第一篇：利用羅比塔求極限注意的問題

利用羅比塔（L’Hospital）法則求極限注意的問題

在求極限時(shí)，有時(shí)用利用羅比塔（L’Hospital）法則是比較簡單方便的，下面先介紹一下羅比塔（L’Hospital）法則內(nèi)容：

1、型：若(ⅰ)limf(x)?0,limg(x)?0;(ⅱ)f(x)與g(x)在x0的空心鄰

x?x0

x?x0

域U?(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g?(x)?0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f?(x)g?(x)

f?(x)g?(x)

x?x0

?A(A為實(shí)數(shù))，則有

x?x0

lim?lim

x?x0

?A(這里可以x?x0或x?x0或x??)

??

2、??

型：若(ⅰ)limf(x)??,limg(x)??;(ⅱ)f(x)與g(x)在x0的右某

x?x0

?

x?x0

?

鄰域U??(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g?(x)?0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f?(x)g?(x)

f?(x)

?

x?x0

g?(x)

?A(A為實(shí)數(shù))，則有

x?x0

lim??lim?

x?x0

?A(這里可以x?x0或x??)

?

不能對任何的比式求極限時(shí)都按羅比塔（L’Hospital）法則求解，要滿足其諸條件。比如：lim

x?sinx

x

x???

=lim(1?

x???

sinxx)

=1，它是

1?cosx

??

型，但不能盲目的用羅比

塔（L’Hospital）法則：lim論。

x?sinx

x

x???

?lim

會推出極限不存在的錯(cuò)誤結(jié)

x???

第二篇：求極限注意的問題

求極限時(shí)應(yīng)注意的問題：

幾個(gè)無理函數(shù)的極限：

幾個(gè)“???”型的極限：

幾個(gè)含有三角函數(shù)的極限：

幾個(gè)冪指函數(shù)的極限：

等價(jià)無窮小在極限中的應(yīng)用：

極限存在準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用：

極限中的變量替換：

某些極限在進(jìn)行了變量替換之后較容易求出。

分段函數(shù)的極限

分段函數(shù)的連續(xù)性

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

分段函數(shù)的積分

1.根的存在性證明

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

2.確定根的個(gè)數(shù)

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

1.用單調(diào)性與最值證明不等式

2.用拉格朗日中值定理證明不等式

3.用柯西中值定理證明不等式

4.用泰勒公式證明不等式

第三篇：利用定積分的定義求極限

利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim

ab

b?an

n

n??

?

k?1

f(a?

b?an

?k)?

?

ba

f(x)dx

例15求極限

n

（1）lim

n??

?

k?1n

nn?4k

nn?4k

解：lim

n??

?

k?1

?lim

1n

n

n??

?

k?1

11?4()

n

k

?

?

11?4x

dx?

actan2x

|0?

actan2

n

（2）lim

n??

?

k?1n

nx?2kn

解：lim

n??

?

k?1nx?2kn

?lim

n??

k

[x?2()]??nk?1n

n

?

(x?2t)dt?x?1

（3）lim

1n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)

n?1

解：因?yàn)?/p>

1n

k?0

?ln(1?n)

n

k

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

由于lim

1n

n

n??

?

k?1

ln(1?

kn)?

?

ln(1?x)dx?2ln2?1?ln

4e

故lim

1n

n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

ln

4e

?

4e

第四篇：利用小o技術(shù)求分式函數(shù)的極限

?n試?yán)眯技術(shù)證明:lim?x?1???n?11????1?x??

證：對任意自然數(shù)n，容易得到：

nn?1n(1?xn?1)?(n?1)(1?xn)?,?1?x(1?x)(1?x)

n(n?1)xn?1?[(x?1)?1]n?1?n(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)，或者

xn?1?[(x?1)?1]n?1?n(x?1)?o((x?1))

于是有：

n(1?xn?1)?(n?1)(1?xn)?(n?1)(xn?1)?n(xn?1?1)

n(n?1)?(n?1)[n(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)](n?1)n?n[(n?1)(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)](n?1)n??(x?1)2?o((x?1)2)(1?xn)(1?xn?1)?(xn?1)(xn?1?1)

?[n(x?1)?o((x?1))][(n?1)(x?1)?o((x?1))]?n(n?1)(x?1)2?o((x?1)2)

(n?1)n22?(x?1)?o((x?1))?n?n?1因此lim????limx?1?1?x?x?1n(n?1)(x?1)?o((x?1))??

(n?1)no((x?1)2)(n?1)n???(x?1)??1?lim?x?1o((x?1))n(n?1)?(x?1)

第五篇：考研數(shù)學(xué)1.1利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)應(yīng)注意的問題

2、利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)應(yīng)注意的問題．

考研數(shù)學(xué)每年必考有關(guān)求極限的問題，利用等價(jià)無窮小代換求極限一般可以簡化計(jì)算，但我們一定要明確，在求極限時(shí)，什么時(shí)候能用等價(jià)無窮小代換，什么時(shí)候不能用等價(jià)無窮小代換，這也是部分學(xué)員，尤其基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)員開始復(fù)習(xí)的時(shí)候比較容易犯錯(cuò)的地方。

下面通過給出幾個(gè)例子來進(jìn)行講述，注意錯(cuò)誤的解法，謹(jǐn)防自己犯同樣的錯(cuò)誤。

例1：求極限lim 解：limtanx?sinxx3

?0x?0tanx?sinxx3x?0?limx?xx3

x?0利用等價(jià)無窮小代換．這樣計(jì)算對嗎？計(jì)算的錯(cuò)誤在于在運(yùn)算過程中利用了未加證明的命題．

若?~?',?~?',則???~?'??'.考察這個(gè)命題，??lim?????????lim????????lim??????1?????1???，當(dāng)lim???1時(shí),這個(gè)命題是真命題；當(dāng)lim???1時(shí),命題是假命題．

對于例1，因?yàn)椋??sinx,??tanx,?'??'?x，lim所以，證明的結(jié)論是錯(cuò)誤的．

正確解答: tanx?sinxx3??x?0?limsinxtanxx?0?1

limx?0limtanx(1?cosx)x3x?limx?0x2x?02?1.3x2

sin(xsin21例2：求limx?0x2x 1)xsin2)x?limxsin1?0

x?0x?0x?0xxx錯(cuò)誤的原因在于在運(yùn)算中錯(cuò)誤的運(yùn)用了等價(jià)無窮小代換： sin(xsin1錯(cuò)誤解答: limx?lim1?1?22sin?xsin??xsin,???x?0?

x?x?而根據(jù)無窮小的比較的定義，當(dāng)x取所以不能用等價(jià)無窮小的代換．

正確解答：當(dāng)x?0時(shí)，1x1x1n?(n?Z)時(shí)，sin(xsin21x)和xsin21x均為0，sin(xsin2?x，21x)?xsinx21x?x?0(x?0)sin(xsin2)?xsin2x所以，由夾逼準(zhǔn)則知原函數(shù)極限為0．

例3：求極限limx??sinxx

解：本題切忌將sinx用x等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為1．

sinxsin?應(yīng)該為：lim??0.x??x?注意：

①乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用．這時(shí)，一般可以用泰勒公式、洛必達(dá)法則等方法來求極限．

②注意等價(jià)無窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價(jià)無窮小因子替換，如例2.3．

鞏固相應(yīng)知識點(diǎn)

① 無窮小量階的定義,設(shè)lim?(x)?0,lim?(x)?0.(1)若lim?(x)?(x)?0,則稱?(x)是比?（x)高階的無窮小量.(2)若lim?(x)?(x)??,則?(x)是比?（x)低階的無窮小量.(3)若lim?(x)?(x)?(x)?(x)?c(c?0),則稱?(x)與?（x)是同階無窮小量.(4)若lim?1,則稱?(x)與?（x)是等價(jià)的無窮小量,記為?(x)??(x).(5)若lim?(x)?(x)k?c(c?0),k?0,則稱?(x)是?（x)的k階無窮小量

② 常用的等價(jià)無窮小量

(命題重點(diǎn),歷年必考)當(dāng)x?0時(shí), sinx??arcsinx?12?tanx1?coxs~x?~x,2?arctanx??(1?x)?1?~x??是實(shí)常數(shù)?ln(1?x)??xe?1??