第一篇：數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

摘要：思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等是發(fā)散思維的特性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地抓住這些特性進(jìn)行訓(xùn)練與培養(yǎng)，既可提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，又是提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是以思維為主的活動(dòng)過(guò)程。開(kāi)展豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”的思維過(guò)程，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的升華。使數(shù)學(xué)教學(xué)從單純的知識(shí)記憶、復(fù)現(xiàn)、再認(rèn)向通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展主體性數(shù)學(xué)活動(dòng)以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 誘發(fā)思維

對(duì)于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國(guó)際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，如由美國(guó)的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)》和我國(guó)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說(shuō)已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。以下將依據(jù)國(guó)際上的相關(guān)研究對(duì)這一觀點(diǎn)作出具體分析，希望能促進(jìn)這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯?shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

一、數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)教育的核心 數(shù)學(xué)教育的意義在于用科學(xué)自身的品質(zhì)，陶冶人、啟迪人、充實(shí)人、促使人的素質(zhì)全面發(fā)展。數(shù)學(xué)教育是一種文化，使人得到數(shù)學(xué)方面的修養(yǎng)，更好地理解、領(lǐng)略現(xiàn)代社會(huì)的文明；它是“思維的體操”，使人思維敏銳，表述清楚。一個(gè)人學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)可以得到自身品質(zhì)的提高；廣大青少年學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)可以使整個(gè)民族的素質(zhì)得到提高。

數(shù)學(xué)教育作為一種文化來(lái)提出，思維能力的發(fā)展是至關(guān)重要的。思維是一個(gè)健全人的需要，甚至可以說(shuō)是人存在的標(biāo)志。現(xiàn)代社會(huì)使人對(duì)生活質(zhì)量的要求更高了。而高質(zhì)量生活的一個(gè)重要內(nèi)涵，是人能更科學(xué)地、更健康思維，特別是人必須有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。這種創(chuàng)造性不僅是為了發(fā)明或發(fā)現(xiàn)什么，還在于要使人更好地適應(yīng)社會(huì)，更有創(chuàng)意地生活。創(chuàng)造力的培養(yǎng)是多方面的。數(shù)學(xué)給人一種正確的科學(xué)的創(chuàng)造思維的示范。人們?yōu)榱藢ふ覕?shù)學(xué)模型和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，展開(kāi)了有創(chuàng)造性的、辯證的思維。這些與數(shù)學(xué)的嚴(yán)格邏輯思維一起，成為基礎(chǔ)教育中一種必須而可能的訓(xùn)練項(xiàng)目。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思維教育是培養(yǎng)健全的現(xiàn)代人的需要。

二、數(shù)學(xué)思維的定義及其特性

學(xué)生的學(xué)習(xí)，不僅要通過(guò)感知認(rèn)識(shí)事物的個(gè)別屬性和外部聯(lián)系，獲得感性認(rèn)識(shí)，更重要的還須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)復(fù)雜的思維活動(dòng)，認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律，獲得理性認(rèn)識(shí)。所謂的思維是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的概括的和間接的反映過(guò)程。概括性和間接性是思維的兩個(gè)基本特征。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的許多知識(shí)都是通過(guò)概括認(rèn)識(shí)而獲得的。思維的另一個(gè)特征是間接性。思維當(dāng)然要依靠感性認(rèn)識(shí)，沒(méi)有它就不可能有思維。但是，思維遠(yuǎn)遠(yuǎn)超脫于感性認(rèn)識(shí)的界限之外，去認(rèn)識(shí)那些沒(méi)有直接感知過(guò)的，或根本無(wú)法感知到的事物，以及預(yù)見(jiàn)和推知事物發(fā)展的進(jìn)程，我們說(shuō)，舉一反三，聞一知十，由此及彼，由近及遠(yuǎn)等，這些都是指間接性的認(rèn)識(shí)。什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維。

初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有兩個(gè)主要特點(diǎn)：第一，抽象邏輯思維日益發(fā)展，并逐漸占有相對(duì)優(yōu)勢(shì)，但具體形象思維仍然起著重要作用；第二，思維的獨(dú)立性和批判性有了顯著的發(fā)展，他們往往喜歡懷疑和爭(zhēng)論問(wèn)題，不隨便輕信教師和書本的結(jié)論。當(dāng)然，初中學(xué)生思維的獨(dú)立性和批判性還是很不成熟的，還很容易產(chǎn)生片面性和表面性，這些缺點(diǎn)是和他們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的不足相聯(lián)系的。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中的誘發(fā)思維

問(wèn)題是科學(xué)研究的起點(diǎn)，是一切思維活動(dòng)的“源頭”。現(xiàn)代教育理論認(rèn)為：產(chǎn)生學(xué)習(xí)的根本原因是問(wèn)題，沒(méi)有問(wèn)題就難以誘發(fā)和激起求知欲。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)把問(wèn)題作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習(xí)過(guò)程的主線。特別是在新課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，更應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)設(shè)疑來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維的火花，通過(guò)組織生動(dòng)、有趣、以學(xué)生為主體的活動(dòng)來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

例如在學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》時(shí)，可以這樣設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)：每人四張一樣長(zhǎng)的紙條，編號(hào)為A、B、C、D。首先是學(xué)生動(dòng)手操作：①把A紙條對(duì)折平均分成2份，給其中的一份涂上顏色并用分?jǐn)?shù)表示；②把B紙條對(duì)折平均分成4份，給其中的2份涂上顏色并用分?jǐn)?shù)表示；③把C紙條對(duì)折平均分成6份，給其中的3份涂上顏色并用分?jǐn)?shù)表示；④把D紙條對(duì)折平均分成16份，給其中的8份涂上顏色并用分?jǐn)?shù)表示。然后把4張紙條按順序排列，引導(dǎo)學(xué)生觀察，結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然幾個(gè)分?jǐn)?shù)不同，但用這些分?jǐn)?shù)表示的紙條卻一樣長(zhǎng)，并寫出等式。此時(shí)學(xué)生一定會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：“這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母都不相同，它們?yōu)槭裁磿?huì)相等呢？是不是一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母隨便怎么變，它們的大小都不變呢？”這時(shí)學(xué)生對(duì)這種現(xiàn)象產(chǎn)生一種追根問(wèn)底的欲望。然后教師引入課題：“今天我們來(lái)學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》，學(xué)了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以后，同學(xué)們就會(huì)理解為什么這幾個(gè)分?jǐn)?shù)是相等的了。”這樣一改傳統(tǒng)的先復(fù)習(xí)舊知后講授新知的教學(xué)模式，而是通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作和觀察去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，產(chǎn)生疑問(wèn)。課堂教學(xué)一開(kāi)始就讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，使學(xué)生帶著濃厚的興趣轉(zhuǎn)入新知識(shí)的探索階段。學(xué)生的注意力達(dá)到高度集中，思維空前活躍，從而誘發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

四、轉(zhuǎn)換角度思考，訓(xùn)練思維的求異性

發(fā)散思維活動(dòng)的展開(kāi)，其重要的一點(diǎn)是要能改變已習(xí)慣了的思維定向，而從多方位多角度——即從新的思維角度去思考問(wèn)題，以求得問(wèn)題的解決，這也就是思維的求異性。從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，小學(xué)生在進(jìn)行抽象的思維活動(dòng)過(guò)程中由于年齡的特征，往往表現(xiàn)出難以擺脫已有的思維方向，也就是說(shuō)學(xué)生個(gè)體（乃至于群體）的思維定勢(shì)往往影響了對(duì)新問(wèn)題的解決，以至于產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)。所以要培養(yǎng)與發(fā)展小學(xué)生的抽象思維能力，必須十分注意培養(yǎng)思維求異性，使學(xué)生在訓(xùn)練中逐漸形成具有多角度、多方位的思維方法與能力。例如，四則運(yùn)算之間是有其內(nèi)在聯(lián)系的。減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，加與乘之間則是轉(zhuǎn)換的關(guān)系。當(dāng)加數(shù)相同時(shí)，加法轉(zhuǎn)換成乘法，所有的乘法都可以轉(zhuǎn)換成加法。加減、乘除、加乘之間都有內(nèi)在的聯(lián)系。如１８９－７可以連續(xù)減多少個(gè)７？應(yīng)要求學(xué)生變換角度思考，從減與除的關(guān)系去考慮。這道題可以看作１８９里包含幾個(gè)７，問(wèn)題就迎刃而解了。這樣的訓(xùn)練，既防止了片面、孤立、靜止看問(wèn)題，使所學(xué)知識(shí)有所升華，從中進(jìn)一步理解與掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，又進(jìn)行了求異性思維訓(xùn)練。在教學(xué)中，我們還經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生只習(xí)慣于順向思維，而不習(xí)慣于逆向思維。在應(yīng)用題教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生分析題意時(shí)，一方面可以從問(wèn)題入手，推導(dǎo)出解題的思路；另一方面也可以從條件入手，一步一步歸納出解題的方法。更重要的是，教師要十分注意在題目的設(shè)置上進(jìn)行正逆向的變式訓(xùn)練。如：進(jìn)行語(yǔ)言敘述的變式訓(xùn)練，即讓學(xué)生依據(jù)一句話改變敘述形式為幾句話。逆向思維的變式訓(xùn)練則更為重要。教學(xué)的實(shí)踐告訴我們，從低年級(jí)開(kāi)始就重視正逆向思維的對(duì)比訓(xùn)練，將有利于學(xué)生不囿于已有的思維定勢(shì)。

五、數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維能力

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的迷戀往往是從興趣開(kāi)始的，由興趣產(chǎn)生動(dòng)機(jī)，由動(dòng)機(jī)到探索，由探索到成功，在成功的快感中產(chǎn)生的新的興趣和動(dòng)機(jī)，推動(dòng)學(xué)習(xí)的不斷成功。

（2）要教會(huì)學(xué)生思維的方法

孔子說(shuō)：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。恰當(dāng)?shù)厥久鲗W(xué)思關(guān)系，才能取得良好的效果。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生思維活躍，就要教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的正確思維方式。要學(xué)生善于思維，必須重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，沒(méi)有扎實(shí)的雙基，思維能力是得不到提高的。數(shù)學(xué)概念、定理是推理論證和運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地理解概念、定理是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在教學(xué)過(guò)程中要提高學(xué)生觀察分析、由表及里、由此及彼的認(rèn)識(shí)能力。

（3）要培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而創(chuàng)造性思維又是數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，是未來(lái)的高科技信息社會(huì)中，具有開(kāi)拓、創(chuàng)新意識(shí)的開(kāi)創(chuàng)性人才所必須具有的思維品質(zhì)。①在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要精心設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)一定的思維情境，巧設(shè)懸念，使學(xué)生對(duì)所要解決的問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲。學(xué)生的創(chuàng)造性思維往往是由遇到要解決的問(wèn)題而引起的，因此，教師在傳授知識(shí)的過(guò)程中，要精心設(shè)計(jì)思維過(guò)程，創(chuàng)設(shè)思維情境，使學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中，新的需要與原有的數(shù)學(xué)水平發(fā)生認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性、啟迪直覺(jué)思維，培養(yǎng)創(chuàng)造機(jī)智。②任何創(chuàng)造過(guò)程，都要經(jīng)歷由直覺(jué)思維得出猜想，假設(shè)，再由邏輯思維進(jìn)行推理、實(shí)驗(yàn)，證明猜想、假設(shè)是正確的。許多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，都是由科學(xué)家們一時(shí)的直覺(jué)得出猜想、假設(shè)，然后再由科學(xué)家們自己或幾代人，經(jīng)過(guò)幾年，幾十年甚至上百年不懈的努力研究而得以證明。如有名的“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等等。因此，要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維，就必須培養(yǎng)好學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維的能力，而直覺(jué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的意義，在教學(xué)中應(yīng)予以重視。教師在課堂教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的直覺(jué)猜想不要隨便扼殺，而應(yīng)正確引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽說(shuō)出由直覺(jué)得出的結(jié)論。而直覺(jué)思維以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，因此，在教學(xué)中要抓好“三基”教學(xué)，同時(shí)要保護(hù)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中反映出來(lái)的直覺(jué)思維，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為杜絕可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，應(yīng)“還原”直覺(jué)思維的過(guò)程，從理論上給予證明，使學(xué)生的邏輯思維能力得以訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造機(jī)智。③ 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，對(duì)造就一代開(kāi)拓型人才具有十分重要的意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中可通過(guò)典型例題的解題教學(xué)及解題訓(xùn)練，尤其是一題多解、一題多變、一題多用及多題歸一等變式訓(xùn)練，達(dá)到使學(xué)生鞏固與深化所學(xué)知識(shí)，提高解題技巧及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)思維的靈活性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性的目的。

培養(yǎng)學(xué)生思維能力的方法是多種多樣的，要使學(xué)生思維活躍，最根本的一條，就是要調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，教師要善于啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥、解疑，使學(xué)生變學(xué)為思。當(dāng)然，良好的思維品質(zhì)不是一朝一夕就能形成的，而是要根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，通過(guò)各種手段，堅(jiān)持不懈，持之以恒。

第二篇：數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)

學(xué)號(hào)：

091090142

09春數(shù)本班

汪煒

目

錄

一、幾種數(shù)學(xué)思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學(xué)探索能力

二、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的特點(diǎn)

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓(xùn)練性

三、如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會(huì)學(xué)生思維的方法

（三）善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維力

<<數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教學(xué)>>

-----------提綱

一、幾種數(shù)學(xué)思維能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）選擇判斷能力

（四）數(shù)學(xué)探索能力

二、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的特點(diǎn)

（一）思維的敏銳性

（二）思維的不成熟性

（三）思維的可訓(xùn)練性

三、如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的突破口

（二）教會(huì)學(xué)生思維的方法

（三）善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維力

第三篇：數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

鄭毓信

（南京大學(xué)哲學(xué)系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個(gè)基本目標(biāo)。以國(guó)際上的相關(guān)研究為背景，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特

征性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡(jiǎn)介：鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME10）國(guó)際程序委員會(huì)委員。

對(duì)于數(shù)學(xué)思維的突出強(qiáng)調(diào)是國(guó)際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，如由美國(guó)的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)》和我國(guó)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)而言，上述的理念還不能說(shuō)已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是以下的認(rèn)識(shí)：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。以下將依據(jù)國(guó)際上的相關(guān)研究對(duì)這一觀點(diǎn)作出具體分析，希望能促進(jìn)這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯?shí)際教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

一、數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)思維的基本形式

眾所周知，強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征。“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類的活動(dòng)軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們?cè)诖藙t又面臨著這樣一個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間的關(guān)系。

事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)

學(xué)”的重要過(guò)渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無(wú)論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對(duì)象并非教師手中的那個(gè)木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實(shí)上就已包括了由現(xiàn)實(shí)原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過(guò)渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實(shí)原型，如加法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的聚合，也可能是同一個(gè)量的增加性變化，同樣地，減法所對(duì)應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的比較，也可能是同一個(gè)量的減少性變化；然而，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中所說(shuō)的現(xiàn)實(shí)意義、包括不同現(xiàn)實(shí)原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關(guān)系”還是“一元的動(dòng)態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對(duì)應(yīng)的都是同一類型的表達(dá)式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實(shí)上就包括了由特殊到一般的重要過(guò)渡。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，以上所說(shuō)的可說(shuō)是一種“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)：數(shù)學(xué)可被定義為“模式的科學(xué)”，也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個(gè)特殊的現(xiàn)實(shí)情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過(guò)渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對(duì)象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實(shí)情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。例如，就以上所提及的加減法運(yùn)算而言，由于其中涉及三個(gè)不同的量（兩個(gè)加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問(wèn)題，即如何依據(jù)其中的任意兩個(gè)量去求取第三個(gè)量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個(gè)已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問(wèn)另一個(gè)數(shù)是幾？”或者“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問(wèn)另一個(gè)數(shù)是幾？”我們?cè)诖耸聦?shí)上已由“具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的量化模式”過(guò)渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見(jiàn)，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點(diǎn)，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們?cè)诖擞謶?yīng)考慮這樣的問(wèn)題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識(shí)所說(shuō)的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過(guò)渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅(jiān)持立足

[1]

于現(xiàn)實(shí)生活。

由于后一問(wèn)題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點(diǎn)：與現(xiàn)實(shí)意義在一定程度上的分離對(duì)于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。這正是國(guó)際上的相關(guān)研究、特別是近年來(lái)所興起的“民俗數(shù)學(xué)”研究的一個(gè)重要結(jié)論：盡管“日常數(shù)學(xué)”具有密切聯(lián)系實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學(xué)能力”，人們往往就不善于從反面去思考問(wèn)題，與此相對(duì)照，通過(guò)學(xué)校中的學(xué)習(xí)，上述的情況就會(huì)有很大改變，這就是說(shuō)，純數(shù)學(xué)的研究“在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)使用逆運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實(shí)情景，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)在“可遷移性”方面也會(huì)表現(xiàn)出

很大的局限性。

一般地說(shuō)，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對(duì)學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、適當(dāng)重組、擴(kuò)展和組織化的過(guò)程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實(shí)過(guò)渡到了系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及對(duì)于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的：“兒童來(lái)到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識(shí)卻比預(yù)料的多??他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動(dòng)中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識(shí)，同時(shí)需擴(kuò)展他們這種知識(shí)，使其與我們社會(huì)文化部分中的高度緊密的知識(shí)體系相結(jié)合。”

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的集合進(jìn)行計(jì)數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的量進(jìn)行度量。??盡管運(yùn)算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個(gè)運(yùn)算──這即是借助于算法所表明的事實(shí)。作為計(jì)算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對(duì)的文字題中的算術(shù)問(wèn)題的來(lái)源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡(jiǎn)單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡(jiǎn)單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)。”

總的來(lái)說(shuō)，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問(wèn)題，而且也包括了對(duì)于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”。另外，相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學(xué)研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化??是一條保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑??情境和模型，問(wèn)題與求解這些活動(dòng)作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。”

二、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導(dǎo)意義。

具體地說(shuō)，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過(guò)程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。例如，加減法在最初都是作為一種過(guò)程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過(guò)程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過(guò)程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過(guò)程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過(guò)程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個(gè)整數(shù)相除的值”而不是“兩個(gè)整數(shù)的比”，這事實(shí)上也可被看成包括了由過(guò)程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說(shuō)，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對(duì)象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。

對(duì)于所說(shuō)的“凝聚”可進(jìn)一步分析如下：

第一，“凝聚”事實(shí)上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說(shuō)集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的東西射或反射到一個(gè)新的層面上，并對(duì)此進(jìn)行重新建構(gòu)”。這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來(lái)考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開(kāi)放的??當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會(huì)不斷地改變；對(duì)這類‘實(shí)體’進(jìn)行的運(yùn)演，反過(guò)來(lái)，又成為理論研究的對(duì)象，這個(gè)過(guò)程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)來(lái)予以結(jié)構(gòu)化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構(gòu)”。

第二，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個(gè)階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺(jué)性程序，后者則是指將相應(yīng)的過(guò)程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對(duì)所說(shuō)的過(guò)程作出描述或進(jìn)行反思──我們?cè)诖瞬粌H不需要實(shí)際地去實(shí)施相關(guān)的運(yùn)作，還可從更高的抽象

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[2]

水平對(duì)整個(gè)過(guò)程的性質(zhì)作出分析；另外，相對(duì)于前兩個(gè)階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過(guò)程現(xiàn)在變成了一個(gè)靜止的對(duì)象。容易看出，上述的分析對(duì)于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說(shuō)的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點(diǎn)：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，但又不應(yīng)停留于“實(shí)際操作”，而應(yīng)十分重視“活動(dòng)的內(nèi)化”，因?yàn)椋蝗坏脑挘筒豢赡苄纬扇魏握嬲臄?shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來(lái)，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過(guò)程”向“對(duì)象”的過(guò)渡不應(yīng)被看成一種單向的運(yùn)動(dòng)；恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過(guò)程”轉(zhuǎn)向“對(duì)象”，以及由“對(duì)象”重新回到“過(guò)程”。

例如，在求解代數(shù)方程時(shí)，我們顯然應(yīng)將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1,看成單一的對(duì)象，而非具體的計(jì)算過(guò)程，不然的話，就會(huì)出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯(cuò)誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗(yàn)，我們又必須將其代入原來(lái)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，而這時(shí)所采取的則就是一種“過(guò)程”的觀點(diǎn)。

正因?yàn)樵凇斑^(guò)程”和“對(duì)象”之間存在所說(shuō)的相互依賴、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，因此，一些學(xué)者提出，我們應(yīng)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念看成一種“過(guò)程—對(duì)象對(duì)偶體”procept,這是由“過(guò)程”（process）和（作為對(duì)象的）“概念”（concept）這兩個(gè)詞組合而成的。，即應(yīng)當(dāng)認(rèn)為其同時(shí)具有“過(guò)程”與“對(duì)象”這樣兩個(gè)方面的性質(zhì)。再者，我們又應(yīng)很好地去把握相應(yīng)的思維過(guò)程（可稱為“過(guò)程—對(duì)象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對(duì)偶性”，是指在“過(guò)程”與相應(yīng)的“對(duì)象”之間所存在的相互依存、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系；（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應(yīng)的符號(hào)表達(dá)式：它既可以代表所說(shuō)的運(yùn)作過(guò)程，也可以代表經(jīng)由凝聚所生成的特定數(shù)學(xué)對(duì)象；（3）靈活性，是指我們應(yīng)根據(jù)情境的需要自由地將符號(hào)看成過(guò)程或概念。特殊地，數(shù)學(xué)中常常會(huì)用幾種不同的符號(hào)去表征同一個(gè)對(duì)象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過(guò)程”與“對(duì)象”之間的轉(zhuǎn)化，而且也是指不同的“過(guò)程—對(duì)象對(duì)偶體”之間的轉(zhuǎn)化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見(jiàn)，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺(jué)地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征

以上關(guān)于“過(guò)程—對(duì)象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有

理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說(shuō)明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。

具體地說(shuō)，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋（或者說(shuō)，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

例如，在教學(xué)中人們往往唯一地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從“部分與整體的關(guān)系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分?jǐn)?shù)常常被想象成“圓的一個(gè)部分”。然而，實(shí)踐表明，局限于這一心理圖像必然會(huì)造成一定的學(xué)習(xí)困難、甚至是嚴(yán)重的概念錯(cuò)誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對(duì)以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。

這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式??教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”[7]（2）由于實(shí)踐活動(dòng)（包括感性經(jīng)驗(yàn)）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動(dòng)社會(huì)性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對(duì)于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。這正如美國(guó)學(xué)者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式──如圖像，書面語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情

景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”

再次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化。”

[7]（53）

當(dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時(shí)，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說(shuō)，我們不應(yīng)停留于對(duì)于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過(guò)多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會(huì)鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實(shí)上也就從另一個(gè)角度更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

最后，我們應(yīng)清楚地看到在形式和直覺(jué)之間所存在的重要的互補(bǔ)關(guān)系。特別是，就由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過(guò)渡而言，不應(yīng)被看成對(duì)于學(xué)生原先所已發(fā)展起來(lái)的素樸直覺(jué)的徹底否定；毋寧說(shuō)，在此所需要的就是如何通過(guò)學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使之“精致化”，以及隨著認(rèn)識(shí)的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學(xué)直覺(jué)。在筆者看來(lái)，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)努力“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關(guān)的能力，如計(jì)算能力等，還包含“直覺(jué)”的含義，即對(duì)于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對(duì)數(shù)的相對(duì)大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當(dāng)然，作為問(wèn)題的另一方面，我們又應(yīng)明確地肯定幫助學(xué)生牢固地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本技能的重要性，特別是，在需要的時(shí)候能對(duì)客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準(zhǔn)確的刻畫和計(jì)算，并能對(duì)運(yùn)算的合理性作出適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明──顯然，后者事實(shí)上已超出了“直覺(jué)”的范圍，即主要代表了一種自覺(jué)的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺(jué)”以外，著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)施拜因曾突出地強(qiáng)調(diào)了“算法”的掌握對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。事實(shí)上，即使就初等數(shù)學(xué)而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠(yuǎn)、走不遠(yuǎn)，更不能騰飛??可是你要一引進(jìn)代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個(gè)人都可以做，用不著天才人物想出許多招來(lái)才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠(yuǎn)而且可以騰飛。”

[8]這正是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的一個(gè)基本事實(shí)，即一種重要算法的形成往往就標(biāo)志著數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。也正因?yàn)榇耍M(fèi)施拜因?qū)⑿问健⒅庇X(jué)與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)的三個(gè)基本成分”，并專門撰文對(duì)這三者之間的交互作用進(jìn)行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

綜上可見(jiàn)，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實(shí)的努力以很好地落實(shí)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。

第四篇：數(shù)學(xué)教學(xué)與發(fā)散思維

發(fā)散思維數(shù)學(xué)課堂的運(yùn)用

內(nèi)丘四中 施梅霞

“創(chuàng)造性思維需要有豐富的想象。”一位老師在課堂上給同學(xué)們出了一道有趣的題目“磚都有哪些用處？”，要求同學(xué)們盡可能想得多一些，想得遠(yuǎn)一些。馬上有的同學(xué)想到了磚可以造房子、壘雞舍、修長(zhǎng)城。有的同學(xué)想到古代人們把磚刻成建筑上的工藝品。有一位同學(xué)的回答很有意思，他說(shuō)磚可以用來(lái)打壞人。從發(fā)散性思維的角度來(lái)看，這位同學(xué)的回答應(yīng)該得高分，因?yàn)樗汛u和武器聯(lián)系在一起了。同樣袁老師的課堂深深的吸引了我。看著黑板上的六組平行線，心中疑問(wèn)，袁老師這節(jié)課的內(nèi)容是什么？手里的繩子怎么用？繩子的兩端固定在黑板上，隨意以處為頂點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)至于某處，為了讓學(xué)生輕松的記住幾個(gè)點(diǎn)的位置，老師用形象的比喻來(lái)表述。鳥嘴，豬嘴，曲項(xiàng)向天歌，回眸一笑，詼諧幽默，又非常的形象。以期中一個(gè)為例說(shuō)明∠A, ∠B, ∠P之間的關(guān)系。然后讓學(xué)生討論，分析，演示寫出結(jié)論。有了前面的鋪墊，學(xué)生的興趣很高。取得了很好的效果。袁老師的教學(xué)也充分體現(xiàn)了

“一圖多問(wèn)、一圖多變和一題多圖”的教學(xué)思路是發(fā)散思維的典型例子。

圖形發(fā)散習(xí)慣指圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產(chǎn)生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過(guò)程，不僅可以舉一反三。觸類旁通，還可以通過(guò)演變過(guò)程了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，找出特殊與一般之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生觀察同一事物時(shí)，要從不同的角度、不同的方面仔細(xì)地觀察，認(rèn)識(shí)事物，理解知識(shí)，這樣既能提高學(xué)生思維的靈活性，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

通過(guò)適當(dāng)變化幾何題目的已知或結(jié)論，可使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到進(jìn)一步加強(qiáng)。進(jìn)行一次適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，不僅能鞏固知識(shí)，開(kāi)闊學(xué)生視野,還能活躍學(xué)生思維，提高學(xué)生的應(yīng)變能力。

長(zhǎng)期以來(lái)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)以集中思維為主要思維方式，課本上的題目和材料的呈現(xiàn)過(guò)程大都循著一個(gè)模式，學(xué)生習(xí)慣于按照書上寫的與教師教的方式去思考問(wèn)題，用符合常規(guī)的思路和方法解決問(wèn)題，這對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握是必要的，但對(duì)于中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)、智力能力的發(fā)展，特別是創(chuàng)造性思維的發(fā)展，顯然是不夠的。而發(fā)散思維卻正好反映了創(chuàng)造性思維“盡快聯(lián)想，盡多作出假設(shè)和提出多種解決問(wèn)題方案”的特點(diǎn)，因而成為創(chuàng)造性思維的一種主要形式。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，在培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力的同時(shí)，也要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。贊可夫說(shuō)過(guò)：“凡是沒(méi)有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。贊可夫這句話說(shuō)明了發(fā)散思維能力的形成，需要以樂(lè)于求異的心理傾向作為一種重要的內(nèi)驅(qū)力。教師妥善于選擇具體題例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，精細(xì)地誘導(dǎo)學(xué)生的求異意識(shí)。對(duì)于學(xué)生在思維過(guò)程中時(shí)不時(shí)地出現(xiàn)的求異因素要及時(shí)予以肯定和熱情表?yè)P(yáng)，使學(xué)生真切體驗(yàn)到自己求異成果的價(jià)值。對(duì)于學(xué)生欲尋異解而不能時(shí)，教師則要細(xì)心點(diǎn)撥，潛心誘導(dǎo)，幫助他們獲得成功，使學(xué)生漸漸生成自覺(jué)的求異意識(shí)，并日漸發(fā)展為穩(wěn)定的心理傾向，在面臨具體問(wèn)題時(shí)，就會(huì)能動(dòng)地作出“還有另解嗎？”“試試看，再?gòu)牧硪粋€(gè)角度分析一下！”的求異思考。事實(shí)證明，也只有在這種心理傾向驅(qū)使下，那些相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)才會(huì)處于特別活躍的狀態(tài)，也才可能對(duì)題中數(shù)量作出各種不同形式的重組，逐步形成發(fā)散思維能力。訓(xùn)練學(xué)生對(duì)同一條件，聯(lián)想到多種結(jié)論的發(fā)散思維習(xí)慣。這種思維習(xí)慣是指確定了已知條件后，沒(méi)有固定的結(jié)論，讓學(xué)生自己盡可能多地確定未知結(jié)論，并這個(gè)過(guò)程充分去求解這些未知結(jié)論。揭示思維的廣度和深度。不同層次的學(xué)生都能得到有益的嘗試，符合素質(zhì)教育面向全體學(xué)生的要求。

1、在課堂教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)給學(xué)生提供獨(dú)立思考問(wèn)題、自己提問(wèn)題的條件與機(jī)會(huì)為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部的環(huán)境。

２、在課堂上善于創(chuàng)設(shè)思維情景，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，運(yùn)用已學(xué)過(guò)知識(shí)去解決新問(wèn)題。其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法。這樣培養(yǎng)的學(xué)生敢于提問(wèn)題、敢于批判、敢于質(zhì)疑、思維敏捷。不受老師講解的束縛，可為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)良好的內(nèi)、外部環(huán)境。

3、既然事物是相互聯(lián)系的，是多方面關(guān)系的總和。所以在教學(xué)中教育學(xué)生當(dāng)一種方法，一個(gè)方面不能解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)主動(dòng)地否定這一方法、方面，讓思維向另一方法、另一方面跨越。不要滿足已有的思維成果，力圖向新的方法、領(lǐng)域探索，并力圖在各種方法、方面中，尋找一種更好一點(diǎn)的方法、方面。

4、教學(xué)上運(yùn)用相關(guān)的題目進(jìn)行訓(xùn)練，促使學(xué)生在思維上善于從同一對(duì)象中產(chǎn)生多種分化因素的能力，從不同的方向去思考，揭示同一本質(zhì)表現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象、形式之間的差異。

5、使思維富于聯(lián)想，思路寬闊，能對(duì)已知信息進(jìn)行多方向、多角度的聯(lián)想，從而能夠發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、提出新問(wèn)題，得到多種解答或結(jié)論。

6、注意在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生提出的不同結(jié)論，如果講得有道理，教師就應(yīng)該給予肯定，即便是與教材中的敘述有所出入，教師也不應(yīng)該硬將教材中的結(jié)論強(qiáng)加給學(xué)生，因?yàn)槿魏沃R(shí)的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷由不完整到完整的過(guò)程。讓學(xué)生真實(shí)的坦陳自己的想法，尊重孩子的思維成果，不輕易否定孩子在認(rèn)真思維基礎(chǔ)上的答案，這樣，學(xué)生才會(huì)“放下包袱、開(kāi)動(dòng)機(jī)器”，這樣，才會(huì)“百花齊放、百家爭(zhēng)鳴”。

2.17.3.10

第五篇：數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

內(nèi)容摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)一種學(xué)習(xí)方法。隨著社會(huì)的進(jìn)步，人們逐漸認(rèn)識(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo)是培養(yǎng)孩子的自主能力，培養(yǎng)孩子的智商。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。這也是教學(xué)的重任和測(cè)試教學(xué)質(zhì)量的關(guān)建。本文提到了數(shù)學(xué)思維的概念，講到了小學(xué)數(shù)學(xué)教育要具備的基本功和通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的思想方法。

關(guān)健詞：數(shù)學(xué)思維 小學(xué)數(shù)學(xué) 基本功

思維即人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的一種反應(yīng)和概括，同時(shí)還夾雜著自己的主觀意識(shí)。從數(shù)學(xué)的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，并提出解決問(wèn)題的方法稱作數(shù)學(xué)思維。而數(shù)學(xué)本身是對(duì)模式的一種研究，是一種抽象化的過(guò)程。數(shù)學(xué)將具體的問(wèn)題普遍化、抽象化為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)抽象 的模式 解決實(shí)際問(wèn)題。所以，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，以他們生活中熟悉的具體事物為依據(jù)，逐步開(kāi)始以數(shù)學(xué)抽象的思維方式去進(jìn)行分析。

一.數(shù)學(xué)思維的概念

數(shù)學(xué)思維是一種有條件的，按部就班的，循序漸進(jìn)的思維方式，主要以判斷、推理等概念性的思維形式為主要依據(jù)，是小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn)。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，需要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，兒童時(shí)期是邏輯思維和數(shù)學(xué)概念形成的初期。數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具有高度的邏輯性和抽象性，所以孩子通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)思考可以鍛煉他們的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，幫助孩子開(kāi)發(fā)大腦潛能，提高孩子的創(chuàng)造力。

二.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功的訓(xùn)練與提高

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之一――數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用準(zhǔn)確。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，首先要具備講數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，盡量要做到思路清晰、表述準(zhǔn)確、語(yǔ)言簡(jiǎn)潔。把復(fù)雜話變簡(jiǎn)單，把簡(jiǎn)單的話變成容易讓學(xué)生聽(tīng)懂。保證每個(gè)學(xué)生都能準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容。比如，一些數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會(huì)說(shuō)這樣一句話：“15這個(gè)數(shù)字”，其實(shí)這是一個(gè)技術(shù)性的錯(cuò)誤，數(shù)字只有0～9這十個(gè)，而15是個(gè)數(shù)，并非數(shù)字。如果老師在講課中不強(qiáng)調(diào)清楚，就會(huì)給學(xué)生留下一個(gè)錯(cuò)誤的概念，不能準(zhǔn)確的區(qū)分，數(shù)和數(shù)字的差別。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之二――會(huì)寫，會(huì)畫。板書是指教師根據(jù)課堂教學(xué)的需要，在黑板上書寫的文字、符號(hào)、以及繪制的圖表。一個(gè)完整的板書可以反映教師的許多基本技能，因此教師應(yīng)重視板書的設(shè)計(jì)，注重基本功的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)教學(xué)板書不是單一的，有很多內(nèi)容往往要用圖形來(lái)表達(dá)。因此，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師還要具備繪畫的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之三――會(huì)制作教具。小學(xué)生的思維正處于從具體形象思維到抽象邏輯思維的過(guò)渡階段。在小學(xué)，可以提供一些教具，但不能完全滿足教學(xué)的需要。當(dāng)我們找不到合適的教具時(shí)，教師不得不自己動(dòng)手，以達(dá)到教學(xué)效果。這就要求教師要具有，會(huì)制作教具的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之四――制作試卷。對(duì)于一些信息閉塞的山村學(xué)校來(lái)說(shuō)，教師的這項(xiàng)基本功就變的更加重要。教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，制定相應(yīng)的試卷，來(lái)測(cè)試學(xué)生的水平，改進(jìn)教學(xué)方法，以便促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高，縮小與城市學(xué)校的差距。

三.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要從不同的角度分析問(wèn)題，看待問(wèn)題

事實(shí)證明，人的智力是有差別的。有些學(xué)生確實(shí)學(xué)不好數(shù)學(xué)，可能怎么教都學(xué)不好！對(duì)于這樣的學(xué)生，我們也不必強(qiáng)求，可以換一種思維去對(duì)待。我們可以這樣看待，他數(shù)學(xué)學(xué)不好，不一定語(yǔ)文學(xué)不好，他只要有一門學(xué)的好，或者有一門其他方面突出的技能，“三百六十行，行行出狀元”，他就能在社會(huì)上生存，就能發(fā)揮出自己的聰明才智，為社會(huì)做貢獻(xiàn)。同樣會(huì)得到別人的認(rèn)可。《非誠(chéng)勿擾》的主持人孟非在主持的過(guò)程中，曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句話，他說(shuō)他上學(xué)的時(shí)候，數(shù)學(xué)考20分，英語(yǔ)考20分，語(yǔ)文考150分，滿分150分。就這樣，孟非成為了中國(guó)最著名的主持人之一。其實(shí)從不同的角度去看待問(wèn)題就會(huì)有不同的結(jié)果，事實(shí)也是這樣，其實(shí)以上講的，就是一種數(shù)學(xué)思維，從不同的角度去看待問(wèn)題，從不同的角度去解答問(wèn)題，就像解數(shù)學(xué)題的時(shí)候，一道題可能有好幾種解法，其實(shí)在這個(gè)過(guò)程中就是在培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法解決同一個(gè)問(wèn)題的能力，這個(gè)角度不行，你換一個(gè)角度，說(shuō)不定就會(huì)有不同的答案。

有句話說(shuō)，授之以魚不如授之以漁，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教受學(xué)生數(shù)學(xué)課程，更多的是在傳授一種學(xué)習(xí)方法，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，提升學(xué)生的思維能力，解決問(wèn)題的能力。其實(shí)在這個(gè)過(guò)程中鍛煉的，是人的思考方式。做為一名小?W數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該盡量開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，打開(kāi)他們的思維能力，以達(dá)到教育的目的。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：重慶市墊江縣鳳山小學(xué)）