第一篇：總結求逆矩陣方法

總結求逆矩陣方法

直接算會死人的。根據矩陣特點用不用的分解，寫成幾個例程，每次實驗之前進行嘗試，根據嘗試結果在算法里決定里決定用哪個。

irst 我想問：

1.全階矩陣A的求逆運算inv(A)和稀疏矩陣B（階數和a一樣）的求逆運算inv(B)是不是采取一樣的方法啊？也就是說他們的計算量是不是一樣的啊？不會因為是稀疏矩陣就采取特殊的方法來處理求逆吧？

我電腦內存256M，做4096*4096的矩陣求逆還可以，上萬階的就跑不動了

稀疏存儲方式會減少不必要的計算，雖然原理還是一樣，不過

計算量大大減少了。

2.如果一個矩陣C非零元素都集中在主對角線的周圍，那么對C求逆最好 應該采用什么樣的方法最好呢？

一般還是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩陣對角占優就更好辦了。

只不過還是需要稀疏存儲。

稀疏矩陣的逆一般不會是稀疏矩陣，所以對高階的稀疏矩陣求逆，是不可行的，對1萬階的全矩陣需要的內存差不多已經達到了pc的極限，我想最好的辦法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次數就有限，效率還是很高的。

不過求逆運算基本上就是解方程，對稀疏矩陣，特別是他那種基本上非零元素都在對角線附近的矩陣來說，LU分解不會產生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共軛梯度法了。

C的資源網絡上有很多 google一下

或者到www.tmdps.cn上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合編程

有現成代碼，但要你自己找了 也可以使用程序庫

second

30,000*30,000的稀疏矩陣求逆如何實現？

試試基于krylov子空間方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函數可以直接調用。

直接help gmres就可以了。

如果效果還不好。

就用用預處理技術。

比如不完全lu預處理方法。等等。

各種各樣的預處理+GMRES是現在解決大規模稀疏矩陣的主力方法。

維數再多還是用不完全LU分解預處理+CG or Gmres 我一個同學這么求過200W階的矩陣

求逆一般是不可取的，無需多說。但稀疏矩陣的直接解法還是不少的。基本上都是對矩陣進行重新排序以期減少填充或運算量。

在matlab里面，有許多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根據是否對稱，采用LU分解或者chol分解。

這些算法在internet上搜一下，很多都有相應的C或fortran版本。

稀疏矩陣的存儲最常見的是壓縮列（行）存儲，最近發現一種利用hash表來存儲的，其存取復雜度是O（1）,很是不錯。有幸趣的可以看看下面網頁咯，作者提供了源程序。

事實上Hash表存儲的效率也跟Hash算法有關，弄不好的話，不見得比直接按行或者列

順序檢索快。而且規模越大，效率肯定越來越低。

http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

對稱正定的稀疏矩陣很好辦啊，用LU分解就可以了。

如果維數實在太大，比如超過10^4量級，那就只能用

共軛梯度法之類的迭代法求解了。好多文獻中用Cholesky分解處理的，好像結果還可以

你覺得LL’分解不會破壞矩陣的稀疏性么——如果矩陣不是帶狀的話？

而且數值穩定性也有問題。

對于一些注入元不是很多的矩陣這應該是個好辦法。

但是對于有些矩陣，LU分解后可能就把整個矩陣充滿了。~ 這是比較郁悶的事情。

third

帶狀矩陣的逆有快速算法嗎？

我覺得這個說法不對，至少在Matlab里面，使用稀疏矩陣求逆對于效率的提高還是很顯著的。利用稀疏特性，很多對于零元素的操作就省掉了。如果原矩陣還是對稱的，可以考慮三角分解，把單位陣的列向量作為右端項，求解得到的是對應的逆陣的列向量。

但是，按照前輩的說法，“絕大部分情況下，求逆陣肯定不是必需的”，這一說法我現在還是挺贊同的。至少，一般我們不會在有限元求解或者普通的線性方程組求解的時候，是先對系數矩陣求逆的吧。所以，我認為，逆陣在數學上很漂亮，對于公式推導有所幫助，但是在數值計算中是應該盡量避免直接計算它的，而且，更重要的是，在絕大部分情況下，是可以避免的。

第二篇：ansys求電感的方法總結

11.2.2.4 LMATRIX

LMATRIX宏可以計算任意線圈組中每個線圈的微分電感矩陣和總磁鏈。參見《ANSYS理論手冊》第5章。

LMATRIX宏用于在靜磁場分析的一個“工作點”上計算任意一組導體間的微分電感矩陣和磁鏈。“工作點”被定義為在系統上加工作（名義）電流所得到的解，該宏命令既可用于線性求解也可用于非線性求解。

必須用波前求解器來計算“工作點”的解。

LMATRIX宏的計算依賴于對工作點進行求解的過程中建立的多個文件。該宏在執行求解之前在這些文件前面加一個前綴OPER來重命名文件，并在完成求解后自動保存這些文件。用戶自己也可以保存這些文件的拷貝以進行備份。該宏命令返回一個N×N＋1矩陣參數，N×N部分表示N-繞組系統的微分電感值，此處N表示系統中的線圈數。N＋1列表示總磁鏈。第I行表示第I個線圈。另外，電感矩陣的值還以文本文件的格式輸出，以供外部使用。文件中第一個列表表示每個線圈的磁鏈。第二個列表表示微分電感矩陣的上三角部分。

命令：LMATRIX

GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Electromagnet>-Static Analysis-Induct Matrix 在調用LMATRIX宏之前，還需要給線圈單元賦一個名義電流值。對于使用磁矢勢（MVP）法或基于棱邊元方法進行求解的靜磁分析，可以使用BFV、BFA或BFE命令來給線圈單元賦名義電流（以電流密度的方式）。對于使用簡化標勢法（RSP）、差分標勢法（DSP）和通用標勢法（GSP）的靜磁分析，可以使用SOURCE36單元的實常數來給線圈單元賦名義電流。

為了使用LMATRIX宏，必須事先用*DIM命令定義一個N階數組，N為線圈數，數組的每行都表示一個線圈。數組的值等于線圈在工作點時每匝的名義電流值，且電流值不能為零，當確實有零電流時，可以用一個很小的電流值來近似。另外，還需用CM命令把每個線圈的單元組合成一個部件。每組獨立線圈單元的部件名必須是用一個前綴后面再加線圈號來定義。一個線圈部件可由標量（RSP/DSP/GSP）或矢量單元（MVP）混合組成，最重要的一點是這些單元的激勵電流與前面數組中所描述的電流相同。

在LMATRIX宏中需定義一個用于保存電感矩陣的數組名，用LMATRIX宏的對稱系數（symfac）來定義對稱性。如果由于對稱性而只建了n分之一部分模型，則計算出的電感乘以n就得到總的電感值。

當工作點位于BH曲線的彎點處時，切向磁導率變化最快，會導致計算的感應系數隨收斂標準而變化。為了獲得更加準確的解，收斂標準要定義得更加嚴格一些，不僅僅是缺省值1.0×10－3。一般在執行MAGSOLV命令時，選擇1.0×10－4或1.0×10－5。

在使用LMATRIX命令前，不要施加（或刪除）非均勻加載，非均勻加載由以下原因生成：

·自由度命令(D, DA,等)在節點或者實體模型上定義非0值 ·帶有非0約束的CE命令

不要在不包含在單元組件中的單元上施加任何載荷(如current)下面的例子是一個3線圈系統，每個線圈的名義電流分別為1.2、1.5和1.7安/匝，其分析的命令流如下。在這個例子中，數組名為“curr”，線圈部件名前綴為“wind”，電感矩陣的計算值存貯在名為“ind”數組中。值得注意的是，在LMATRIX命令行中，這些名字必須用單引號引起來。

*dim，cur，3！3個線圈系統數組

cur（1）=1.2！線圈1的名義電流為1.2安培/匝 cur（2）=1.5！線圈2的名義電流為1.5安培/匝 cur（3）=1.7！線圈3的名義電流為1.7安培/匝 esel，s??！選擇線圈1的單元

cm，wind1，elem！給選出的單元賦予部件名wind1 esel，s??！選擇線圈2的單元

cm，wind2，elem！給選出的單元賦予部件名wind2 esel，s??！選擇線圈3的單元

cm，wind3，elem！給選出的單元賦予部件名wind3 symfac=2！對稱系數

Imaxtrix，symfac，’wind’，’curr’，’ind’！計算微分電感矩陣和總磁鏈

*stat，ind！列出ind電感矩陣

11.2.2.5 下面是以命令流方式進行的一個計算電感矩陣的例子 該例計算一個二線圈系統（永磁電感器件）在非線性工作點下的微分電感矩陣和

總磁鏈，其示意圖如下：

幾何性質：x1=0.1, x2=0.1, x=0.1, y=0.1 材料性質：μr=1.0（空氣），Hc=25（永磁體），B-H曲線（永磁體，見輸入參數）

線圈1：名義電流＝0.25安/匝，匝數＝10 線圈2：名義電流＝0.125安/匝，匝數＝20 目標值：L11=4, L22=16, L12=8 命令流如下： /batch,list /title, Two-coil inductor with a permanent magnet /nopr!geometry data!n=1!meshing parameter x=0.1!width(x size)of core y=0.1!hight of core, y size of window z=1!thickness of iron in z direction x1=0.1!width(x size)of coil 1 x2=0.1!width(x size)of coil 2 Hcy=25!coercive magnetic field in y direction n1=10!number of turns in coil1 n2=20!number of turns in coil2！excitation data used by LMATRIX.MAC!symfac=1!symmetric factor for inductance computation nc=2!number of coils *dim,cur,array,nc!nominal currents of coils *dim,coils,char,nc!names of coil components!cur(1)=0.25!nominal current of 1st coil coils(1)=“wind1”!name of coil 1 component!cur(2)=-0.125!nominal current of 2nd coil coils(2)=“wind2”!name of coil 2 component！auxiliary parameters!mu0=3.1415926*4.0e-7 x3=x1+x2!x coordinate right to coil2 left x4=x3+2*x!x coordinate right to core x5=x4+x2!x coordinate right to coil2 right x6=x5+x1!x coordinate right to coil1 right js1=cur(1)*n1/(x1*y)!nominal current density of coil1 js2=cur(2)*n2/(x2*y)!nominal current density of coil2!/prep7 et,1,53!mp,murx,1,1!air/coil mp,mgyy,2,Hcy!coercive term Bs=2!saturation flux density Hs=100!saturation magnetic field TB,BH,2!core: H = Hs(B/Bs)^2;BS=2T;HS=100A/m *do,qqq,1,20 B=qqq/10*Bs tbpt，Hs*(B/Bs)**2,B *enddo!rect, 0,x1,0,y!coil1 left rect,x1,x3,0,y!coil2 left rect,x3,x4,0,y!core rect,x4,x5,0,y!coil2 right rect,x5,x6,0,y!coil1 right!aglue,all!asel,s,loc,x,x1/2!coil 1 volume attribute aatt,1,1,1 asel,s,loc,x,x5+x1/2 aatt,1,2,1 asel,s,loc,x,x1+x2/2!coil 2 volume attribute aatt,1,3,1 asel,s,loc,x,x4+x2/2 aatt,1,4,1 asel,s,loc,x,x3+x!iron volume attribute aatt,2,5,1 asel,all!esize，n amesh,all!nsel,s,loc,x,x6!flux parallel Dirichlet at symmetry plain, x=x6！homogeneous Neumann flux normal at yoke, x=0 d,all,az,0 nsel,all!esel,s,real，1!coil 1 left component bfe,all,JS，，js1!unite current density in coil 1!esel,s,real，2!coil 1 right component bfe,all,JS，，-js1!return unite current density in coil 1!esel,s,real，1,2 cm,coils(1),elem!esel,s,real，3!coil 2 left component bfe,all,JS，，js2!unite current density in coil 2!esel,s,real，4!coil 2 right component bfe,all,JS，，-js2!return unite current density in coil 2!esel,s,real，3,4 cm,coils(2),elem！allsel!fini！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！!/com /com obtain operating solution /com!/solu cnvtol,csg，1.0e-4 /out,scratch solve fini!/post1!/out!/com, /com, senergy,!Stored electromagnetic energy savelen=S_ENG senergy,1!Co-energy savelce=C_ENG!fini！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！compute inductance lmatrix,symfac,“wind”,“cur”,“ind”,!compute inductance matrix and flux!/com finish 你將得到如下結果：

SUMMARY OF STORED ENERGY CALCULATION Load Step Number:1.Substep Number:1.Time:0.1000E+01 Material Number ofStored EnergyMaterial Description NumberElements(J/m)1.4.0.52360E-05LinearIsotrp...2.1.-0.33314E+00Nonlin.MagnetIsotrp._____________________________________________________________________ T O T A L5.-0.33313E+00 Note: The energy density for the active elements used in the energy calculation is stored in the element item “MG_ENG” for display and printing.The total stored energy is saved as parameter(S_ENG)SUMMARY OF COENERGY CALCULATION Load Step Number:1.Substep Number:1.Time:0.1000E+01 Material Number ofCoenergyMaterial Description NumberElements(J/m)1.4.0.52360E-05LinearIsotrp...2.1.0.33314E+00Nonlin.MagnetIsotrp._____________________________________________________________________ T O T A L5.0.33314E+00 Note: The co-energy density for the active elements used in the co-energy calculation is stored in the element item “MG_COENG” for display and printing.The total coenergy is saved as parameter(C_ENG)_____________________________________________________________________ ________________ LMATRIX SOLUTION SUMMARY ___________________ Flux linkage of coil1.=0.19989E+01 Flux linkage of coil2.=0.39978E+01 Self inductance of coil1.=0.39976E+01 Self inductance of coil2.=0.15989E+02 Mutual inductance between coils1.and2.=0.79948E+01 Inductance matrix is stored in array parameter ind(2., 3.)Inductance matrix is stored in file ind.txt

第三篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個章節本質上都是極限，是以函數的形式表現出來的，所以也具有函數的性質。函數的性質表現在各個方面

首先對極限的總結如下

極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母！！！！！！

看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數函數快于冪數函數快于對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性！！！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義！！）

一，求極限的方法橫向總結：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現未知數的不同次冪：將未知數全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結果還是無窮小量。

3等差數列與等比數列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數的n項的和求極限：列項求和

5分子分母都是未知數的不同次冪求極限：看未知數的冪數，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價無窮小量求極限。

8函數在一點處連續時，函數的極限等于極限的函數。

9常數比0型求極限：先求倒數的極限。

10根號套根號型：約分，注意別約錯了。

11三角函數的加減求極限：用三角函數公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結：

1未知數趨近于一個常數求極限：分子分母湊出（x-常數）的形式，然后約分（因為x不等于該常數所以可以約分）最后將該常數帶入其他式子。

2未知數趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個重要極限

4）分式解法（上述）

第四篇：矩陣解題總結

矩陣解題總結

迄今，我們都做了不少的矩陣習題，我們常常以刷題來滿足自己的做題欲望，并以此方法來讓自己對矩陣這個新概念有更好的了解，那么，在我們無限刷題時，是否想過，出題，都是萬變不離其宗，如果我們嘗試去整理一些題型的做法，那么不久可以做到了舉一反三的功效了嗎？也讓自己騰出了更多的時間去從事其他事物，如此事半功倍，豈不妙哉？因此，解題總結很有必要。

以下，我們來介紹一些常用而較為普遍的經驗方法： ① 對稱矩陣：A=A’，這個概念我們見過此類題型——當A為非零實對稱矩陣時，有A’=A*，求證lAl≠0。這種題，我們通法就是先設出A，再寫出A’，然后矩陣乘法，得到的矩陣中對角線處元素為Σαij2，并且再用已知條件可得到前面的累和式子都等于lAl。因為A為非零實對稱矩陣，因此存在一元素不為零，從而證得lAl≠0。② 題干中給出某等式，求某個問題。如：設A,B均為n階方陣且AB=A+B，則證明AB=BA。此題思路就是從條件出發，一般都是移項、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，記住，一旦看到等號右邊有零，我們常常會加E，變成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展開即可。總結：移項→提公因式→整理。

關于②留一道練習題——設n階方陣A和B滿足A+B=AB，證明A-E可逆。

③ 正交陣概念：滿足AA’=A’A=E

反對稱矩陣概念：A=-A’ ④ l(A*)l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl，⑤ A為n階方陣，若R(A)=n,則R(A*)=n；若R(A)=n-1，則R(A*)=1；若R(A)＜n-1，則R(A*)=0 ⑥ A、B均為n階方陣，則有tr（AB）=tr（BA），其中tr為對角線元素因此AB-BA的對角線元素為零，即tr（AB-BA）=零。⑦ 結論：任何一個n階方陣均可表為一個對稱陣與一個反對稱陣之和。證明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2(A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’))’=1/2(A’-A)=-C’，證明完畢。⑧ 秩的一種常見題型：A,B為n階方陣，AB=0，B為非零方陣，求lAl。思路：因為AB=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因為B≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不滿秩，故行列式為零。⑨ 對于AB=AC時，如何才可以有B=C？一種情況就是A為滿秩。接下來，我們進行計算證明——由原式可得到：A(B-C)=0。運用一個結論：AX=0，A滿秩時，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 證明完畢。特殊的，如果A可逆（因此顯然A是方陣），顯然證得B=C。⑩ A為n階方陣，則R(A)≤1的充要條件是存在兩個nx1矩陣U,V使A=UV’。證明過程可見考研P45。

第五篇：求極限的方法及例題總結解讀

1．定義：

說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；x?2lim(3x?1)?5

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

利用導數的定義求極限

這種方法要求熟練的掌握導數的定義。

2．極限運算法則

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B（2）limf(x)?g(x)?A?B（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。.利用極限的四則運算法求極限

這種方法主要應用于求一些簡單函數的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據具體情況先對函數做某些恒等變形或化簡。

8.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限

limx?1

例1 3x?1?2x?1

(3x?1)2?223x?33lim?lim?x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4解：原式=。

注：本題也可以用洛比達法則。

例2 limn(n?2?n?1)n??

nn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以lim?n??n?2?n?1limn??31?21?1?nn?32解：原式=(?1)n?3nlimnn例3 n??2?3

。上下同除以3n?解：原式

1(?)n?1lim3?1n??2n()?13。

3．兩個重要極限

sinx?1x?0x（1）lim（2）x?0lim(1?x)?e1xlim(1?1)x?ex；x??

說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，sin3x3lim?1lim(1?2x)?2x?elim(1?)3?ex例如：x?03x，x?0，x??；等等。

1x

利用兩個重要極限求極限

1?cosx2x?03x例5 limxx2sin22?lim2?1limx?0x?0x63x212?()22解：原式=。2sin2注：本題也可以用洛比達法則。例6 lim(1?3sinx)x?02x

1?6sinx??3sinxx解：原式=x?0 lim(1?3sinx)?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinxx?e?6。例7 lim(n??n?2n)n?1

n?1?3nn?1?3?3?lim(1?)n??n?1解：原式=?3?3n?1?lim[(1?)]?e?3n??n?1。

n?1?3n

4．等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsin面的等價

x～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上關系成立，例如：當x?0時，e3x?1～3x；ln(1?x2)～?x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在時，x?x0g(x)也存在且定理4 如果函數f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當x?x0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimx?xx?x0g(x)x?x0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等價無窮小代換（定理4）求極限

limx?0例9 xln(1?3x)arctan(x2)ln(1?3x)～3x，arctan(x2)～x2，解：?x?0時，limx?3x?3x2。? 原式=x?0ex?esinxlim例10 x?0x?sinx

esinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)lim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx解：原式=。

注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinxlim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx原式=。

正如下面例題解法錯誤一樣：

limx?0tanx?sinxx?x?lim?0x?0x3x3。

1tan(x2sin)xlimsinx例11 x?0

解：?當x?0時，x2sin111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價xxx，x2sin所以，原式=x?0

lim1x?limxsin1?0x?0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用無窮小的性質求極限

有限個無窮小的和是無窮小，有界函數與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。

例 1.x?01/21

lim(1?xsinx?1sinsin(x?1))lim2lnxex?1 2.x?0

5．洛比達法則

定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導，且g(x)的導數不為0；

f?(x)limg?(x)存在（或是無窮大）（3）；

limf(x)f?(x)limmilg(x)也一定存在，g?(x)，且等于即

f(x)f?(x)limg(x)=g?(x)。則極限說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件

0?（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“0”型或“?”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。

利用洛比達法則求極限

說明：當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。

1?cosx2x?03x例12（例4）limsinx1?x?06x6。解：原式=（最后一步用到了重要極限）limcos?x例13 limx?12x?1 ??2sin?x解：原式=x?1例14 limx?0lim2???12。

x?sinxx3 lim1?cosxsinx1lim?2x?0x?06x6。3x解：原式==（連續用洛比達法則，最后用重要極限）

sinx?xcosx2例15 x?0xsinx lim解：

原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2xsinx1?lim?x?03x23先用等價無窮小，再用洛必達法則

11lim[?]x?0xln(1?x)例18

11lim[?]?0解：錯誤解法：原式=x?0xx。

正確解法： 原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2

應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??x?2sinx3x?cosx

1?2cosx0lim解：易見：該極限是“0”型，但用洛比達法則后得到：x??3?sinx，此極限

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinxxlimx??cosx3?x（分子、分母同時除以x）原式=1?

1=3（利用定理1和定理2）

6．連續性

定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數 f(x)的定義去間內的一點，則有x?x0limf(x)?f(x0)。利用函數的連續性（定理6）求極限

例4 limx2ex?21x

12x解：因為x0?2是函數f(x)?xe的一個連續點，所以原式=2e?4e。

7．極限存在準則

定理7（準則1）單調有界數列必有極限。

四、利用單調有界準則求極限

首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程可求出極限。例1.設a?0，x1?a,x2?a?a?a?x1,?,xn?1?a?xn(n?1,2,?)212

求極限n??

limxn。定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)（2）n??則極限

10.夾逼定理 limyn?an??，n??limzn?a

n??limxn一定存在，且極限值也是a，即

limxn?a。

利用極限存在準則求極限 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求n??limxn

limxnx{x}解：易證：數列n單調遞增，且有界（0

xn?1?2?xn兩邊求極限，10 得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）所以n??limxn?2lim(1。

?1n?2?1n2?12例21 n??n?1n2???12n?n 1???1n2?n?nn2?1)2解：易見：n?n?n2?2limnn?n2因為n???1limnn?112，n??n??2?1

1n?22lim(所以由準則2得：

n?1????1n?n2)?1。

9.洛必達法則與等價無窮小替換結合法

對于一些函數求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結合運用，往往能化簡運算，收到奇效。

11.泰勒展開法

12.利用定積分的定義求極限法

積分本質上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉化為求定積分的問題。

8.利用復合函數求極限

十、利用級數收斂的必要條件求極限

級數收斂的必要條件是：若級數些極限n??limf(n)?un?1?n收斂，則n??limun?0，故對某，可將函數

f(n)作為級數n?1?f(n)?的一般項，只須證明此技術收斂，便有n??limf(n)?0。

n!例n??nn lim

十一、利用冪級數的和函數求極限

當數列本身就是某個級數的部分和數列時，求該數列的極限就成了求相應級數的和，此時常可以輔助性的構造一個函數項級數（通常為冪級數，有時為Fourier級數）。使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值。

例求n??lim(1?133?2???n?1)333

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方快于 x！快于 指數函數

快于

冪數函數

快于

對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

讀書的好處

1、行萬里路，讀萬卷書。

2、書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。

3、讀書破萬卷，下筆如有神。

4、我所學到的任何有價值的知識都是由自學中得來的。——達爾文

5、少壯不努力，老大徒悲傷。

6、黑發不知勤學早，白首方悔讀書遲。——顏真卿

7、寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。

8、讀書要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不學、不知義。

10、一日無書，百事荒廢。——陳壽

11、書是人類進步的階梯。

12、一日不讀口生，一日不寫手生。

13、我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上。——高爾基

14、書到用時方恨少、事非經過不知難。——陸游

15、讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德

16、讀一切好書，就是和許多高尚的人談話。——笛卡兒

17、學習永遠不晚。——高爾基

18、少而好學，如日出之陽；壯而好學，如日中之光；志而好學，如炳燭之光。——劉向

19、學而不思則惘，思而不學則殆。——孔子

20、讀書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干。——培根