第一篇：高中數學教學論文 函數定義域與思維品質

函 數 定 義 域 與 思 維 品 質

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：

S?x(50?x)

故函數關系式為：S?x(50?x)．

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0?x?50

即：函數關系式為：S?x(50?x)（0?x?50）

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

二、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例2：求函數y?x?2x?3在[－2，5]上的最值．

解：∵ y?x?2x?3?(x?2x?1)?4?(x?1)?

4∴ 當x?1時，ymin??4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

其實以上結論只是對二次函數y?ax?bx?c(a?0)在R上適用，而在指定的定義域區間

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22222

[p,q]上，它的最值應分如下情況：

b2ab2a ⑴ 當??p時，y?f(x)在[p,q]上單調遞增函數f(x)min?f(p),f(x)max?f(q)；

⑵ 當??q時，y?f(x)在[p,q]上單調遞減函數f(x)max?f(p),f(x)min?f(q)； b2a ⑶ 當p???q時，y?f(x)在[p,q]上最值情況是： f(x)min?f(?b2a)?4ac?b4a，f(x)max?max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值。故本題還要繼續做下去：

∵ ?2?1?5

∴ f(?2)?(?2)2?2?(?2)?3??3

f(5)?5?2?5?3?122 ∴ f(x)max?max{f(?2),f(5)}?f(5)?12

∴ 函數y?x2?2x?3在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12．

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：求函數y?4x?5? 錯解：令t?2x?3的值域．

22x?3,則2x?t?3 ∴ y?2(t?3)?5?t?2t?t?1?2(t?7814)?278?78

故所求的函數值域是[,??)．

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剖析：經換元后，應有t?0，而函數y?2t2?t?1在[0,+∞)上是增函數，所以當t=0時，ymin=1．

故所求的函數值域是[1, +∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f(x)?log2(x2?2x)的單調區間．

解：先求定義域：

∵ x2?2x?0 ∴x?0或x??

2∴ 函數定義域為(??,?2)?(0,??)．

令u?x2?2x，知在x?(??,?2)上時，u為減函數，在x?(0,??)上時，u為增函數。

又∵f(x)?log2u在[0,??)是增函數．

∴函數f(x)?log2(x2?2x)在(??,?2)上是減函數，在(0,??)上是增函數。即函數f(x)?log2(x?2x)的單調遞增區間(0,??)，單調遞減區間是(??,?2)。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

五、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數y?x,x?[?1,3]的奇偶性．

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解：∵ 2?[?1,3]而?2?[?1,3]

∴ 定義域區間[－1,3]關于坐標原點不對稱

∴ 函數y?x3,x?[?1,3]是非奇非偶函數．

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

∵ f(?x)?(?x)3??x3??f(x)

∴ 函數y?x3,x?[?1,3]是奇函數．

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。

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第二篇：高中數學教學論文 都是“定義域”惹的禍

都是“定義域”惹的禍

函數三要素中，定義域是十分重要的，研究函數的性質時應首先考慮其定義域．在求解函數有關問題時，若忽視定義域，便會直接導致錯解．下面我們舉例分析錯從何起．

一、求函數解析式時

例1．已知f(x?1)?x?2x，求函數f(x)的解析式.錯解：令t?2x?1，則2x?t?1，x?(t?1)2，2?f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1，?f(x)?x?1

剖析：因為f(x?1)?x?2x隱含著定義域是x?0，所以由t?這樣才能保證轉化的等價性.正解：由f(x?1)?x?2x，令t?

二、求函數最值（或值域）時

例2．若3x2?2y2?6x,求x2?y2的最大值． 錯解：由已知有 y??x?y??222x?1得t?1，22?f(t)?t?1的定義域為t?1，即函數f(x)的解析式應為f(x)?x?1（x?1）

x?1得t?1，?x??t?1?代入原解析式得

22，即f(x)?x2?1（x?1）． f(t)?t?1（t?1）32x?3x ①，代入x?y得

?9222212x?3x??212?x?3?2，∴當x?3時，x2?y2的最大值為

92．

剖析：上述錯解忽視了二次函數的定義域必須是整個實數的集合，同時也未挖掘出約束條件223x?2y?6x中x的限制條件．

正解：由y222??1232x?3x?0得0?x?2，22?x?y??x?3x??12?x?3?2?92，x??0,2?，因函數圖象的對稱軸為x?3，∴當

22x??0,2?是函數是增函數，故當當x?2時，x?y的最大值為4．

2例3．已知函數f?x??2?log3x?1?x?9?，則函數y?? ?f?x????f?x?的最大值為（）A．33 B．22 C．13 D．6

2錯解：y???f?x????f?x222?=?2?logx?3222?2?log3x=?log3x?3??3在?1?x?9?上是

22增函數，故函數y???f?x????f?x?在x?9時取得最大值為33．

2正解：由已知所求函數y???f?x????f?xy???fy???f?1?x?9的定義域是得1?x?3，??2?1?x?92?x????x???2?f?f?x2?=?2?log3x??2?log3x2=?log3x?3??3在1?x?3是增函數，故函數x?222?x?在x?3時取得最大值為13． 2例4．已知f?x??3錯解：由f?x??3?2?x?4?，求y?f??1?x??2?1?f?1?x?的最大值和最小值．

2x?2?2?x?4?得1?y?9．∴f?x??2?log3x?1?x?9?．

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∴y??f??log3?1?x??22?f?1?x???2?log23x??2?log233x2?log23x?6log3x?6

x?3??3． ∵1?x?9，∴0?log?1x?2．∴ymax?22，ymin?6．

2剖析：∵f∴0?log3?x?中1?x?9，則f?1?x?中1?x2即1?x?3，∴本題的定義域應為?1,3?． ?9，x?1． x?1．

3正解：（前面同上）y??log∴ymax?13，ymin?6．

例5．求函數y?4x?5?錯解：令t?2x?3??3，由1?x?3得0?log232x?3的值域．

2x?3，則2x?t2?3，∴y?2t2?3?5?t?2t2?t?1

??1?77??7??2?t????．故所求函數的值域是,???． ?4?88??8? 剖析：經換元后，應有t?0，而函數y?2t2?t?1在?0,???上是增函數，隨著t增大而無窮增大．所以當t?0時，ymin?1．故所求函數的值域是?1,???．

三、求反函數時

例6．求函數y??x2?4x?2(0?x?2)的反函數．

錯解：函數y??x?4x?26?x?2?x?6?． 2(0?x?2)的值域為y??2,6?, 又y??(x?2)2?6，即(x?2)2?6?y?x?2??6?y，?所求的反函數為y?2?剖析：上述解法中忽視了原函數的定義域，沒有對x進行合理取舍,從而得出了一個非函數表達式．

正解：由y??x?4x?2(0?x?2)的值域為y??2,6?, 因(x?2)2?6?y，又2x?2?0?x?2??6?y，?所求的反函數為y?2?6?x?2?x?6?．

四、求函數單調區間時

例7．求函數f(x)?lg(4?x2)的單調遞增區間.錯解：令t?4?x，則y?lgt，它是增函數.?t?4?x在(??,0]上為增函數，由復合函數的單調性可知，函數f(x)?lg(4?x)在(??,0]上為增函數，即原函數的單調增區間是(??,0].剖析：判斷函數的單調性，必須先求出函數的定義域，單調區間應是定義域的子區間．

正解：由4?x?0，得f(x)的定義域為(?2,2).?t?4?x在(?2,0]上為增函數，由可復合函數的單調性可確定函數f(x)?lg(4?x)的單調增區間是(?2,0].例8．求y?log0.7222222?x2?3x?2的單調區間．

0.7?2錯解：令t?x?3x?2，y?log3??2t，x????,t?x?3x?2為減函數，時，?2??0.7?3x??,???2?2?時，t?x?3x?2為增函數，又y?log??3??3?t為減函數，故以復合函數單調性知原函數增區間為???,?，減區間為?,???．

2???2?剖析：在定義域內取x?1，y值不存在，顯然上面所求不對，根本原因正是疏忽了定義域，單

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調區間必須在函數定義域內．由x2?3x?2?0，得x?1或x?2，故增區間為???,1?，減區間為?2,???．

例9．指出函數y?x2?2lnx的單調增區間． 錯解：∵2y?x?2lnx，∴y??2x?2x，∴當y??0時，x?1或x??1，∴函數y?x?2lnx的單調增區間為???,?1?,?1,???．

剖析：此題錯在沒有考慮函數的定義域?0,???，故本題的答案為?1,???．

五、判斷函數的奇偶性時 例10．判斷f?x???1?x?錯解：∵f??x???1?x?1?x1?x的奇偶性． ?1?x1?x?1?x?2?1?x?1?x??1?x?1?x1?x?f?x?，∴f?x?為偶函數．

剖析：事實上奇偶函數定義中隱含著一個重要條件，即首先定義域必須是關于原點的對稱區間．而此函數的定義域為??1,1?，不滿足上述條件，即應為非奇非偶函數．

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第三篇：高中數學教學論文 函數概念教案

【中學數學教案】

函數概念教案

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿在中學數學的始終，概念是數學的基礎，概念性強是函數理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，所以函數的第一課時非常的重要。

2、教學目標及確立的依據：

教學目標：

（1）教學知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函

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數抽象符號的理解。

（2）能力訓練目標：通過教學培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力。（3）德育滲透目標：使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系和相互制約的辯證唯物主義觀點。教學目標確立的依據：

函數是數學中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個中學數學，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學可幫助學生學好其他的數學內容。而掌握好函數的概念是學好函數的基石。

3、教學重點難點及確立的依據：

教學重點：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。教學難點：映射的概念，函數近代概念，及函數符號的理解。重點難點確立的依據：

映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。

二、教材的處理：

將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關鍵。函數的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發調動學生的學習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發引導學生進行有目的的反復比較幾個概念的異同，使學生真正對函數的概念有很準確的認識。

三、教學方法和學法

教學方法：講授為主，學生自主預習為輔。依據是：因為以新的觀點認識函數概念及函數符號與運用時，更重要的是必須給學生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為學生能學好后面的知識打下堅實的基礎。

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第四篇：函數的解析式與定義域 教案

課題：函數的解析式及定義域

知識要點

1函數解析式:函數的解析式就是用數學運算符號和括號把數和表示數的字母連接而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達式”或“表達式”，簡稱“式”。

2函數的定義域：要使函數有意義的自變量x的取值的集合。3 求解析式的常用方法

（1）定義法（拼湊法）（2）換元法（3）待定系數法（4）函數方程法（5）參數法（6）實際問題 4求函數定義域（1）主要依據

①分式分母不為零

②偶次方根的被開放數不小于零 零的零次方沒有意義 ③對數函數的真數必須大于零

④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1 ⑤如果函數是由一些基本函數通過四則運算得到，那么它的定義域是由各基本函數的定義域的交集組成。（2）幾類問題

①給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合;②實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義;③已知f(x)的定義域求f[g(x)]的定義域或已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域 典例解析

例1.已知函數f(x)=

1?x的定義域為A，函數y=f[f(x)]的定義域為1-xB，則

（D）（A）A∪B=B（B）A?B（C）A=B（D）A∩B=B 解法要點：A={x︱x≠1}，y=f[f(x)]=f(令-1+

1?x2)=f(-1+)1-x1-x2≠且x≠1，故B={x︱x≠1}∩｛x︱x≠0｝.1-x11例2.（1）已知f(x?)=x3 +3，求f(x);

xx2

（2）已知f(?1)=lgx求f(x);

x（3）已知f(x)是一次函數，滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1，求f(x)；

1x1111解：（1）∵f(x?)=x3 +3=(x?)3-3(x?)，xxxx（4）已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x,求f(x).∴f(x)= x3-3x（2）令f(x)=lg222?1=t（t>1）,則x=, ∴f(t)=lg,∴xt?1t?12(x>1)x?1（3）設f(x)=ax+b(a≠0)，則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f()=3x ①，把①中的x換成，得2f()+f(x)= 331 ②，①×2-②得3f(x)=6x-∴f(x)=2x-.xxx

1x1x1x例3.設函數f(x)=㏒2x?1+㏒2(x-1)+ ㏒2(p-x),求其定義域。x?1?x?1??0?x?1??x?1??解：由?x?1?0?，解得??? ①

x?p???p?x?0?????當p≤1時，①不等式解集為?；

當p＞1時，①不等式解集為｛x︱1＜x＜p｝，∴f(x)的定義域為(1,p)(p＞1).例4.已知函數y=f(x)是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5,f(1)+f(4)=0.① 求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；②求y=f(x)在[4,9]上的解析式.解：①當x∈[1,4]時，由題意可設f(x)=a(x-2)2-5(a＞0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).②∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數, ∴f(0)=0, 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數，可設f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)= 2(x-2)2-5=-3∴k=-3,∴當0≤x≤1時，f(x)=-3x, 從而當-1≤x≤0時，f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1時，f(x)=-3x.當4≤x≤6時，有-1≤x-5≤1，f(x)=f(x-5)=-3x+15.當6＜x≤9時，-1≤x-5≤4，∴f(x)=f(x-5)=2(x-7)2-5.∴f(x)=???3x?15, 4?x?6 6＜x?9?2(x-7)-5，2

第五篇：高中數學教學中數學思維的培養論文

一、高中數學教學現狀分析

1．高中數學難度大

中國的教育難度大，其中以數學為甚．經過小學和初中的積累，高中數學在難度上達到了一個轉折點，無論代數還是幾何，都提高了難度．例如，很多省、市在高二的時候實行文理分科，進一步提高了理科班的數學難度，立體幾何、三角函數、數列等內容不僅提升了難度，而且要求高中生充分理解并要拿到高分．數學題難度太大，致使很多學生對數學產生了抗拒、畏懼心理，從此失去了學習數學的信心．

2．高中數學成績差距大

數學反映在成績方面的問題是分差特別大．以文科學生為例，很多學生就是因為數學成績太差所以選擇了文科，但是數學依舊是高考的必修科目，而且分值為160分，是所有參加高考的學生都不能避免的，分差大這個問題在文科學生中表現得非常明顯，有些學生能達到150分以上，但是有的高中生數學成績卻僅能拿到70分．這樣的成績差足以說明目前高中數學教學的現狀之一就是學生數學能力差別過大、成績分差過大．

二、在高中教學教學中培養數學思維的意義

1．有助于提高學生的邏輯推理能力

數學是一種比較嚴謹的科學，需要認真仔細地推理每一步運算，才能得出最后的正確結果．因此，培養學生的數學思維也是提高其邏輯推理能力的過程．同時，邏輯推理能力也是學好數學的基礎．只有學會推理，才能掌握整門科學的精髓，一知半解是無法學好數學的，要從整體入手，一步一步地認真推理、嚴密運算．由此可知，培養數學思維可以提高學生的邏輯推理能力．在日常生活中，人們也是離不開邏輯推理的，每個人的一生都會發生一些始料未及的事情，然而推理能力強的人就會瞬間冷靜下來，將事情的來龍去脈分析清楚，并推理出接下來的事情發展態勢．

2．有助于提高學生的數學成績

高中數學教學最根本的目的還是要提高高考成績，而沒有數學思維的學生是無法真正取得高分的．以立體幾何的解析為例，如果高中生只是會記題型，就只能保證在已經掌握的題型上面得到高分，但是數學題是千變萬化的，需要學生真正掌握解題思路，培養數學思維是提高分數的基礎．此外，心理學研究表明，高中階段是人的大腦高速運轉的活躍階段．在高中數學教學中培養數學思維，能夠促進學生的大腦活動．真正具有數學思維能力的學生不會生搬硬套數學公式，而是會尋找解題思路，主動解題，將抽象的習題轉化成具體的解題模式，從而用推理的方法解決數學問題，各種難題都能夠迎刃而解．

3．有助于培養學生的創新能力

數學思維要求學生在解題過程中充分利用已有知識解決數學難題，并形成自己的解題思路，其實這就是創新能力的培養過程，能夠讓學生在學習中發揮主動性．例如，在遇到數學難題時，一個重要步驟是大膽假設，然后反推已知信息，如果假設成立，這道難題就順利解開．這種在解題技巧上的大膽假設，其實就是創新的過程．

4．為學生提供鍛煉意志品質的機會

在高中數學難度如此大的環境中，解數學題絕非易事，需要長時間的知識積累，才能換來高考時的卷面高分．因此，高中數學教學也是一種對學生意志品質的磨練．例如，高三的數學題往往不是通過一次運算就能夠得出結果的，多數習題是多個問題組成的，而每一道小問題也需要復雜的運算．這并不是簡單的數字運算，而是在考驗高中生的意志力．

三、培養高中生數學思維的方法

1．改善教學環境

如果數學教學單純以高分為目的，那么教師和學生的關注點就都集中在分數上，而不會注重培養思維能力．為了讓高中生都能夠具有獨立思考、推理分析、創新等能力，就應該徹底改變教學環境．學校為高中生營造一個有利的環境，讓學生樂于主動挑戰數學難度，能夠在解題過程中找到樂趣，而不是以提高成績為目的強迫學生學習數學．素質教育環境下的數學教學，能夠培養學生的數學思維，讓學生意識到數學是對自己的一生都有積極意義的基礎科學．

2．開展研究性教學

研究性教學主要應該采取啟發式的教學方法，教師設置合理的教學情境，讓學生全身心投入到數學教學中，充分認識到數學思維的重要性．例如，在一堂難度比較高的數學課上，按照學生已有知識不能很快地得到最終結果，教師就應該首先提出假設，讓學生分成小組討論，以研究形式為主，教師指點學生的討論結果，引導學生得出最終結論．

作者:趙蕾 單位:江蘇省白蒲高級中學