第一篇：11 度量空間的定義與極限

第一章度量空間

第一章度量空間

若在實數(shù)集

R中點列xn的極限是x時，我們使用|xn?x|來表示xn和x的接近程度，事實上，|xn?x|可表示為數(shù)軸上xn和x這兩

R中點列xn收斂于x也就是指xn和x之間的距離隨著n??而趨于0，即limd(xn,x)?0． 于是人們就想，n??

點間的距離，那么實數(shù)集在一般的點集，那么在點集X中也可借這一“距離”來定義極限，而究竟什么是“距離”呢？或者說“距離”的本質(zhì)是什么？ X中如果也有“距離”

遠和近你 一會看我 一會看云我覺得 你看我時很遠 你看云時很近

詩人顧城的一首詩《遠和近》對距離的感受又如何呢？

這首詩詩似乎是純理性的，十分冷靜，但細細品味，其中暗暗催動著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的人際關(guān)系．現(xiàn)實距離和心理距離并不總是一致的．現(xiàn)實距離很遠，但心理距離卻可能很近，“海內(nèi)存知己，天涯若比鄰”，即是此意．也可能現(xiàn)實距離很近，而心理距離卻很遠，所謂“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何給出距離這一概念？

1.1度量空間的定義與極限

1.1.1 度量空間的定義與舉例

定義 1.1.1 設(shè)（1）（2）（3）則稱d為

X為一非空集合．若存在二元映射d:X?X?R，使得?x,y,z?X，均滿足以下三個條件：

d(x,y)?0,且d(x,y)?0當且僅當x?y(非負性 Positivity)； d(x,y)?d(y,x)(對稱性 Symmetry)；

d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)(三角不等式 Triangle inequality)，X上的一個距離函數(shù)，稱(X,d)為距離空間或度量空間(Metric Spaces)，d(x,y)稱為x和y兩點間的距離．□

X．

注1：在不產(chǎn)生誤解時，(X,d)可簡記為下面我們來看一些具體的例子 例 1.1.1 歐氏空間設(shè)

Rn．

Rn?{(x1,x2，xn)|xi?R,i?1,2，n}，定義

d(x,y)其中

x?(x1,x2，xn), y?(y1,y2，yn)?Rn，可以驗證(Rn,d)是一個度量空間．

在證明之前，引入兩個重要的不等式．

引理1.1.1(許瓦茲(Schwarz)不等式)任給

2n個實數(shù)a1,a2，an,b1,b2，bn，有

?ab?(?a

iii?

1i?1

nn

22i)(?b)

i?1

n

2(1.1)i

證明任取實數(shù)

?，則由

1.1度量空間的定義與極限

0??(ai??bi)??

i?1

n

?b

i?1

n

2i

?2??aibi??ai2

i?1

i?1

nn

知右端二次三項式的判別式不大于零，即

n

?n?

???2?aibi??4?bi2

i?1?i?1?

于是可得(1.1)式成立．□

進一步有H?lder不等式

1p

?a

i?1

1qq

n

2i

?0

?ab

i?1

n

ii

?(?ai)(?bi)

i?1

i?1

n

p

n

其中

p,q?1且

??1，稱這樣的兩個實數(shù)p,q為一對共軛數(shù)． pq

引理1.1.2閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任給

2n個實數(shù)a1,a2,n,an及b1,b2,12

n,bn，有

n

???2?2?2???(ai?bi)????ai????bi??i?1??i?1??k?1?

證明由(1.1)式得

(1.2)

?(a?b)??a

i

i

i?1

i?1n

i

nn

2i

?2?aibi??bi2

i?1

i?1

n

n

nn

??

??a?2??ai2?i?1?i?1?n

?2????bi???bi2

i?1?i?1?

?n?n22??2?2??????ai????bi???i?1??i?1????

這就證明了(1.2)式．□

進一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中k

n

?1

k1

k

n

k1k

n

k1k

(?ai?bi)?(?ai)(?bi)

i?1

i?1

i?1

例 1.1.1 歐氏空間

Rn． 設(shè)Rn?{(x1,x2，xn)|xi?R,i?1,2，n}，定義k?1

d(x,y)?

其中

(1.3)

x?(x1,x2，xn), y?(y1,y2，yn)?Rn，可以驗證(Rn,d)是一個距離函數(shù)．

證明非負性(1)和對稱性(2)顯然成立，下面僅驗證(3)也成立．對于任意的n

n

z?(z1,z2，zn)?Rn，由閔可夫斯基不等式(1.2)有

??2?2?

x?z?x?y?y?z??????iiiiii?????i?1??i?1?

?

即d(x,z)

??2?2?

x?y?y?z??????iiii?????i?1??i?1?

是一個距離函數(shù)．□

n

n

12，?d(x,y)?d(y,z)．從而得證d

n

注2：稱(R所定義的．

注3：在,d)為n維歐氏空間，d

稱為歐氏距離或標準歐氏距離．今后若不作特殊申明，凡提到度量空間

Rn，均指由(1.3)式的歐氏距離

Rn中我們還可以定義其他的距離：

d1(x,y)?max|xk?yk|；

n

第一章度量空間

d2(x,y)??|xk?yk|．

k?1

可以驗證距離

注4：在d1、d2均滿足條件(1)、(2)和(3)．R2中比較上述三種距離d、d1和d2，可看看他們各表示什么？

由此知道，在一個集合上，定義距離的方法可以不止一種．但務(wù)必注意的是，由于定義的距離不同，所以即使基本集相同，也應(yīng)視他們?yōu)椴煌亩攘靠臻g．

下面的例子說明任何一個集合上均可定義距離，使其成為度量(距離)空間． 例1.1.2離散度量空間 設(shè)

X為非空集合，?x,y?X，定義距離

?0當x?y時

d0(x,y)??(1.4)

1當x?y時?

容易驗證

d0滿足距離的三個條件，并稱之為離散距離，(X,d0)為離散度量空間．

例 1.1.3 連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]

C[a,b]?{f:[a,b]?R|f連續(xù)}，?f,g?C[a,b]，定義

d(f,g)?max|f(t)?g(t)|，t?[a,b]

證明顯然d滿足非負性(1)和對稱性(2)，下面驗證(3)也成立．

?f(t),g(t),h(t)?C[a,b]及?t?[a,b]均有

|f(t)?h(t)|?|f(t)?g(t)|?|g(t)?h(t)|

?max|f(t)?g(t)|?max|g(t)?h(t）|

t?[a,b]

t?[a,b]

故d(f

?d(f,g)?d(g,h)，,h)?max|f(t)?h(t)|?d(f,g)?d(g,h)．稱(C[a,b],d)為連續(xù)函數(shù)空間，簡記為C[a,b]．□

t?[a,b]

注5：在C[a,b]中我們還可以定義如下的距離：

d1(f,g)??f(x)?g(x)dx．

a

b

可以驗證

d1均滿足條件(1)、(2)和(3)，所以(C[a,b],d1)也為一度量空間．

?

例 1.1.4 有界數(shù)列空間l

l??{x?(x1,x2，xn,)?(xi)|sup{|xi|}??}，對于x?(xi)，y?(yi)?l?

i?

1，定義

d(x,y)?sup|xi?yi|，i?1

可以驗證例1.1.5d是一個距離函數(shù)，并稱(l

?,d)為有界數(shù)列空間，簡記為l?

．

p次冪可和的數(shù)列空間lp

l?{x?(x1,x2，xn,)?(xi)| ?|xi|p??,1?p???}

p

i?1?

?x?(xi),y?(yi)?lp，定義

??

dp(x,y)???|xi?yi|p?

?i?1?

(1.5)式是有意義的，因為由閔可夫斯基不等式及l(fā)間，簡記為l例1.1.6

p

?

p

(1.5)

p

p的定義知其右端有界．可以證明dp是一個距離函數(shù)．稱(l,dp)為p次冪可和的數(shù)列空

．

p次冪可積函數(shù)空間Lp[a,b](p?1)

Lp[a,b]?{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可積}

1.1度量空間的定義與極限

即：

Lp[a,b]?f(t)|?

[a,b]

|f(t)|pdt???

在Lp[a,b]中，我們把幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)． 對于f,g?Lp[a,b]，定義距離

d(f,g)?(?

那么(L

p

[a,b]

|f(t)?g(t)|dt)

p

1p

[a,b],d)為度量空間． 并稱(Lp[a,b],d)為p次冪可積函數(shù)空間，簡記為Lp[a,b]．

Lp[a,b]具有下列重要性質(zhì)：

f,g?Lp[a,b]，?

是一常數(shù)，則

分析 集合(1)對線性運算是封閉的．即若

?f?Lp[a,b],f?g?Lp[a,b]．

(2)設(shè)

Lp[a,b]?L[a,b](p?1)．

f?Lp[a,b]，令A?E(|f|?1)，B?E(|f|?1),E?[a,b]，則

b

?

p

a

|f|dm??|f|dm??|f|dm

A

B

??|f|pdm?(b?a)

Ab

故

??|f|dm?(b?a)???

a

f?L(a,b)．

引理1.1.3閔可夫斯基(Minkowski)不等式(積分形式): 設(shè)

f(x)、g(x)是可測集E上的可測函數(shù)且k?

1k

??

b

E

f(x)?g(x)dx

p

1p

????

1k

E

f(x)dx

k

????

1k

E

g(x)dx

k

?

1k

(1.6)

證明因為

??

d(f,g)???|f(t)?g(t)|dt?

?a?

p

?

??

E

f(x)dx

p

????

1p

E

g(x)dx

p

?

???，f(x),g(x),z(x)?Lp[a,b]有

所以(1.6)式有意義． 顯然非負性(1)和對稱性(2)成立，下面驗證三角不等式(3)也成立． 對于任意的??

d(f,g)???|f(t)?g(t)|dt?

?a?

b

p

p

p

?b?p???|f(t)?z(x)?z(x)?g(t)|dt??a?

p

?

??

E

f(x)?z(x)dx

p

????

1p

E

z(x)?g(x)dx

p

?

?d(f,z)?d(z,g)□

上述例子涉及到常用的六個度量空間： 次冪可和的數(shù)列空間l

p

n維歐氏空間(Rn,d)；離散度量空間(X,d0)；連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]；有界數(shù)列空間l?；p；

p次冪可積函數(shù)空間(Lp[a,b],d)．

1.1.2 度量空間中的極限

極限理論是數(shù)學分析的基礎(chǔ), 數(shù)學分析主要研究微分和積分, 而極限又是微積分學大廈的基石，在數(shù)學分析中, 利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù), 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等概念，可見極限思想貫穿于整個數(shù)學分析課程，它也是高等數(shù)學必不可少的一種重要思想．同樣地，在度量空間中也可定義極限，而且分析中的數(shù)列極限可看成下列度量空間中點列極限的特例．

定義1.1.2 設(shè)(X,d)是度量空間，x?X,{xn}是

n??

第一章度量空間

X中點列，若limd(xn,x)?0，則稱點列{xn}收斂于x，稱x為點列{xn}的極限． 記作

d

limxn?x，或xn?x(n??)或xn?x(n??)．

n??

{xn}收斂于x用“??N”語言描述是: ???0,?N?N

其發(fā)散．□，當

n?N時，恒有d(xn,x)??成立． 若點列{xn}不收斂，則稱

例1.1.7設(shè)

X是實數(shù)集，數(shù)列xn?(n?1,2,)．若在X上定義歐氏距離

n

d(x,y)?|x?y|(x,y?X),顯然，數(shù)列{xn}在度量空間(X,d)中收斂于0．若在X上定義離散距離

?0,x?y,d0(x,y)??(x,y?X),?1,x?y

則數(shù)列{xn}在度量空間(X,d0)中是發(fā)散的．

因為對任意給定的x0?X，只要

1?1?

?x0，就有d0?,x??1，所以無論n多么大，有 n?n?

?1?

limd0?,x0??1?0, n??

?n?

可見數(shù)列{xn}不收斂于

x0．雖然(X,du)與(X,d0)有共同的基本集X，但由于定義的距離的不同，它們是兩個不同的度量空間，可見同一

點列{xn}在一個度量空間中收斂，在另一度量空間中卻發(fā)散．□

定義1.1.3設(shè)(X,d)為度量空間，若

A?X，若將距離限制在A?A上，顯然A也是一個度量空間，稱作X的子空間．

d(x,A)?inf?d(x,y)?(1.7)

y?A

x?X,A?X，則點

x到A的距離定義為：

集合A的直徑定義為：

diaA?sup?d(x,y)?(1.8)

x,y?A

若diaA有限，則稱A為有界集；若diaA???，則稱A為無界集．□

那么d(x0,A)和diaA分別是多少？顯然(1)當A是單點集時，有d(x0,A)?1x0?A，A?R，在離散度量空間(R,d0)中點及diaA

?0；(2)當A不是單點集時，有d(x0,A)?1及diaA?1．

定理1.1.1 極限的性質(zhì) 設(shè)(X,d)是度量空間，（1）若點列{xn}收斂，則其極限唯一；（2）若點列

{xn}是X

中的一個點列．

xn?x0(n??)，則{xn}的任何子列xnk?x0(k??)；

（3）若收斂點列{xn}看作是證明（1）設(shè)

X的子集，則它是有界的．

xn?x(n??)且xn?y(n??)，由定義知：???0,???N，當n??時，有

d(xn,x)?,d(xn,y)?，22

故當

??

n??時，我們有

d(x,y)?d(xn,x)?d(xn,y)?

?2

?

?2

??

．

1.1度量空間的定義與極限

由

?的任意性知，d(x,y)?0，從而x?y．

（2）設(shè)

xn?x(n??)，{xnk}是{xn}的子列．,xn，{xn}： x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,{xnk}：xn1，xn2，xn3，xnk,，當,由定義，???0,???N

n??時，有d(xn,x)??，由于

k??

時，nk?k??，故

d(xnk,x)??，即

xnk?x(k??)．

（3）設(shè)

xn?x0(n??)，由定義知：對

?0?1，???N，當

n??

時，d(xn,x0)??0?1，于是

．取

M?maxd{1x(0x,)d,2x(0x,)?,d,x0?(x，,則),?1n}?N1

．即{xn}作為點集有界．□

d(xn,x0)?M

?n,m?N，d(xn,xm)?d(xn,x0)?d(xm,x0)?2M

例 1.1.8設(shè)

|f(t)?g(t)|)中的點列，那么 ?fn(x)?是連續(xù)函數(shù)空間C[a,b](d(f,g)?max

t?[a,b]

fn(x)?f(x)(函數(shù)列一致收斂)當且僅當fn(x)?f(x)(度量空間中的點列收斂)．

證明

fn(x)?f(x)(n??)等價于???0,???N，當n??時，有d(fn(x),f(x))??

f(x))??，等價于d(fn,．

其中d(fn(x),f)?max|fn(x)?f(x)|??．進一步等價于

x?[a,b]

?x?[a,b]，有|fn(x)?f(x)|??

于是

．

fn(x)?f(x)(n??)

等價于

???0,???N，當

n??

時，?x?[a,b]，有|fn(x)?f(x)?|?，即

fn(x)?f(x)．□

例1.1.9 設(shè)d(x,y)是

X上的一個距離，則d1(x,y)?

d(x,y)

也是X上的距離．

1?d(x,y)

d(x,y)是X

上的距離，所以

證明顯然非負性和對稱性成立，下面僅證三角不等式． 由于

?x,y,z?X，有

d(x,y)?d(x,z?)

d(z,．y)又知函數(shù)f(t)?

t1

(f'(t)??0)為單調(diào)遞增函數(shù)，于是

1?t(1?t)

d1(x,y)?

d(x,y)d(x,z)?d(z,y)

(f(t)單調(diào)遞增)?

1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)??

d(x,z)d(z,y)

?

1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

因此d1(x,d(x,z)d(z,y)

?d1(x,z)?d1(z,y)?

1?d(x,z)1?d(z,y)

y)是X

上的距離． □

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應(yīng)然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應(yīng)訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經(jīng)常出現(xiàn)的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關(guān)鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內(nèi)，那么妙限制飛的假象出現(xiàn)了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發(fā)生在上路郭嘉妙關(guān)的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關(guān)系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內(nèi)那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數(shù)郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰(zhàn)終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現(xiàn)極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現(xiàn)非瞬發(fā)限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應(yīng)時間小于0.1S，所以我們經(jīng)常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發(fā)限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發(fā)限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應(yīng)時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結(jié)：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質(zhì)和水平的體現(xiàn)。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：極限狀態(tài)法定義

1、極限狀態(tài)設(shè)計法

limit state design method

當以整個結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過某一特定狀態(tài)就不能滿足設(shè)計規(guī)定的某一功能要求，則此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)，按此狀態(tài)進行設(shè)計的方法稱極限狀態(tài)設(shè)計法。它是針對破壞強度設(shè)計法的缺點而改進的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計法。分為半概率極限狀態(tài)設(shè)計法和概率極限狀態(tài)設(shè)計法。

半概率極限狀態(tài)設(shè)計法 將工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)、變形極限狀態(tài)和裂縫極限狀態(tài)三類（也可將后兩者歸并為一類），并以荷載系數(shù)、材料強度系數(shù)和工作條件系數(shù)代替單一的安全系數(shù)。對荷載或荷載效應(yīng)和材料強度的標準值分別以數(shù)理統(tǒng)計方法取值，但不考慮荷載效應(yīng)和材料抗力的聯(lián)合概率分布和結(jié)構(gòu)的失效概率。

概率極限狀態(tài)設(shè)計法 將工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩大類。按照各種結(jié)構(gòu)的特點和使用要求，給出極限狀態(tài)方程和具體的限值，作為結(jié)構(gòu)設(shè)計的依據(jù)。用結(jié)構(gòu)的失效概率或可靠指標度量結(jié)構(gòu)可靠度，在結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程和結(jié)構(gòu)可靠度之間以概率理論建立關(guān)系。這種設(shè)計方法即為基于概率的極限狀態(tài)設(shè)計法，簡稱為概率極限狀態(tài)設(shè)計法。其設(shè)計式是用荷載或荷載效應(yīng)、材料性能和幾何參數(shù)的標準值附以各種分項系數(shù)，再加上結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)來表達。對承載能力極限狀態(tài)采用荷載效應(yīng)的基本組合和偶然組合進行設(shè)計，對正常使用極限狀態(tài)按荷載的短期效應(yīng)組合和長期效應(yīng)組合進行設(shè)計。

2、許應(yīng)力設(shè)計法

allowable stress design method

以結(jié)構(gòu)構(gòu)件的計算應(yīng)力σ不大于有關(guān)規(guī)范所給定的材料容許應(yīng)力[σ]的原則來進行設(shè)計的方法。一般的設(shè)計表達式為

σ≤[σ]

結(jié)構(gòu)構(gòu)件的計算應(yīng)力σ按荷載標準值以線性彈性理論計算；容許應(yīng)力[σ]由規(guī)定的材料彈性極限（或極限強度、流限）除以大于1的單一安全系數(shù)而得。

容許應(yīng)力設(shè)計法以線性彈性理論為基礎(chǔ)，以構(gòu)件危險截面的某一點或某一局部的計算應(yīng)力小于或等于材料的容許應(yīng)力為準則。在應(yīng)力分布不均勻的情況下，如受彎構(gòu)件、受扭構(gòu)件或靜不定結(jié)構(gòu)，用這種設(shè)計方法比較保守。

容許應(yīng)力設(shè)計應(yīng)用簡便，是工程結(jié)構(gòu)中的一種傳統(tǒng)設(shè)計方法，目前在公路、鐵路工程設(shè)計中仍在應(yīng)用。它的主要缺點是由于單一安全系數(shù)是一個籠統(tǒng)的經(jīng)驗系數(shù)，因之給定的容許應(yīng)力不能保證各種結(jié)構(gòu)具有比較一致的安全水平，也未考慮荷載增大的不同比率或具有異號荷載效應(yīng)情況對結(jié)構(gòu)安全的影響。

我國公路使用極限狀態(tài)設(shè)計法，鐵路仍使用容許應(yīng)力設(shè)計法，但公路中使用的分項系數(shù)并不是完全利用概率理論計算可靠度得來的，而是在容許應(yīng)力基礎(chǔ)上，通過經(jīng)驗得來的，所以有披著極限外衣的容許應(yīng)力之嫌。

第四篇：極限定義的總結(jié)

極限定義的總結(jié)

極限主要包括兩個方面，即自變量的變化趨勢和函數(shù)的變化趨勢。我們就這兩個變化趨勢來總結(jié)極限的定義：

自變量變化趨勢limf(x)?函數(shù)的變化趨勢

自變量的變化趨勢主要有六種：

??x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0

函數(shù)的變化趨勢主要有四種：

f(x)?A,f(x)??,f(x)???,f(x)??? 自變量的描述格式如下：

?X?0,當|x|?X時；（x??）

?X?0,當x?X時；（x???）

?X?0,當x?-X時；（x???）

???0,當0?|x-x0|??時；（x?x0）

???0,???0, 當0?x-x0??時；（x?x0?）當0?|x-x0|??時；（x?x0?）

函數(shù)的描述格式如下：

???0, ?,?

???0, ?,?

???0, ?,? 恒時：|f(x)?A|??（f(x)?A）恒時：|f(x)|?M（f(x)??）恒時：f(x)?M（f(x)???）

恒時：f(x)??M（f(x)???）???0, ?,?

那么函數(shù)極限的定義可以是這C61?C41?24種中的任意一種。當然還有一種最特殊的函數(shù)極限，即數(shù)列的極限。它是一種自

變量的變化不連續(xù)的特殊情形。

第五篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數(shù)列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學會用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學生在學習數(shù)學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當n無限增大時，圓的內(nèi)接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當n無限增大時，相應(yīng)的項1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當n無限增大時，相應(yīng)的項n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當n無限增大時，相應(yīng)的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列?an?的項an無限地趨近于某

個數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動數(shù)列；再看這個數(shù)列當n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數(shù)。

練習：（共四個小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認識，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習題1

補充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n