第一篇：求極限注意的問題

求極限時應注意的問題：

幾個無理函數的極限：

幾個“???”型的極限：

幾個含有三角函數的極限：

幾個冪指函數的極限：

等價無窮小在極限中的應用：

極限存在準則在求極限中的應用：

極限中的變量替換：

某些極限在進行了變量替換之后較容易求出。

分段函數的極限

分段函數的連續性

分段函數的導數

分段函數的積分

1.根的存在性證明

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

2.確定根的個數

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

1.用單調性與最值證明不等式

2.用拉格朗日中值定理證明不等式

3.用柯西中值定理證明不等式

4.用泰勒公式證明不等式

第二篇：求極限總結

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區間內 函數的正負與極限一致極限分為 一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是 X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點 數列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意！！）E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母！！！！！！

看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x

比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于 函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指數函數 快于 冪數函數 快于 對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用 證明單調性！！！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數=0的時候 就是暗示你一定要用導數定義！！）

(0)

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1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數的性質也體現在積分 微分中

例如他的奇偶性質 他的周期性。還有復合函數的性質

1奇偶性，奇函數關于原點對稱 偶函數關于軸對稱 偶函數左右2邊的圖形一樣（奇函數相加為0）

2周期性也可用在導數中 在定積分中也有應用 定積分中的函數是周期函數 積分的周期和他的一致復合函數之間是 自變量與應變量互換 的 關系

4還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質！）

（可以導的函數的單調性和他的導數正負相關）

:o 再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數都是連續的 所以 間斷點 是對于間斷函數而言的）

間斷點分為第一類 和第二類剪斷點第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點 或者 左右極限存在相等但是不等于函數在這點的值 可取的間斷點

地二類 間斷點是 震蕩間斷點 或者是 無窮極端點

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結一下

求極限的一般題型求分段函數的極限

當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！！！！

當X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應為 E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的！！！！極限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數中現在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉！！！！！！！！

解決辦法 ：

1求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了 這不是很容易么？

但是！！！有2個問題要注意！！

問題1 積分函數能否求導？ 題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的！！問題2 被積分函數中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函數與積分的聯系！更重要的是他能去掉積分符號！！！

解決2的方法 ： 當x與t的函數是相互乘的關系的話，把x看做常數提出來，再求導數！！！

第三篇：利用羅比塔求極限注意的問題

利用羅比塔（L’Hospital）法則求極限注意的問題

在求極限時，有時用利用羅比塔（L’Hospital）法則是比較簡單方便的，下面先介紹一下羅比塔（L’Hospital）法則內容：

1、型：若(ⅰ)limf(x)?0,limg(x)?0;(ⅱ)f(x)與g(x)在x0的空心鄰

x?x0

x?x0

域U?(x0)內可導，且g?(x)?0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f?(x)g?(x)

f?(x)g?(x)

x?x0

?A(A為實數)，則有

x?x0

lim?lim

x?x0

?A(這里可以x?x0或x?x0或x??)

??

2、??

型：若(ⅰ)limf(x)??,limg(x)??;(ⅱ)f(x)與g(x)在x0的右某

x?x0

?

x?x0

?

鄰域U??(x0)內可導，且g?(x)?0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f?(x)g?(x)

f?(x)

?

x?x0

g?(x)

?A(A為實數)，則有

x?x0

lim??lim?

x?x0

?A(這里可以x?x0或x??)

?

不能對任何的比式求極限時都按羅比塔（L’Hospital）法則求解，要滿足其諸條件。比如：lim

x?sinx

x

x???

=lim(1?

x???

sinxx)

=1，它是

1?cosx

??

型，但不能盲目的用羅比

塔（L’Hospital）法則：lim論。

x?sinx

x

x???

?lim

會推出極限不存在的錯誤結

x???

第四篇：求極限畢設

求極限的若干方法

數學與應用數學專業學生

李飛

指導教師

辛彩婷

摘要：本文首先介紹了數列極限的相關概念及其性質定理,如數列極限的定義、性質，Stolz定理等；其次是函數極限的相關概念及其性質定理，包括函數極限的定義、性質，洛必達法則，泰勒公式等；最后歸納和總結了求兩類極限的若干方法，主要是利用兩個重要極限、洛比達法則、泰勒公式、定積分等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題過程中常遇見的一些問題，以供學習者查閱借鑒。關鍵詞：數列 函數 極限 導數

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 極限概念是高等數學中最重要、最基本的概念之一，它是研究變量數學的有力工具,也是研究高等數學的重要理論基礎，許多重要的概念如連續、導數、定積分、無窮級數的和及廣義積分等都是用極限來定義的.極限問題是高等數學中的難點之一，圍繞極限的中心問題有兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值.這兩個問題有密切關系：若求出了極限的值，自然極限存在性也被證明.反之，證明了極限存在，也就為計算極限鋪平了道路.掌握好求極限對學好高等數學是十分重要的，求極限的方法很多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理及公式為依據，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者歸納總結出了如下常見的求極限的方法.數列極限的概念

關于如何求極限，必須先了解極限的概念.這里，我們先介紹數列極限，然后介紹函數極限.兩類極限有著相似的性質定理與類似的求極限的方法，彼此有著深刻的內在聯系.下面給出數列極限的概念.1.1數列極限的定義

定義1.1.1 設{xn}是一給定數列，a是一個實常數.如果對于任意給定的??0，可以找到正整數N，使得當n?N時，成立xn?a??，則稱數列{xn}收斂于a（或稱a是數列{xn}的極限），記為limxn?a，有時也記為xn?a（n??）.n??如果不存在實數a，使{xn}收斂于a，則稱數列{xn}發散.1.2數列極限的性質 1.2.1極限的惟一性

定理1.2.1 收斂數列的極限必唯一.1.2.2數列的有界性

定理1.2.2 收斂數列必有界.1.2.3數列的保序性

{yn}均收斂，定理1.2.3 設數列{xn}，若limxn?a，limyn?b，且a?b，n??n??[1][1][1]則存在正整數N，當n?N時，成立xn?yn.1.2.4極限的夾逼性

定理1.2.4 若三個數列{xn}，{yn}，{zn}從某項開始成立xn?yn?zn，n?N0，且limxn?limzn?a，則limyn?a.n??n??n??[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim?[1]型Stolz公式）設{yn}是嚴格單調增加的正無窮大量，?n??xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1n 定理1.3.2（無窮小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）設limxn?0，{yn}是嚴格單調減少的正

n??0xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1nn???型Stolz公式，其實只要求分母yn是嚴格單調增加的正無窮大量，?0至于分子xn是否是無窮大量，無關要緊.而型Stolz公式，則要求分母yn與分

0子xn都是無窮小量.1.4收斂準則

定理1.4.1 單調有界數列必定收斂.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界數列必有收斂子列.[1][1]2函數極限的概念

我們在第一部分討論了數列的極限，現在來討論另一類極限，即函數的極限.下面我們給出函數極限的嚴格定義.2.1函數極限的定義

定義2.1.1 設函數y?f(x)在點x0的某個空心領域中有定義，即存在??0，使UO(x0,?)?Df.如果存在實數A，對于任意給定的??0，可以找到??0，使得當0?x?x0??時，成立f(x)?A??，則稱A是函數f(x)在點x0的極限，記為limf(x)?A，或f(x)?A（x?x0）.x?x0如果不存在具有上述性質的實數A，則稱函數f(x)在點x0的極限不存在.2.2函數的連續性

定義2.2.1 設函數f(x)在點x0的某個鄰域中有定義，并且成立x?x0limf(x)?f(x0)，則稱函數f(x)在點x0連續，或稱x0是函數f(x)的連續點.定理2.2.1 一切初等函數在其定義域上連續.2.3函數極限的性質 2.3.1極限的惟一性

[1] 定理2.3.1設A與B都是函數f(x)在點x0的極限，則A?B.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B，則存在??0，當

x?x0x?x00?x?x0??時，成立f(x)?g(x).2.3.3夾逼性

定理2.3.3[1] 若存在r?0，使得當0?x?x0?r時，成立x?x0x?x0x?x0g(x)?f(x)?h(x)，limg(x)?limh(x)?A，則limf(x)?A.2.4函數極限與數列極限的關系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)?A的充分必要條件是：對于任意滿

x?x0足條件limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數列{xn}，相應的函數值數列{f(xn)}n??成立limf(xn)?A.n?? 這一性質被經常用于證明某個函數極限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要條件是：對于任意滿足條件

x?x0n??limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數列{xn}，相應的函數值數列{f(xn)}收斂.2.5單側極限與極限的關系

[2] 定理2.5.1 函數f(x)在x0極限存在的充分必要條件是f(x)在x0的左極限與右極限存在并且相等：limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A.x?x0x?x0x?x02.6 L’Hospital（洛必達）法則

02.6.1 型不定式極限

0 定理2.6.1 若函數f(x)和函數g(x)滿足： ①limf(x)?limg(x)?0，x?x0x?x0[2]②在點x0的某空心鄰域u0(x0)內兩者都可導，且g'(x)?0，③limf'(x)?A（A可為實數，也可為??或?），g'(x)f(x)f'(x)?lim?A.g(x)x?x0g'(x)x?x0則limx?x02.6.2 ?型不定式極限 ?[2] 定理2.6.2 若函數f(x)和函數g(x)滿足： ①lim?f(x)?lim?g(x)??，x?x0x?x0②在點x0的某空心鄰域u0?(x0)內兩者都可導，且g'(x)?0，③lim?x?x0f'(x)?A，（A可為實數，也可為??或?），g'(x)則lim?x?x0f(x)f'(x)?lim??A.x?xg(x)g'(x)02.6.3 其它類型不定式極限

不定式極限還有0??，1?，00，?0，???等類型.這些類型經過簡單的恒

?0型和型的不定式極限.?02.7 Taylor(泰勒)公式 等變換，都可以化為 定理2.7.1（帶Peano余項的Taylor公式）設f(x)在x0處有n階導數，則存在x0的一個領域，對于該領域中的任一點，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?rn(x)，2!n!余項rn(x)滿足rn(x)?o((x?x0)n).3 求數列極限與函數極限的方法及應用

3.1 求數列極限的方法及應用

3.1.1利用定義求數列極限

根據數列極限的定義來證明某一數列極限，其關鍵是對任意給定的??0尋找自然數N，通過解不等式xn?a??而得出的N.但在大多數情況下，這個不等式并不容易解.實際上，數列極限的定義并不要求取到最小的或最佳的自然數N，只需要其存在性即可，所以在證明中常常對xn?a適度的做一些放大處理，這是一種常用的技巧.1111????(?1)n例1 設xn??，求limxn.n??nn?1n?22n11111????(?1)n?，解：由0??nn?1n?22nn1?1?則對于??0，取N???，當n?N時，成立xn???，則limxn?0.n??n???3.1.2 n項和數列極限問題

n項和數列極限問題有兩種處理方法：

(1)用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算；(2)利用兩邊夾法則求極限.例2 求極限lim(n??111???).n?1n?22n分析：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉化為計算定積分，為此作如下變形：

J?limn??1?.?ini?11?n1在區間?0,1?上的一個積分和.（這1?xn1不難看出，其中的和式是函數f(x)?里所取的是等分分割，?xi?J??11i?i?1i?i?1.2.??????n., ?i???），所以 ,?（nn?nn?dx?ln(1?x)|1?ln2.001?x1當然，也可把J看作f(x)? 在?1,2?上的定積分，同樣有

x2dx3dxJ?? ?1x?2x?1????????ln2.???111?111???dx?ln2.????解：原式＝limn??n?12n??01?x1?1???1?nnn???111????例3 極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1??.??1??1??2??n?? 分析：(1)該題與例2類似，但是不能湊成lim?f?f???f????????n??n?nn???n?????的形式，根據各項的特點可以考慮用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要將原式適當的放大和縮小，要求放大和縮小后的表達式極限相等.解: 因為 nn?n2?1n?12?1n?22???1n?n2?nn?12，又

limn??n?lim?1，22n??n?nn?1??＝１.??n?111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?13.1.3利用定積分求極限

利用定積分可求如下兩種形式的極限：

1??1?（1）lim?f???n??n???n??2?f??????n??n??型 f?????n??定理1?3? 設

f?x?在?0,1?上可積，則有：1??1?lim?f???n??n???n?例題見例3.?2?f??????n??n??1f?????f?x?dx.??n??0?1??2??n?（2）limnf???f?????f??型

n???n??n??n?定理2 若f?x?在?0,1?上可積，則： [4]?1?limnf???n???n?n?2?f????n??n??f???exp?n???lnf?x?dx?.10例4.求limn??n!.n解：原式?limnn??12n?，令f?x??x，則有 nnnnlimn??1n!12n?1?limn??exp???0lnxdx???e.n????nnnn3.1.4求和公式法（適合于等差數列、等比數列等類型）

關于無限項之和的極限，可以根據等差數列、等比數列以及其它數列的前n項求和公式，先求n項的和，然后再求出n趨于無窮時的極限.常用的求和公式見附錄1.例5 求lim1?2?3????n?1?.2n??nn?1?1?n?1?2n?n12解：原式?lim?lim?.22n??n??2n2n3.1.5利用Stolz定理求數列極限

有些 “ 無窮多項”極限問題，當不能利用恒等變換轉化為有限多項時，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.12?32?52???(2n?1)2例6 求lim.n??n312?32?52???(2n?1)2(2n?1)24n2?4n?14解：lim?lim3?lim2?.n??n??n?(n?1)3n??3n?3n?1n333.1.6利用單調有界定理求數列極限 應用該定理求極限時，通常要先證明這個數列是單調有界的，從而確定極限的存在性，在討論過程中有界性的確定往往是個難點，可借助單調遞增數列的極限是它的最小上界、單調遞減數列的極限是它的最大下界的性質確定數列的界.最后找出數列xn?1與xn的遞推公式，設數列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關于A的方程，從而求出A.234n?1例7求lim?????.n??3572n?1解：易得0?an?1，則{an}有界，234令an????357an?an?1?nn?1k?1n?1，得遞推公式 an????an?1，2n?1k?12k?12n?1n?1naan?1?an?1??n?1?0，則{an}單減.2n?12n?1n??由單調有界數列必收斂，則liman存在，令liman?a，n??1n?1an?1兩邊取極限，得a?a，有a?0，即liman?0.n??22n?13.1.7利用壓縮性條件證明極限存在再求極限 由an?應用該條件求極限時，通常要先證明這個極限的存在性，然后找出數列xn?1與xn的遞推公式，設數列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關于A的方程，從而求出A.例8 設x1?2，xn?1??1，求limxn.n??2?xn解：由?1?x1?2，歸納法易得?1?xn?2，xn?1?xn??1?1xn?xn?1??，2?xn2?xn?1(2?xn)(2?xn?1)由0?1?1，滿足壓縮性條件，則{xn}收斂，則limxn存在，n??(2?xn)(2?xn?1)?1?1兩邊取極限，得a?，有a??1，即2?xn2?a令limxn?a，由xn?1?n??n??limxn??1.3.1.8利用海涅定理求數列極限

海涅定理的意義在于通過對函數極限與數列極限的相互轉化來處理問題，從而，我們可以應用海涅定理將某些不易求的數列極限的問題轉化為求易求的函數極限的問題.1??例9 極限lim?nsin?.n??n?? 分析：這是1?形式的數列極限，由于數列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一定難度，但是若轉化成函數極限，可通過3.2.7提供的方法結合洛必達法則求解.1??解：考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2n2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e，?161??故由海涅定理的必要性得：lim?nsin?n??n??n2?e.?163.2 求函數極限的方法及應用 3.2.1分子(母)有理化求極限

?0 如果函數的極限出現、、?-?等未定式，一般采用約簡分式，有理化

?0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx?13x?1?2.x?1分析：本題因為分子、分母都含有“0”因子，給求極限帶來麻煩，因此想辦法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x?1)2?223x?33?lim?lim?解：原式.x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達法則.3.2.2利用函數的連續性(適用于求函數在連續點處的極限)(1)初等函數

如果y?f?x?是初等函數，且點x0是 f?x?定義區間內的點，則函數y?f?x?在點x0處連續，于是有limf?x??fx0.通常稱這種求極限的方法為代入法.x?x0??exsinx?x例11 求lim2.x?3x?lnx 分析：這是由幾個基本初等函數構成的初等函數，是連續函數，因此直接帶值.e3sin3?3解：原極限?lim2.x?33?ln3（2）復合函數

若函數f???x??是復合函數，且lim0??x??a,f?u?在u?a處連續，x?x則lim0f???x???f?lim0??x???f?a?.??x?x?x?x?1?cosx例12.求lime2arcsinx的極限.x?01?cosx2 分析：函數e2arcsixn可看成是由f?u??eu，u?21?cosx復合而成，且

2arcsinx2lim1?cosx11u?，在處連續，因此 u???fu?ex?02arcsinx244解：由于lim1?cosx11u?及函數在處連續，u???fu?ex?02arcsinx2441?cosx2arcsinx2故 limex?0=elim2x?02arcsinx1?cosx=e.說明：用此方法求極限有時常常會遇到，函數f?x?在x點沒有意義,即函數f?x?在x點不連續,這時要視具體情況對f?x?進行適當的恒等變形，轉化為連續

0函數,再利用函數的連續性求出極限,該方法常用于“”型的極限.在進行變形

0時常用到因式分解、分子或分母“有理化”的運算以及三角函數的有關公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右極限與極限關系

該方法適用于求分段函數在分段點處的極限或某函數在其間斷點處的極限，以及用定義求極限等情形.函數在某點處的極限存在的充要條件是：當且僅當函數在某點處的左、右極限都存在且相等，則函數在該點處的極限值即為所求的左右極限的值.?1?2e?x,x?0??x?x,0?x?1，求limf(x)及limf(x).例13 設f(x)??x?0x?1x??x2,x?1??x解：?limf(x)?lim(1?2e)??1，limf(x)?lim(????x?0x?0x?0x?0x?x)?lim(x?1)??1?x?0x，由 limf(x)?limf(x)，?limf(x)??1.??x?0x?0x?0又limf(x)?lim??x?1x?1x?x2??limfx?limx?1，?limx?1?0???x?1x?1x?1x??由f?1?0??f?1?0?，?limf?x?不存在.x?13.2.4利用等價無窮小量代換求函數極限

o[2]定理 設函數f(x),g(x),h(x)在U(x0)內有定義，且有

f(x)~g(x)(x?x0)，（1）若limf(x)g(x)?A,則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x0（2）若limx?x0h(x)h(x)?B,則lim?B.x?x0g(x)f(x)''?'??' 由定理知：若?~?,?~?且lim'存在，則有lim?lim'.其中：

?????0,?'?0.所以，當lim‘’?的計算較為困難時，就設法尋求與?、?等價的對應無窮小??'?'??、?進行代換，變求lim為求lim'，而lim'的計算較為容易，所給極限

???lim?的計算就迎刃而解.?顯然，利用等價無窮小的代換求極限的一個前提是：對一些常用的等價無窮小量要熟悉.例如：當x?0時，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121?cosx~x，ax?1~xlna（a?0），ex?1~x，(1?bx)a?1~abx，2xxn1?x?1~，loga(1?x)~(l1?x)~x.（a?0），nnlna例14 求limx(1?cosx).x?0(1?ex)sinx21x?x21解：原式?lim22??.x?0?x?x2tanx?sinx例15 求lim的極限.3x?0sinxsinx(1?cosx)，而sinx~x,x?0； 解：由 tanx?sinx?cosxx21?cosx~,x?0；sinx3?x3~x3,x?0，2x2x?1tanx?sinx2?1.lim?故有 lim= x?0x?0cosxsinx3x32注：在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換.例如，在上式中，若因為有tanx~x，x?0，sinx~x，x?0，從而推出

limtanx?sinxx?x?lim?0，33x?0x?0sinxsinx則就會得出錯誤的結論.3.2.5利用夾逼定理求函數極限

利用夾逼定理可將某函數適當縮小和放大，使得縮小和放大后得到的新函數的極 限分別存在且相等，從而得到原函數的極限．即原函數的極限就等于縮小或放大后的函數的極限.1?1??1??1?例16 求limx??（??為取整函數，??表示不大于的最大整數）.x?0x?x??x??x?分析：此極限難點：在取整函數不易求極限，所以想著去掉取整函數，故而采用適當的放大及縮小，用夾逼準則求原式極限.1?1?1解：由 ?1????（x?0），x?x?x?1??1?故，當x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1??1?當x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1?所以，limx???1.x?0?x?3.2.6利用洛必達法則求函數極限

?0?0 對于或型的極限,可通過洛必達法則來求.若所求極限呈現或型，?0?0則可直接利用洛必達法則進行求解，若所求的函數極限呈現 0??，1?，00，?0，則可將其恒等變形化成???型等形式，sinx1?cosx)例17 求lim(.x?0x1?0或型，再利用洛必達法則進行求解.?0分析：本題為1?型，所以要用洛必達法則求極限，恒等變形轉化為

?0或型.?0作為1?型，一般采用取對數，或者利用f(x)?elnf(x)這種形式恒等變形再轉化.解：取對數后，sinxsinxln(ln)'xcosx?sinx(xcosx?sinx)'xx, lim?lim?lim?lim23x?01?cosxx?0x?0x?012xsinx(x)'(x)'2?sinx1?cosx?xsinx1)?e3.?lim??，則lim(2x?0x?0x3x311有 注：如果采用取對數再求極限這種方法，一定要注意還原.這種方法易錯點，1誤把?當作本題的最后極限.3lnx例18 求lima(a?0,x?0).x???x?解： 由limlnx??,limxa??，故此例屬于型；

x???x????1lnx1由洛必達法則有：lima?limx?lim?0(a?0,x?0).x???xx???axa?1x???axa例19 求limxlnx.?x?0?0或型，但?0是這一種類型需要注意，如果函數本身含有對數函數或者反三角函數，則需要將對數函數或反三角函數保留在分子位置，否則再用洛必達法則時會越來越繁瑣且

lnx?不易求出結果.因此，作恒等變形xlnx?，將它轉化為型的不定式極限.1?x1lnxx?lim(?x)?0.解： limxlnx?lim?limx?0?x?0?1x?0??1x?0?xx2總而言之，在運用洛必達法則時，應注意：

0?（1）檢查所求極限是否屬于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0?分析：這是一個0??型的不定式極限，可將其恒等變形化成時才可直接運用洛必達法則，其他型不定式(如0??，1?，00，?0，???等)應先化為“0?”型或“”型不定式，再運用洛必達法則.0?f?x?f'?x?（2）當lim'不存在時，不能斷定lim不存在，即洛必達法則的條

g?x?g?x?件是充分但非必要條件.此時，只能說明此極限不能應用洛必達法則求解，如x?sinxlim.x??x?sinx（3）在求不定式極限的過程中，有時一次洛必達法則不能解決問題需要多次使用洛必達法則，但是在使用時要檢查是否滿足條件.（4）在每次使用洛必達法則后，都應對所得極限式子進行整理化簡，然后再考慮是否繼續使用洛必達法則.有時用其他方法計算極限很方便時，就不必用洛必達法則了.x（5）如果f?x?或g?x?中含e或arctanx、arccotx，且求當x??時的極限時，應分別討論當x???及x???時，f?x?f?x?的極限，并判斷lim是否存

x??g?x?g?x?在.（6）洛必達法則是求不定式極限的一個有效方法，但不是萬能的，要根據所求極限的具體特點選用恰當的方法.3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函數極限

利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并采用皮亞諾型余項.當函數為分式時,一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式,再通過比較求出極限.一些常用的泰勒公式見附錄2.x2?1?1?x2例20 求lim2.x22x?0(cosx?e)sinx11(?1)1222112解：1?x?1?x?x4?o(x4)?1?x2?x4?o(x4)，22!28x2x4114cosx?1???o(x4)?1?x2?x?o(x4)2!4!224ex?1?x2?2，14x?o(x4)，2!x211?1?(1?x2?x4?o(x4))228原式?lim

x?0212141x[1?x?x?o(x4)?(1?x2?x4?o(x4))]2242!311x2(?x2?x4)224 注：用此法必須熟記基本的初等函數的展開式，它將原來函數求極限的問題轉化為多項式或有理式的極限問題.3.2.8利用兩個重要極限

0sinx1利用(A)lim?1(B)lim(1?)x?e.第一個重要的極限是型，第二個x?0x??0xxx?0?lim14x8??1.12重要極限是1?型，在1?型中滿足“外大內小”，“內外互倒”.在利用重要極限求函數極限時，關鍵在于把要求的函數極限化成重要極限的標準型或它們的變型.我們經常使用的是它們的變形：

(A')limsin?(x)1?(x)?1,(?(x)?0)；(B')lim(1?)?e,(?(x)??).?(x)?(x)sinx?1例21 求lim.x?1x?122?x?1??sin?x?1??sin?x?1? 解：原式=lim?lim?x?1???2.x?1x?1?x?1??x?1?x2?1?2?注：limsinx?1的擴展形式：

x?0x 令g?x??0，當x?x0或x??時，則有

lim因而，limsing?x?sing?x??1.?1或limx??x?x0g?x?g?x?sinx?0?1.x??x1x例22 求lim(1?2x)的極限.x?011??22x2xlim(1?2x)?(1?2x)解：原式=???e.x?0??利用這兩個重要極限來求函數的極限時要仔細觀察所給的函數形式只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限.一般常用的方法是換元法和配指數法.3.2.9利用微分中值定理求函數極限

[2] 因為由微分中值定理可得到在某一點的具體的導數值.而根據函數在某點的導數的定義：fx0?lim'??f?x??fx0x?x0??x?x0,可知某點的導數是極限的形式表示的.所以類似此類函數的極限而且符合中值定理的話，可利用此種方法.ex?esinx例23 求lim.x?0x?sinx分析：觀察可知，這是一個中值定理的結論

f?b??f?a?型的函數，我們很容易想到拉格朗日b?af?b??f?a?,???a,b? b?a從而，我們可以利用拉格朗日中值定理進行求解.' f????解:令f(x)?ex，對它應用微分中值定理得，ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f'(sinx??(x?sinx))(0???1)，ex?esinx?f'(sinx??(x?sinx))(0???1).即x?sinx?f'(x)?ex連續，?limf'(sinx??(x?sinx))?f'(0)?1，x?0ex?esinx?1.從而有 limx?0x?sinx3.2.10多種方法的綜合運用

前面介紹了求解極限的基本方法,然而每一道題目并非只有一種方法.因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧,使得計算大為簡化.1?cosx2例24 求lim2.x?0xsinx21?cosx22xsinx2?lim[解法一]: lim2

x?0xsinx2x?02x?x2cosx2?2xsinx2sinx22sinx21x ?lim2 ?lim?2x?0xcosx2?sinx2x?0sinx2cosx2?2x注:此法采用洛必達法則配合使用兩個重要極限法.x2x2x22sinsinsin1?cosx211222lim?lim?lim??? [解法二]: x?0x2sinx2x?0x2sinx2x?0x2sinx2x222?2x222注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法.x2x22142sin2()x21?cosx12?lim22 [解法三]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2(x2)x?0x422 注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法.(x2)21?cosx2x212 [解法四]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?02sinx22 注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法.顯然最簡單，因此在做題的時候一定要注意選擇恰當的方法.此題還有其他十多種解法，本文就不再詳述.總之在求函數極限的問題時，一定要視問題本身而靈活選用各種方法.3.2.11多元函數極限的計算

計算多元函數的極限常用的方法是：1）利用不等式，使用兩邊夾法則；2）變量替換化為已知極限，或化為一元函數極限；3）利用極坐標；4）利用初等函數的連續性，利用極限的四則運算性質；5）利用初等變形，特別指數形式常可先求其對數的極限；6）若事先能看出極限值，可用?-?方法進行證明.1?cos?x2?y2?x?y22lim例25.求下列極限：1）?x,ylim；2）；3）???0,0?x2?y2exy22x????x?yy??lim?x?y2x?0y?0222xy?；

22解：1）因為1?cosx?y~??12x?y22????x,y???0,0??，21222x?y??1?cos?x?y?x2?y22?limlim?0； 2222?22所以?x,ylim???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?2exy????222）因為0?x?yx?y22?xx?y22?yx?y22?xx2?yy2?11?，xy又limx??y??x?y11lim?0.，所以由兩邊夾法則有：??022x??xyx?yy??

3x?0y?0）2先求取對數之后的極限：limlnx?y?222xy?x2y22222?lim2x?ylnx?y，x?0x?y2y?0????x2y2x2?y2因為 0?2?2?x2?y2?0，22x?yx?y??2lim?x2?y2?ln?x2?y2?令x2?y2?tlimtlnt?0，x?0y?0t?0故原極限?e0?1.注：取對數后求極限注意還原.總結

以上方法是總結出的高等數學里求極限的重要方法.在做求極限的題目時,僅僅掌握以上方法而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的,必須認真分析、仔細甄選,選擇出適當的方法,這樣不僅準確率更高,而且還會省去許多不必要的麻煩,起到事半功倍的效果.這就要求學習者吃透其精髓,明白其道理,體會出做題的竅門,要達到這樣的境界必須要勤于思考,善于總結,歸納出每種方法適用的題型,在做題時才會熟能生巧,得心應手.

第五篇：總結16種方法求極限

首先對極限的總結如下

極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補充么？？？）等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母！！！！！！

看上去復雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）11 還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數函數快于冪數函數快于對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性！！！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義！！）

函數是表皮

函數的性質也體現在積分 微分中

例如他的奇偶性質他的周期性。還有復合函數的性質

1奇偶性，奇函數關于原點對稱偶函數關于軸對稱偶函數左右2邊的圖形一樣

（奇函數相加為0）

2周期性也可用在導數中在定積分中也有應用定積分中的函數是周期函數積分的周期和他的一致

3復合函數之間是自變量與應變量互換的關系

4還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質！）

（可以導的函數的單調性和他的導數正負相關）

:o 再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數都是連續的所以 間斷點 是對于間斷函數而言的）

間斷點分為第一類和第二類剪斷點

1第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者 左右極限存在相等但是不等于函數在這點的值可取的間斷點

地二類 間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點

（這也說明極限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結一下

求極限的一般題型

1求分段函數的極限

當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！！！！

當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應為 E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的！！！！極限中含有變上下限的積分如何解決類？？？？

說白了就是說 函數中現在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！！！！！！！！解決辦法 ：

1求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了這不是很容易么？

但是！！！有2個問題要注意！！

問題1積分函數能否求導？題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的！！

問題2被積分函數中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函數與積分的聯系！更重要的是他能去掉積分符號！！！

解決2的方法 ： 當x與t的函數是相互乘的關系的話，把x看做常數提出來，再求導數！！！

當x 與t是除的關系或者是加減的關系，就要 換元了！！！！！（換元的時候積分上下限也要變化！！）

3求的是數列極限的問題時候

夾逼 或者 分項求和 定積分都不可以的時候

就考慮x趨近的時候函數值，數列極限也滿足這個極限的當所求的極限是遞推數列的時候

首先 ： 判斷數列極限存在極限的方法是用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數定義！！應為是 離散的只能用前后項的 比較（前后項相除相減），數列極限是否有界可以使用 歸納法最后對xn 與xn+1兩邊同時求極限，就能出結果了！！！

4涉及到極限已經出來了讓你求未知數和位置函數的問題

解決辦法 ：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。應為例如當x趨近0時候f（x）比x =3的函數，分子必須是無窮小否則極限為無窮

還有落筆他法則的應用，主要是應為當未知數有幾個時候，使用落筆他 法則 可以消掉模些未知數，求其他的未知數極限數列涉及到的證明題，只知道是要構造新的函數但是不太會！！！！！！！！！！

:o最后 總結 一下間斷點的題型

首先 遇見間斷點的問題 連續性的問題復合函數的問題，在莫個點是否可導的問題。

主要解決辦法是3個一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了

你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當然是對的，在這里就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數圖形的凹凸性，函數單調性函數的奇偶性在圖形中的反應！！！！

（在這里尤其要注意分段函數！！！！！）（例如分段函數導數存在還相等但是卻不連續這個性質就比較特殊！！應為一般的函數都是連續的）

方法2就是舉出反例！（在這里也是尤其要注意分段函數！！！！！）

例如 一個函數是個離散函數還有個也是離散函數他們的復合函數是否一定是離散的類？？

答案是NO舉個反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定義了主要是寫出公式，連續性的公式求在抹一點的導數的公式

:o最后了

總結一下 函數 在抹一點是否可導 的問題

1首先 函數連續不一定可導，分段函數x絕對值函數在（0，0）不可導，我的理解就是 ：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續，應為他有個前提，在點的領域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數左右的導數也能相等

1主要考點 1

函數在抹一點可導，他的 絕對值函數在這點是否可導 ？

解決辦法：記住 函數絕對值的導數等于f（x）除以（絕對值（f（x）））再 乘以F（x）的導數。

所以判斷絕對值函數不可導點，首先判斷函數等于0的點，找出這些點之后，這個導數并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數的導數依然存在啊，所以還要找出f（a）導數的值，不為0的時候，絕對值函數在這點的導數是無窮，所以絕對值函數在這些點上是不可導的啊

考點2

處處可導的函數與在抹一些點不可以導但是連續的函數相互乘的函數，這個函數的不可導點的判斷

直接使用導數的定義就能證明，我的理解是f（x）連續的話但是不可導，左右導數存在但是不等，左右導數實際上就是X趨近a的2個極限，f（x）乘以G（x）的函數在x趨近a的時候

f（x）在這點上的這2個極限乘以 g（a），當g（a）等于0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數=f（a）導數乘以G(a)+ G(a)導數乘以F（a），應為f（a）導數乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數