第一篇：一致連續極限定義

一致連續函數的極限定義

連續函數的極限定義形式是我們熟悉的，一致連續函數卻很少出現極限定義形式。還是先看看這兩者的區別。先看定義：

函數f(x)在I上連續：?x?I???0???0?x2?I:|x2?x|???|f(x2)?f(x)|?? 函數f(x)在I上一致連續：???0???0?x,x2?I:|x2?x|???|f(x2)?f(x)|?? 令x2?x?h，則，兩個定義可以表示為：

函數f(x)在I上連續：?x?I???0???0?h:|h|???|f(x?h)?f(x)|?? 函數f(x)在I上一致連續：???0???0?x?I?h:|h|???|f(x?h)?f(x)|?? 從?在定義中的位置可知：連續函數的?隨x變化，一致連續函數則不。用關于h?0的極限方式來表達：

函數f(x)在I上連續：?x?I:lim(f(x?h)?f(x))?0 h?0

函數f(x)在I上一致連續：lim(f(x?h)?f(x))?0,?x?I h?0

這看不出兩者有什么不同，但前者h與x有關，后者則無關。后者可用二重極限表示：

lim(f(x?h)?f(x))?0 x?x0h?0

問題是，后一個極限中x0在什么范圍？我們指出：x0?，即I的閉包。于是 函數f(x)在I上一致連續：?x0?:lim(f(x?h)?f(x))?0 x?x0h?0

這樣，一致連續函數也和連續函數一樣，有了極限定義形式。我們將為此作出等價證明。

我們稱不屬于I的聚點為I的外聚點，如果I端點含?，?也算外聚點。連續函數和一致連續函數的本質區別發生在外聚點上。

先證函數f(x)在I上一致連續的充分性：?x0?:lim(f(x?h)?f(x))?0，x?x0h?0

1)當I無外聚點?時，二重極限可表示為：

?x0???0???0?x?I?h:|x?x0|???|h|???|f(x?h)?f(x)|??（*）當?x0?I時，有???0???0?h:|h|???|f(x0?h)?f(x0)|??，于是f(x)在x0連續，由x0的任意性，f(x)在I上連續。當?x0?是I的外聚點時，對于數列xn?x0,xn?x0，n足夠大時，有

???0???0?xn?I?h:|xn?x0|???|h|???|f(xn?h)?f(xn)|??

取h?0，考慮到x0?h?I，f(x)在I上連續，令n??，則

???0???0:|h|???|f(x0?h)?limf(xn)|??（這里用到一個極限存在，極限加減n??

法便可實施的規則）

當n足夠大時，取hn使xn?x0?hn，則

???0???0:n???|f(xn)?limf(xn)|?? n??

故f(xn)以limf(xn)為極限，考慮到極限的唯一性，limf(xn)必為確定的數，記為a n??n??

于是，???0???0:|h|???|f(x0?h)?a|??，即limf(x)?a x?x0

若定義f(x0)?a，則f(x)在x0上連續，若x0為端點，則為單側連續。此時f(x)在有限閉集上連續，故必一致連續。于是f(x)在I上也一致連續。

2）當?x0?是I的外聚點?時，二重極限可表示為：

???0??'',?'?0?x?I?h:|x|??'?|h|??''?|f(x?h)?f(x)|??（**）將沿?'分為有限部分I1和無窮部分I2，由1）知，f(x)在I1上一致連續。而在I2滿足（**），在I1有滿足一致連續定義的統一的?1，若取??min(?1,?'')，則在整個上，有滿足一致連續定義的?，于是f(x)在有限閉集上一致連續。在I上也一致連續。再證函數f(x)在I上一致連續的必要性：

由 ???0???0?x?I?h:|h|???|f(x?h)?f(x)|??（***）

若x0?I，因f(x)在x0連續，二元函數g(x,h)?f(x?h)?f(x)在(x0,0)必連續，故lim(f(x?h)?f(x))?0 x?x0h?0

若x0是I的外聚點時，在x0的任意鄰域內，都有（***），所以

???0???0?x?I?h:|x?x0|??,|h|???|f(x?h)?f(x)|??

或者

???0??,?'?0?x?I?h:|x|??',|h|???|f(x?h)?f(x)|??（無窮遠鄰域）

故lim(f(x?h)?f(x))?0 x?x0h?0

從證明過程不難發現，對于一個連續函數來說，當且僅當所有外聚點滿足

x?x0h?0lim(f(x?h)?f(x))?0時，函數一致連續。

用二重極限判定一致連續的最大好處，是無需尋找與自變量無關的?，找這個?是件很煩心的事情，找到固然好，沒找到卻不能說不一致連續，只說明問題處于懸疑狀態。用二重極限則非常明朗，極限為0,則一致連續，否則不一致連續。以計算代替尋找，無疑方便許多。例1：討論f(x)?ex的一致連續性。

解：考慮外聚點??，lim(f(x?h)?f(x))?lim(ex???h?0x???h?0x?h?ex)?limex(eh?1)?limexh x???h?0x???h?0

令h?1xx1，則limeh?lime?1?0，故原函數在整個實數集上不一致連續，但在任xx???x??exeh?0

何區間(??,a]（a為有限數）上一致連續，因為

x0?lim|eh|?lime|h|?0，故limeh?0 x???h?0h?0xax?x0h?0

例2：討論f(x)?sin1的一致連續性 x

x?0h?0解：lim(f(x?h)?f(x))?lim(sinx?0h?011?sin)x?hx

取x?h=1，則 4n???

lim(sinx?0h?011???sin)?lim(sin?sin?)?sin?sin? x?hxn??22

這個極限隨著?的取值不同而不同，故原二重極限不存在，函數在定義域上不一致連續，如果去掉0聚點，在|x|?a?0上，函數則是一致連續，因為僅有的一個外聚點是?，而lim(f(x?h)?f(x))?lim(sinx??h?0x??h?011?sin)?0 x?hx

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經常出現的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內，那么妙限制飛的假象出現了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發生在上路郭嘉妙關的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現非瞬發限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應時間小于0.1S，所以我們經常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質和水平的體現。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：函數極限連續試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數 極限 連續試題

1.設f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數.3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設在平面區域D上函數f(x,y)對于變量x連續，對于變量y 的一階偏導數有界，試證：f(x,y)在D上連續.（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設f(x)在[?1,1]上連續，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設x??

ax?b)?2,試確定常數a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設函數f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續，求常數a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當x?0時，?x

1?cost2

0t

是關于x的4階無窮小量.114.設a為常數，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設f(x)為三次多項式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設連續函數f(x)在[1,??)上是正的，單調遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數列?dn?收斂.n

n

20.設x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設數列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設函數f(x)是周期為T(T?0)的連續函數，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續性.33.判斷函數f(x.（共12頁）第7頁

34.設f(x)為二次連續可微函數，f(0)=0，定義函數

?g(x)??

f?(0)當x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當x?0連續可微.35.設f(x)在[a,b]上連續，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續函數，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設函數f(x)在x=0處連續，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設f(x)在[a,b]上二階可導，過點A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續，在(a,b)內可導，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數.41.設函數f(x)=nf(x)的不可導點的個數.（共12頁）第9頁

42.設f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數列?nn?的最小項.??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設f(x)在[0,2]上連續，在（0,2)內有二階導數，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數f(x)在點a處連續，則函數f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續.（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共

第四篇：函數一致連續的條件

一、選題的目的和意義：在學習數學分析時，總是很難理解概念和公式的意義，常常只要求自己記住會用就行。學習函數的連續性和一致連續性時也有同樣的情況，然而我們研究本課題的目的就是通過所學的知識，將課堂知識轉化為實用的報告，讓自己學會分析，提高自己的綜合能力，將充實的內容與完美的外在形式的有機結合，本文給出5種函數一致連續性的證明，同時討論其的應用。函數的一致連續性是數學分析中的一個重要的概念，它不僅是閉區間上連續函數黎曼可積的理論基礎，而且與隨后的參數積分，函數項積分等概念有著密切的聯系。因此，找出函數一致連續的條件是數學分析中一個重要的內容。然而，本文對函數一致連續性的概念、判定條件進行了深入的分析和總結，目的是幫助大家掌握運用不同的方法證明函數一致連續，使大家對函數一致連續性的內涵和條件有更全面的理解和認識。

二、國內外研究現狀簡述：連續函數是數學分析中著重討論的一類函數，一致連續函數又是從連續函數的概念派生出來的。而函數的一致連續性是數學分析課程中的一個重要內容,重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的，函數概念對數學發展的影響，可以說是貫穿古今，回顧函數概念的歷史發展，它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用。19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次準確地提出了函數的定義。十七世紀中葉，笛卡兒（Descartes）引入變數（變量）的概念，制定了解析幾何學，從而打破了局限于方程的未知數的理解；后來，牛頓（Newton）、萊布尼茲（Leibniz）分別獨立的建立了微分學說。這期間，隨著數學內容的豐富，各種具體的函

數已大量出現，但函數還未被給出一個一般的定義。牛頓于1665年開始研究微積分之后，一直用“流量”（fluent）一詞來表示變量間的關系。國內是主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現（見于我國古代數學名著《九章算術》）。逐步形成了一門邏輯嚴密、系統完整的學科，不僅成為其他許多數學分支的重要基礎，而且在自然科學、工程技術、生命科學、社會科學、經濟管理等眾多方面中獲得了十分廣泛的應用，成為處理有關連續量問題的強有力的數學工具。

三、畢業設計（論文）所采用的研究方法和手段：

查詢法：通過文獻調研有目的有計劃有系統地收集并整理資料，了解圖論在數學模型中 的應用。

分析法：通過對圖論的研究，發現其性質。

文獻研究法：調研文獻，整理文章，獲取所需材料。

歸納法：總結并整理論文。

四、主要參考文獻與資料獲得情況：

【1】對建立函數一致連續概念的認識大學數學2005,(02)

【2】證明函數連續的幾個定理南陽師范學院學報2007,(09)

【3】判別函數一致連續的幾種方法常州工學院院報2004,(02)

【4】函數一致連續的充要條件及其應用江西科學2009,(08)

【5】數學分析高等教育出版社2006,(01)

【6】數學分析的理論、方法和技巧華中科技大學出版社2005,(06)

【7】一致連續與一致收斂人民教育出版社1982,(07

第五篇：數列極限的定義

Xupeisen110高中數學

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

?

1n

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任

意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數學

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時

n??

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設?是任意給定的小正數

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當n?N時，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??