第一篇：1.2極限的定義（xiexiebang推薦）

石家莊財經職業學院

經濟數學

一、函數的極限

1.自變量趨于無窮的情形

自變量趨于無窮可分為趨于正無窮和負無窮，先討論當x???時，函數的極限。

定義1 設函數y?f(x)在(a,??)(a為某個實數)內有定義，如果當自變量x無限增大時，相應的函數值f(x)無限接近于某一個固定的常數A，則稱A為x???（讀作“x趨于正無窮”）時函數f(x)的極限，記作limf(x)?A或 f(x)?A(x???)

x???

例題求lim

x???x

由圖像可知，當x趨于正無窮時，1

1趨于零，故lim＝0

x???xx

定義2 設函數y?f(x)在(-?,a)(a為某個實數)內有定義，如果當自變量x無限增大且

x?0時，相應的函數值f(x)無限接近于某一個固定的常數A，則稱A為x???（讀作“x趨

于負無窮”）時函數f(x)的極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x???)

x???

例題求lim

x???x

由圖像可知，當x趨于負無窮時，定義3 設函數y?f(x)在11趨于零，故lim＝0

x???xx

x?b(b為某個正實數)時有定義，如果當自變量x的絕對值

無限增大時，相應的函數值無限接近于某一個固定的常數A，則稱A為x??（讀作“x趨于無窮”）時函數f(x)的極限

記作limf(x)?A或f(x)?A(x??)

x??

由上述兩個例題可知，lim

?0，同理可證，lim2?0 x??xx??x

定理1當x??時，函數f(x)的極限存在的充分必要條件是當x???時和x???時函數f(x)的極限都存在而且相等。即

limf(x)?A的充分必要條件是limf(x)?limf(x)?A．

x??

x???

x???

2.自變量趨于有限值x0的情形

x2?1

引例對于函數f(x)?x?

x2?1

當x?1時, f(x)?x?1

x2?1

于常數2，此時我們稱當x趨近于1時，函數f(x)?的極限為

2x?1

?0,?)內無限接近定義4設函數y?f(x)在點x0的去心鄰域內有定義，如果當自變量x在N(x

于x0時，相應的函數值f(x)無限接近于某一個固定的常數A，則稱A為當x?x0（讀作“x趨近于x0”）時函數f(x)的極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)

x?x0

注意：1.f(x)在x?x0時的極限是否存在,與f(x)在x0點處有無定義以及在點x0處的函數值無關．

2.在定義5中, x是以任意方式趨近于x0的,但在有些問題中，往往只需要考慮點x從x0的一側趨近于x0時，函數f(x)的變化趨向．

例題 求limx

x?

3由函數圖像可知,無論x從哪一側趨近于3時,函數值總是無限接近于9,故limx?9

x?3

定義5 設函數y?f(x)在點x0的左半鄰域(x0??,x0)內有定義，如果當自變量x在此半鄰域內從x0左側無限接近于x0時，相應的函數值f(x)無限接近于某個固定的常數A，則稱A為當

?)x趨近于x0時函數f(x)的左極限,記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0

?

x?x0

定義6 設函數y?f(x)的右半鄰域(x0,x0??)內有定義，如果當自變量x在此半鄰域內從

x0右側無限接近于x0時，相應的函數值f(x)無限接近于某個固定的常數A，則稱A為當x趨近

?

f(x)?A或f(x)?A(x?x0)于x0時函數f(x)的右極限,記作lim?

x?x0

函數的左右極限有如下關系:

定理2 limf(x)?A的充分必要條件是lim?f(x)?lim?f(x)?A．

x?x0

x?x0

x?x0

例題 設函數f(x)?在.xx,求f(x)在x?0處的左、右極限,并討論f(x)在x?0處是否有極限存

解: 因為當x?0時, f(x)??1,因此lim?f(x)??1,x?0

f(x)?1 又當x?0時, f(x)?1,因此lim?

x?0

由定理2可知，limf(x)不存在。

x?0

練習：判斷函數f(x)??

二、無窮小量 1.無窮小量的定義

?1?cosxx?0

在x?0處是否有極限。

?sinxx?0

定義1 以零為極限的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用?,?,?表示。例如 lim

1?0，所以函數當x??時是無窮?。?x??xx

x?0

2又如 limx?0，所以函數x當 x?0時是無窮小。

注意：應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數。因此應

明確指出其變化過程。例如 函數f(x)?

1?

是x??時的無窮小，但當x?1時不是無窮小。當x?時，sinx的x2

極限不為零，所以當x?2.極限與無窮小之間的關系

?

時，函數sinx不是無窮小，而當x?0時sinx是無窮小量。

定理1 limf(x)?A的充要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小，即

limf(x)?A?lim??0,??f(x)?A.3.無窮小量的運算性質

性質1有限個無窮小的代數和是無窮小。

注意：①.此處是指有限個無窮小的代數和是無窮小,但無窮多個無窮小的代數和不一定是無窮

小.例如:lim（n??

12nn(n?1)111

????)?lim?lim(?)?2222n??n??nnn2n22n2

②.代數和是指和與差兩種運算.性質2無窮小與有界函數的積是無窮小.例1 求limxsin

x?0

x

是有界函數,故根據性質2可知,此極限值為0.x

分析: 當x?0是, x是無窮小, sin解: 因為limx?0,sin

x?0

?1,故由性質2可得limxsin?0

x?0xx

練習求lim

cosx x??x

3，?均是無窮小.xxx

推論1 常數與無窮小的積是無窮小.例: 當x??是,推論2 有限個無窮小的積仍是無窮小.三、無窮大量1.無窮大量的定義

定義2 在自變量x的某個變化過程中，若相應的函數值的絕對值f(x)無限增大,則稱f(x)為該自變量變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大．記作limf(x)??

若函數值f(x)(或?f(x))無限增大,則稱f(x)為該變化過程中的正(或負)無窮大,記作

limf(x)???或(limfx()???.)

注意：無窮大量不是很大的數,而是一個變量,是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號

x?x0

limf(x)??，表示“當x?x0時, f(x)是無窮大量” ．

2.無窮大與無窮小的關系

定理2在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數是無窮小量，非零無窮小量的倒數是無窮大量．

x2?1例2 求lim2

x?1x?1

x2?1x2?1

解: 由于lim2?? ?0,由定理2可知lim2

x?1x?1x?1x?1

注意:以后遇到類似題目,可直接寫結果.例3 考察函數f(x)?解: 因為lim

x?1,自變量如何變化時是無窮大量?如何變化時是無窮小量? x?1

x?1

?0,故當x?1時,此函數為無窮小量.x?1x?1x?1x?1

因為lim?0,故lim??,所以當x??1時,此函數為無窮大量.x??1x?1x??1x?1

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經常出現的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內，那么妙限制飛的假象出現了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發生在上路郭嘉妙關的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現非瞬發限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應時間小于0.1S，所以我們經?？匆娦涠慵寄艿牟僮?，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質和水平的體現。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：極限狀態法定義

1、極限狀態設計法

limit state design method

當以整個結構或結構的一部分超過某一特定狀態就不能滿足設計規定的某一功能要求，則此特定狀態稱為該功能的極限狀態，按此狀態進行設計的方法稱極限狀態設計法。它是針對破壞強度設計法的缺點而改進的工程結構設計法。分為半概率極限狀態設計法和概率極限狀態設計法。

半概率極限狀態設計法 將工程結構的極限狀態分為承載能力極限狀態、變形極限狀態和裂縫極限狀態三類（也可將后兩者歸并為一類），并以荷載系數、材料強度系數和工作條件系數代替單一的安全系數。對荷載或荷載效應和材料強度的標準值分別以數理統計方法取值，但不考慮荷載效應和材料抗力的聯合概率分布和結構的失效概率。

概率極限狀態設計法 將工程結構的極限狀態分為承載能力極限狀態和正常使用極限狀態兩大類。按照各種結構的特點和使用要求，給出極限狀態方程和具體的限值，作為結構設計的依據。用結構的失效概率或可靠指標度量結構可靠度，在結構極限狀態方程和結構可靠度之間以概率理論建立關系。這種設計方法即為基于概率的極限狀態設計法，簡稱為概率極限狀態設計法。其設計式是用荷載或荷載效應、材料性能和幾何參數的標準值附以各種分項系數，再加上結構重要性系數來表達。對承載能力極限狀態采用荷載效應的基本組合和偶然組合進行設計，對正常使用極限狀態按荷載的短期效應組合和長期效應組合進行設計。

2、許應力設計法

allowable stress design method

以結構構件的計算應力σ不大于有關規范所給定的材料容許應力[σ]的原則來進行設計的方法。一般的設計表達式為

σ≤[σ]

結構構件的計算應力σ按荷載標準值以線性彈性理論計算；容許應力[σ]由規定的材料彈性極限（或極限強度、流限）除以大于1的單一安全系數而得。

容許應力設計法以線性彈性理論為基礎，以構件危險截面的某一點或某一局部的計算應力小于或等于材料的容許應力為準則。在應力分布不均勻的情況下，如受彎構件、受扭構件或靜不定結構，用這種設計方法比較保守。

容許應力設計應用簡便，是工程結構中的一種傳統設計方法，目前在公路、鐵路工程設計中仍在應用。它的主要缺點是由于單一安全系數是一個籠統的經驗系數，因之給定的容許應力不能保證各種結構具有比較一致的安全水平，也未考慮荷載增大的不同比率或具有異號荷載效應情況對結構安全的影響。

我國公路使用極限狀態設計法，鐵路仍使用容許應力設計法，但公路中使用的分項系數并不是完全利用概率理論計算可靠度得來的，而是在容許應力基礎上，通過經驗得來的，所以有披著極限外衣的容許應力之嫌。

第四篇：極限定義的總結

極限定義的總結

極限主要包括兩個方面，即自變量的變化趨勢和函數的變化趨勢。我們就這兩個變化趨勢來總結極限的定義：

自變量變化趨勢limf(x)?函數的變化趨勢

自變量的變化趨勢主要有六種：

??x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0

函數的變化趨勢主要有四種：

f(x)?A,f(x)??,f(x)???,f(x)??? 自變量的描述格式如下：

?X?0,當|x|?X時；（x??）

?X?0,當x?X時；（x???）

?X?0,當x?-X時；（x???）

???0,當0?|x-x0|??時；（x?x0）

???0,???0, 當0?x-x0??時；（x?x0?）當0?|x-x0|??時；（x?x0?）

函數的描述格式如下：

???0, ?,?

???0, ?,?

???0, ?,? 恒時：|f(x)?A|??（f(x)?A）恒時：|f(x)|?M（f(x)??）恒時：f(x)?M（f(x)???）

恒時：f(x)??M（f(x)???）???0, ?,?

那么函數極限的定義可以是這C61?C41?24種中的任意一種。當然還有一種最特殊的函數極限，即數列的極限。它是一種自

變量的變化不連續的特殊情形。

第五篇：數列極限的定義

第十六教時

教材：數列極限的定義

目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學會用??N語言來說明數列的極限，從而使學生在學習數學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當n無限增大時，圓的內接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數列的極限考察下面的極限

1? 數列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當n無限增大時，相應的項1

n可以“無限趨近于”常數0

2? 數列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當n無限增大時，相應的項n

n?1可以“無限趨近于”常數1

3? 數列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當n無限增大時，相應的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數

引導觀察并小結，最后抽象出定義：

一般地，當項數n無限增大時，無窮數列?an?的項an無限地趨近于某

個數a（即an?a無限地接近于0），那么就說數列?an?以a為極限，或者說a是數列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數列才有極限）

數列1的極限為0，數列2的極限為1，數列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數列是遞增、遞減還是擺動數列；再看這個數列當n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數。

練習：（共四個小題，見課本）

四、有些數列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a1?(?1)n1?(?1)n

n?22．an?2

3．an?an(a?R)

n

4．a1)n?1?3?5?

n?(?n5．an?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數列?an?的極限為5

五、關于“極限”的感性認識，只有無窮數列才有極限

六、作業：習題1

補充：寫出下列數列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n