第一篇：求極限方法小結(jié)(實(shí)用易懂)

求極限的方法小結(jié)

極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)的課程之中，而給定函數(shù)的極限的求法則成為極限思想的基礎(chǔ)，因此有必要總結(jié)極限的求法，其求法可總結(jié)為以下幾種：

一、利用極限四則運(yùn)算法則

對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會想到極限四則運(yùn)算法則，法則本身很簡單，但為了能夠使用這些法則，往往需要先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡，采用怎樣的變形和化簡，要根據(jù)具體的算式確定，常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和或求積公式以及適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q。

11lim(?)3x?11?x1?x例 1.lim(12n?1????)n2n2n2 2.n??

二、利用兩個(gè)重要極限

1sinx1xlim?1,lim(1?)?elim(1?x)x?e.x?0x??xx兩個(gè)重要極限為：或x?0使用它們求極限時(shí)，最重要的是對所給的函數(shù)或數(shù)列做適當(dāng)?shù)淖冃危怪哂邢鄳?yīng)的形式，有時(shí)也可通過變量替換使問題簡化。

1lim(1?)kxx 例 1.x?1lim(x?32x?1)x?2 2.x??

三、利用夾逼準(zhǔn)則求極限 關(guān)鍵在于選用合適的不等式。

lim(n!)nn

nlim(na1???am)n例 1.n??a1,?,am}，且ak?0(k?1,2,?,m)求n?? 2.設(shè)a?max{ / 4

四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。

x?a,x2?a?a?a?x1,?,xn?1?a?xn(n?1,2,?)例1.設(shè)a?0，1

limxn求極限n??。

五、利用無窮小的性質(zhì)求極限

有限個(gè)無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價(jià)無窮小替換求極限常常行之有效。

例 1.x?0 lim(1?xsinx?1sinsin(x?1))lim2lnxex?1 2.x?0

六、利用函數(shù)連續(xù)性求極限

limf(x)?f(x0)xf(x)x0設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，則?x0。

4sinxx2limlnlim(cosx)x 2.n?0例 1.x?0

七、利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則對求未定式的極限而言，是一種簡便而又有效的方法，前面出現(xiàn)的許多極限都可以使用此法則。使用時(shí)，注意適當(dāng)?shù)鼗啞Q元，并與前面的其他方法結(jié)合使用，可極大的簡化運(yùn)算。

lim(cosx?cos3x)x2

1例 1.x?1sinx1?cosxlim()n??x 2.lnsint2t??cott2 3.lim

八、利用麥克勞林展式或泰勒展式求極限 / 4

(n)設(shè)函數(shù)f(x)在x?0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且f(0)存在，則對該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x有如下表示式成立

f''(x)f(x)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x????x?0(xn)2!n!'此式稱為f(x)的具有皮亞諾余項(xiàng)的n階麥克勞林展式，對某些教復(fù)雜的求極限問題，可利用麥克勞林展式加以解決。必須熟悉一些常用的展式，如：

x2xne?1?x?????0(xn)2!n!xx3x2n?1n?1sinx?x????(?1)?0(x2n)3!(2n?1)!

2nx2nxcosx?1????(?1)?0(x2n?1)2!(2n)!nx2n?1xln(1?x)?x????(?1)?0(xn)2n

1?1?x?x2???xn?0(xn)1?x

計(jì)算過程中，要注意高階無窮小的運(yùn)算及處理。

cosx?ex4例 x?0lim?x22

九、利用定積分定義及性質(zhì)求極限

若遇到某些求和式極限問題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€(gè)可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來求極限，關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)以及積分區(qū)間。

lim(12n?1????)n2n2n2

n例 1.n?? 2.n??lim((n?1)(n?2)?(n?n))n

十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 / 4 級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)n?1??u?nlimun?0收斂，則n??，故對某些極限，可將函數(shù)f(n)作為級數(shù)n?1limf(n)?0有n??。n??limf(n)?f(n)的一般項(xiàng)，只須證明此技術(shù)收斂，便n!n例 n??n lim

十一、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限

當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和，此時(shí)常可以輔助性的構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（通常為冪級數(shù)，有時(shí)為Fourier級數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值。

lim(1?133?2???n?1)333 例 求n?? / 4

第二篇：求極限的方法小結(jié)

求極限的方法小結(jié) 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān)，但在該點(diǎn)周圍(數(shù)列除外）的必 某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān)，某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān) 但在該點(diǎn)周圍(數(shù)列除外）須連續(xù) B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運(yùn)算 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi) 注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，可以利用它同 B 一起去絕對值

1、代入法——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。。利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。。——反比例函數(shù) Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╝ n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、極限與導(dǎo)數(shù) —— 利用導(dǎo)數(shù)的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導(dǎo)數(shù)的定義、極限與導(dǎo)數(shù)——（）6.有界函數(shù)與無窮小的積仍為無窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價(jià)無窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無窮小時(shí)注意它不是充分必要的即應(yīng)用無窮小轉(zhuǎn)化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無窮小 都是無窮小)都是無窮小 ∞(1 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的 取對數(shù)法是冪指 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的.取對數(shù)法是冪指 函數(shù)的通法，時(shí)上述方法就顯得更簡單了恩）函數(shù)的通法，當(dāng)看見 1∞時(shí)上述方法就顯得更簡單了恩）9.利用洛比達(dá)法則 可轉(zhuǎn)化

為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達(dá)法則(可轉(zhuǎn)化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達(dá)法則 型 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。（對于未定式都可用 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。同時(shí)它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______

解:

=

12.利用柯西準(zhǔn)則來求！12.利用柯西準(zhǔn)則來求！利用柯西準(zhǔn)則來求 柯西準(zhǔn)則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數(shù) 柯西準(zhǔn)則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數(shù) N，使 得當(dāng) n>N 時(shí)，對于 |xn任意的自然數(shù) m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調(diào)有界必有極限來求 14.利用單調(diào)有界必有極限來求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數(shù)列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 16.求數(shù)列極限時(shí) 可以先算出其極限值，然后再證明。求數(shù)列極限時(shí)，16.求數(shù)列極限時(shí)，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 17.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 18.利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限 18.利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限

第三篇：1-1求極限方法小結(jié)

求極限方法小結(jié)

求極限方法大概歸結(jié)為：一 利用單調(diào)有界數(shù)列有極限先證明極限的存在性，再利用題中條件求出極限。二 轉(zhuǎn)化為已知極限。這里通常利用如下手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

（一）夾逼定理

（二）初等變形，如分解因式、有理化、換元等。其依據(jù)為極限的運(yùn)算法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合法則、有界乘無窮小、連續(xù)函數(shù)極限值等于函數(shù)值、將求數(shù)列極限有的可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限、泰勒公式）

（三）an?a,等價(jià)無窮小替換

（四）洛必達(dá)法則及中值定理

（五）公式：limn??

則limn??a1?a2??

?an?a；?a

（六）轉(zhuǎn)化為級數(shù)。三 轉(zhuǎn)化nn

為定積分。另外對分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限可能要考察左右極限。記

an?0住以下極限是有好處的。limn??

nx?a?

1?；n?1?a?

0?；

?1nsinx01??1??lim?11；lim?，（型）；（型）1??elim1??e????x?0n??x??x0nx????

一 利用單調(diào)有界數(shù)列定理求極限

例 1 x1?

3，xn?1?limxn n??

練習(xí)x1，xn?1?limxn n??

2x1?11，xn?1??1?xn?，求limxn n??22

n?? 例 2 已知0?x1??，xn?1?sinxn，求limxn

練習(xí)limsinsin?sinn n??

n??例3已知方程xn?xn?1???x?1(n?2)在?0,1?內(nèi)有唯一正根記為xn，證明limxn

存在并求limxn。n??

二 轉(zhuǎn)化為已知極限

（一）夾逼定理

例1 lim

n!，n??nn

??

例lim???n??

11??1

練習(xí)1 lim?2?2???2? n??n?1n?2n?n??

：n3

：

nx?1?lim(1?2例3(1)lim(2)x?x???x?0?

?x??

?3).x

（二）初等變形

?2n?1?)13

例1（1）lim(3?3???3n??

nnn

?)(1?)(1?練習(xí)1：lim(1

n??x3?3x?2

（2）lim x?1x4?4x?3

3161112)2：lim(1?2)(1?2)(1?2)n??23nn(n?1)

x?x2?x3???xn?n3??1

lim練習(xí)1：lim?，2： 3

： ?3?x?1x?11?xx?x?11?x??

（3）lim

x??

2x?1

x2

2ex?e?x2ex?e?xln(1?2x)

練習(xí)1：xlim，2：xlim 3:lim ???ex?2e?x???ex?2e?xx???ln(1?3x)例2

（有理化）n??

練習(xí)1

：x?1

：x?0?x)tanx 例3（換元）lim(1

x?1

?

2sinx

例4（有界乘無窮小）lim x??x

arctanx lim練習(xí)1：lim 2：x??x?01?cosxln(1?x)x

sinx?x2sin

1?1 例5（將求數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限）lim

n??1?nsin

n

ntan

1?11???cos練習(xí)1：lim2：limcos?? ???n??n??n?nn???

n2

n

例6（兩個(gè)重要極限的應(yīng)用）

nsin（1）lim

n??

xn

練習(xí)1：lim

x?0

sinxn

?sinx?

x

m

2：lim

x?a

sinx?sina

x?a

x?2?

（2）lim??? x??x?1??

?1?

練習(xí)1：lim?1??2：lim?cosx? x?0x??

?x?

kx

ln1?x1

?cosx

x4

xsinx?2(1?cosx)sinx?tanx

lim練習(xí)1：lim2： 43x?0x?0xx

（三）等價(jià)無窮小替換

例7（泰勒公式）lim

x?0

e

?

x22

x?0時(shí)，sinx?x，tanx?x，arcsinx?x，arctanx?x，1?cosx?

12x 2

ln(1?x)?x；ex?1?x；?1?x??1??x 例1 lim

x?0

?

tanx?sinx

sinx

練習(xí)1：lim

x?1

1?cos?x

?x?1?

：

x?0

例2 lim

x?0

ln?x?ex?x?x

1x

?3x?5x?1?sinx?cosxlim?lim練習(xí)1

： 2： 3: ?x?0x?01?sinpx?cospxx?12??

esinx?1

例3 lim x?0arcsinx2

ecosx?e

練習(xí)limx?0tan2x例4

x?0ln1?xe?1

（四）洛必達(dá)法則

0?x?sinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x?0x?00x?xcosxlncosbx?

x?0

練習(xí)1

：2：

x?1?sinx32

?1

練習(xí)1：lim

x?a

lnx

4：xlim

???xn

(1?x)?ea?x1?2sinx

2：lim 3：lim ?x?0x?xx?acos3xxn

?n?0? 5：xlim

???e?x

xa

1x

???0,n為自然數(shù)?

例2（???型）lim（11?)x?0x2xtanx

11111?)2：lim(?x)3：lim(x?x2ln(1?))練習(xí)1：lim（x?1lnxx?0xx??x?1e?1x

x

x???tan 例3（0??型）lim?x??2arcsinxcotx 2：limlnxln(x?1)練習(xí)1：lim

x?0

x?1?

x（2）lim?1?x?例4（?0?1型）（1）limx??

?

1x

cos

?x

x?1

?

x（3）limx?1

11?x

例5（微分中值定理）（1）lim

x?0

tanx?tansinxsectanx?secsinx

lim（2）33x?0sin2x?sinxcostanx?cossinx

??

a?b2???lim練習(xí)1：lim? 2：arctanx?a?0,b?0? ???x?0?x???????2???a?a?

??an

?a；?a

（五）公式：liman?a,則lim12

n??n??nn

例

（六）轉(zhuǎn)化為級數(shù)

x

1x1x

x

三 轉(zhuǎn)化為定積分

1n例 limn??ni?1

1p???np練習(xí)1

：limln 2：lim

n??n??np?1n

?p?0?

四 考察左右極限

??x2?esinx? 例 lim?1?x?0?x?x

?e?1???

五 關(guān)于含參極限及已知極限確定參數(shù)

例1（含參極限）

x2?(a?1)x?a1:limx?ax3?a3

(x?a)(x?1)(x?1)

?lim?lim2x?a(x?a)(x2?ax?a2)x?a(x?ax?a2)?a?1

?2a?0??3a?a?0??

1?

練習(xí)limxsin

x?0x

2（已知極限確定參數(shù)）（1）x?0

?求出a,b。

（2）lim?x??)?0求

?,?

x???

并求limx?x??)（a?0)

x???

由lim?x??)?

0有0?lim

x???

x???

?x??

x

?x??

?lim?)??

x???x得?

??lim)=lim

x???

x?

求limx?x?

?)

x???

?limx?

x???

?lim

x???

?lim

b2

(c?)x

x???

b2c?

2??

(x2?1)2?a?b(x?1)?c(x?1)2

練習(xí)lim?0求a,b,c.2x?1(x?1)

第四篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先對極限的總結(jié)如下

極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會有暗示要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮！）

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時(shí)候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母！！！！！！

看上去復(fù)雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！！！對第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性！！！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！！）

一，求極限的方法橫向總結(jié)：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時(shí)除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和

5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運(yùn)用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價(jià)無窮小量求極限。

8函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。

9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。

10根號套根號型：約分，注意別約錯(cuò)了。

11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結(jié)：

1未知數(shù)趨近于一個(gè)常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因?yàn)閤不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。

2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個(gè)重要極限

4）分式解法（上述）

第五篇：求函數(shù)極限方法的若干方法

求函數(shù)極限方法的若干方法

摘要： 關(guān)鍵詞：

1引言：極限的重要性

極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。

2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)就有 xn?A <。

2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時(shí)就有 f x ?A <。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

。，時(shí)右極限與左極限：。在此處鍵入公式。

2.2極限的性質(zhì)

2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng)

時(shí)有

。時(shí)有時(shí)有，則

；

。，則

與，使得當(dāng)

在的某空心鄰

時(shí)，時(shí)有，則。

。

2.2.1（推論）極限的保號性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有

內(nèi)有界，即3求極限的方法

1、定義法

2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限

4、利用兩個(gè)重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達(dá)法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限

9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價(jià)無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

15、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

16、利用單側(cè)極限求極限

17、利用中值定理求極限 3.1定義法

利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個(gè)正整數(shù)

.，當(dāng)

是一個(gè)數(shù)列,是實(shí)數(shù),如果對任意給定,我們就稱是數(shù)列

時(shí),都有的極限.記為例1 證明

證 任給，取，則當(dāng)時(shí)有

，所以。

3.2利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則

。，例1求解 這是求

型極限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限

當(dāng)極限不易直接求出時(shí), 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時(shí)有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。

時(shí)有，又

例題

解 ：，其中，因此。

3.4利用兩個(gè)重要極限球極限 兩個(gè)重要極限是，或。

第一個(gè)重要極限可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)，才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個(gè)。

內(nèi)有,那么

.則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng)

時(shí)

例 求的極限

解：因?yàn)?且 由迫斂性知

所以

3.6利用洛必達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)

和

和

滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運(yùn)用時(shí)需注意條件。

例題 求

解 原式=注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時(shí)不可求導(dǎo)。

2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。

3、要及時(shí)化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會錯(cuò)誤。

3.7利用定積分求極限

利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例

上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。

解 原式=，由定積分的定義可知。

3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時(shí)常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無窮小量可用它的等價(jià)無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡單化。例

解 注意時(shí)。

3.9利用變量替換求極限

為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞浚瑏硖鎿Q原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價(jià)無窮小的代換。

例 已知證 令

試證

則時(shí)，于是

當(dāng)時(shí)），故時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零，現(xiàn)在證明第四項(xiàng)極限也為零。因有界，即，使得

。所以

（當(dāng)

原式得證。

3.10利用遞推公式求極限

用遞推公式計(jì)算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗(yàn)證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來解決。

例 設(shè)，對，定義

且

。證明 時(shí)，解 對推出遞推公式解得,，因?yàn)椋虼耍蛄?/p>

中可以得出

是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。

3.11利用等價(jià)無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有

型極限，利用等價(jià)無窮小因子替換

=

=,，稱

與

是

時(shí)的無窮小量，記作

注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價(jià)無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。

小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別要注意無窮小等價(jià)代換,無窮小等價(jià)代換可以很好的簡化解題。

3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

在若處連續(xù)，那么且

在點(diǎn)連續(xù)，則。

例 求的極限

解：由于

及函數(shù)在處連續(xù)，故

3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題

3.14利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個(gè)正整數(shù)，并且例題

3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時(shí)，則

則。

利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。例題

3.15利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則，首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。例題

3.16利用單側(cè)極限求極限

1）求含的函數(shù)

趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)

趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及

或的函數(shù)，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例題

3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理