?x0

?

三、函數極限的性質

定理3.2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證：設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得： 當0?x?x0??1時有f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有f?x?????，(2)取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U

x?x0

?x0?內有界．

證：設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U

x?x0

?x0;??有

?x0;??內有界．

f?x????1?f?x????1，這就證明了f在U

定理3.4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或r???)，存在x?x0

U

?x0?，使得對一切x?U0?x0?有 f?x??

r?0（或f?x???r?0）

證：設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切x?Uf?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

?x0;??

注：在以后應用局部保號性時，常取r?

A2

．

定理3.5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U

x?x0

x?x0

?x

;?

'

?內有f?x??g?x?則

x?x0

limf?x??limg?x?

x?x0

證：設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使得當0?x?x0??1

x?x0

x?x0

時有????f?x?，當0?x?x0??2 時有g?x?????，令??min??,?1,?2?，則當0?x?x0??時，有????f?x??g?x?????，'

從而????2?．由?的任意性推出???，即limf?x??limg?x?成立．

x?x0

x?x0

第五篇：函數極限的性質證明

函數極限的性質證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數列下標可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當0

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數列n*a^n，其極限為0

用數列極限的定義證明

3.根據數列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以后會學的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0