第一篇：高中數學不等式教學與數學思維的引入探索

高中數學不等式教學與數學思維的引入探索

摘要：對高中數學不等式教學與數學思維的引入方法進行探究。具體是在概述數學思維定義以及在高中數學不等式教學中所發揮作用的基礎上，對高中數學不等式教學的數學思維方法進行研究，并闡述了現階段學生在學習數學知識方面存在的問題，引出幾點培養學生思維能力的教學策略。希望與同行一起分享教學經驗，共同提升高中不等式教學質量。關鍵詞：高中數學；不等式教學；數學思維；培養策略

高中數學不等式知識在高中數學體系中占據一定比例，故此不等式教學質量關系著學生數學知識的儲備量以及在學科考試中的能力。但是在應試教育理念的長期作用下，多數高中生被置身于不等式題海戰術中，沒有對知識學習的內涵進行深度思考與解析，這也是高中不等式教學質量長期得不到有效提升的內在原因之一。怎樣培養學生的數學思維，將數學思維與不等式教學有機的整合在一起，是眾多數學教師探究的問題，本文進行詳細解析。1.數學思維 1.1定義

在高中數學教學階段所謂的數學思維，可以被理解為一類總結性的思考方式，該種對問題的思考方式實質上就是指個體在對以往經驗歸納的基礎上，繼而提出具備邏輯推理能力的方法和規則。數學思維通常是對不同事物間的數量關系與外界空間進行抽象化的歸納。業內專家按照思維的類別將其分為以下三種形式：一是直覺思維；二是形象思維；三是邏輯思維。其中直覺思維就是個體在對知識學習期間所產生的一類敏銳的判斷能力；形象思維通常是個體在對現實事物觀察與解析的基礎上而獲得的思維；邏輯思維是個體參照某一類事物邏輯層面上的規律而進行的一種思維活動，在數學知識學習期間的應用，等同于對知識總結、解析與推理的過程。

1.2 數學思維在高中數學不等式教學期間應用的意義

和語文、英語等學科知識相比較，數學知識抽象性顯著，這也是其邏輯性突出的內在原因之一。在不等式課程知識教學期間，教師重視應用數學思維，特別是邏輯思維，在提升不等式數學教學質量方面體現巨大的應用價值。在現實數學課程教學期間，將數學思維與課程知識有效的整合在一起，能夠提高學生的整體能力，同時也加深了對不等式知識的理解程度，為創新能力培養目標的實現奠定扎實的基礎。除此之外，數學知識來源于生活又服務與生活，故此在現實教學期間，教師合理的將不等式知識與實踐關聯在一起，教學質量將會大幅度提升。

2.高中數學不等式教學的數學思維方法

數學思維方法具體是借助數學思維協助學生認識到數學知識結構的重心，協助學生對數學知識內涵有更為深刻的理解。在高中數學教學進程中，經常使用的數學思維方法有以下幾種類型，即數形結合、函數方程、數學模型、化歸、遞推等。上述數學思維方法為高中數學教學體系中的重要組成部分。從性質上分析，數學思維方法與換元、代入法等數學基本方

[2]

[1]法存在顯著差異性，故此數學思維方法的教學應從數學知識中進行總結，并應用于現實生活實踐中。故此，教師在傳授數學知識過程中，教師應積極將數學思維融合其中，進而有效的提升學生數學思維能力。

不等式知識為構成高中數學體系主要內容之一，可以被視為處理數學問題的基礎性工具。在對不等式知識考查期間，可以被細化為間接考查與直接考查兩種類型。間接考查具體是指聯系函數、幾何、數列等知識對不等式知識的應用情況進行考查；直接考查具體是借助選擇題、填空題等方式對不等式知識進行考查。故此，教師在對不等式知識教學期間，教師應巧妙的將不等式課程知識與他類知識有效交融在一起，并重視培養學生的數學思維能力，培養與提升學生對數學思維處理不等式問題的能力，這在培養學生數學學科核心素養方面發揮的作用是極為顯著的。

3.現階段學生在學習高中數學時所面對的困難 3.1 沒有認識到培養數學思維的意義

當下，學生在對數學知識學習期間，經常忽略對數學知識思考與解析，沒有認識到數學思維培養對數學知識學習的意義。這主要是在傳統應試教育理念的長期作用下，學生總會將更多的時間與精力投入到基礎知識以及數學問題解決程序等方面上，過度的看重數學學科考試分數，為考試而學習與鞏固知識。若學生加大對數學思維培養與應用這項內容，將會耗用更多時間，但是在高中學習內容繁重化、傳統理念等因素的影響下，多數高中生被沒有重視培養自己的數學思維能力。3.2不能扎實的掌握高中數學知識

高中數學知識抽象性極為顯著，知識點繁雜且深奧，很多學生在學習期間遇到不同的困難。例如，在不等式課堂教學中，教師：哪位同學能正確解答丨x丨＜5這一習題？

學生：對不等式兩邊同時平方的方法，有x＜5，經因式分解得出(x+5)(x-5)＜0，最后得出的結果就是-5＜x＜5。

教師：該名同學的解答結果是完全正確的，下面我對關于丨x丨＜y這類不等式知識解題過程進行總結，同學只要記住“先平方、再分解、后列式、相反數”幾個關鍵詞即可。

對不等式兩側內容進行平方是解答不等式的可用辦法。但是，但是部分學生在解決不等式習題的過程中，沒有深刻領悟數學思維的內涵以及應用的意義，在遇到類似題型過程中就無法舉一反三。還有一些學生在遇到所有不等式問題時，不假思索的應用上述方法，但是任何一個方法均不是萬能的，在遇到極為繁瑣的數學題目時，學生在上述方法的協助下可能利用大量的時間也無法獲得正確答案，做題效率難以得到切實保障，久而久之學習積極性也被磨滅。

3.3學生統合各類知識點的能力相對薄弱化

在辦學規模較小以及師資力量相對薄弱化的現實情況下，剛剛步入高中數學課堂的學

2[3]生現實能力還不能有效應對高中數學教學期間的巨大壓力。一些學生在學習數學知識過程中沒有養成良好的學習習慣，沒有及時的糾正錯誤學習方法，對數學知識點扎實有效掌握目標的實現就是天方夜譚了，此時他們對數學知識深度學習的興趣就會不斷下降，形成滿足自體發展的數學思維也就無從談起了。例如，在《一元二次二次不等式》課程教學期間，教師：同學們，這里有一道高考題“(2015浙江理)已知集合，2(CRP)?Q?()A.[0，1)B.(0，2]；C.(1，P?{x丨x2?2x?0｝，Q?{x丨1＜?2｝2)；D.[1，2] ”你能談談解題的思路嗎？

學生：應結合不等式性質、集合等知識點，并參照題意畫出相關的函數圖像就能正確解答了。

但是，在本次課堂教學中，教師發現部分學生借助函數圖像不能了解一元二次不等式與二次函數以及一元二次方程方程之間的關聯性。在本次課程教學中，盡管學生能夠牢固的記憶一元二次不等式的定義，但是卻不能將其與數學問題有效整合為一，這使數學知識學習的初始意義逐漸喪失。

4..數學思維在高中數學不等式教學中的有效應用

參照本文以上論述的內容，在高中數學不等式教學期間，將數形結合、函數方程與分類討論等數學思維應用于課程教學期間，這在提升教學效果方面發揮的作用也是極為顯著的。本文進行詳細解析，希望數學教師在實踐中重視培養學生的數學思維，并能夠有效應用數學思維開展教學工作。4.1數形結合數學思維

數學知識中將數字與圖形有效的關聯在一起的方法，被叫做數形結合，它作為一種數學思維以及數學指導思想在數學課程教學期間的應用，在強化某些數學概念精確性以及明確不同數學變量之間關系等方面上發揮導向作用。在高中數學不等式教學進程中，標根法在處理數學問題過程通常需要數形結合思維的有效引導的形式進行有效指導。標根法在不等式問題處理過程中的應用，通常會將不等式問題處理細化為三個步驟，實質上就是把不等式分解成數個一次因式乘積的形式，并設定每一個因式中最高次項的系數為正數；把每一個一次因式的根標記在數軸上，從最大根的右上方按照一定次序將不同的點用曲線銜接在一起，并注意曲線的奇偶性與單調性；最后結合根據曲線呈現出來的符號變化規律，正確的寫出不等式的解集。在數形結合思維的引導下，學生在解答不等式區間解答問題過程中能夠精確的掌握解決思路與程序，并獲得正確的答案。

例如，在《二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題》課程教學期間，教師為了使學生了解線性規劃的圖解法，并能夠正確的應用圖解法求線性目標函數的最大值與最小值。

教師：這里有“（2017山東文）若直線[5]

[4]則2a?b的最小值為（）.”這一習題學生能夠談談最快速的解題方法嗎？

學生：采用作圖的方式

xy??1 過點（1，2），ab教師：那么請你口述作圖程度，老師在黑板上進行操作，從而使全班同學都能夠清晰的看到作圖過程。

作圖方式在本次課堂教學中的應用，化繁為簡。數形結合思維的構建，協助學生借助觀察、探究、辨析與動手實踐等過程，利用多感官去感受數學建模的思想，在“數形結合”方法的引導下明確代數問題與幾何問題之間的關聯性，使學生在鞏固數學基礎知識的過程中培養了是對數學知識的應用意識，不斷的提升對數學知識的應用能力，為數學學科素養培養目標的達成奠定優良基礎，提升課堂教學效果也是毋庸置疑的事實。2.2函數方程思維

這一數學思維多數是在不等式恒成立證明的相關關系中被應用。函數方程思維多數是應用函數性質或函數定義對相關的數學問題進行解析與處理，故此在高中數學不等式求解或者證明期間，數學教師同樣可以采用數學的函數思維進行教學，并組織與引導學生對相關問題進行深度解析。在這樣的教學情景中，數學教師引導學生明確該類數學思維與不等式結合的主要類型是基礎，繼而不斷對學生的思維進行啟發，使他們探尋出處理不等式問題的有效突破點，協助學生在對問題內涵解析的過程中探尋出處理不等式問題的正確方法，在處理問題以及知識點解讀過程中確保自體思維發展方向的精確性。解決的過程中經常會采用函數方程思想，進而借助求得最值或極值的方法去明確有關參數的區間，借此方式去證明不等式的恒成立或者題目中所涵蓋各類條件的完整性。盡管在對恒成立問題解析過程中，數形結合思想的應用也發揮一定的導向作用，但是函數方程思維的應用在準確計算以及規避作圖不精確問題方面體現的優越性是不可取代的。

例如，在《基本不等式的應用》課程教學中，教師：有這樣一道習題“（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是（）”

學生：解：設公司一年的總運費與總存儲費用之和為y萬元．買貨物600噸，每次都購

[7][6]

600次，x600因為每次的運費為3萬元，則總運費為3?萬元，x1800?2x?2（0＜x≤600）． 所以y?x1800?2x?120 則y?x1800當且僅當＝2x，即x?30時取得最小值．

x買x噸，則需要購買的次數為教師：該名同學解題思路清晰，結果完全正確。4.3分類討論 所以，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次需購買30噸．故答案為30．

這一數學思想在含絕對值不等式題目解決方面的應用，在鍛煉與強化學生對高中數學知識整體應用能力方面發揮的作用是極為顯著的。在對不等式知識教學期間，教師可以鼓勵

[8]學生采用分類討論的方式對含有絕對值的問題進行解答。例如“分段討論法”，借助對不同集合上的討論求出不同情況中不等式的答案，最后取解的并集。在該種數學思維的協助下，不等式問題處理的過程被有效簡化。分段討論法多數被應用在不等式解集問題處理方面上，在分段討論思維的引導下，學生能夠順利的將一個復雜的數學問題細化為數個簡單的基礎性問題，借助對基礎性問題解答的方式，達到正確處理原問題的目標。其實分段討論法可以被理解為“化整為零、各個擊破、再積零為整”的數學解題方法。結束語：

綜合全文論述的內容，對數學思維在高中數學不等式知識學習與教學期間的應用意義與方式有更為全面的認識。教師教學期間應重視培養學生的數學思維能力，學生在解答習題期間也應重視應用各類數學思維，從而強化對不等式知識掌握與理解的深度，以飽滿的信心迎接各類考試。參考文獻：

[1]呂春葉.數學思維能力在高中數學教學中的培養方法探究[J].中華少年,2017,(32):100.[2]李葉庭.基于高中數學教學中培養數學思維能力的實踐探索[J].青少年日記(教育教學研究),2017,(02):132.[3]陳月.論如何在高中數學教學中培養學生的數學思維能力[J].新課程(下),2016,(09):162.[4]吳傳廣.淺析高中數學思維障礙的成因和克服辦法[J].數學學習與研究,2016,(11):55.[5]劉青.放飛思維,突破局限——高中數學教學中培養數學思維能力的實踐探析[J].數學大世界(上旬),2016,(06):62.[6]劉銀霞.培養學生數學思維在高中數學教學中的必要性[J].考試周刊,2015,(70):54.[7]張家利.數學思維能力在高中數學教學中的培養[J].吉林教育,2014,(34):65.[8]吳水龍.高中數學教學中培養學生數學思維能力的嘗試[J].學周刊,2014,(20):180.

第二篇：數學思維與數學教學

數學思維與數學教學

學號：

091090142

09春數本班

汪煒

目

錄

一、幾種數學思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數學探索能力

二、中學生數學思維能力的特點

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓練性

三、如何培養中學生的數學思維能力

（一）找準數學思維能力培養的突破口

（二）教會學生思維的方法

（三）善于調動學生內在的思維力

<<數學思維與數學教學>>

-----------提綱

一、幾種數學思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數學探索能力

二、中學生數學思維能力的特點

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓練性

三、如何培養中學生的數學思維能力

（一）找準數學思維能力培養的突破口

（二）教會學生思維的方法

（三）善于調動學生內在的思維力

第三篇：高中數學教學中數學思維的培養論文

一、高中數學教學現狀分析

1．高中數學難度大

中國的教育難度大，其中以數學為甚．經過小學和初中的積累，高中數學在難度上達到了一個轉折點，無論代數還是幾何，都提高了難度．例如，很多省、市在高二的時候實行文理分科，進一步提高了理科班的數學難度，立體幾何、三角函數、數列等內容不僅提升了難度，而且要求高中生充分理解并要拿到高分．數學題難度太大，致使很多學生對數學產生了抗拒、畏懼心理，從此失去了學習數學的信心．

2．高中數學成績差距大

數學反映在成績方面的問題是分差特別大．以文科學生為例，很多學生就是因為數學成績太差所以選擇了文科，但是數學依舊是高考的必修科目，而且分值為160分，是所有參加高考的學生都不能避免的，分差大這個問題在文科學生中表現得非常明顯，有些學生能達到150分以上，但是有的高中生數學成績卻僅能拿到70分．這樣的成績差足以說明目前高中數學教學的現狀之一就是學生數學能力差別過大、成績分差過大．

二、在高中教學教學中培養數學思維的意義

1．有助于提高學生的邏輯推理能力

數學是一種比較嚴謹的科學，需要認真仔細地推理每一步運算，才能得出最后的正確結果．因此，培養學生的數學思維也是提高其邏輯推理能力的過程．同時，邏輯推理能力也是學好數學的基礎．只有學會推理，才能掌握整門科學的精髓，一知半解是無法學好數學的，要從整體入手，一步一步地認真推理、嚴密運算．由此可知，培養數學思維可以提高學生的邏輯推理能力．在日常生活中，人們也是離不開邏輯推理的，每個人的一生都會發生一些始料未及的事情，然而推理能力強的人就會瞬間冷靜下來，將事情的來龍去脈分析清楚，并推理出接下來的事情發展態勢．

2．有助于提高學生的數學成績

高中數學教學最根本的目的還是要提高高考成績，而沒有數學思維的學生是無法真正取得高分的．以立體幾何的解析為例，如果高中生只是會記題型，就只能保證在已經掌握的題型上面得到高分，但是數學題是千變萬化的，需要學生真正掌握解題思路，培養數學思維是提高分數的基礎．此外，心理學研究表明，高中階段是人的大腦高速運轉的活躍階段．在高中數學教學中培養數學思維，能夠促進學生的大腦活動．真正具有數學思維能力的學生不會生搬硬套數學公式，而是會尋找解題思路，主動解題，將抽象的習題轉化成具體的解題模式，從而用推理的方法解決數學問題，各種難題都能夠迎刃而解．

3．有助于培養學生的創新能力

數學思維要求學生在解題過程中充分利用已有知識解決數學難題，并形成自己的解題思路，其實這就是創新能力的培養過程，能夠讓學生在學習中發揮主動性．例如，在遇到數學難題時，一個重要步驟是大膽假設，然后反推已知信息，如果假設成立，這道難題就順利解開．這種在解題技巧上的大膽假設，其實就是創新的過程．

4．為學生提供鍛煉意志品質的機會

在高中數學難度如此大的環境中，解數學題絕非易事，需要長時間的知識積累，才能換來高考時的卷面高分．因此，高中數學教學也是一種對學生意志品質的磨練．例如，高三的數學題往往不是通過一次運算就能夠得出結果的，多數習題是多個問題組成的，而每一道小問題也需要復雜的運算．這并不是簡單的數字運算，而是在考驗高中生的意志力．

三、培養高中生數學思維的方法

1．改善教學環境

如果數學教學單純以高分為目的，那么教師和學生的關注點就都集中在分數上，而不會注重培養思維能力．為了讓高中生都能夠具有獨立思考、推理分析、創新等能力，就應該徹底改變教學環境．學校為高中生營造一個有利的環境，讓學生樂于主動挑戰數學難度，能夠在解題過程中找到樂趣，而不是以提高成績為目的強迫學生學習數學．素質教育環境下的數學教學，能夠培養學生的數學思維，讓學生意識到數學是對自己的一生都有積極意義的基礎科學．

2．開展研究性教學

研究性教學主要應該采取啟發式的教學方法，教師設置合理的教學情境，讓學生全身心投入到數學教學中，充分認識到數學思維的重要性．例如，在一堂難度比較高的數學課上，按照學生已有知識不能很快地得到最終結果，教師就應該首先提出假設，讓學生分成小組討論，以研究形式為主，教師指點學生的討論結果，引導學生得出最終結論．

作者:趙蕾 單位:江蘇省白蒲高級中學

第四篇：高中數學教學中滲透數學文化的實踐與探索

高中數學教學中滲透數學文化的實踐與探索

葉秋平浙江省龍游中學324400E-mail：zjlyyqp@163.com

摘 要： 以提高學生的素質，特別是提高民族素質為最終目的的數學教育，從根本上說應該是數學文化教育。數學文化是人類文化寶庫中的奇葩，它的內容、思想、方法與語言是現代文明的重要組成部分。對普通高中數學教育中如何滲透數學文化正逐步受到重視。本文從數學史的教學意義、形成正確數學觀、加強數學應用、與其他學科交融等四個方面進行數學文化滲透作了有益的探索。

關鍵詞：文化；數學文化價值；數學觀

數學是一種文化，已逐步成為數學教育工作者的共識。研究表明，數學的文化價值主要體現在：⑴數學是打開科學大門的鑰匙；⑵數學是科學的語言；⑶數學是思維的工具；⑷數學是一種思想方法；⑸數學充滿理性的精神。為提高人們對數學文化價值的認識，《全日制義務教育數學課程標準》與《普通高中數學課程標準》在教學理念與教學要求上都對滲透數學文化作了明確的要求，作為一線教師，應如何貫徹理念，在教學實踐中體現數學的文化價值呢？筆者從以下幾個方面進行了嘗試。結合高中數學知識，介紹數學史上重要人物、事件、優秀數學成果，展示數學文化 自20世紀70年代以來，數學史對數學教育的意義已引起數學教育家的重視：利用它可以激發學生的學習興趣，培養學生的數學精神，啟發學生的人格成長，預見學生的認知發展，指導并豐富教師的課堂教學，促進學生對數學的理解和對數學價值的認識，構筑數學與人文之間的橋梁，等等。

例1 蝴蝶定理研究史

如圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（0，r）（b?r?0).（Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；（Ⅱ）直線y?k1x交橢圓于兩點C(x1,y1),D(x2,y2)(y2?0);直線y?k2x交橢圓于兩點G(x3,y3),H(x4,y4)(y4?0).求證：k1x1x2k2x3x4；（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的C，D，G，H，設?x1?x2x3?x

4CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q.求證：|OP|=|OQ|.（證

明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

評析：本題將平面幾何中著名的“蝴蝶定理”推廣到橢

圓中。教學中應有意識介紹問題的背景知識：早在1815年，英國倫敦出版的數學科普刊物《先生日記》中就刊登了數學

家霍納和泰洛給出的蝴蝶定理的兩個證明。而后的100多年里，不同時代的數學家不斷公布新證法。1944年2月號《美國數學月刊》就以“蝴蝶定理”征解。1946年，該題成為美國普南特大學生數學競賽的試題。20世紀70年代末80年代初，我國中學數學界也興起研究蝴蝶定理的熱潮。近兩百年來，世界各地的數學愛好者對蝴蝶定理的證明方法已達數百種，而且對蝴蝶定理的研究也逐步深入，如：將蝴蝶定理推廣到一般的曲線中、推廣到三維甚至高維空間、用機器證明蝴蝶定理等等。這充分反映了他們在科學探究中勇于探索、鍥而不舍的鉆研精神和態度！

數學史能使學生深深體會到數學是人類精神文明的碩果，它不僅閃耀著人類智慧的光

芒，而且它的發展也充分體現了人類為真理而生生不息、孜孜以求的精神。需要指出的是：

在進行數學史教育時，不能僅停留在楊輝三角比帕斯卡三角早多少年之類上，而應客觀公正

地介紹中外科學家的長處與短處，以及中外科學家發展的歷史，不搞民族狹隘主義。

2充分利用數學素材，引導學生形成正確的數學觀

學生的數學觀（即學生對“數學是什么？”、“數學是如何習得的？”以及“數學應怎樣

教授？”、“面對數學問題如何思考？”、“喜歡上什么樣的數學課”這些問題的認識）將直接

影響他們學習數學的動機與興趣，進而直接或間接影響著學生在數學方面的學習表現。數學

觀念是數學文化的核心，包括數學精神、數學意識、數學思想方法和數學思維方式。教師應

有意識引導學生形成如下的數學觀：數學與客觀世界有著密切的聯系，數學有著廣泛的應用，數學是一門通過對數與形的研究揭示客觀世界秩序、和諧與統一美的規律的學科，數學是在探索、發現的過程中不斷發展變化的，是一門在學習過程中包含著嘗試、錯誤、改正與改進的一門學科。

例2 秦九韶算法

nn?1已知n次多項式P?n(x)?a0x?a1x計算x0k（k?an?1x?an,如果在一種算法中，＝2，3，4，?，n）的值需要k－1次乘法，計算P3(x0)的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算Pn(x0)的值共需要（k＝0，1，2，?，n－1）。利用該算法，計算PP3(x0)的0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?

1值共需要6次運算，計算Pn(x0)的值共需要次運算。

評析：在認知沖突（原有算法與題目提供的算法）后實現同化與順應，學習到一種簡化

運算的方法。作為教師還應挖掘隱含在其后的文化價值：⑴該算法早在南宋時期，我國數學

家秦九韶（約1202—1261）就在他的代表作《數書九章》中提出，體現了我國古代數學研

究的杰出成就；⑵采用“迭代法”代替了機械的運算，極大的減少了乘法的運算次數，故成為計算機處理運算問題的基本原理，有力地推動了信息技術的應用與發展。這充分體現了數

學的應用價值及數學在推動人類文明進步中所起的偉大作用。因此，數學不僅僅是培養學生

思維能力的有效載體，更是科學的語言，是一種文化。用數學的眼光去觀察與解釋生活中的現象，使學生感受到數學“火熱的激情”而非

“冰冷的美麗”

如今，隨便翻開報紙，“拓樸結構”、“數字化地球”、“伊拉克戰爭是一場數字化戰爭”

等詞句赫然在目，“數碼相機”、“線性規劃”、“體彩6+1近20期號碼技術分析”等隨處可見,數學就在我們身邊。

例3 小概率事件

概率論中，把事件發生的概略很小的事件稱為“小概率事件”，為加深對概念的理解，舉下例說明：

⑴××市發行“體育彩票”，十萬張中產生一個特等獎，獎金10萬元，則中特等獎的概

率為十萬分之一，中獎能看作小概率事件嗎？⑵伊拉克戰爭中，美英聯軍共向伊拉克發射了

近千枚戰斧式巡航導彈，據美國軍事專家稱其精確度在0.999以上，但實際上確有許多導彈

因偏離目標而造成大量無辜平民傷亡，請計算一千枚戰斧式巡航導彈中至少有一枚不能命中

目標的概率。

評析：按獨立重復試驗的概率計算，一千枚戰斧式巡航導彈全部命中的概率為0.9991000

≈0.368，則至少有一枚不能命中目標的概率竟達0.632。因此，在一場大規模的現代戰爭

中，一枚戰斧式巡航導彈失誤的概率0.001不能作為小概率。美國軍事專家認為戰斧式巡航

導彈產生偏差的概率很小，而伊拉克及周邊國家的人民卻擔心導彈產生偏差而恐懼，這說明

小概率事件是相對而言的。我們平時應辯證看待與正確處理小概率事件，不能認為“萬無一

失”產生麻痹大意而“因小失大。”

例4 植物也懂數學

在一次勞動中，某學生偶然發現樹從底部到頂部的分枝分布較有規律，依次為1，2，3，5，8，13、?，似乎與斐波那契數列有關，怎么會這樣呢？還是算一算吧！

假設樹苗在第一年長出一條新枝，新枝一年后變為老枝，老枝每一年都長出一條新枝，每一條樹枝都按照這個規律成長。問⑴第5、6、7年的枝條分別是多少？⑵假設各年的枝條

數構成數列{an}，你能給出數列{an}的遞推關系式嗎？⑶你能求數列{an}的通項公式嗎？

⑷計算當n取1、2、3、4、5、6時

選擇的結果嗎？ 通過計算學生發現：an的值，并解釋樹枝為何按此規律生長，是長期自然an?1liman??ann?1?0.618。看來，樹木也懂黃金分割，也懂得用數學知識來

保護自我（按此規律生長采光最好）。數學真是無處不在，魅力無窮！．．．．．．．．．．尋找數學與其它學科的聯結點，促進學科間的交融與滲透，體現數學的現實性、文

化藝術性和哲理性

例5 最經濟路線問題

某工廠生產的產品用到a1、a2、a3、?、an等n種原料，A1、A2、A3、?An為工

廠的n個原料產地。現要建立一個工廠，它所需n個產地的原料數量相同，為了節約，希望

各原料產地到工廠的直線距離之和最小，那么工廠的廠址應選在何處？

評析：該題就數學角度求解則相當復雜，但若注意到其背景是物理學中的能量最低原理，則有如下解法：在一塊水平光滑的木板上按實際距離的比例確定A1、A2、A3、?Ann個

點的位置，并在A1、A2、A3、?An點的位置各打一個洞，洞口光滑。將n根不可伸長的輕質繩的一端結于一點，另一端分別穿過n個洞，并在繩端系上質量相同的物體，那么，當

系統平衡時，n根繩子的結點所在即為所求。

人們常說：“語言是思維的外殼，數學是思維的體操”。此可見數學與語言在思維層面上

能夠統一起來。“物以類聚，人以群分”便是集合的劃分。“前不見古人，后不見來者，念天

地之悠悠，獨愴然而涕下”抒發了生活在空曠時空里人類的萬千感慨，不經意間成了時間和

三維歐幾里得空間的描述。人們常常用“水滴石穿”、“只要功夫深，鐵棒磨成針”來形容有

志者事竟成，實際上從概率的角度看是非常有道理的。設在一次試驗中，事件發生的概率為

ξ>0，獨立重復n次，設事件B為n次試驗中A至少有一次發生，則P（B）=1?(1??)，n

lim[1?(1??)n]?1，一件微不足道的事情，只要堅持下去就會產生不可思議的結果，正是n??

“鍥而不舍，金石可鏤”。

愛因斯坦說過，用專業知識教育人是不夠的，通過專業教育，可以使他成為一臺有用的機器，但不能成為一個和諧發展的人，他必須獲得對美和道德的辨別力，對價值有所理解且產生熱烈的感情，這才是最基本的。知識型的數學教育和文化型的數學教育在提高學生的素質方面都是可以發揮作用的，只是側重點不同而已。因此為了充分發揮數學在提高學生乃至提高全民族素質方面的作用，我們的數學教育應是綜合性的，應兼有知識教育、能力教育、文化教育的成分。從這個意義上說，作為數學教育工作者的我們任重而道遠！

參考文獻：

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第五篇：數學思維與小學數學教學

數學思維與小學數學教學

鄭毓信

（南京大學哲學系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學生學會基本的數學思想方法”是新一輪數學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特

征性質。

關鍵詞：數學思維；小學數學教學 中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡介：鄭毓信，南京大學哲學系教授，博士生導師，國際數學教育大會（ICME10）國際程序委員會委員。

對于數學思維的突出強調是國際范圍內新一輪數學課程改革的一個重要特征，如由美國的《學校數學課程與評估的標準》和我國的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準》）關于數學教育目標的論述中就可清楚地看出。然而，就小學數學教育的現實而言，上述的理念還不能說已經得到了很好的貫徹，而造成這一現象的一個重要原因就是以下的認識：小學數學的教學內容過于簡單，因而不可能很好地體現數學思維的特點。以下將依據國際上的相關研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠對于實際教學活動發揮積極的導向作用。

一、數學化：數學思維的基本形式

眾所周知，強調與現實生活的聯系正是新一輪數學課程改革的一個重要特征。“數學課程的內容一定要充分考慮數學發展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現實生活，不斷溝通生活中的數學與教科書上數學的聯系，使生活和數學融為一體。”就努力改變傳統數學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數學”與“學校數學”之間的關系。

事實上，即使就最為初等的數學內容而言，我們也可清楚地看到數學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數學”向“學校數

學”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現實原型向相應的“數學模式”的過渡。再例如，正整數加減法顯然具有多種不同的現實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數學表達式中所說的現實意義、包括不同現實原型之間的區別（例如，這究竟表現了“二元的靜態關系”還是“一元的動態變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應當強調的是，以上所說的可說是一種“數學化”的過程，后者集中地體現了數學的本質特點：數學可被定義為“模式的科學”，也就是說，在數學中我們并非是就各個特殊的現實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現象的模型過渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現實情景，這就為相應的“純數學研究”提供了現實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數與它們的和，或被減數、減數與它們的差），因此，從純數學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數的差是3，其中較小的數是4，問另一個數是幾？”或者“兩個數的差是3，其中較大的數是4，問另一個數是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現了數學思維的一些重要特點，特別是體現了在現實意義與純數學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數學”過渡到“學校數學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足

[1]

于現實生活。

由于后一問題的全面分析已經超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數量關系是十分重要的。這正是國際上的相關研究、特別是近年來所興起的“民俗數學”研究的一個重要結論：盡管“日常數學”具有密切聯系實際的優點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發的數學能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學校中的學習，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數學的研究“在幫助學生學會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現實情景，所學到的數學知識在“可遷移性”方面也會表現出

很大的局限性。

一般地說，學校中的數學學習就是對學生經由日常生活所形成的數學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數學事實過渡到了系統的知識結構，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數學教育家斯根普所指出的：“兒童來到學校雖然還未接受正式教導，但所具備的數學知識卻比預料的多??他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合。”

當然，我們還應明確肯定數學知識向現實生活“復歸”的重要性。這正如著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾所指出的：“數學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數去對各種不同的集合進行計數，也可以用同樣的數去對各種不同的量進行度量。??盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現實。”

總的來說，這就應當被看成“數學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現實原型抽象出相應的數學概念或問題，而且也包括了對于數量關系的純數學研究，以及由數學知識向現實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內容的學習而言，我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數學化”的思想，我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數學化??是一條保證實現數學整體結構的廣闊途徑??情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法。”

二、凝聚：算術思維的基本形式

由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導意義。

具體地說，這正是現代關于數學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數思維的基本形式，這也就是說，在數學特別是算術和代數中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數（被減數與減數）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數學對象。再如，有很多教師認為，分數應當定義為“兩個整數相除的值”而不是“兩個整數的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數的掌握而言我們不應停留于整數的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現了數學的高度抽象性，即“是把已發現結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的??當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

第二，以色列著名數學教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象

[6]

[5]

[4]

[3]

[2]

水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉換，包括由“過程”轉向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數方程時，我們顯然應將相應的表達式，如（x+3）2=1,看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達式進行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉化的辯證關系，因此，一些學者提出，我們應把相應的數學概念看成一種“過程—對象對偶體”procept,這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應當認為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質。再者，我們又應很好地去把握相應的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉化的辯證關系；（2）“含糊性”，這集中地體現于相應的符號表達式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經由凝聚所生成的特定數學對象；（3）靈活性，是指我們應根據情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數學中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補與整合：數學思維的一個重要特征

以上關于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個側面表明了互補與整合這一思維形式對于數學的特殊重要性。以下再以有

理數的學習為例對此作出進一步的說明。

首先，我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數，特別是，分數常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。

這也正是新一輪數學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式??教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”[7]（2）由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯系與必要互補。這正如美國學者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現實情

景等──同樣也發揮了十分重要的作用。”

再次，我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”

[7]（53）

當然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應明確肯定思維優化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于不同方法在數量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數學”向“學校數學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發展起新的數學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發展學生的數感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現象數量方面的某種敏感性，包括能對數的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要作出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現象的數量方面作出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當的說明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數學教育家費施拜因曾突出地強調了“算法”的掌握對于數學的特殊重要性。事實上，即使就初等數學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛??可是你要一引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。”

[8]這正是數學歷史發展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數學的重要進步。也正因為此，費施拜因將形式、直覺與算法統稱為“數學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。