第一篇：幾道求極限的題目最后的結(jié)果

幾道求極限的題目最后的結(jié)果

11、p2、?cosa3、?2444、315、?126、07、e

a28、b29、aln(ae)

10、?abc1abca?b?ca

第二篇：求極限總結(jié)

首先 對 極限的總結(jié) 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補(bǔ)充么？？？）等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！！！

必須是 X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負(fù)無窮！）

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大！！！！！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意！！）E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母！！！！！！

看上去復(fù)雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x

比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當(dāng)x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性！！！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！！）

(0)

回復(fù)

1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質(zhì) 他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù)關(guān)于軸對稱 偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中 在定積分中也有應(yīng)用 定積分中的函數(shù)是周期函數(shù) 積分的周期和他的一致復(fù)合函數(shù)之間是 自變量與應(yīng)變量互換 的 關(guān)系

4還有個單調(diào)性。(再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)！）

（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）

:o 再就是總結(jié)一下間斷點的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的 所以 間斷點 是對于間斷函數(shù)而言的）

間斷點分為第一類 和第二類剪斷點第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點 或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值 可取的間斷點

地二類 間斷點是 震蕩間斷點 或者是 無窮極端點

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結(jié)一下

求極限的一般題型求分段函數(shù)的極限

當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！！！！

當(dāng)X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應(yīng)為 E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的！！！！極限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉！！！！！！！！

解決辦法 ：

1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了 這不是很容易么？

但是！！！有2個問題要注意！！

問題1 積分函數(shù)能否求導(dǎo)？ 題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的！！問題2 被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號！！！

解決2的方法 ： 當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！！！

第三篇：求極限畢設(shè)

求極限的若干方法

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生

李飛

指導(dǎo)教師

辛彩婷

摘要：本文首先介紹了數(shù)列極限的相關(guān)概念及其性質(zhì)定理,如數(shù)列極限的定義、性質(zhì)，Stolz定理等；其次是函數(shù)極限的相關(guān)概念及其性質(zhì)定理，包括函數(shù)極限的定義、性質(zhì)，洛必達(dá)法則，泰勒公式等；最后歸納和總結(jié)了求兩類極限的若干方法，主要是利用兩個重要極限、洛比達(dá)法則、泰勒公式、定積分等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題過程中常遇見的一些問題，以供學(xué)習(xí)者查閱借鑒。關(guān)鍵詞：數(shù)列 函數(shù) 極限 導(dǎo)數(shù)

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 極限概念是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念之一，它是研究變量數(shù)學(xué)的有力工具,也是研究高等數(shù)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，許多重要的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)的和及廣義積分等都是用極限來定義的.極限問題是高等數(shù)學(xué)中的難點之一，圍繞極限的中心問題有兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值.這兩個問題有密切關(guān)系：若求出了極限的值，自然極限存在性也被證明.反之，證明了極限存在，也就為計算極限鋪平了道路.掌握好求極限對學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的，求極限的方法很多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者歸納總結(jié)出了如下常見的求極限的方法.數(shù)列極限的概念

關(guān)于如何求極限，必須先了解極限的概念.這里，我們先介紹數(shù)列極限，然后介紹函數(shù)極限.兩類極限有著相似的性質(zhì)定理與類似的求極限的方法，彼此有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.下面給出數(shù)列極限的概念.1.1數(shù)列極限的定義

定義1.1.1 設(shè){xn}是一給定數(shù)列，a是一個實常數(shù).如果對于任意給定的??0，可以找到正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時，成立xn?a??，則稱數(shù)列{xn}收斂于a（或稱a是數(shù)列{xn}的極限），記為limxn?a，有時也記為xn?a（n??）.n??如果不存在實數(shù)a，使{xn}收斂于a，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散.1.2數(shù)列極限的性質(zhì) 1.2.1極限的惟一性

定理1.2.1 收斂數(shù)列的極限必唯一.1.2.2數(shù)列的有界性

定理1.2.2 收斂數(shù)列必有界.1.2.3數(shù)列的保序性

{yn}均收斂，定理1.2.3 設(shè)數(shù)列{xn}，若limxn?a，limyn?b，且a?b，n??n??[1][1][1]則存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，成立xn?yn.1.2.4極限的夾逼性

定理1.2.4 若三個數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項開始成立xn?yn?zn，n?N0，且limxn?limzn?a，則limyn?a.n??n??n??[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim?[1]型Stolz公式）設(shè){yn}是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無窮大量，?n??xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1n 定理1.3.2（無窮小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）設(shè)limxn?0，{yn}是嚴(yán)格單調(diào)減少的正

n??0xn?xn?1x?a（a可以為有限量，??與??），則limn?a.n??yyn?yn?1nn???型Stolz公式，其實只要求分母yn是嚴(yán)格單調(diào)增加的正無窮大量，?0至于分子xn是否是無窮大量，無關(guān)要緊.而型Stolz公式，則要求分母yn與分

0子xn都是無窮小量.1.4收斂準(zhǔn)則

定理1.4.1 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界數(shù)列必有收斂子列.[1][1]2函數(shù)極限的概念

我們在第一部分討論了數(shù)列的極限，現(xiàn)在來討論另一類極限，即函數(shù)的極限.下面我們給出函數(shù)極限的嚴(yán)格定義.2.1函數(shù)極限的定義

定義2.1.1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某個空心領(lǐng)域中有定義，即存在??0，使UO(x0,?)?Df.如果存在實數(shù)A，對于任意給定的??0，可以找到??0，使得當(dāng)0?x?x0??時，成立f(x)?A??，則稱A是函數(shù)f(x)在點x0的極限，記為limf(x)?A，或f(x)?A（x?x0）.x?x0如果不存在具有上述性質(zhì)的實數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)在點x0的極限不存在.2.2函數(shù)的連續(xù)性

定義2.2.1 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域中有定義，并且成立x?x0limf(x)?f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)，或稱x0是函數(shù)f(x)的連續(xù)點.定理2.2.1 一切初等函數(shù)在其定義域上連續(xù).2.3函數(shù)極限的性質(zhì) 2.3.1極限的惟一性

[1] 定理2.3.1設(shè)A與B都是函數(shù)f(x)在點x0的極限，則A?B.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B，則存在??0，當(dāng)

x?x0x?x00?x?x0??時，成立f(x)?g(x).2.3.3夾逼性

定理2.3.3[1] 若存在r?0，使得當(dāng)0?x?x0?r時，成立x?x0x?x0x?x0g(x)?f(x)?h(x)，limg(x)?limh(x)?A，則limf(x)?A.2.4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)?A的充分必要條件是：對于任意滿

x?x0足條件limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數(shù)列{xn}，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}n??成立limf(xn)?A.n?? 這一性質(zhì)被經(jīng)常用于證明某個函數(shù)極限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要條件是：對于任意滿足條件

x?x0n??limxn?x0，且xn?x0（n?1,2,3,?）的數(shù)列{xn}，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}收斂.2.5單側(cè)極限與極限的關(guān)系

[2] 定理2.5.1 函數(shù)f(x)在x0極限存在的充分必要條件是f(x)在x0的左極限與右極限存在并且相等：limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A.x?x0x?x0x?x02.6 L’Hospital（洛必達(dá)）法則

02.6.1 型不定式極限

0 定理2.6.1 若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足： ①limf(x)?limg(x)?0，x?x0x?x0[2]②在點x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)?0，③limf'(x)?A（A可為實數(shù)，也可為??或?），g'(x)f(x)f'(x)?lim?A.g(x)x?x0g'(x)x?x0則limx?x02.6.2 ?型不定式極限 ?[2] 定理2.6.2 若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足： ①lim?f(x)?lim?g(x)??，x?x0x?x0②在點x0的某空心鄰域u0?(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)?0，③lim?x?x0f'(x)?A，（A可為實數(shù)，也可為??或?），g'(x)則lim?x?x0f(x)f'(x)?lim??A.x?xg(x)g'(x)02.6.3 其它類型不定式極限

不定式極限還有0??，1?，00，?0，???等類型.這些類型經(jīng)過簡單的恒

?0型和型的不定式極限.?02.7 Taylor(泰勒)公式 等變換，都可以化為 定理2.7.1（帶Peano余項的Taylor公式）設(shè)f(x)在x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則存在x0的一個領(lǐng)域，對于該領(lǐng)域中的任一點，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?rn(x)，2!n!余項rn(x)滿足rn(x)?o((x?x0)n).3 求數(shù)列極限與函數(shù)極限的方法及應(yīng)用

3.1 求數(shù)列極限的方法及應(yīng)用

3.1.1利用定義求數(shù)列極限

根據(jù)數(shù)列極限的定義來證明某一數(shù)列極限，其關(guān)鍵是對任意給定的??0尋找自然數(shù)N，通過解不等式xn?a??而得出的N.但在大多數(shù)情況下，這個不等式并不容易解.實際上，數(shù)列極限的定義并不要求取到最小的或最佳的自然數(shù)N，只需要其存在性即可，所以在證明中常常對xn?a適度的做一些放大處理，這是一種常用的技巧.1111????(?1)n例1 設(shè)xn??，求limxn.n??nn?1n?22n11111????(?1)n?，解：由0??nn?1n?22nn1?1?則對于??0，取N???，當(dāng)n?N時，成立xn???，則limxn?0.n??n???3.1.2 n項和數(shù)列極限問題

n項和數(shù)列極限問題有兩種處理方法：

(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算；(2)利用兩邊夾法則求極限.例2 求極限lim(n??111???).n?1n?22n分析：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計算定積分，為此作如下變形：

J?limn??1?.?ini?11?n1在區(qū)間?0,1?上的一個積分和.（這1?xn1不難看出，其中的和式是函數(shù)f(x)?里所取的是等分分割，?xi?J??11i?i?1i?i?1.2.??????n., ?i???），所以 ,?（nn?nn?dx?ln(1?x)|1?ln2.001?x1當(dāng)然，也可把J看作f(x)? 在?1,2?上的定積分，同樣有

x2dx3dxJ?? ?1x?2x?1????????ln2.???111?111???dx?ln2.????解：原式＝limn??n?12n??01?x1?1???1?nnn???111????例3 極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1??.??1??1??2??n?? 分析：(1)該題與例2類似，但是不能湊成lim?f?f???f????????n??n?nn???n?????的形式，根據(jù)各項的特點可以考慮用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要將原式適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，要求放大和縮小后的表達(dá)式極限相等.解: 因為 nn?n2?1n?12?1n?22???1n?n2?nn?12，又

limn??n?lim?1，22n??n?nn?1??＝１.??n?111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?13.1.3利用定積分求極限

利用定積分可求如下兩種形式的極限：

1??1?（1）lim?f???n??n???n??2?f??????n??n??型 f?????n??定理1?3? 設(shè)

f?x?在?0,1?上可積，則有：1??1?lim?f???n??n???n?例題見例3.?2?f??????n??n??1f?????f?x?dx.??n??0?1??2??n?（2）limnf???f?????f??型

n???n??n??n?定理2 若f?x?在?0,1?上可積，則： [4]?1?limnf???n???n?n?2?f????n??n??f???exp?n???lnf?x?dx?.10例4.求limn??n!.n解：原式?limnn??12n?，令f?x??x，則有 nnnnlimn??1n!12n?1?limn??exp???0lnxdx???e.n????nnnn3.1.4求和公式法（適合于等差數(shù)列、等比數(shù)列等類型）

關(guān)于無限項之和的極限，可以根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其它數(shù)列的前n項求和公式，先求n項的和，然后再求出n趨于無窮時的極限.常用的求和公式見附錄1.例5 求lim1?2?3????n?1?.2n??nn?1?1?n?1?2n?n12解：原式?lim?lim?.22n??n??2n2n3.1.5利用Stolz定理求數(shù)列極限

有些 “ 無窮多項”極限問題，當(dāng)不能利用恒等變換轉(zhuǎn)化為有限多項時，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.12?32?52???(2n?1)2例6 求lim.n??n312?32?52???(2n?1)2(2n?1)24n2?4n?14解：lim?lim3?lim2?.n??n??n?(n?1)3n??3n?3n?1n333.1.6利用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限 應(yīng)用該定理求極限時，通常要先證明這個數(shù)列是單調(diào)有界的，從而確定極限的存在性，在討論過程中有界性的確定往往是個難點，可借助單調(diào)遞增數(shù)列的極限是它的最小上界、單調(diào)遞減數(shù)列的極限是它的最大下界的性質(zhì)確定數(shù)列的界.最后找出數(shù)列xn?1與xn的遞推公式，設(shè)數(shù)列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關(guān)于A的方程，從而求出A.234n?1例7求lim?????.n??3572n?1解：易得0?an?1，則{an}有界，234令an????357an?an?1?nn?1k?1n?1，得遞推公式 an????an?1，2n?1k?12k?12n?1n?1naan?1?an?1??n?1?0，則{an}單減.2n?12n?1n??由單調(diào)有界數(shù)列必收斂，則liman存在，令liman?a，n??1n?1an?1兩邊取極限，得a?a，有a?0，即liman?0.n??22n?13.1.7利用壓縮性條件證明極限存在再求極限 由an?應(yīng)用該條件求極限時，通常要先證明這個極限的存在性，然后找出數(shù)列xn?1與xn的遞推公式，設(shè)數(shù)列的極限是A，在xn?1與xn的遞推公式兩邊取極限，得到關(guān)于A的方程，從而求出A.例8 設(shè)x1?2，xn?1??1，求limxn.n??2?xn解：由?1?x1?2，歸納法易得?1?xn?2，xn?1?xn??1?1xn?xn?1??，2?xn2?xn?1(2?xn)(2?xn?1)由0?1?1，滿足壓縮性條件，則{xn}收斂，則limxn存在，n??(2?xn)(2?xn?1)?1?1兩邊取極限，得a?，有a??1，即2?xn2?a令limxn?a，由xn?1?n??n??limxn??1.3.1.8利用海涅定理求數(shù)列極限

海涅定理的意義在于通過對函數(shù)極限與數(shù)列極限的相互轉(zhuǎn)化來處理問題，從而，我們可以應(yīng)用海涅定理將某些不易求的數(shù)列極限的問題轉(zhuǎn)化為求易求的函數(shù)極限的問題.1??例9 極限lim?nsin?.n??n?? 分析：這是1?形式的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，但是若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過3.2.7提供的方法結(jié)合洛必達(dá)法則求解.1??解：考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2n2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e，?161??故由海涅定理的必要性得：lim?nsin?n??n??n2?e.?163.2 求函數(shù)極限的方法及應(yīng)用 3.2.1分子(母)有理化求極限

?0 如果函數(shù)的極限出現(xiàn)、、?-?等未定式，一般采用約簡分式，有理化

?0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx?13x?1?2.x?1分析：本題因為分子、分母都含有“0”因子，給求極限帶來麻煩，因此想辦法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x?1)2?223x?33?lim?lim?解：原式.x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則.3.2.2利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限)(1)初等函數(shù)

如果y?f?x?是初等函數(shù)，且點x0是 f?x?定義區(qū)間內(nèi)的點，則函數(shù)y?f?x?在點x0處連續(xù)，于是有l(wèi)imf?x??fx0.通常稱這種求極限的方法為代入法.x?x0??exsinx?x例11 求lim2.x?3x?lnx 分析：這是由幾個基本初等函數(shù)構(gòu)成的初等函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，因此直接帶值.e3sin3?3解：原極限?lim2.x?33?ln3（2）復(fù)合函數(shù)

若函數(shù)f???x??是復(fù)合函數(shù)，且lim0??x??a,f?u?在u?a處連續(xù)，x?x則lim0f???x???f?lim0??x???f?a?.??x?x?x?x?1?cosx例12.求lime2arcsinx的極限.x?01?cosx2 分析：函數(shù)e2arcsixn可看成是由f?u??eu，u?21?cosx復(fù)合而成，且

2arcsinx2lim1?cosx11u?，在處連續(xù)，因此 u???fu?ex?02arcsinx244解：由于lim1?cosx11u?及函數(shù)在處連續(xù)，u???fu?ex?02arcsinx2441?cosx2arcsinx2故 limex?0=elim2x?02arcsinx1?cosx=e.說明：用此方法求極限有時常常會遇到，函數(shù)f?x?在x點沒有意義,即函數(shù)f?x?在x點不連續(xù),這時要視具體情況對f?x?進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危D(zhuǎn)化為連續(xù)

0函數(shù),再利用函數(shù)的連續(xù)性求出極限,該方法常用于“”型的極限.在進(jìn)行變形

0時常用到因式分解、分子或分母“有理化”的運算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右極限與極限關(guān)系

該方法適用于求分段函數(shù)在分段點處的極限或某函數(shù)在其間斷點處的極限，以及用定義求極限等情形.函數(shù)在某點處的極限存在的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在某點處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點處的極限值即為所求的左右極限的值.?1?2e?x,x?0??x?x,0?x?1，求limf(x)及l(fā)imf(x).例13 設(shè)f(x)??x?0x?1x??x2,x?1??x解：?limf(x)?lim(1?2e)??1，limf(x)?lim(????x?0x?0x?0x?0x?x)?lim(x?1)??1?x?0x，由 limf(x)?limf(x)，?limf(x)??1.??x?0x?0x?0又limf(x)?lim??x?1x?1x?x2??limfx?limx?1，?limx?1?0???x?1x?1x?1x??由f?1?0??f?1?0?，?limf?x?不存在.x?13.2.4利用等價無窮小量代換求函數(shù)極限

o[2]定理 設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在U(x0)內(nèi)有定義，且有

f(x)~g(x)(x?x0)，（1）若limf(x)g(x)?A,則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x0（2）若limx?x0h(x)h(x)?B,則lim?B.x?x0g(x)f(x)''?'??' 由定理知：若?~?,?~?且lim'存在，則有l(wèi)im?lim'.其中：

?????0,?'?0.所以，當(dāng)lim‘’?的計算較為困難時，就設(shè)法尋求與?、?等價的對應(yīng)無窮小??'?'??、?進(jìn)行代換，變求lim為求lim'，而lim'的計算較為容易，所給極限

???lim?的計算就迎刃而解.?顯然，利用等價無窮小的代換求極限的一個前提是：對一些常用的等價無窮小量要熟悉.例如：當(dāng)x?0時，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121?cosx~x，ax?1~xlna（a?0），ex?1~x，(1?bx)a?1~abx，2xxn1?x?1~，loga(1?x)~(l1?x)~x.（a?0），nnlna例14 求limx(1?cosx).x?0(1?ex)sinx21x?x21解：原式?lim22??.x?0?x?x2tanx?sinx例15 求lim的極限.3x?0sinxsinx(1?cosx)，而sinx~x,x?0； 解：由 tanx?sinx?cosxx21?cosx~,x?0；sinx3?x3~x3,x?0，2x2x?1tanx?sinx2?1.lim?故有 lim= x?0x?0cosxsinx3x32注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換.例如，在上式中，若因為有tanx~x，x?0，sinx~x，x?0，從而推出

limtanx?sinxx?x?lim?0，33x?0x?0sinxsinx則就會得出錯誤的結(jié)論.3.2.5利用夾逼定理求函數(shù)極限

利用夾逼定理可將某函數(shù)適當(dāng)縮小和放大，使得縮小和放大后得到的新函數(shù)的極 限分別存在且相等，從而得到原函數(shù)的極限．即原函數(shù)的極限就等于縮小或放大后的函數(shù)的極限.1?1??1??1?例16 求limx??（??為取整函數(shù)，??表示不大于的最大整數(shù)）.x?0x?x??x??x?分析：此極限難點：在取整函數(shù)不易求極限，所以想著去掉取整函數(shù)，故而采用適當(dāng)?shù)姆糯蠹翱s小，用夾逼準(zhǔn)則求原式極限.1?1?1解：由 ?1????（x?0），x?x?x?1??1?故，當(dāng)x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1??1?當(dāng)x?0時，有1?x?x???1，則lim(1?x)?limx?lim1，有?????x?0x?0x?0xx?????1?limx?1； ?x?0???x??1?所以，limx???1.x?0?x?3.2.6利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

?0?0 對于或型的極限,可通過洛必達(dá)法則來求.若所求極限呈現(xiàn)或型，?0?0則可直接利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，若所求的函數(shù)極限呈現(xiàn) 0??，1?，00，?0，則可將其恒等變形化成???型等形式，sinx1?cosx)例17 求lim(.x?0x1?0或型，再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解.?0分析：本題為1?型，所以要用洛必達(dá)法則求極限，恒等變形轉(zhuǎn)化為

?0或型.?0作為1?型，一般采用取對數(shù)，或者利用f(x)?elnf(x)這種形式恒等變形再轉(zhuǎn)化.解：取對數(shù)后，sinxsinxln(ln)'xcosx?sinx(xcosx?sinx)'xx, lim?lim?lim?lim23x?01?cosxx?0x?0x?012xsinx(x)'(x)'2?sinx1?cosx?xsinx1)?e3.?lim??，則lim(2x?0x?0x3x311有 注：如果采用取對數(shù)再求極限這種方法，一定要注意還原.這種方法易錯點，1誤把?當(dāng)作本題的最后極限.3lnx例18 求lima(a?0,x?0).x???x?解： 由limlnx??,limxa??，故此例屬于型；

x???x????1lnx1由洛必達(dá)法則有：lima?limx?lim?0(a?0,x?0).x???xx???axa?1x???axa例19 求limxlnx.?x?0?0或型，但?0是這一種類型需要注意，如果函數(shù)本身含有對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)，則需要將對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)保留在分子位置，否則再用洛必達(dá)法則時會越來越繁瑣且

lnx?不易求出結(jié)果.因此，作恒等變形xlnx?，將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限.1?x1lnxx?lim(?x)?0.解： limxlnx?lim?limx?0?x?0?1x?0??1x?0?xx2總而言之，在運用洛必達(dá)法則時，應(yīng)注意：

0?（1）檢查所求極限是否屬于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0?分析：這是一個0??型的不定式極限，可將其恒等變形化成時才可直接運用洛必達(dá)法則，其他型不定式(如0??，1?，00，?0，???等)應(yīng)先化為“0?”型或“”型不定式，再運用洛必達(dá)法則.0?f?x?f'?x?（2）當(dāng)lim'不存在時，不能斷定lim不存在，即洛必達(dá)法則的條

g?x?g?x?件是充分但非必要條件.此時，只能說明此極限不能應(yīng)用洛必達(dá)法則求解，如x?sinxlim.x??x?sinx（3）在求不定式極限的過程中，有時一次洛必達(dá)法則不能解決問題需要多次使用洛必達(dá)法則，但是在使用時要檢查是否滿足條件.（4）在每次使用洛必達(dá)法則后，都應(yīng)對所得極限式子進(jìn)行整理化簡，然后再考慮是否繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.有時用其他方法計算極限很方便時，就不必用洛必達(dá)法則了.x（5）如果f?x?或g?x?中含e或arctanx、arccotx，且求當(dāng)x??時的極限時，應(yīng)分別討論當(dāng)x???及x???時，f?x?f?x?的極限，并判斷l(xiāng)im是否存

x??g?x?g?x?在.（6）洛必達(dá)法則是求不定式極限的一個有效方法，但不是萬能的，要根據(jù)所求極限的具體特點選用恰當(dāng)?shù)姆椒?3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函數(shù)極限

利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并采用皮亞諾型余項.當(dāng)函數(shù)為分式時,一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式,再通過比較求出極限.一些常用的泰勒公式見附錄2.x2?1?1?x2例20 求lim2.x22x?0(cosx?e)sinx11(?1)1222112解：1?x?1?x?x4?o(x4)?1?x2?x4?o(x4)，22!28x2x4114cosx?1???o(x4)?1?x2?x?o(x4)2!4!224ex?1?x2?2，14x?o(x4)，2!x211?1?(1?x2?x4?o(x4))228原式?lim

x?0212141x[1?x?x?o(x4)?(1?x2?x4?o(x4))]2242!311x2(?x2?x4)224 注：用此法必須熟記基本的初等函數(shù)的展開式，它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為多項式或有理式的極限問題.3.2.8利用兩個重要極限

0sinx1利用(A)lim?1(B)lim(1?)x?e.第一個重要的極限是型，第二個x?0x??0xxx?0?lim14x8??1.12重要極限是1?型，在1?型中滿足“外大內(nèi)小”，“內(nèi)外互倒”.在利用重要極限求函數(shù)極限時，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限的標(biāo)準(zhǔn)型或它們的變型.我們經(jīng)常使用的是它們的變形：

(A')limsin?(x)1?(x)?1,(?(x)?0)；(B')lim(1?)?e,(?(x)??).?(x)?(x)sinx?1例21 求lim.x?1x?122?x?1??sin?x?1??sin?x?1? 解：原式=lim?lim?x?1???2.x?1x?1?x?1??x?1?x2?1?2?注：limsinx?1的擴(kuò)展形式：

x?0x 令g?x??0，當(dāng)x?x0或x??時，則有

lim因而，limsing?x?sing?x??1.?1或limx??x?x0g?x?g?x?sinx?0?1.x??x1x例22 求lim(1?2x)的極限.x?011??22x2xlim(1?2x)?(1?2x)解：原式=???e.x?0??利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限.一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法.3.2.9利用微分中值定理求函數(shù)極限

[2] 因為由微分中值定理可得到在某一點的具體的導(dǎo)數(shù)值.而根據(jù)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)的定義：fx0?lim'??f?x??fx0x?x0??x?x0,可知某點的導(dǎo)數(shù)是極限的形式表示的.所以類似此類函數(shù)的極限而且符合中值定理的話，可利用此種方法.ex?esinx例23 求lim.x?0x?sinx分析：觀察可知，這是一個中值定理的結(jié)論

f?b??f?a?型的函數(shù)，我們很容易想到拉格朗日b?af?b??f?a?,???a,b? b?a從而，我們可以利用拉格朗日中值定理進(jìn)行求解.' f????解:令f(x)?ex，對它應(yīng)用微分中值定理得，ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f'(sinx??(x?sinx))(0???1)，ex?esinx?f'(sinx??(x?sinx))(0???1).即x?sinx?f'(x)?ex連續(xù)，?limf'(sinx??(x?sinx))?f'(0)?1，x?0ex?esinx?1.從而有 limx?0x?sinx3.2.10多種方法的綜合運用

前面介紹了求解極限的基本方法,然而每一道題目并非只有一種方法.因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧,使得計算大為簡化.1?cosx2例24 求lim2.x?0xsinx21?cosx22xsinx2?lim[解法一]: lim2

x?0xsinx2x?02x?x2cosx2?2xsinx2sinx22sinx21x ?lim2 ?lim?2x?0xcosx2?sinx2x?0sinx2cosx2?2x注:此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個重要極限法.x2x2x22sinsinsin1?cosx211222lim?lim?lim??? [解法二]: x?0x2sinx2x?0x2sinx2x?0x2sinx2x222?2x222注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法.x2x22142sin2()x21?cosx12?lim22 [解法三]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2(x2)x?0x422 注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法.(x2)21?cosx2x212 [解法四]:lim2 ?lim?lim?x?0xsinx2x?0x2sinx2x?02sinx22 注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法.顯然最簡單，因此在做題的時候一定要注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?此題還有其他十多種解法，本文就不再詳述.總之在求函數(shù)極限的問題時，一定要視問題本身而靈活選用各種方法.3.2.11多元函數(shù)極限的計算

計算多元函數(shù)的極限常用的方法是：1）利用不等式，使用兩邊夾法則；2）變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)極限；3）利用極坐標(biāo)；4）利用初等函數(shù)的連續(xù)性，利用極限的四則運算性質(zhì)；5）利用初等變形，特別指數(shù)形式常可先求其對數(shù)的極限；6）若事先能看出極限值，可用?-?方法進(jìn)行證明.1?cos?x2?y2?x?y22lim例25.求下列極限：1）?x,ylim；2）；3）???0,0?x2?y2exy22x????x?yy??lim?x?y2x?0y?0222xy?；

22解：1）因為1?cosx?y~??12x?y22????x,y???0,0??，21222x?y??1?cos?x?y?x2?y22?limlim?0； 2222?22所以?x,ylim???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?x2?y2exy?x,y???0,0?2exy????222）因為0?x?yx?y22?xx?y22?yx?y22?xx2?yy2?11?，xy又limx??y??x?y11lim?0.，所以由兩邊夾法則有：??022x??xyx?yy??

3x?0y?0）2先求取對數(shù)之后的極限：limlnx?y?222xy?x2y22222?lim2x?ylnx?y，x?0x?y2y?0????x2y2x2?y2因為 0?2?2?x2?y2?0，22x?yx?y??2lim?x2?y2?ln?x2?y2?令x2?y2?tlimtlnt?0，x?0y?0t?0故原極限?e0?1.注：取對數(shù)后求極限注意還原.總結(jié)

以上方法是總結(jié)出的高等數(shù)學(xué)里求極限的重要方法.在做求極限的題目時,僅僅掌握以上方法而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的,必須認(rèn)真分析、仔細(xì)甄選,選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?這樣不僅準(zhǔn)確率更高,而且還會省去許多不必要的麻煩,起到事半功倍的效果.這就要求學(xué)習(xí)者吃透其精髓,明白其道理,體會出做題的竅門,要達(dá)到這樣的境界必須要勤于思考,善于總結(jié),歸納出每種方法適用的題型,在做題時才會熟能生巧,得心應(yīng)手.

第四篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面

首先對極限的總結(jié)如下

極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮！）

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母！！！！！！

看上去復(fù)雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個實際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！

當(dāng)x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性！！！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！！）

一，求極限的方法橫向總結(jié)：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項的和求極限：列項求和

5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價無窮小量求極限。

8函數(shù)在一點處連續(xù)時，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。

9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。

10根號套根號型：約分，注意別約錯了。

11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結(jié)：

1未知數(shù)趨近于一個常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因為x不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。

2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個重要極限

4）分式解法（上述）

第五篇：總結(jié)16種方法求極限

首先對極限的總結(jié)如下

極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！你還能有補(bǔ)充么？？？）等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！！！

必須是X趨近而不是N趨近！！！！（所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮！）

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！！！！（假如告訴你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死！）

必須是0比0無窮大比無窮大！！！！！

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！！）

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母！！！！！！

看上去復(fù)雜處理很簡單！！！！！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個實際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）11 還有個方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！！！當(dāng)x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性！！！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！！）

函數(shù)是表皮

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱偶函數(shù)關(guān)于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣

（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致

3復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系

4還有個單調(diào)性。(再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)！）

（可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）

:o 再就是總結(jié)一下間斷點的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以 間斷點 是對于間斷函數(shù)而言的）

間斷點分為第一類和第二類剪斷點

1第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值可取的間斷點

地二類 間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點

（這也說明極限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結(jié)一下

求極限的一般題型

1求分段函數(shù)的極限

當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！！！！

當(dāng)X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應(yīng)為 E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的！！！！極限中含有變上下限的積分如何解決類？？？？

說白了就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！！！！！！！！解決辦法 ：

1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了這不是很容易么？

但是！！！有2個問題要注意！！

問題1積分函數(shù)能否求導(dǎo)？題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的！！

問題2被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號！！！

解決2的方法 ： 當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！！！

當(dāng)x 與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系，就要 換元了！！！！！（換元的時候積分上下限也要變化！！）

3求的是數(shù)列極限的問題時候

夾逼 或者 分項求和 定積分都不可以的時候

就考慮x趨近的時候函數(shù)值，數(shù)列極限也滿足這個極限的當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時候

首先 ： 判斷數(shù)列極限存在極限的方法是用的單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義！！應(yīng)為是 離散的只能用前后項的 比較（前后項相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用 歸納法最后對xn 與xn+1兩邊同時求極限，就能出結(jié)果了！！！

4涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題

解決辦法 ：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。應(yīng)為例如當(dāng)x趨近0時候f（x）比x =3的函數(shù)，分子必須是無窮小否則極限為無窮

還有落筆他法則的應(yīng)用，主要是應(yīng)為當(dāng)未知數(shù)有幾個時候，使用落筆他 法則 可以消掉模些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)但是不太會！！！！！！！！！！

:o最后 總結(jié) 一下間斷點的題型

首先 遇見間斷點的問題 連續(xù)性的問題復(fù)合函數(shù)的問題，在莫個點是否可導(dǎo)的問題。

主要解決辦法是3個一個是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了

你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當(dāng)然是對的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)！！！！

（在這里尤其要注意分段函數(shù)！！！！！）（例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個性質(zhì)就比較特殊！！應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）

方法2就是舉出反例！（在這里也是尤其要注意分段函數(shù)！！！！！）

例如 一個函數(shù)是個離散函數(shù)還有個也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的類？？

答案是NO舉個反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定義了主要是寫出公式，連續(xù)性的公式求在抹一點的導(dǎo)數(shù)的公式

:o最后了

總結(jié)一下 函數(shù) 在抹一點是否可導(dǎo) 的問題

1首先 函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，我的理解就是 ：不可導(dǎo)=在這點上圖形不光滑。可導(dǎo)一定連續(xù)，應(yīng)為他有個前提，在點的領(lǐng)域內(nèi)有定義，假如沒有這個前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等

1主要考點 1

函數(shù)在抹一點可導(dǎo)，他的 絕對值函數(shù)在這點是否可導(dǎo) ？

解決辦法：記住 函數(shù)絕對值的導(dǎo)數(shù)等于f（x）除以（絕對值（f（x）））再 乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。

所以判斷絕對值函數(shù)不可導(dǎo)點，首先判斷函數(shù)等于0的點，找出這些點之后，這個導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時候，絕對值函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點上是不可導(dǎo)的啊

考點2

處處可導(dǎo)的函數(shù)與在抹一些點不可以導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個函數(shù)的不可導(dǎo)點的判斷

直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f（x）連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)存在但是不等，左右導(dǎo)數(shù)實際上就是X趨近a的2個極限，f（x）乘以G（x）的函數(shù)在x趨近a的時候

f（x）在這點上的這2個極限乘以 g（a），當(dāng)g（a）等于0的時候，左右極限乘以0當(dāng)然相等了，乘積的導(dǎo)數(shù)=f（a）導(dǎo)數(shù)乘以G(a)+ G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F（a），應(yīng)為f（a）導(dǎo)數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數(shù)