第一篇：1-1求極限方法小結

求極限方法小結

求極限方法大概歸結為：一 利用單調有界數列有極限先證明極限的存在性，再利用題中條件求出極限。二 轉化為已知極限。這里通常利用如下手段進行轉化。

（一）夾逼定理

（二）初等變形，如分解因式、有理化、換元等。其依據為極限的運算法則（四則運算法則、復合法則、有界乘無窮小、連續函數極限值等于函數值、將求數列極限有的可轉化為求函數極限、泰勒公式）

（三）an?a,等價無窮小替換

（四）洛必達法則及中值定理

（五）公式：limn??

則limn??a1?a2??

?an?a；?a

（六）轉化為級數。三 轉化nn

為定積分。另外對分段函數在分段點的極限可能要考察左右極限。記

an?0住以下極限是有好處的。limn??

nx?a?

1?；n?1?a?

0?；

?1nsinx01??1??lim?11；lim?，（型）；（型）1??elim1??e????x?0n??x??x0nx????

一 利用單調有界數列定理求極限

例 1 x1?

3，xn?1?limxn n??

練習x1，xn?1?limxn n??

2x1?11，xn?1??1?xn?，求limxn n??22

n?? 例 2 已知0?x1??，xn?1?sinxn，求limxn

練習limsinsin?sinn n??

n??例3已知方程xn?xn?1???x?1(n?2)在?0,1?內有唯一正根記為xn，證明limxn

存在并求limxn。n??

二 轉化為已知極限

（一）夾逼定理

例1 lim

n!，n??nn

??

例lim???n??

11??1

練習1 lim?2?2???2? n??n?1n?2n?n??

：n3

：

nx?1?lim(1?2例3(1)lim(2)x?x???x?0?

?x??

?3).x

（二）初等變形

?2n?1?)13

例1（1）lim(3?3???3n??

nnn

?)(1?)(1?練習1：lim(1

n??x3?3x?2

（2）lim x?1x4?4x?3

3161112)2：lim(1?2)(1?2)(1?2)n??23nn(n?1)

x?x2?x3???xn?n3??1

lim練習1：lim?，2： 3

： ?3?x?1x?11?xx?x?11?x??

（3）lim

x??

2x?1

x2

2ex?e?x2ex?e?xln(1?2x)

練習1：xlim，2：xlim 3:lim ???ex?2e?x???ex?2e?xx???ln(1?3x)例2

（有理化）n??

練習1

：x?1

：x?0?x)tanx 例3（換元）lim(1

x?1

?

2sinx

例4（有界乘無窮小）lim x??x

arctanx lim練習1：lim 2：x??x?01?cosxln(1?x)x

sinx?x2sin

1?1 例5（將求數列極限轉化為求函數極限）lim

n??1?nsin

n

ntan

1?11???cos練習1：lim2：limcos?? ???n??n??n?nn???

n2

n

例6（兩個重要極限的應用）

nsin（1）lim

n??

xn

練習1：lim

x?0

sinxn

?sinx?

x

m

2：lim

x?a

sinx?sina

x?a

x?2?

（2）lim??? x??x?1??

?1?

練習1：lim?1??2：lim?cosx? x?0x??

?x?

kx

ln1?x1

?cosx

x4

xsinx?2(1?cosx)sinx?tanx

lim練習1：lim2： 43x?0x?0xx

（三）等價無窮小替換

例7（泰勒公式）lim

x?0

e

?

x22

x?0時，sinx?x，tanx?x，arcsinx?x，arctanx?x，1?cosx?

12x 2

ln(1?x)?x；ex?1?x；?1?x??1??x 例1 lim

x?0

?

tanx?sinx

sinx

練習1：lim

x?1

1?cos?x

?x?1?

：

x?0

例2 lim

x?0

ln?x?ex?x?x

1x

?3x?5x?1?sinx?cosxlim?lim練習1

： 2： 3: ?x?0x?01?sinpx?cospxx?12??

esinx?1

例3 lim x?0arcsinx2

ecosx?e

練習limx?0tan2x例4

x?0ln1?xe?1

（四）洛必達法則

0?x?sinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x?0x?00x?xcosxlncosbx?

x?0

練習1

：2：

x?1?sinx32

?1

練習1：lim

x?a

lnx

4：xlim

???xn

(1?x)?ea?x1?2sinx

2：lim 3：lim ?x?0x?xx?acos3xxn

?n?0? 5：xlim

???e?x

xa

1x

???0,n為自然數?

例2（???型）lim（11?)x?0x2xtanx

11111?)2：lim(?x)3：lim(x?x2ln(1?))練習1：lim（x?1lnxx?0xx??x?1e?1x

x

x???tan 例3（0??型）lim?x??2arcsinxcotx 2：limlnxln(x?1)練習1：lim

x?0

x?1?

x（2）lim?1?x?例4（?0?1型）（1）limx??

?

1x

cos

?x

x?1

?

x（3）limx?1

11?x

例5（微分中值定理）（1）lim

x?0

tanx?tansinxsectanx?secsinx

lim（2）33x?0sin2x?sinxcostanx?cossinx

??

a?b2???lim練習1：lim? 2：arctanx?a?0,b?0? ???x?0?x???????2???a?a?

??an

?a；?a

（五）公式：liman?a,則lim12

n??n??nn

例

（六）轉化為級數

x

1x1x

x

三 轉化為定積分

1n例 limn??ni?1

1p???np練習1

：limln 2：lim

n??n??np?1n

?p?0?

四 考察左右極限

??x2?esinx? 例 lim?1?x?0?x?x

?e?1???

五 關于含參極限及已知極限確定參數

例1（含參極限）

x2?(a?1)x?a1:limx?ax3?a3

(x?a)(x?1)(x?1)

?lim?lim2x?a(x?a)(x2?ax?a2)x?a(x?ax?a2)?a?1

?2a?0??3a?a?0??

1?

練習limxsin

x?0x

2（已知極限確定參數）（1）x?0

?求出a,b。

（2）lim?x??)?0求

?,?

x???

并求limx?x??)（a?0)

x???

由lim?x??)?

0有0?lim

x???

x???

?x??

x

?x??

?lim?)??

x???x得?

??lim)=lim

x???

x?

求limx?x?

?)

x???

?limx?

x???

?lim

x???

?lim

b2

(c?)x

x???

b2c?

2??

(x2?1)2?a?b(x?1)?c(x?1)2

練習lim?0求a,b,c.2x?1(x?1)

第二篇：求極限的方法小結

求極限的方法小結 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點處的極限與該點處有無定義和連續無關，但在該點周圍(數列除外）的必 某點處的極限與該點處有無定義和連續無關，某點處的極限與該點處有無定義和連續無關 但在該點周圍(數列除外）須連續 B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運算 D.區別數列極限與函數極限的不同之處 D.區別數列極限與函數極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內 注意自變量在趨近值的微小范圍內，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內，可以利用它同 B 一起去絕對值

1、代入法——在極限點處利用函數的連續性求極限 ——在極限點處利用函數的連續性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數、指數、對數、三角函數。。。利用圖象——反比例函數、指數、對數、三角函數。。。——反比例函數 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因為（因為（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、極限與導數 —— 利用導數的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導數的定義、極限與導數——（）6.有界函數與無窮小的積仍為無窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價無窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無窮小時注意它不是充分必要的即應用無窮小轉化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無窮小 都是無窮小)都是無窮小 ∞(1 是很重要的一個極限，它可以用取對數法，還有就是上面的 取對數法是冪指 是很重要的一個極限，它可以用取對數法，還有就是上面的.取對數法是冪指 函數的通法，時上述方法就顯得更簡單了恩）函數的通法，當看見 1∞時上述方法就顯得更簡單了恩）9.利用洛比達法則 可轉化

為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達法則(可轉化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達法則 型 洛比達法則哈只需稍微的轉化哈。（對于未定式都可用 洛比達法則哈只需稍微的轉化哈。同時它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______

解:

=

12.利用柯西準則來求！12.利用柯西準則來求！利用柯西準則來求 柯西準則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數 柯西準則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數 N，使 得當 n>N 時，對于 |xn任意的自然數 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調有界必有極限來求 14.利用單調有界必有極限來求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設 xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設 xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準則求極限 15.利用夾逼準則求極限 16.求數列極限時 可以先算出其極限值，然后再證明。求數列極限時，16.求數列極限時，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級數收斂的必要條件求極限 17.利用級數收斂的必要條件求極限 18.利用冪級數的和函數求極限 18.利用冪級數的和函數求極限

第三篇：求極限方法小結(實用易懂)

求極限的方法小結

極限思想貫穿整個高等數學的課程之中，而給定函數的極限的求法則成為極限思想的基礎，因此有必要總結極限的求法，其求法可總結為以下幾種：

一、利用極限四則運算法則

對和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運算法則，法則本身很簡單，但為了能夠使用這些法則，往往需要先對函數做某些恒等變形或化簡，采用怎樣的變形和化簡，要根據具體的算式確定，常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數的恒等變形、某些求和或求積公式以及適當的變量替換。

11lim(?)3x?11?x1?x例 1.lim(12n?1????)n2n2n2 2.n??

二、利用兩個重要極限

1sinx1xlim?1,lim(1?)?elim(1?x)x?e.x?0x??xx兩個重要極限為：或x?0使用它們求極限時，最重要的是對所給的函數或數列做適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變量替換使問題簡化。

1lim(1?)kxx 例 1.x?1lim(x?32x?1)x?2 2.x??

三、利用夾逼準則求極限 關鍵在于選用合適的不等式。

lim(n!)nn

nlim(na1???am)n例 1.n??a1,?,am}，且ak?0(k?1,2,?,m)求n?? 2.設a?max{ / 4

四、利用單調有界準則求極限

首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程可求出極限。

x?a,x2?a?a?a?x1,?,xn?1?a?xn(n?1,2,?)例1.設a?0，1

limxn求極限n??。

五、利用無窮小的性質求極限

有限個無窮小的和是無窮小，有界函數與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。

例 1.x?0 lim(1?xsinx?1sinsin(x?1))lim2lnxex?1 2.x?0

六、利用函數連續性求極限

limf(x)?f(x0)xf(x)x0設在點處連續，則?x0。

4sinxx2limlnlim(cosx)x 2.n?0例 1.x?0

七、利用洛必達法則求極限

洛必達法則對求未定式的極限而言，是一種簡便而又有效的方法，前面出現的許多極限都可以使用此法則。使用時，注意適當地化簡、換元，并與前面的其他方法結合使用，可極大的簡化運算。

lim(cosx?cos3x)x2

1例 1.x?1sinx1?cosxlim()n??x 2.lnsint2t??cott2 3.lim

八、利用麥克勞林展式或泰勒展式求極限 / 4

(n)設函數f(x)在x?0的某個鄰域內有定義，且f(0)存在，則對該鄰域內任意點x有如下表示式成立

f''(x)f(x)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x????x?0(xn)2!n!'此式稱為f(x)的具有皮亞諾余項的n階麥克勞林展式，對某些教復雜的求極限問題，可利用麥克勞林展式加以解決。必須熟悉一些常用的展式，如：

x2xne?1?x?????0(xn)2!n!xx3x2n?1n?1sinx?x????(?1)?0(x2n)3!(2n?1)!

2nx2nxcosx?1????(?1)?0(x2n?1)2!(2n)!nx2n?1xln(1?x)?x????(?1)?0(xn)2n

1?1?x?x2???xn?0(xn)1?x

計算過程中，要注意高階無窮小的運算及處理。

cosx?ex4例 x?0lim?x22

九、利用定積分定義及性質求極限

若遇到某些求和式極限問題，能夠將其表示為某個可積函數的積分和，就能用定積分來求極限，關鍵在于根據所給和式確定被積函數以及積分區間。

lim(12n?1????)n2n2n2

n例 1.n?? 2.n??lim((n?1)(n?2)?(n?n))n

十、利用級數收斂的必要條件求極限 / 4 級數收斂的必要條件是：若級數n?1??u?nlimun?0收斂，則n??，故對某些極限，可將函數f(n)作為級數n?1limf(n)?0有n??。n??limf(n)?f(n)的一般項，只須證明此技術收斂，便n!n例 n??n lim

十一、利用冪級數的和函數求極限

當數列本身就是某個級數的部分和數列時，求該數列的極限就成了求相應級數的和，此時常可以輔助性的構造一個函數項級數（通常為冪級數，有時為Fourier級數）。使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值。

lim(1?133?2???n?1)333 例 求n?? / 4

第四篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個章節本質上都是極限，是以函數的形式表現出來的，所以也具有函數的性質。函數的性質表現在各個方面

首先對極限的總結如下

極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母！！！！！！

看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數函數快于冪數函數快于對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性！！！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義！！）

一，求極限的方法橫向總結：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現未知數的不同次冪：將未知數全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結果還是無窮小量。

3等差數列與等比數列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數的n項的和求極限：列項求和

5分子分母都是未知數的不同次冪求極限：看未知數的冪數，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價無窮小量求極限。

8函數在一點處連續時，函數的極限等于極限的函數。

9常數比0型求極限：先求倒數的極限。

10根號套根號型：約分，注意別約錯了。

11三角函數的加減求極限：用三角函數公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結：

1未知數趨近于一個常數求極限：分子分母湊出（x-常數）的形式，然后約分（因為x不等于該常數所以可以約分）最后將該常數帶入其他式子。

2未知數趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個重要極限

4）分式解法（上述）

第五篇：求函數極限方法的若干方法

求函數極限方法的若干方法

摘要： 關鍵詞：

1引言：極限的重要性

極限是數學分析的基礎，數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數y=f(x)在x=x0處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。

2極限的概念及性質2.1極限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整數N，使得當n>N時就有 xn?A <。

2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數X，使得當 x >時就有 f x ?A <。類似可以定義單側極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當，整數，使得當

時有

。，時右極限與左極限：。在此處鍵入公式。

2.2極限的性質

2.2.1極限的不等式性質：設若若，則，使得當，當

時有

。時有時有，則

；

。，則

與，使得當

在的某空心鄰

時，時有，則。

。

2.2.1（推論）極限的保號性：設若若,則，使得當，當2.2.2存在極限的函數局部有界性：設存在極限域有

內有界，即3求極限的方法

1、定義法

2、利用極限的四則運算性質求極限，3、利用夾逼性定理求極限

4、利用兩個重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限

9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價無窮小量代換求極限,12、利用函數的連續性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個準則求極限

15、利用級數收斂的必要條件求極限

16、利用單側極限求極限

17、利用中值定理求極限 3.1定義法

利用數列極限的定義求出數列的極限.設的,總存在一個正整數

.，當

是一個數列,是實數,如果對任意給定,我們就稱是數列

時,都有的極限.記為例1 證明

證 任給，取，則當時有

，所以。

3.2利用極限的四則運算性質求極限 設，，則

。，例1求解 這是求

型極限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限

當極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當的放大和縮小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數列情形）若則。，使得當時有，且，3.3.2（函數情形）若，則，使得當。

時有，又

例題

解 ：，其中，因此。

3.4利用兩個重要極限球極限 兩個重要極限是，或。

第一個重要極限可通過等價無窮小來實現。利用這兩個重要極限來求函數的極限時要觀察所給的函數形式，只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時，才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個。

內有,那么

.則sinx=sin（t)=sint, 且當

時

例 求的極限

解：因為.且 由迫斂性知

所以

3.6利用洛必達法則求極限

假設當自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時，函數

和

和

滿足：的導數不為0的極限都是或都是無窮大都可導，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達法則求極限，可連續進行運算，可簡化一些較復雜的函數求極限的過程，但是運用時需注意條件。

例題 求

解 原式=注：運用洛比達法則應注意以下幾點：

1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時不可求導。

2、應用洛必達法則，要分別求分子、分母的導數，而不是求整個分式的導數。

3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會錯誤。

3.7利用定積分求極限

利用定積分求和式的極限時首先選好恰當的可積函數f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區間 例

上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。

解 原式=，由定積分的定義可知。

3.8利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時常用到。在求函數極限過程中,如果此函數是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡單化。例

解 注意時。

3.9利用變量替換求極限

為將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可以根據極限式特點，適當的引入新變量，來替換原有變量，使原來的極限過程轉化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。

例 已知證 令

試證

則時，于是

當時），故時第二、三項趨于零，現在證明第四項極限也為零。因有界，即，使得

。所以

（當

原式得證。

3.10利用遞推公式求極限

用遞推公式計算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在前提下，根據極限唯一性，解出我們所需要的結果，但是驗證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關的不等式或實數的一些性質來解決。

例 設，對，定義

且

。證明 時，解 對推出遞推公式解得,，因為，因此，序列

中可以得出

是單調遞增且有界的，它的極限，設為，從，即。

3.11利用等價無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有

型極限，利用等價無窮小因子替換

=

=,，稱

與

是

時的無窮小量，記作

注：可以看出，想利用此方法求函數的極限必須熟練掌握一些常用的 等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。

小結:在求解極限的時候要特別要注意無窮小等價代換,無窮小等價代換可以很好的簡化解題。

3.12利用函數的連續性求極限

在若處連續，那么且

在點連續，則。

例 求的極限

解：由于

及函數在處連續，故

3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題

3.14利用兩個準則求極限

3.14.1函數極限迫斂性（夾逼準則）：若一個正整數，并且例題

3.14.2單調有界準則：單調有界數列必有極限，并且極限唯一。,當時，則

則。

利用單調有界準則求極限，關鍵是要證明數列的存在，然后根據數列的通項遞推公式求極限。例題

3.15利用級數收斂的必要條件求極限

利用級數收斂的必要條件：若級數收斂，則，首先判定級數收斂，然后求出它的通項的極限。例題

3.16利用單側極限求極限

1）求含的函數

趨向無窮的極限，或求含的函數

趨于的極限;2）求含取整函數的函數極限;3）分段函數在分段點處的極限;4）含偶次方根的函數以及

或的函數，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例題

3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理