第一篇：利用定積分的定義求極限

利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim

ab

b?an

n

n??

?

k?1

f(a?

b?an

?k)?

?

ba

f(x)dx

例15求極限

n

（1）lim

n??

?

k?1n

nn?4k

nn?4k

解：lim

n??

?

k?1

?lim

1n

n

n??

?

k?1

11?4()

n

k

?

?

11?4x

dx?

actan2x

|0?

actan2

n

（2）lim

n??

?

k?1n

nx?2kn

解：lim

n??

?

k?1nx?2kn

?lim

n??

k

[x?2()]??nk?1n

n

?

(x?2t)dt?x?1

（3）lim

1n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)

n?1

解：因為

1n

k?0

?ln(1?n)

n

k

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

由于lim

1n

n

n??

?

k?1

ln(1?

kn)?

?

ln(1?x)dx?2ln2?1?ln

4e

故lim

1n

n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

ln

4e

?

4e

第二篇：淺談用定積分的定義解決極限問題

數學之美2007年11月總第3期

淺談用定積分的定義解決極限問題

王濤

（周恩來政府管理學院 政治學與行政學 0612723）

摘要：數學是一門鍛煉人的邏輯思維能力的科目。我們在學習數學的過程中經常遇到的是計算題和證明題，掌握一定的方法和技巧對于我們快速地解出題目是非常有幫助的。有些方法和技巧其實是對定義、概念深入理解所得到的。本文主要探討用定積分的定義來解決求極限的問題。

關鍵詞：定積分的定義；定積分；極限；曲邊梯形的面積

在高等數學的學習中，微積分的學習占有很大的比重，地位也是很重要的。微積分分為微分學和積分學，而微分運算與積分運算之間是互為逆運算的關系。我們通常把微分運算看作正向運算，而把積分運算看作是微分的逆運算，在以往的實際學習上我們也可以看出這點：加減法，乘除法，平方開方，指數對數，三角函數反三角函數等等。而在高等數學的學習中我們首先接觸的是微分，然后是積分；從掌握程度上，我們對于正向運算的掌握程度可能要好于逆向運算，不管是學習的速度還是做題的準確性，正向運算可能都要好于逆向運算。然而正逆運算是互通的，熟練掌握這兩種運算對于增加解題方法，做到融會貫通都是很有幫助的。下面就來介紹用積分學中定積分的定義來解決微分學中極限的問題。

我們一般在求解極限問題時，經常用到的方法是：極限的定義、性質，幾種重要極限、洛必達法則、泰勒公式等。但這些方法都局限于微分學中，沒有超越微分學的范圍，而我們知道微分與積分是互為逆運算的，那么運用積分學的方法來解決極限問題是否可行？答案是肯定的。用定積分的定義就是解決極限問題的又一方法。

要用定積分的定義來求解極限問題，我們首先要弄清定積分的定義。

定積分的定義：設函數y=f(x)定義在區間?a,b?上有界，在?a,b?上任意插入分點：a=x0＜x1＜?＜xn?1＜xn=b,令?xi=xi?xi?1，又任取?i?[xi?1,xi], i=1,2,…n.作和式In??f(?i)?xi，令?x?m如果當?xi?0時，和式In的極限存在，且此極限與?a,b?ax??xi?，i?11?i?nn的分法及?i的取法無關，則稱函數f(x)在?a,b?上是可積的，并稱該極限值為f(x)在?a,b?上的定積分，記作

即?baf(x)dx，n?b

af(x)dx??f(?i)?xi.?x0i?

180

其中函數f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，?a,b?稱為積分區間。1

b

這個定義看上去很復雜，但只要抓住?af(x)dx??f(?i)?xi即可。我們在?x?0i?1

n

后面所要介紹的用定積分的定義解決極限問題也是圍繞著這個公式展開的。從這個式子我們也可以看出極限與定積分之間的關系是很緊密的。有了定積分的定義，我們用具體例題來看怎樣用定積分解決極限問題。

?2?3?n???

sinsinsinsin2?n?n?n???n? 例1.求

lim??

111?n???n?1

n?n?n?

?23n???

解： 注意到：

?2?3?n?

sinsinsinsin1?2?3?n?n?n?n???n? [sin?sin?sin???sin]?

n?1nnnn111n?1

n?n?n?23n

1?2?3?n?1nk?[sin?sin?sin???sin]=（*）?sin

nnnnnnk?1n

由定積分定義，對上面不等式的右端取極限，得到

1nk?1

=?sin?xdx=2 lim?sin0nn??nk?1?

而不等式的左端取極限，有

n1nk?=2 1nk?=

?sinsin??limlim

nk?1n?nn??n?1n??n?1k?1

由夾逼定理知

?2?3?n??

sinsinsinsin?n?n?n???nlim?

111n???n?1

n?n?n?

?23n?

?

?????

=

2?

這道題就是典型的用到定積分的定義來求極限的值。當我們對（*）左右兩邊的式子取

n1nk?b

極限時，我們發現 lim?sin可以表為形如?af(x)dx??f(?i)?xi的形式.因

nn??nk?1?x?0i?1

為f(x)?sin?x為[0, 1]上可積函數，所以對于[0, 1]任意劃分及?i的任意取法極限

劉桂茹，孫永華編著：《高等學校經濟數學系列教材 微積分》，南開大學出版社，2004年12月版，第200

頁。2

2005年天津市大學數學競賽（人文學科及醫學等類），第八題。

lim?f(?i)?xi都存在且相等, 此時令?xi=

n

||?x||?0i?1

1i，即把[0, 1]n等分, ?i?為分點，由nn

定積分的定義我們得到

21nk?1

==, sin?xdxsin?lim

?n?0n??nk?1

然后再取右邊的極限,由夾逼定理我們得到最后的結果

?

.這道題解題的關鍵就是用到定積分的定義,把求極限問題與定積分的定義聯系起來，很容易的解出題目。

讓我們再來看一個例子.例2.求lim

n??

n?1)(n?2)?（n?n)。

n

解：∵lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim(1?n)(1?

n??

2n)?（1?)nn

于是，我們設y?(1?n)(1?

2n)?（1?)nn

1ni

?ln(1?)取對數lny?

ni?1n

于是有limlny=lim

n??

1ni

?ln(1?).（**）

nn??ni?1

我們采用同例1同樣的方法。此時令?xi=

1i，?i?1?.所以（**）可等于 nn

11ni

lim?ln(1?)=?0ln(1?x)dx=2ln2?1.nn??ni?1

因此limlny?2ln2?1，n??

n??

limy?e

2ln2?1

=e

ln

e

4?.e

所以最后的結果是lim

這道題與例1

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)4=.en

b

有相似之處，整理式子，發現（**）形如?a

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

n

由定積分的定義把求（**）轉化為求定積分的值，得到結果。

由上面兩個例子我們可以發現幾個問題：

1.用定積分的定義來求極限的問題，給出的題目往往是有無窮多個式子連乘或連加構成，而且式子看上去很復雜但很有規律，經過一定的變換可以得到如下形式

b?a

n

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

運用此式可以把極限問題轉化為求定積分值的問題。

2.解題時不僅要用到定積分的定義，還需要與其他方法結合使用。第一題中用到了夾逼定理，第二題則用到了取對數的方法。這樣就增加了解題的難度題目。在出用定積分解極限問題時，一般不會直接讓你看出用定積分定義來做此題，而是需要運用其他的方法把式子經過一定的變換之后再用定積分來做，定積分的定義是解題的關鍵。此類題的目的就是要用定積分的定義來解極限問題，但之前要把式子整理到形如定積分的定義式之后才能用定積分來做。達到了一道題考察多種概念、方法的目的。

以上就是我們所討論的用定積分的定義來解某一類的極限問題。它所反映的思想就是要把相通的、有關系的事物聯系起來，擴展思路，最終達到解決問題的目的。學習數學的目的就是為了鍛煉人的邏輯思維能力。在實際生活中，我們也要解放思想，開闊思路，善于逆向思維，發掘更多解決問題的方法，這樣對于我們整個國家、社會的發展也是非常有幫助的。參考文獻

[1] 劉桂茹，孫永華.高等學校經濟數學系列教材 微積分.天津：南開大學出版社，2004年12月版

[2] 陳吉象 戴瑛 鄭棄冰 吳忠華.文科數學基礎.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大學數學競賽（人文學科及醫學等類）

第三篇：利用函數極限定義證明11

習題2-2

1.利用函數極限定義證明:

(3).limxsinx?01x?0;

x|?1，則當 0?|x|?? 時, 有 證明: 對于任意給定的正數 ??0, 取 ???, 因為 |sin

x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明：

（1）lim1?x

4x????；

1?x

4證明：對于任意給定的正數 G?0, 取 M?4G?1, 則當 |x|?M 時, 有 |

所以 lim1?x

4??.|?G，x??

5．證明：若limf(x)?A，則lim|f(x)|?|A|.x?x0x?x0證明：對于任意給定的正數 ??0, 由于limf(x)?A，存在??0，使得當

x?x0

0?|x?x0|??時, 都有|f(x)?A|??，而

????|f(x)?A|?|f|?|A|?|f?A|??，即||f(x)|?|A||??，所以lim|f(x)|?|A|.x?x0

第四篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經常出現的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內，那么妙限制飛的假象出現了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發生在上路郭嘉妙關的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現非瞬發限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應時間小于0.1S，所以我們經?？匆娦涠慵寄艿牟僮?，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質和水平的體現。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第五篇：求極限總結

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區間內 函數的正負與極限一致極限分為 一般極限，還有個數列極限，（區別在于數列極限時發散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補充么？？？）等價無窮小的轉化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提！?。?/p>

必須是 X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸盗袠O限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點 數列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！）

必須是 函數的導數要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是 0比0 無窮大比無窮大！?。。。?/p>

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。〦的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母！?。。。。?/p>

看上去復雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個重要極限的應用。這兩個很重要?。?！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x

比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于 函數是1的無窮的形式）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數函數 快于 冪數函數 快于 對數函數（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！

當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用 證明單調性?。?！

16直接使用求導數的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數=0的時候 就是暗示你一定要用導數定義?。。?/p>

(0)

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1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數的性質也體現在積分 微分中

例如他的奇偶性質 他的周期性。還有復合函數的性質

1奇偶性，奇函數關于原點對稱 偶函數關于軸對稱 偶函數左右2邊的圖形一樣（奇函數相加為0）

2周期性也可用在導數中 在定積分中也有應用 定積分中的函數是周期函數 積分的周期和他的一致復合函數之間是 自變量與應變量互換 的 關系

4還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質?。?/p>

（可以導的函數的單調性和他的導數正負相關）

:o 再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數都是連續的 所以 間斷點 是對于間斷函數而言的）

間斷點分為第一類 和第二類剪斷點第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點 或者 左右極限存在相等但是不等于函數在這點的值 可取的間斷點

地二類 間斷點是 震蕩間斷點 或者是 無窮極端點

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結一下

求極限的一般題型求分段函數的極限

當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了?。。?！

當X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應為 E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的！?。。O限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數中現在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉！?。。。。。。?/p>

解決辦法 ：

1求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了 這不是很容易么？

但是?。?！有2個問題要注意??！

問題1 積分函數能否求導？ 題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的?。栴}2 被積分函數中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理！?。。。?/p>

微分中值定理是函數與積分的聯系！更重要的是他能去掉積分符號！?。?/p>

解決2的方法 ： 當x與t的函數是相互乘的關系的話，把x看做常數提出來，再求導數?。?！