第一篇：2 函數(shù)極限的性質(zhì)（小編推薦）

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限

證設(shè)與、都是當(dāng) 存在，則此極限是唯一的。時(shí)的極限，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

（1）

當(dāng)

時(shí)有

（2）取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與(2)式同時(shí)成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。

定理3.3（局部有界性）若極限

內(nèi)有界。存在，則在某空心鄰域

證設(shè)

。取，則存在，使得對(duì)一切。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號(hào)性）若（或），存在，使得對(duì)一切

有

（或），則對(duì)任何正數(shù)

（或

證 設(shè)

有，這就證得結(jié)論。對(duì)于，對(duì)任何，取，則存在）。，使得對(duì)一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè)

內(nèi)有，則

與

都存在，且在某鄰域

。（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)，時(shí)，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時(shí)有

（5）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式

與（4）,（5）式同時(shí)成立，于是

有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）

定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則。

證 按假設(shè)，對(duì)任給的，分別存在正數(shù)

與，使得當(dāng)

時(shí)

（7）

當(dāng)

時(shí)有

（8）

令

式同時(shí)成立，故有，則當(dāng)

時(shí)，不等式（6）、（7）、（8），由此得，所以。

定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限，當(dāng)

與

都存在，則函數(shù)

時(shí)極限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有）

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章§3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有，而，故由迫斂性得。

另一方面，當(dāng)時(shí)有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解由

及§1例4所得的并按四則運(yùn)算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時(shí)有。

故所求極限等于。

例4證明證任給

（不妨設(shè)），為使

（9）

即，利用對(duì)數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令

成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界．

x?x0

證

設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對(duì)一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3．4(局部保號(hào)性)若limf?x????0(或?0)，則對(duì)任何正數(shù)r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對(duì)一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設(shè)??0，對(duì)任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對(duì)一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對(duì)于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設(shè)

limf?x?=?，limg?x?=?，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設(shè)，對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng) 0?x?x0??1時(shí)有，§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

????f?x?

(7)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù)

x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運(yùn)算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對(duì)數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、保不等式性，迫斂性定理并會(huì)利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會(huì)利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對(duì)一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號(hào)性)若limf?x????0(或?0)，則對(duì)任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對(duì)一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對(duì)任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對(duì)一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對(duì)于??0的情形可類似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有，2????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運(yùn)算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對(duì)數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：2函數(shù)極限的性質(zhì)解讀

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限 證

設(shè)與、都是

當(dāng)

存在，則此極限是唯一的。

時(shí)的極限，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

（1）

當(dāng) 時(shí)有

（2）

取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與(2)式同時(shí)成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若極限 內(nèi)有界。

存在，則在某空心鄰域證

設(shè)。取，則存在，使得對(duì)一切。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號(hào)性）若（或），存在，使得對(duì)一切

有

（或），則對(duì)任何正數(shù)

（或證 設(shè)有，這就證得結(jié)論。對(duì)于，對(duì)任何，取，則存在）。，使得對(duì)一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè) 內(nèi)有，則

與都存在，且在某鄰域。

（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)，時(shí)，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時(shí)有

（5）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式

與（4）,（5）式同時(shí)成立，于是 有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則。

證 按假設(shè)，對(duì)任給的時(shí)

（7），分別存在正數(shù)

與，使得當(dāng)當(dāng)時(shí)有

（8）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式（6）、（7）、（8）式同時(shí)成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限數(shù)，當(dāng)

與

都存在，則函 時(shí)極限也存在，且

1）=

2）=

又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有

3）

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡(jiǎn)單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章§3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有，而，故由迫斂性得

。另一方面，當(dāng)時(shí)有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四則運(yùn)算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時(shí)有。故所求極限等于。

例4

證明

證

任給（不妨設(shè)），為使

（9）

即，利用對(duì)數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式

第五篇：第4講函數(shù)極限及性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第4講教案

第4講函數(shù)極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、x趨于?時(shí)函數(shù)的極限

例如，對(duì)于函數(shù)f(x)?

1x，當(dāng)x無限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近于0；而對(duì)于函數(shù)g(x)=arctanx，則

?

2當(dāng)x趨于+?時(shí)函數(shù)值無限地接近于．

定義1設(shè)f為定義在[a,??)上的函數(shù)，A為定數(shù)．若對(duì)任給的?>0，存在正數(shù)M(?a)，使得當(dāng)x>M時(shí)有 |f(x)?A|

則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+?時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A.x??

定義1的幾何意義如圖3—1所示，對(duì)任給的?>0，在坐標(biāo)平面上平行

于x軸的兩條直線)y?A??與y?A??，圍成以直線y?A為中心線、寬為2?的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)x>M時(shí)有|f(x)?A|??”表示：在直線x?M的右方，曲線y=f(x)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)．如果正

數(shù)?給得小一點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線x?M一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)M，使得曲線y?f(x)在直線x?M的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi).limf(x)?A或 f(x)?A(x???)；

x???

limf(x)?A或f(x)?A(x??).x??

這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“x?M”分別改為“x??M或”x?M"．不難證明：若f為定義在U(?)上的函數(shù)，則limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A

x??

x???

x???

例1 證明lim

1x

x??

?0

證：任給??0，取??

?，則當(dāng)：x??時(shí)有

?

1x

?0?

1x

?

1?

??，所以lim

1x

x??

?0。

例2證明：（1）limarctanx??

x???,(2)limarctanx?

x???

?

.注：當(dāng)x??時(shí)arctanx不存在極限．

二、x趨于x0時(shí)函數(shù)的極限

定義2(函數(shù)極限的???定義)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U(x0;?)內(nèi)有定義，?為定數(shù)．若

'

對(duì)任給的??0存在正數(shù)?(??)，使得當(dāng)0?x?x0??時(shí)有 f(x)????，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0。

'

時(shí)以?為極限，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)

x?x0

舉例說明如何應(yīng)用???定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限．特別講清以下各例中?的值是怎樣確定的．

例3設(shè)f(x)?

x?4x?

2，證明limf(x)?4.x?2

證：由于當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?4?

x?4x?2

?4?x?2?4?x?2，故對(duì)給定的??0，只要取???，則當(dāng)0?x?2??時(shí)有f(x)?4??，這就證明了limf(x)?

4x?2

例4證明：limsinx?sinx0;limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

證：先建立一個(gè)不等式：當(dāng)0?x?

?

時(shí)有sinx?x?tanx(1)?

事實(shí)上，在如圖3?2的單位圓內(nèi)，當(dāng)0?x?

時(shí)，顯然有

S?OCD?S扇形OAD?S?OAB即又當(dāng)x?

?

sinx?

x?

tanx，由此立得(1)式．

時(shí)有sinx?1?x，故對(duì)一切x?0都有sinx?x，當(dāng)x?0時(shí)，由sin(?x)??x得?sinx??x綜上，我們得到不等式sinx?x,x?R，其中等號(hào)僅當(dāng)x?0時(shí)

x?x0

x?x0

成立．而sinx?sinx0?2cos

sin

?x?x0．

對(duì)任給的??0,只要取???，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，就有sinx?sinx0??．

所以limsinx?sinx0.可用類似方法證明limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

例證明lim

x?12x?x?

1x?1

?

3．x?132x?1

證：當(dāng)x?1時(shí)有

x?12x?x?1

?

?

x?12x?1

?

?

若限制x于0?x?1?1（此時(shí)x?0）則2x?1?1，于是，對(duì)任給的??0只要取??min{3?,1}，則當(dāng)

x?12x?x?1

0?x?1??時(shí)，便有?

?

x?13

??．

例6證明

x?x0

lim?x

?

?x0(x0?1)

證：由于x?1,x0?1 因此?x??x

?

x0?x1?x

??x

?

x?x0x?x0

?x

?

2x?x0?x

于是，對(duì)任給的??0（不妨設(shè)0???1）取 ??

?x02

?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，就有1?x??x0??．

關(guān)于函數(shù)極限的???定義的幾點(diǎn)說明：

（1）定義2中的正數(shù)?，相當(dāng)于數(shù)列極限???定義中的?，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定．一

??

般來說，?愈小，?也相應(yīng)地要小一些，而且把?取得更小些也無妨．如在例3中可取??或??等等．

（2）定義中只要求函數(shù)f在x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值．這是因?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)．如在例3中，函數(shù)f在點(diǎn)x?2是沒有定義的，但當(dāng)x?2時(shí)f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)．

（3）定義2中的不等式0?x?x0??等價(jià)于x?U

?x0;??,，而不等式

f?x?????等價(jià)于

f?x??U??;??．

下面我們討論單側(cè)極限．

?x2,x?0

例如，函數(shù) f?x???(I)

?x,x?0

當(dāng)x?0而趨于0時(shí)，應(yīng)按f?x??x2來考察函數(shù)值的變化趨勢(shì)；當(dāng)x?0而趨于0時(shí)，則應(yīng)按f?x??x.定義3設(shè)函數(shù)f在U??x0;?

'

??或U?x

0?

;?

'

??內(nèi)有定義，?為定數(shù)．若對(duì)任給的?

?0，存在正數(shù)

????

'

?，使得當(dāng)x

?x?x0??,?

?

x0???x?x0?時(shí)有f?x?????

則稱數(shù)?為函數(shù)f當(dāng)x趨于x0(或x0)時(shí)的右(左)極限，記作

?

limf?x????limf?x????或f?x????x?x0?f?x???x?x0

x?x0

?

???

?x?x0

?

??

?

??

右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限．f在點(diǎn)x0的右極限與左極限又分別記為f?x0?0??limf?x?與f?x0?0??limf?x?

x?x0

?

?

x?x0

按定義3容易驗(yàn)證函數(shù)(I)在x?0處的左、右極限分別為f?0?0??limf?x??limx?0，f?0?0??lim

x?0

?

x?0

?

f?x??lim?x

?

?0

x?0

x?0

同樣還可驗(yàn)證符號(hào)函數(shù)sgnx在x?0處的左、右極限分別為limsgnx?lim??1???1,limsgnx?lim1?

1x?0

?

x?0

?

x?0

?

x?0

?

定理3.1limf?x????limf?x??limf?x???

x?x0

x?x0

?

x?x0

?

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3.2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證：設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得： 當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有f?x?????，(2)取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U

x?x0

?x0?內(nèi)有界．

證：設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對(duì)一切x?U

x?x0

?x0;??有

?x0;??內(nèi)有界．

f?x????1?f?x????1，這就證明了f在U

定理3.4(局部保號(hào)性)若limf?x????0(或?0)，則對(duì)任何正數(shù)r??（或r???)，存在x?x0

U

?x0?，使得對(duì)一切x?U0?x0?有 f?x??

r?0（或f?x???r?0）

證：設(shè)??0，對(duì)任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對(duì)一切x?Uf?x??????r，這就證得結(jié)論．對(duì)于??0的情形可類似地證明．

?x0;??

注：在以后應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，常取r?

A2

．

定理3.5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U

x?x0

x?x0

?x

;?

'

?內(nèi)有f?x??g?x?則

x?x0

limf?x??limg?x?

x?x0

證：設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對(duì)任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使得當(dāng)0?x?x0??1

x?x0

x?x0

時(shí)有????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有g(shù)?x?????，令??min??,?1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有????f?x??g?x?????，'

從而????2?．由?的任意性推出???，即limf?x??limg?x?成立．

x?x0

x?x0