第一篇：求函數的值域常見類型

求值域的幾種常用方法

（1）觀察法、直接法、配方法、換元法：

對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數y??sin2x?2cosx?4，可變為y??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解決

（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數y?log1(?x2?2x?3)就是利用函數y?log1u和u??x2?2x?3的值域來求。

（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數y?2x?13?3?的值域[,] x2?2x?222

（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數y?

（5）利用基本不等式求值域：如求函數y?3x的值域 x2?42cosx?3的值域，因為 cosx?1

（6）利用函數的單調性求求值域：如求函數y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域

（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域

（8）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函數，m<0就是單調函數了 x

4三種模型：（1）如y?x?，求（1）單調區間（2）x的范圍[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0)?(0,4],求值x（9）對勾函數法 像y=x+

域

（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域（2）單調遞增區間（x?0或x?4）x?4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求單調遞增區間 x?3（3）如y?2x?

例1．

1、已知函數f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,當x∈[t,t+1]時，求函數的最大值和最小值。

例2． 設函數f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若對于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，則實數a的值為

x2?2x?a例

3、已知函數f(x)? ,x?[1,??).若對任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,試求實數a的取值范圍。x

第二篇：求函數的值域的常見方法

求函數的值域的常見方法

王遠征

深圳市蛇口學校

求函數的值域是高中數學的重點學習內容，其方法靈活多樣，針對不同的問題情景，要求解題者，選擇合適的方法，切忌思維刻板。本文就已知解析式求函數的值域，這類問題介紹幾種常用的方法。

一、直接法

函數值的集合叫做函數的值域，根據定義，由函數的映射法則和定義域，直接求出函數的值域。

例1． 已知函數y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數的值域。

2解：因為x???1,0,1,2?，而f??1??f?3??3，f?0??f?2??0，f?1???1 所以：y???1,0,3?，注意：求函數的值域時，不能忽視定義域，如果該例的定義域為x?R，則函數的值域為?y|y??1?。請體會兩者的區別。

二、反函數法

反函數的定義域就是原函數的值域，利用反函數與原函數的關系，求原函數的值域。例2． 求函數y?1?

x5的值域。2x?1x分析與解：注意到2?0，由原函數求出用y表示2的關系式，進而求出值域。由y?1?

x5x2?，得：x2?1因為2?0，所以y?4?0??4?y?1，1?y

值域為：?y|?4?y?1?

三、函數的單調性

例3．求函數y?x?1在區間x??0,???上的值域。x

分析與解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，則

f?x1??f?x2??

?x1?x2??x1x2?1?，因為0?x

x1x

2?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，當1?x1?x2時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；

當0?x1?x2?1時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；而當x?1時，ymin?2 于是：函數y?x?

在區間x??0,???上的值域為[2,??)。x

構造相關函數，利用函數的單調性求值域。例4：求函數f?x???x??x的值域。

?1?x?0

分析與解答：因為???1?x?1，而?x與?x在定義域內的單調性

1?x?0?

不一致?，F構造相關函數g?x???x??x，易知g(x)在定義域內單調增。

gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x?2，0?g2?x??2，又f

?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。

四、換元法

對于解析式中含有根式或者函數解析式較復雜的這類函數，可以考慮通過換元的方法將

原函數轉化為簡單的熟悉的基本函數。當根式里是一次式時，用代數換元；當根式里是二次式時，用三角換元。

例5．求函數y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。

95?9?

分析與解答：令t?x2?5x?4??x???，則t??。

42?4?

y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，91?1??9?

當t??時，ymin????4??5?8，值域為?y|y?8?

416?16??4?

例6．求函數y?x?2?x的值域。

分析與解答：令t??x，則x?1?t，t?0，y?1?t2?2t???t?1??

2當t?0時，tmax?1?02?2?0?1 所以值域為(??,1]。

例7．求函數y?x?x?x2?23的值域。分析與解答：由y?x?x?x2?23=x?令x?5?

2?x?5，2cos?，因為2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，則2?x?5=2sin?，于是：y?

??5????

2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，4444??

?

2???

?sin?????1，所以：5?2?y?7。24??

五、配方法

對解析式配方，然后求函數的值域。此法適用于形如F?x??a?f當要注意f?x?的值域。

例8．求函數y?

?x??b?f?x??c，?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：因為?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?

0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

1x2?2x?

4例9．求函數y?在區間x?[,4]的值域。

4x

?42?x2?2x?4

x???6，分析與解答：由y?配方得：y?x??2????xxx??14

1?x?2時，函數y?x??2是單調減函數，所以6?y?18； 4x4

當2?x?4時，函數y?x??2是單調增函數，所以6?y?7。

x

所以函數在區間x?[,4]的值域是6?y?18。

當

六、判別式法

把函數y?f?x?同解變形為關于的一元二次方程，利用??0，求原函數的值域，此方法適用與解析式中含有分式和根式。

2x2?2x?

3例10．求函數y?的值域。

2x?x?

11?3?

分析與解答：因為x?x?1??x????0，原函數變形為：

2?4?

?y?2?x2??y?2?x??y?3??0（1）

當y?2時，求得y?3，所以y?2。

當y?2時，因為x?R，所以一元二次方程（1）有實數根。則：

??0，即：?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?

所以2?y?

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式a?b?2ab，a,b?R?求出函數的最值而得出值域的方法。此法的題形特征是：當解析式是和式時，要求積是定值；當解析式是積式時，要求和是定值；為此解答時，常需要對解析式進行恒等變形，具體講要根據問題本身的特點進行拆項、添項；平方等恒等變形。

??

?x2?30x

例11．求函數y?的值域。

x?

2?x2?30x646

4??x?32??34?[?x?2??] 分析與解答：y?

x?2x?2x?2

因為分母不為0，即x??2，所以： 當x??2時，?x?2??取等號，ymax?18； 當x??2時，??x?2??(?當且僅當?(x?2)??

?2x?2

?x?2?

6464,x?6時，?16，當且僅當x?2?

x?2x?2

6464)?2??x?2?(?)?16，x?2x?2

64,x??6時，取等號，ymin?50； x?2

值域y?(??,18]?[50,??)

注意：利用重要不等式時，要求f?x??0,且等號要成立。

八、數形結合法

當函數解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例12．如例4求函數y??x??x的值域。

分析與解答：令u??x，v??x，則u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，22

原問題轉化為 ：當直線u?v?y與圓u?v?2在直角坐標系uov的第一象限有公

共點時，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當u?v?y經過點(0,2)時，ymin?當直線與圓相切時，ymax?OD?所以：值域為2?y?2

2；

2OC?

2?

?2。

九．利用函數的有界性：形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。

2x?1

例．求函數y?x的值域

2?1

[解析]：函數的有界性

2x?1y?1由y?x得2x?

y?12?1

?22?0,?

y?1

?0?y?1或y??1 y?1

第三篇：求函數值域的方法

求函數值域的求法：

①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；

⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

第四篇：高一函數整理求值域的方法

一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函數的知域為.點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域 例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3當y=2時,方程(＊)無解?！嗪瘮档闹涤驗?＜y≤10/3。

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函

數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。練習：求函數y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一個長為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對于形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],由對數函數的定義知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。以下供練習選用：求下列函數的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

已知函數F(X)=lg(X^2-mx+3)(m為實數)

(1)函數F(X)的定義域與值域能否同時為實數集R?證明你的結論.(2)是否存在實數M,使函數發F(X)的定義域和值域同時為<1,正無窮),若存在,請求出M值,若不存在,說明理由!

類似上面一題的函數F(X)= lg(ax^2+2x+1)

(1)若F(X)的定義域為R,求實數a的取值范圍

(2)若F(X)的值域為R,求實數a的取值范圍

函數Y=-log以2為底(x^2-ax-a)在區間(負無窮,-1/2)上是增函數的充要條件.

第五篇：函數值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數值域的幾種方法

求分式函數值域的常見方法 1 用配方法求分式函數的值域

如果分式函數變形后可以轉化為y?配方，用直接法求得函數的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結論來求分式函數的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當y?1時①式是一個關于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當y?1時，x?0，?1?故函數的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數的值域時要注意下列問題：

1、函數定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當x不能取某些實數時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉換后的一元二次方程若二次項系數中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數單調性求分式函數的值

對于求函數的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數本質特征的通性通法即利用函數的單調性來求其值域.例1求函數y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數進而y是x的增函數，于是y????,?2?； x?1當x??1時，當x??1時，同樣y是x的增函數，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調性的結論： x在求分式函數時我們常運用函數y?x??⑴當a?0時在??,a和??a,??上增函數，在??a,0和0,a上是減函數.??????⑵當a?0時在???,0?和?0,???上是增函數.例求函數y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數，在?2,3?是上增函數，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數法(反解)求分式函數的值域

設y?f(x)有反函數，則函數y?f(x)的定義域是它反函數的值域，函數y?f(x)的值域是其反函數的定義域.那么如果一個分式函數的反函數存在，我們就可以通過求反函數的定義域來求其值域.例1 求函數y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數存在，其反函數為5x?152??，5?解：由于函數y?y?x? 明顯知道該函數的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數，并且用此方法求函數的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關于y的不等式所以反函數求值域的實質是反函數的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數的值域

4x2?7x??0,1?求函數例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數的值域即為關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數的值域

當題目的條件與結論看不出直接的聯系（甚至相去甚遠）時，為了溝通已知與未知的聯系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向.換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學數學問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當且僅當tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據三角函數的有界性求能求出函數的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數的值域.若原函數通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數為正；②各變數的和或積為常數.則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當x?1時取等號），8故函數的值域為?0,3?.例2 設Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數學聯賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數列的問題而實際是我們可以將其轉化為求函數值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質來求其值域就使得整個解題過程利用數更簡單.8.斜率法求分式函數的值域

數形結合是中學數學中的一種重要的數學思想方法.數是形的抽象概括，形是數的直觀表現.華羅庚先生指出：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現在數學的其它領域中，在求函數的值域與最值時也有良好的反映.聯想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數化為斜率式并利用數形結合法來求函數的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數的值域為??51???2,2??.