第一篇：求函數值域的方法

求函數值域的求法：

①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；

⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

第二篇：求函數的值域的常見方法

求函數的值域的常見方法

王遠征

深圳市蛇口學校

求函數的值域是高中數學的重點學習內容，其方法靈活多樣，針對不同的問題情景，要求解題者，選擇合適的方法，切忌思維刻板。本文就已知解析式求函數的值域，這類問題介紹幾種常用的方法。

一、直接法

函數值的集合叫做函數的值域，根據定義，由函數的映射法則和定義域，直接求出函數的值域。

例1． 已知函數y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數的值域。

2解：因為x???1,0,1,2?，而f??1??f?3??3，f?0??f?2??0，f?1???1 所以：y???1,0,3?，注意：求函數的值域時，不能忽視定義域，如果該例的定義域為x?R，則函數的值域為?y|y??1?。請體會兩者的區別。

二、反函數法

反函數的定義域就是原函數的值域，利用反函數與原函數的關系，求原函數的值域。例2． 求函數y?1?

x5的值域。2x?1x分析與解：注意到2?0，由原函數求出用y表示2的關系式，進而求出值域。由y?1?

x5x2?，得：x2?1因為2?0，所以y?4?0??4?y?1，1?y

值域為：?y|?4?y?1?

三、函數的單調性

例3．求函數y?x?1在區間x??0,???上的值域。x

分析與解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，則

f?x1??f?x2??

?x1?x2??x1x2?1?，因為0?x

x1x

2?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，當1?x1?x2時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；

當0?x1?x2?1時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；而當x?1時，ymin?2 于是：函數y?x?

在區間x??0,???上的值域為[2,??)。x

構造相關函數，利用函數的單調性求值域。例4：求函數f?x???x??x的值域。

?1?x?0

分析與解答：因為???1?x?1，而?x與?x在定義域內的單調性

1?x?0?

不一致。現構造相關函數g?x???x??x，易知g(x)在定義域內單調增。

gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x?2，0?g2?x??2，又f

?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。

四、換元法

對于解析式中含有根式或者函數解析式較復雜的這類函數，可以考慮通過換元的方法將

原函數轉化為簡單的熟悉的基本函數。當根式里是一次式時，用代數換元；當根式里是二次式時，用三角換元。

例5．求函數y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。

95?9?

分析與解答：令t?x2?5x?4??x???，則t??。

42?4?

y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，91?1??9?

當t??時，ymin????4??5?8，值域為?y|y?8?

416?16??4?

例6．求函數y?x?2?x的值域。

分析與解答：令t??x，則x?1?t，t?0，y?1?t2?2t???t?1??

2當t?0時，tmax?1?02?2?0?1 所以值域為(??,1]。

例7．求函數y?x?x?x2?23的值域。分析與解答：由y?x?x?x2?23=x?令x?5?

2?x?5，2cos?，因為2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，則2?x?5=2sin?，于是：y?

??5????

2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，4444??

?

2???

?sin?????1，所以：5?2?y?7。24??

五、配方法

對解析式配方，然后求函數的值域。此法適用于形如F?x??a?f當要注意f?x?的值域。

例8．求函數y?

?x??b?f?x??c，?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：因為?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?

0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

1x2?2x?

4例9．求函數y?在區間x?[,4]的值域。

4x

?42?x2?2x?4

x???6，分析與解答：由y?配方得：y?x??2????xxx??14

1?x?2時，函數y?x??2是單調減函數，所以6?y?18； 4x4

當2?x?4時，函數y?x??2是單調增函數，所以6?y?7。

x

所以函數在區間x?[,4]的值域是6?y?18。

當

六、判別式法

把函數y?f?x?同解變形為關于的一元二次方程，利用??0，求原函數的值域，此方法適用與解析式中含有分式和根式。

2x2?2x?

3例10．求函數y?的值域。

2x?x?

11?3?

分析與解答：因為x?x?1??x????0，原函數變形為：

2?4?

?y?2?x2??y?2?x??y?3??0（1）

當y?2時，求得y?3，所以y?2。

當y?2時，因為x?R，所以一元二次方程（1）有實數根。則：

??0，即：?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?

所以2?y?

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式a?b?2ab，a,b?R?求出函數的最值而得出值域的方法。此法的題形特征是：當解析式是和式時，要求積是定值；當解析式是積式時，要求和是定值；為此解答時，常需要對解析式進行恒等變形，具體講要根據問題本身的特點進行拆項、添項；平方等恒等變形。

??

?x2?30x

例11．求函數y?的值域。

x?

2?x2?30x646

4??x?32??34?[?x?2??] 分析與解答：y?

x?2x?2x?2

因為分母不為0，即x??2，所以： 當x??2時，?x?2??取等號，ymax?18； 當x??2時，??x?2??(?當且僅當?(x?2)??

?2x?2

?x?2?

6464,x?6時，?16，當且僅當x?2?

x?2x?2

6464)?2??x?2?(?)?16，x?2x?2

64,x??6時，取等號，ymin?50； x?2

值域y?(??,18]?[50,??)

注意：利用重要不等式時，要求f?x??0,且等號要成立。

八、數形結合法

當函數解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例12．如例4求函數y??x??x的值域。

分析與解答：令u??x，v??x，則u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，22

原問題轉化為 ：當直線u?v?y與圓u?v?2在直角坐標系uov的第一象限有公

共點時，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當u?v?y經過點(0,2)時，ymin?當直線與圓相切時，ymax?OD?所以：值域為2?y?2

2；

2OC?

2?

?2。

九．利用函數的有界性：形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。

2x?1

例．求函數y?x的值域

2?1

[解析]：函數的有界性

2x?1y?1由y?x得2x?

y?12?1

?22?0,?

y?1

?0?y?1或y??1 y?1

第三篇：高一函數整理求值域的方法

一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函數的知域為.點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域 例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函

數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。練習：求函數y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一個長為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對于形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],由對數函數的定義知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。以下供練習選用：求下列函數的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

已知函數F(X)=lg(X^2-mx+3)(m為實數)

(1)函數F(X)的定義域與值域能否同時為實數集R?證明你的結論.(2)是否存在實數M,使函數發F(X)的定義域和值域同時為<1,正無窮),若存在,請求出M值,若不存在,說明理由!

類似上面一題的函數F(X)= lg(ax^2+2x+1)

(1)若F(X)的定義域為R,求實數a的取值范圍

(2)若F(X)的值域為R,求實數a的取值范圍

函數Y=-log以2為底(x^2-ax-a)在區間(負無窮,-1/2)上是增函數的充要條件.

第四篇：求函數的值域常見類型

求值域的幾種常用方法

（1）觀察法、直接法、配方法、換元法：

對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數y??sin2x?2cosx?4，可變為y??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解決

（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數y?log1(?x2?2x?3)就是利用函數y?log1u和u??x2?2x?3的值域來求。

（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數y?2x?13?3?的值域[,] x2?2x?222

（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數y?

（5）利用基本不等式求值域：如求函數y?3x的值域 x2?42cosx?3的值域，因為 cosx?1

（6）利用函數的單調性求求值域：如求函數y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域

（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域

（8）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函數，m<0就是單調函數了 x

4三種模型：（1）如y?x?，求（1）單調區間（2）x的范圍[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0)?(0,4],求值x（9）對勾函數法 像y=x+

域

（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域（2）單調遞增區間（x?0或x?4）x?4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求單調遞增區間 x?3（3）如y?2x?

例1．

1、已知函數f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,當x∈[t,t+1]時，求函數的最大值和最小值。

例2． 設函數f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若對于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，則實數a的值為

x2?2x?a例

3、已知函數f(x)? ,x?[1,??).若對任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,試求實數a的取值范圍。x

第五篇：分式型函數求值域的方法探討

分式型函數求值域的方法探討

在教學中，筆者常常遇到一類函數求值域問題，此類函數是以分式函數形式出現，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，現在對這類問題進行探討。ax?b(a?o,b?0)（一次式比一次式）在定義域內求值域。cx?d

2x?12例1：求f(x)?（x??)的值域。3x?2

3241112(x?)?12223?3解：f(x)?=????0,??? 23x?233x?23x?233x?233(x?)3

一、形如f(x)?

2??其值域為?y/y?? 3?

一般性結論，f(x)?ax?bd(a?o,b?0)如果定義域為?x/x??cx?dc?,則值域

a??y/y?? c?

例2：求f(x)?2x?1，x??1,2?的值域。3x?

2分析：由于此類函數圖像可以經過反比列函數圖像平移得出，所以解決在給定區間內的值域問題，我們可以畫出函數圖像，求出其值域。

12x?1222解：f(x)?=?，是由y??向左平移，向上平移得出，通過圖3x?233x?233x

像觀察，其值域為?,? ?35?

?58?

小結：函數關系式是一次式比一次式的時候，我們發現在此類函數的實質是反比例函數通過平時得出的，因此我們可以作出其圖像，去求函數的值域。a（a?0)的值域。x

分析：此類函數中，當a?0，函數為單調函數，較簡單，在此我們不做討論，當a?0時，a'對函數求導，f(x)?1?2,f'(x)?0時，x?(??,a)?a,??），f'(x)?0時，x

二、形如求f(x)?x?

x?(?a,0)?(0,a)，根據函數單調性，我們可以做出此類函數的大致圖像，其我們常

其圖像

4,(x?(1,4)上的值域。x

2解：將函數整理成f(x)?2(x?)，根據雙鉤函數的性質，我們可以判斷此函數在(0,2)x例3：求f(x)?2x?

單調遞減，在(2,??)上遞增，其在2處取最小值，比較1，4出的函數值，我們可以知道在1處取的最大值，所以其值域為42,6 ??

mx?nax2?bx?c

三、用雙鉤函數解決形如f(x)?（m?0,a?0），f(x)?ax2?bx?cmx?n

（m?0,a?0）在定義內求值域的問題。

t2?4t?1例3：（2010重慶文數）已知t?0，則則函數y?的最小值為_______.t

t2?4t?11?t??4，?t?o?由基本不等式地y??2 解：y?tt

例4:求f(x)?x?1(x?1)的值域。2x?x?

2解：令x?1?t,則x?t?1,則f(x)?t1t?=，(t?1)2?(t?1)?2t2?3t?4t?4?3t7其中t?0.則由基本不等式得f(x)?

4x2?2x?21(x??)的值域。例5:求f(x)?2x?12

t?1?t?1?4?)?22??2(t?12t?t?222??解：令t?2x?1,則x?，f(x)?==t??1 2ttt，其中t?0，由基本式得f(x)?22?

1小結：對于此類問題，我們一般換元整理后，將函數變成f(x)?x?2a(a?0)這類型的函x

數，解決此類函數注意應用基本不等式，當基本不等式不行的時候，注意應用雙勾函數的思想去解決此類問題 ax2?bx?c(a?0,m?0)在定義域內求值域。

三、形如f(x)?2mx?bx?c

2x2?x?1例5：求y?2的值域。x?x?1

分析：當定義域為R時，我們采用判別式法求此類函數的值域。當定義域不為R時，不應采用此法，否則有可能出錯。此時，我們要根據函數關系的特征，采用其他方法。

解：x?x?1?0恒恒成立，所以此函數的定義域為x?R，將函數整理成關于x的方程，2

yx2?yx?y?2x2?x?1，(y?2)x2?(y?1)x?(y?1)?0,當y?2?0,關于x的方程

2恒有解，則??(y?1)?4(y?2)(y?1)?0,即1?y?7，顯然，y?2也成立，所以其3

值域為?y/1?y?7

3?

以上是求此類函數的常見方法，但同學們在解題過程中。不要拘泥以上方法，我們要根據具體函數的特征采用相對應的方法，多思考，舉一反三，那以后解決此類問題就很容易了。3