第一篇：分式型函數求值域的方法探討

分式型函數求值域的方法探討

在教學中，筆者常常遇到一類函數求值域問題，此類函數是以分式函數形式出現，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，現在對這類問題進行探討。ax?b(a?o,b?0)（一次式比一次式）在定義域內求值域。cx?d

2x?12例1：求f(x)?（x??)的值域。3x?2

3241112(x?)?12223?3解：f(x)?=????0,??? 23x?233x?23x?233x?233(x?)3

一、形如f(x)?

2??其值域為?y/y?? 3?

一般性結論，f(x)?ax?bd(a?o,b?0)如果定義域為?x/x??cx?dc?,則值域

a??y/y?? c?

例2：求f(x)?2x?1，x??1,2?的值域。3x?

2分析：由于此類函數圖像可以經過反比列函數圖像平移得出，所以解決在給定區間內的值域問題，我們可以畫出函數圖像，求出其值域。

12x?1222解：f(x)?=?，是由y??向左平移，向上平移得出，通過圖3x?233x?233x

像觀察，其值域為?,? ?35?

?58?

小結：函數關系式是一次式比一次式的時候，我們發現在此類函數的實質是反比例函數通過平時得出的，因此我們可以作出其圖像，去求函數的值域。a（a?0)的值域。x

分析：此類函數中，當a?0，函數為單調函數，較簡單，在此我們不做討論，當a?0時，a'對函數求導，f(x)?1?2,f'(x)?0時，x?(??,a)?a,??），f'(x)?0時，x

二、形如求f(x)?x?

x?(?a,0)?(0,a)，根據函數單調性，我們可以做出此類函數的大致圖像，其我們常

其圖像

4,(x?(1,4)上的值域。x

2解：將函數整理成f(x)?2(x?)，根據雙鉤函數的性質，我們可以判斷此函數在(0,2)x例3：求f(x)?2x?

單調遞減，在(2,??)上遞增，其在2處取最小值，比較1，4出的函數值，我們可以知道在1處取的最大值，所以其值域為42,6 ??

mx?nax2?bx?c

三、用雙鉤函數解決形如f(x)?（m?0,a?0），f(x)?ax2?bx?cmx?n

（m?0,a?0）在定義內求值域的問題。

t2?4t?1例3：（2010重慶文數）已知t?0，則則函數y?的最小值為_______.t

t2?4t?11?t??4，?t?o?由基本不等式地y??2 解：y?tt

例4:求f(x)?x?1(x?1)的值域。2x?x?

2解：令x?1?t,則x?t?1,則f(x)?t1t?=，(t?1)2?(t?1)?2t2?3t?4t?4?3t7其中t?0.則由基本不等式得f(x)?

4x2?2x?21(x??)的值域。例5:求f(x)?2x?12

t?1?t?1?4?)?22??2(t?12t?t?222??解：令t?2x?1,則x?，f(x)?==t??1 2ttt，其中t?0，由基本式得f(x)?22?

1小結：對于此類問題，我們一般換元整理后，將函數變成f(x)?x?2a(a?0)這類型的函x

數，解決此類函數注意應用基本不等式，當基本不等式不行的時候，注意應用雙勾函數的思想去解決此類問題 ax2?bx?c(a?0,m?0)在定義域內求值域。

三、形如f(x)?2mx?bx?c

2x2?x?1例5：求y?2的值域。x?x?1

分析：當定義域為R時，我們采用判別式法求此類函數的值域。當定義域不為R時，不應采用此法，否則有可能出錯。此時，我們要根據函數關系的特征，采用其他方法。

解：x?x?1?0恒恒成立，所以此函數的定義域為x?R，將函數整理成關于x的方程，2

yx2?yx?y?2x2?x?1，(y?2)x2?(y?1)x?(y?1)?0,當y?2?0,關于x的方程

2恒有解，則??(y?1)?4(y?2)(y?1)?0,即1?y?7，顯然，y?2也成立，所以其3

值域為?y/1?y?7

3?

以上是求此類函數的常見方法，但同學們在解題過程中。不要拘泥以上方法，我們要根據具體函數的特征采用相對應的方法，多思考，舉一反三，那以后解決此類問題就很容易了。3

第二篇：求函數值域的方法

求函數值域的求法：

①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；

⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

第三篇：一次分式型函數學案

一次型分式函數

二、基本函數作圖

例1．作下列函數圖象

（1）；

（2）．

歸納1：反比例函數是以坐標軸為漸近線（無限接近）的雙曲線，原點是圖象的中心對稱點；對于（1），點是該雙曲線的一個頂點．

歸納2：一般地，函數的圖象是雙曲線，以坐標軸為漸近線，原點是圖象的中心對稱點．當時圖象分布在一、三象限，圖象與直線的交點是雙曲線的頂點；當時圖象分布在二、四象限，圖象與直線的交點是雙曲線的頂點．

三、利用平移作圖

例2．類比函數的圖象到函數的圖象的變換，指出由的圖象到的圖象的變換，并作出函數的圖象．

歸納：圖象向右平移1個單位；圖象向下平移2個單位，等等．

練習：指出函數的圖象由那個函數經過怎樣的平移得到，并作出函數的圖象．

例3．作函數的圖象，并歸納一次型分式函數圖象與函數函數的圖象的關系．

歸納：一次型分式函數本質上是一個反比例函數，兩者的圖象一般只相差一個平移．

練習：作函數的圖象．

四．“二線一點”法作圖探究

例4．已知函數．

（1）作函數的圖象；

（2）并指出函數自變量x的取值范圍（即函數的定義域）；因變量y的取值范圍（即函數的值域）．

（3）x的取值范圍，y的取值范圍反映在圖象上的特點是什么？

（函數圖象與直線,沒有交點，即,是對應雙曲線的漸近線）

（4）找到了雙曲線的漸近線，根據雙曲線圖象的大致形狀，只要知道圖象在“一、三象限”還是在“二、四象限”就可以畫出其大致圖象．如何根據函數的解析式直接來確定“象限”？（一般找與坐標軸的交點來確定）

（5）對于一般的一次型分式函數如何來確定漸近線，即確定x與y的取值范圍？

（6）觀察例4、例3，發現與系數關系．

例5．作函數的圖象．

歸納：對于一次型分式函數的作法：

（1）先確定x與y的取值范圍：，即找到雙曲線的漸近線，；

（2）再取與一個坐標軸的交點確定圖象在“一、三象限”還是在“二、四象限”；

（3）根據雙曲線的大致形狀畫出函數的圖象．

練習：用平移法與“二線一點”法分別作函數的圖象．

五．小結

1．一次型分式函數本質上是一個反比例函數，兩者的圖象一般只相差一個平移．其圖象是雙曲線，其中，是雙曲線的兩條漸近線（曲線與直線無限接近），點是圖象的中心對稱點．

2．平移法作函數的圖象時，先將函數解析式化為，再由圖象平移得到．

3．“二線一點”法作函數的圖象時，（1）先確定x與y的取值范圍：，即找到雙曲線的漸近線，；（2）再取與一個坐標軸的交點確定圖象在“一、三象限”還是在“二、四象限”；（3）根據雙曲線的大致形狀畫出函數的圖象．

六．課后作業

1．若函數的圖象過點，則函數圖象分布在（）

（A）一、四象限（B）二、三象限（C）一、三象限（D）二、四象限

2．函數圖象大致形狀是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3．函數的圖象可由下列那個函數圖象平移得到（）

（A）（B）（C）（D）

4．觀察函數的圖象可得，當時，y的取值范圍為（）

（A）（B）（C）（D）或

5．直線與函數圖象一個交點的橫坐標為，則k=__________．

6．函數在內隨著增大而減小，則的取值范圍

．

7．已知函數，則y的取值范圍為_______________．

8．函數的圖象可由函數向_______（左、右）平移________個單位；再向_________（上、下）平移________個單位得到．

9．函數的圖象關于點(1,2)對稱，則a=__________；b=___________．

10．已知一次函數y1=x+1，P點是反比例函數（k>0）的圖象上的任一點，PA⊥x軸，垂足為A，PB⊥y軸，垂足為B，且四邊形AOBP（O為坐標原點）的面積為2．

（1）求k的值；

（2）求所有滿足y1=y2的x的值；

（3）試根據這兩個函數的圖象，寫出所有滿足y1>y2的x的取值范圍．（只需直接寫出結論）

11．已知函數．

（1）寫出函數圖象由那個反比例函數圖象通過怎樣的平移得到；

（2）寫出函數圖象的漸近線、中心對稱點坐標；

（3）用“二線一點”法作出函數圖象的大致形狀．

12．作出函數圖像，并完成下列各題：

（1）當時，求的值；

（2）當時，求取值范圍；

（3）當時，求取值范圍；

第四篇：求函數的值域的常見方法

求函數的值域的常見方法

王遠征

深圳市蛇口學校

求函數的值域是高中數學的重點學習內容，其方法靈活多樣，針對不同的問題情景，要求解題者，選擇合適的方法，切忌思維刻板。本文就已知解析式求函數的值域，這類問題介紹幾種常用的方法。

一、直接法

函數值的集合叫做函數的值域，根據定義，由函數的映射法則和定義域，直接求出函數的值域。

例1． 已知函數y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數的值域。

2解：因為x???1,0,1,2?，而f??1??f?3??3，f?0??f?2??0，f?1???1 所以：y???1,0,3?，注意：求函數的值域時，不能忽視定義域，如果該例的定義域為x?R，則函數的值域為?y|y??1?。請體會兩者的區別。

二、反函數法

反函數的定義域就是原函數的值域，利用反函數與原函數的關系，求原函數的值域。例2． 求函數y?1?

x5的值域。2x?1x分析與解：注意到2?0，由原函數求出用y表示2的關系式，進而求出值域。由y?1?

x5x2?，得：x2?1因為2?0，所以y?4?0??4?y?1，1?y

值域為：?y|?4?y?1?

三、函數的單調性

例3．求函數y?x?1在區間x??0,???上的值域。x

分析與解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，則

f?x1??f?x2??

?x1?x2??x1x2?1?，因為0?x

x1x

2?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，當1?x1?x2時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；

當0?x1?x2?1時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；而當x?1時，ymin?2 于是：函數y?x?

在區間x??0,???上的值域為[2,??)。x

構造相關函數，利用函數的單調性求值域。例4：求函數f?x???x??x的值域。

?1?x?0

分析與解答：因為???1?x?1，而?x與?x在定義域內的單調性

1?x?0?

不一致。現構造相關函數g?x???x??x，易知g(x)在定義域內單調增。

gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x?2，0?g2?x??2，又f

?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。

四、換元法

對于解析式中含有根式或者函數解析式較復雜的這類函數，可以考慮通過換元的方法將

原函數轉化為簡單的熟悉的基本函數。當根式里是一次式時，用代數換元；當根式里是二次式時，用三角換元。

例5．求函數y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。

95?9?

分析與解答：令t?x2?5x?4??x???，則t??。

42?4?

y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，91?1??9?

當t??時，ymin????4??5?8，值域為?y|y?8?

416?16??4?

例6．求函數y?x?2?x的值域。

分析與解答：令t??x，則x?1?t，t?0，y?1?t2?2t???t?1??

2當t?0時，tmax?1?02?2?0?1 所以值域為(??,1]。

例7．求函數y?x?x?x2?23的值域。分析與解答：由y?x?x?x2?23=x?令x?5?

2?x?5，2cos?，因為2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，則2?x?5=2sin?，于是：y?

??5????

2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，4444??

?

2???

?sin?????1，所以：5?2?y?7。24??

五、配方法

對解析式配方，然后求函數的值域。此法適用于形如F?x??a?f當要注意f?x?的值域。

例8．求函數y?

?x??b?f?x??c，?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：因為?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?

0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

1x2?2x?

4例9．求函數y?在區間x?[,4]的值域。

4x

?42?x2?2x?4

x???6，分析與解答：由y?配方得：y?x??2????xxx??14

1?x?2時，函數y?x??2是單調減函數，所以6?y?18； 4x4

當2?x?4時，函數y?x??2是單調增函數，所以6?y?7。

x

所以函數在區間x?[,4]的值域是6?y?18。

當

六、判別式法

把函數y?f?x?同解變形為關于的一元二次方程，利用??0，求原函數的值域，此方法適用與解析式中含有分式和根式。

2x2?2x?

3例10．求函數y?的值域。

2x?x?

11?3?

分析與解答：因為x?x?1??x????0，原函數變形為：

2?4?

?y?2?x2??y?2?x??y?3??0（1）

當y?2時，求得y?3，所以y?2。

當y?2時，因為x?R，所以一元二次方程（1）有實數根。則：

??0，即：?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?

所以2?y?

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式a?b?2ab，a,b?R?求出函數的最值而得出值域的方法。此法的題形特征是：當解析式是和式時，要求積是定值；當解析式是積式時，要求和是定值；為此解答時，常需要對解析式進行恒等變形，具體講要根據問題本身的特點進行拆項、添項；平方等恒等變形。

??

?x2?30x

例11．求函數y?的值域。

x?

2?x2?30x646

4??x?32??34?[?x?2??] 分析與解答：y?

x?2x?2x?2

因為分母不為0，即x??2，所以： 當x??2時，?x?2??取等號，ymax?18； 當x??2時，??x?2??(?當且僅當?(x?2)??

?2x?2

?x?2?

6464,x?6時，?16，當且僅當x?2?

x?2x?2

6464)?2??x?2?(?)?16，x?2x?2

64,x??6時，取等號，ymin?50； x?2

值域y?(??,18]?[50,??)

注意：利用重要不等式時，要求f?x??0,且等號要成立。

八、數形結合法

當函數解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例12．如例4求函數y??x??x的值域。

分析與解答：令u??x，v??x，則u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，22

原問題轉化為 ：當直線u?v?y與圓u?v?2在直角坐標系uov的第一象限有公

共點時，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當u?v?y經過點(0,2)時，ymin?當直線與圓相切時，ymax?OD?所以：值域為2?y?2

2；

2OC?

2?

?2。

九．利用函數的有界性：形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。

2x?1

例．求函數y?x的值域

2?1

[解析]：函數的有界性

2x?1y?1由y?x得2x?

y?12?1

?22?0,?

y?1

?0?y?1或y??1 y?1

第五篇：分式函數值域解法

分式函數值域解法匯編

甘肅省定西工貿中專文峰分校 張占榮

函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想，數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖象。而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一。為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討。下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關概念

函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值。

函數的值域是函數值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。

分式函數是指函數解析式為分式形式的函數。

二、分式函數的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數。

1.y=(a0)型

例１ 求函數y=的值域。

解法一：常數分離法。將y=轉化為y=（k1,k2為常數），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數法。利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。

解：反解y=得x=，對調 y=（x)，∴函數y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名。可以考慮借助三角函數值域解題，其實質跟y=（t=sinx）在t的指定區間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數的值域為[，0]。

總結：求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區間上求分式函數的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數。由于出現了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯系，可以相互轉化。所以可考慮將其轉化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0。由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0,根據判別式

即可求出值域。

例４ 求函數y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由△≥0得-

∵函數定義域為R，≤y≤。

∴函數y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域。

解：用單調性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數y=t+ 在t≥2上單調遞增。

∴當t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數的值域為。

總結：不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結分式函數值域解法

求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數法。反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數的值域。需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復合型分式函數值域的常用方法。當分式函數的分子或分母出現子函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調性法。單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法。

另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明