第一篇：《函數定義域、值域》研討案

本溪縣高級中學數學科“三學三動立體循環”教學模式 復習課 《 函數的定義域、值域 》 研討案

課題 函數的定義域、值域 設計教師 張石柱 授課教師

時間 1 2011 年 年 8 8 月 月 0 10 日

第2

周課型

復習課 課時 1/2

教 學 目 標

一、知識和能力 1、掌握整式，分式，根式，指對數及抽象函數定義域求法 2、掌握整式，分式，根式，指對數及抽象函數值域求法； 3、定義域為 R 和恒成立問題的轉化； 4、定義域和值域的綜合問題 二、過程和方法

通過自主探究、小組合作、質疑、討論、展示、變式練習等學習活動完成學習任務。

三、情感態度和價值觀

通過學習活動增強學生的合作意識，體驗學習的樂趣，樹立自信，培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神。

重點

難點 重點：掌握定義域的求法 難點：掌握求值域的 12 種方法。

教

法

自主探究、小組合作、討論、展示、師生共研等 教

具

多媒體課件、三角板

教

學

過

程

設

計

教

材

處

理

師生活動 一、課前檢測（5～10 分鐘）

1．(2010·湖北)函數 y＝1log 0.5 ?4x－3? 的定義域為（）A.????34，1

B.????34，＋∞ C．(1，＋∞)

D.????34，1 ∪(1，＋∞)2 若函數 f(x)＝x－4mx 2 ＋4mx＋3 的定義域為 R，則實數 m 的取值范圍是（）A．(－∞，＋∞)

B.????0，34 C.????34，＋∞

D.????0，34

教 師 布 置 課 前 小考，學生答題，抽取小組學生板演。教師巡視，學生做完后，質疑、點評、互批、自改

3(2010·重慶)函數 y＝ 16－4 x 的值域是（）A．[0，＋∞)

B．[0,4] C．[0,4)

D．(0,4)4(2010·江西)函數 y＝sin 2 x＋sinx－1 的值域為（）A．[－1,1]

B.????－ 54，－1 C.????－ 54，1

D.????－1，54 5．(2010·天津)若函數 g(x)＝x 2 －2(x∈R)，f(x)＝? ???? g?x?＋x＋4?x＜g?x??，g?x?－x

?x≥g?x??，則 f(x)的值域是（）A.????－ 94，0 ∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)C.????－ 94，＋∞

D.????－ 94，0 ∪(2，＋∞)

二、導入新課

一切函數問題能正確解決都離不開函數的定義域，值域的求解正確，并且求值域方法靈活，所以有必要統籌學習函數的定義域，值域

三、目標 導向（教師結 合《考試說明》 制 定學習目標）

1、掌握整式，分式，根式，指對數及抽象函數定義域求法 2、掌握整式，分式，根式，指對數及抽象函數值域求法； 3、定義域為 R 和恒成立問題的轉化； 4、定義域和值域的綜合問題

四、精典 探究

題型一

已知函數的解析式求其定義域

例 1 求下列函數的定義域：

(1)y＝12－|x| ＋x 2 －1；(2)y＝x 2 －4lg?x 2 －2x－2? ；

教師引出課題。

教 師 出 示 學習目標，學生閱讀，明確學習目標

對于基礎題，學生動手做，抽取小組學生板演、展示、質疑、釋疑、歸納總結。教師點撥、(3)y＝ 25－x 2 ＋lgcosx.題型二

求復合函數的定義域

例 2(1)已知函數 f(x)的定義域為(0,1)，求 f(x 2)的定義域；(2)已知函數 f(2 x ＋1)的定義域為(0,1)，求 f(x)的定義域；(3)已知函數 f(x ＋1)的定義域為[－2,3]，求 f(2 x 2－2)的定義域 題型三

求簡單函數的值域

例 3 求下列函數的最值與值域．(1)y＝4－ 3＋2x－x 2 ；

(2)y＝2x－ 1－2x；(3)y＝x＋ 4x ；

(4)y＝3 x3 x ＋1

題型四

函數定義域與值域的綜合應用

例 4 已知 y ＝ f(x)是定義在 R 上的奇函數，當 x ≥0 時，f(x)＝ x ＋ x 2.(1)求 x ＜0 時，f(x)的解析式．(2)是否存在這樣的非負數 a，b，當 x ∈[ a，b ]時，f(x)的值域為[4 a －2,6 b －6]？若存在，求出所有的 a，b 值；若不存在，請說明理由

五、總結升華

1、本節課的主要知識點是：____________________________; 2、本節課的主要思想方法是：___________________________;3、本節課學生存在的問題是：____________________________.六、課堂檢測（5 5 ～0 10 分鐘）

1．(2009·江西)函數 y＝ln?x＋1?－x 2 －3x＋4 的定義域為（）A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1] 2．(2011·安慶模擬)若函數 y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數 g(x)＝ f?2x?x－1 的定義域是（）A．[0,1]

B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]

D．(0,1)3．函數 y＝x－1x的值域是（）A.????－ 12，12

B.????0，12 C．[0,1]

D．[0，＋∞)4．若函數 f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[0,1]，則 a＝（）點評

對 于 有 難 度 的 問題，學生嘗試做，教師選擇學習較好的學生板演，基本做完后，學生講解、質疑、釋疑，歸納總結，教師點撥、點評

留給學生充分的討論、互學整理的時間和機會。教師巡視，幫助學生解決疑難

要 求 學 生 從 知 識點、思想方法和存在的問題三方面總結；教師點評和補充

學生做；教師巡視，收取檢測卷。檢測題不宜過多、過難，旨在了解對基礎知識和基本方法掌握的情況。要樹立學生學習的信心。

A.13

B.2

C.22

D．2 七、復習指導

1、將本課的學案和教材看一遍，不會的問題研究一下； 2、推薦作業：《名師一號·函數的定義域、值域》練習題。

指 導 學 生 課 后 復習，布置作業

板書設計：

：

教學反思：

：

第二篇：函數值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數值域的幾種方法

求分式函數值域的常見方法 1 用配方法求分式函數的值域

如果分式函數變形后可以轉化為y?配方，用直接法求得函數的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結論來求分式函數的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當y?1時①式是一個關于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當y?1時，x?0，?1?故函數的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數的值域時要注意下列問題：

1、函數定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當x不能取某些實數時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉換后的一元二次方程若二次項系數中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數單調性求分式函數的值

對于求函數的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數本質特征的通性通法即利用函數的單調性來求其值域.例1求函數y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數進而y是x的增函數，于是y????,?2?； x?1當x??1時，當x??1時，同樣y是x的增函數，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調性的結論： x在求分式函數時我們常運用函數y?x??⑴當a?0時在??,a和??a,??上增函數，在??a,0和0,a上是減函數.??????⑵當a?0時在???,0?和?0,???上是增函數.例求函數y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數，在?2,3?是上增函數，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數法(反解)求分式函數的值域

設y?f(x)有反函數，則函數y?f(x)的定義域是它反函數的值域，函數y?f(x)的值域是其反函數的定義域.那么如果一個分式函數的反函數存在，我們就可以通過求反函數的定義域來求其值域.例1 求函數y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數存在，其反函數為5x?152??，5?解：由于函數y?y?x? 明顯知道該函數的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數，并且用此方法求函數的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關于y的不等式所以反函數求值域的實質是反函數的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數的值域

4x2?7x??0,1?求函數例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數的值域即為關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數的值域

當題目的條件與結論看不出直接的聯系（甚至相去甚遠）時，為了溝通已知與未知的聯系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向.換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學數學問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當且僅當tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據三角函數的有界性求能求出函數的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數的值域.若原函數通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數為正；②各變數的和或積為常數.則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當x?1時取等號），8故函數的值域為?0,3?.例2 設Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數學聯賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數列的問題而實際是我們可以將其轉化為求函數值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質來求其值域就使得整個解題過程利用數更簡單.8.斜率法求分式函數的值域

數形結合是中學數學中的一種重要的數學思想方法.數是形的抽象概括，形是數的直觀表現.華羅庚先生指出：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現在數學的其它領域中，在求函數的值域與最值時也有良好的反映.聯想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數化為斜率式并利用數形結合法來求函數的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數的值域為??51???2,2??.

第三篇：函數定義域的知識點

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.函數的值域的求法：觀察法、配方法、換元法、利用多項式的除法、單調性法、判別式法、反函數法、數形結合法、不等式法等.無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域.。

2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）

（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

3.常用的函數表示法:解析法： 圖象法： 列表法：

4.分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；

（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

5.函數解析式的求法：

（1）待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；

（2）換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；

（3）方程思想，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x);

（4）賦值法，若已知抽象函數關系式，則用賦值法。

另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.

第四篇：復合函數的定義域

復合函數的定義域

復合函數的計算

用極限的夾逼準則求極限

無窮小量與無窮大量

兩個重要極限

等價無窮小量 用洛必達法則或等價無窮小量求極限 用定義研究分段函數連續性

用定義研究分段函數連續性可導性 用連續函數零點定理證明函數等式 用導數的定義計算導數 冪指函數求極限及求導數 利用導數是平面曲線切線的斜率求切線方程 隱函數求微分 通過導數討論函數單調區間 利用函數的單調性證明函數不等式 通過導數討論函數的拐點 求函數的極值

原函數

用換元法計算不定積分 求三角函數的不定積分 用分部積分法求不定積分

第五篇：分式函數值域解法

分式函數值域解法匯編

甘肅省定西工貿中專文峰分校 張占榮

函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想，數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖象。而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一。為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討。下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關概念

函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值。

函數的值域是函數值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。

分式函數是指函數解析式為分式形式的函數。

二、分式函數的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數。

1.y=(a0)型

例１ 求函數y=的值域。

解法一：常數分離法。將y=轉化為y=（k1,k2為常數），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數法。利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。

解：反解y=得x=，對調 y=（x)，∴函數y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名。可以考慮借助三角函數值域解題，其實質跟y=（t=sinx）在t的指定區間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數的值域為[，0]。

總結：求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區間上求分式函數的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數。由于出現了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯系，可以相互轉化。所以可考慮將其轉化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0。由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0,根據判別式

即可求出值域。

例４ 求函數y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由△≥0得-

∵函數定義域為R，≤y≤。

∴函數y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域。

解：用單調性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數y=t+ 在t≥2上單調遞增。

∴當t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數的值域為。

總結：不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結分式函數值域解法

求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數法。反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數的值域。需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復合型分式函數值域的常用方法。當分式函數的分子或分母出現子函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調性法。單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法。

另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明